人教A版高中數(shù)學必修一課件：1-3-1單調(diào)性與最大(小)值1

1、1.3 函數(shù)的基本性質(zhì) 1.3.1 單調(diào)性與最大（?。┲?第1課時 函數(shù)的單調(diào)性 引入引入1 1 如圖為我市某日如圖為我市某日2424小時內(nèi)的氣溫變化小時內(nèi)的氣溫變化圖觀察這張氣溫變化圖：圖觀察這張氣溫變化圖：引入引入2 2 德國有一位著名的心理學家艾賓浩斯，對人德國有一位著名的心理學家艾賓浩斯，對人類的記憶牢固程度進行了有關(guān)研究類的記憶牢固程度進行了有關(guān)研究. .他經(jīng)過測試，得他經(jīng)過測試，得到了有趣的數(shù)據(jù)到了有趣的數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)表明，記憶的數(shù)量數(shù)據(jù)表明，記憶的數(shù)量y y是是時間間隔時間間隔t t的函數(shù)的函數(shù). . 艾賓浩艾賓浩斯根據(jù)這些數(shù)據(jù)描繪出了著斯根據(jù)這些數(shù)據(jù)描繪出了著名的名的“艾賓浩斯記憶遺

2、忘曲艾賓浩斯記憶遺忘曲線線”, ,如圖：如圖：123tyo20406080記憶的數(shù)量記憶的數(shù)量( (百分數(shù)百分數(shù)) )天數(shù)天數(shù)100思考思考1 1：當時間間隔當時間間隔t t逐漸增大時，你能看出對應(yīng)逐漸增大時，你能看出對應(yīng)的函數(shù)值的函數(shù)值y y有什么變化趨勢？通過這個實驗，有什么變化趨勢？通過這個實驗，你打算以后如何對待剛學過的你打算以后如何對待剛學過的知識知識? ?思考思考2: 2: “艾賓浩斯記憶遺忘曲線艾賓浩斯記憶遺忘曲線”從左至右是逐漸下降的，對此，從左至右是逐漸下降的，對此，我們?nèi)绾斡脭?shù)學觀點進行解釋？我們?nèi)绾斡脭?shù)學觀點進行解釋？123tyo20406080100記憶的數(shù)量記憶的數(shù)量

3、( (百分數(shù)百分數(shù)) )天數(shù)天數(shù)1.1.理解單調(diào)函數(shù)的定義；（重點）2.2.理解增函數(shù)、減函數(shù)的定義；（重點）3.3.掌握定義法判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟；（難點）4.4.會用函數(shù)單調(diào)性的定義證明簡單的函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. . 我們通過幾個函數(shù)的圖象觀察函數(shù)值隨自我們通過幾個函數(shù)的圖象觀察函數(shù)值隨自變量而變化的規(guī)律變量而變化的規(guī)律. . 函函數(shù)數(shù)值值在在（，）上上隨隨著著自自變變量量的的增增大大而而增增大大. .0)0函函數(shù)數(shù)值值在在（， 上上隨隨自自變變量量的的增增大大而而減減少少，在在 ，）上上隨隨自自變變量量的的增增大大而而增增大大. .探究點探究點 函數(shù)單調(diào)性的定義函數(shù)單調(diào)性的定

4、義 這種函數(shù)在其定義域的一個區(qū)間上函數(shù)值隨這種函數(shù)在其定義域的一個區(qū)間上函數(shù)值隨著自變量的著自變量的_的性質(zhì)我們稱之為的性質(zhì)我們稱之為“函函數(shù)在這個區(qū)間上是增函數(shù)數(shù)在這個區(qū)間上是增函數(shù)”；函數(shù)在其定義域的；函數(shù)在其定義域的一個區(qū)間上函數(shù)值隨著自變量的一個區(qū)間上函數(shù)值隨著自變量的_的的性質(zhì)我們稱之為性質(zhì)我們稱之為“函數(shù)在這個區(qū)間上是減函數(shù)函數(shù)在這個區(qū)間上是減函數(shù)”. .如何用函數(shù)的解析如何用函數(shù)的解析式和數(shù)學語言進行式和數(shù)學語言進行描繪？描繪？增大而增大增大而增大增大而減少增大而減少對函數(shù)對函數(shù)f(x)=xf(x)=x2 2而言，而言，“函數(shù)值在（函數(shù)值在（0 0，+）上隨）上隨自變量的增大而增

5、大自變量的增大而增大”，可以這樣描述：在區(qū)間，可以這樣描述：在區(qū)間（0 0，+）上任取兩個實數(shù)）上任取兩個實數(shù)x x1 1,x,x2 2, ,得到函數(shù)值得到函數(shù)值f(xf(x1 1)=x)=x1 12 2,f(x,f(x2 2)=x)=x2 22 2，當，當x x1 1xx2 2時，有時，有_請同學們用數(shù)學語言描述函數(shù)請同學們用數(shù)學語言描述函數(shù)f(x)f(x)在（在（-，00上上函數(shù)值隨自變量的增大而減小的情況函數(shù)值隨自變量的增大而減小的情況. .f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2).).一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)f(x)的定義域為的定義域為I:I: 如果對于定義域如果對于定義

6、域I I內(nèi)某個區(qū)間內(nèi)某個區(qū)間D D上的任意兩個自變上的任意兩個自變量的值量的值 ，當，當 時，都有時，都有_，那，那么就說函數(shù)么就說函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間D D上是上是增函數(shù)增函數(shù)12xx，12xxf(x)函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)概念函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)概念f(xf(x1 1)f(x)f(x)f(x2 2) )增函數(shù)或減函數(shù)增函數(shù)或減函數(shù)第一、在中學數(shù)學中所說的單調(diào)性是指嚴格的單第一、在中學數(shù)學中所說的單調(diào)性是指嚴格的單調(diào)性調(diào)性, , 即必須是即必須是f(xf(x1 1)f(x)f(x)f(x2 2),),而不能是而不能是f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2) () (或或f(xf(x1 1)f(x)f(

7、x2 2););對函數(shù)單調(diào)性的理解對函數(shù)單調(diào)性的理解第二、函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)的某個區(qū)間而第二、函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)的某個區(qū)間而言的言的, , 是局部概念是局部概念; ;第三、學習函數(shù)的單調(diào)性第三、學習函數(shù)的單調(diào)性, ,要注意定義中條件和要注意定義中條件和結(jié)論是雙向使用的結(jié)論是雙向使用的. .例例1.1.下圖是定義在區(qū)間下圖是定義在區(qū)間-5,5-5,5上的函數(shù)上的函數(shù)y=f(x)y=f(x)，根據(jù)，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一個單調(diào)區(qū)間上，圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一個單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)它是增函數(shù)還是減函數(shù)? ? 解：解：函數(shù)函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間有的單調(diào)區(qū)間有

8、yf(x) 52) 2,1),1,3),3,5,，其中其中 在區(qū)間在區(qū)間 上是減函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間 上是增函數(shù)上是增函數(shù)yf(x) 52)1,3)， 2,1),3,5 整個上午（整個上午（8 8：00120012：0000）天氣越來越暖，）天氣越來越暖，中午時分（中午時分（1212：00130013：0000）一場暴風雨使天氣驟）一場暴風雨使天氣驟然涼爽了許多然涼爽了許多. .暴風雨過后，天氣轉(zhuǎn)暖，直到太陽暴風雨過后，天氣轉(zhuǎn)暖，直到太陽下山（下山（1818：0000）才又開始轉(zhuǎn)涼）才又開始轉(zhuǎn)涼. .畫出這一天畫出這一天8 8：00002020：0000期間氣溫作為時間函數(shù)的一個可能

9、圖象，并期間氣溫作為時間函數(shù)的一個可能圖象，并說出所畫函數(shù)的單調(diào)區(qū)間說出所畫函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. .解：解：單調(diào)增區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間是8,128,12）,13,18,13,18）; ; 單調(diào)減區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間是 12,1312,13）,18,20.,18,20.【變式練習】【變式練習】0.kpV 分分 析析 ： 即即 要要 求求 證證 明明 函函 數(shù)數(shù)在在 （ ，）上上 是是 減減 函函 數(shù)數(shù)2(例例 . .物物理理學學中中的的玻玻意意耳耳定定律律為為正正常常數(shù)數(shù)）告告訴訴我我們們，對對于于一一定定量量的的氣氣體體，當當其其體體積積V V減減小小時時，壓壓強強 將將增增大大. .試試用用函函數(shù)數(shù)的的

10、單單調(diào)調(diào)性性證證明明之之. .kpkVp 21121212()().VVkkp Vp VkVVVV則則121 21221,(0,)0;,0.V VVVVVVV由由，得得由由得得120,()()0,kp Vp V又又于于是是12()().p Vp V即即作差變形作差變形定號定號判斷判斷取值取值證明：證明：根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)V V1 1, ,V V2 2是定義域是定義域(0,+)(0,+)上上的任意兩個實數(shù)，且的任意兩個實數(shù)，且V V1 1 V V2 2, ,所以，函數(shù)所以，函數(shù) V V(0,+)(0,+)是減函數(shù)，也就是說，當體是減函數(shù)，也就是說，當體積減小時，壓強積減小時

11、，壓強p p將增大將增大. .kpV，取值：取值：即設(shè)即設(shè)x x1 1、x x2 2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個值是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個值, ,且且x x1 1x ;由x .所以f(x )-f(x ) ，思考交流思考交流1.( )(2 1) 1111.2222f xaxbR設(shè)函數(shù)在 上是嚴格單調(diào)減函數(shù)，則有（ ）A.a . 解析：解析：直線直線y=kx+by=kx+b在在k0k0時，單調(diào)遞減時，單調(diào)遞減. . 2a-10, 2a-10,即即aaD D122.2.函數(shù)函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間是的單調(diào)增區(qū)間是_._.2361yxx3.3.函數(shù)函數(shù) f(x)=xf(x)=x2 2-2ax+3-2ax+3在在(-(-

12、，44上是減函數(shù)，則上是減函數(shù)，則a a的取值范圍為的取值范圍為_4，+)提示：提示：可利用函數(shù)圖象求解可利用函數(shù)圖象求解. .（1 1，+）4.4.根據(jù)下圖說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一個單根據(jù)下圖說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一個單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)調(diào)區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù). .解：解：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是-1,0-1,0）,0,2,0,2）,2,4,2,4）,4,5.,4,5.在區(qū)間在區(qū)間-1,0-1,0）,2,4,2,4）上，函數(shù)是減函數(shù)；）上，函數(shù)是減函數(shù)；在區(qū)間在區(qū)間0,20,2）,4,5,4,5上，函數(shù)是增函數(shù)上，函數(shù)是增函數(shù). .5.5.證明函數(shù)

13、證明函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上是增函數(shù)上是增函數(shù). .f x2x( ) 2,)證明：證明：任取任取 ，且，且 ，12, 2,) x x12xx則則 1212()()22f xf xxx1212121212(22)(22).2222xxxxxxxxxx因為因為12120,220 ，xxxx得得12()()f xf x所以函數(shù)所以函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間-2,+)-2,+)上是增函數(shù)上是增函數(shù) ( )2f xx1.1.函數(shù)的單調(diào)性定義的內(nèi)涵與外延：函數(shù)的單調(diào)性定義的內(nèi)涵與外延：內(nèi)涵內(nèi)涵: :是用自變量的大小變化來刻畫函數(shù)值的變化是用自變量的大小變化來刻畫函數(shù)值的變化情況；情況；外延外延: :一般規(guī)律：自變量的變化與函數(shù)值的變化一般規(guī)律：自變量的變化與函數(shù)值的變化一致時是單調(diào)遞增，自變量的變化與函數(shù)值的變化一致時是單調(diào)遞增，自變量的變化與函數(shù)值的變化相反時是單調(diào)遞減相反時是單調(diào)遞減. . 幾何特征：在自變量取值區(qū)間上，若函數(shù)的圖象幾何特征：在自變量取值區(qū)間上，若函數(shù)的圖象上升，則為增函數(shù)，圖象下降則為減函數(shù)上升，則為增函數(shù)，圖象下降則為減函數(shù). . 3. 3. 證明函數(shù)的單調(diào)性的基本步驟是：（1 1）取值； （2 2）作差變形；