第六章——振動

1、 6.1 6.1 簡諧振動的描述簡諧振動的描述 6.2 6.2 簡諧振動的動力學簡諧振動的動力學 6.3 6.3 簡諧振動的能量簡諧振動的能量 6.4 6.4 阻尼振動阻尼振動 （） 6.5 6.5 受迫振動受迫振動 共振（共振（ ） 6.6 6.6 同一直線上同頻率的簡諧振動的合成同一直線上同頻率的簡諧振動的合成 6.7 6.7 同一直線上不同頻率的簡諧振動的合成（同一直線上不同頻率的簡諧振動的合成（） 6.8 6.8 兩個互相垂直的簡諧振動的合成（兩個互相垂直的簡諧振動的合成（） 物體或物體的某一部分在一定位置物體或物體的某一部分在一定位置附近來回往復的運動附近來回往復的運動 實例實例:

2、心臟的跳動，鐘擺，樂器，地震等心臟的跳動，鐘擺，樂器，地震等1 機械振動機械振動平衡位置平衡位置 一一 簡諧運動簡諧運動6.1 6.1 簡諧運動的描述簡諧運動的描述 簡諧運動簡諧運動 最簡單、最基本的振動最簡單、最基本的振動簡諧運動簡諧運動復雜振動復雜振動合成合成分解分解2 簡諧運動簡諧運動 質(zhì)點運動時，如果離開平衡位置的位移質(zhì)點運動時，如果離開平衡位置的位移x（或角位移（或角位移 ）按正弦規(guī)律隨時間變化，這種）按正弦規(guī)律隨時間變化，這種運動就叫運動就叫簡諧運動簡諧運動。振動的成因：振動的成因：回復力回復力+慣性慣性 彈簧振子的運動彈簧振子的運動cos()xAt簡諧運動方程簡諧運動方程簡諧運動

3、方程簡諧運動方程cos()xAt 振幅振幅maxxAtx圖圖AA xT2Tto)cos(tAx 周期、頻率周期、頻率2T 周期周期)(cosTtAtx圖圖A x2Tto21T 頻率頻率T22 角頻率角頻率 相位相位 相位相位:tt)()(0tt時，初相位初相位:)cos(tAx 相位的意義相位的意義: 表征任意時刻（表征任意時刻（t）物體振動物體振動狀態(tài)狀態(tài). 物體經(jīng)一周期的振動，相位改變物體經(jīng)一周期的振動，相位改變 .22222dcos()cos()dxaAtAtt)cos(tAx由由得得:)2cos()sin(ddtAtAtxv簡諧運動方程簡諧運動方程簡諧運動的加速度和位移成正比而反向簡諧

4、運動的加速度和位移成正比而反向2ax 速度和加速度速度和加速度tx 圖圖tv圖圖ta 圖圖TAA2A2AxvatttAAoooT)cos(tAx0取取2T)2cos(tA)sin(tAv)cos(2tA)cos(2tAaT諧振動的位移、速度、加速度之間的位相關系諧振動的位移、速度、加速度之間的位相關系A A: :振幅；振幅； ：角頻率角頻率; ; : :初相初相 簡諧運動的簡諧運動的三個特征量。三個特征量。)cos(tAx 以以 為原點的為原點的振幅矢量振幅矢量 的端點的端點在在Oxy平面內(nèi)繞點平面內(nèi)繞點O逆時針逆時針方向以角方向以角速度速度 勻角速轉(zhuǎn)動勻角速轉(zhuǎn)動時時，其端點在其端點在 軸軸上

5、投影點的運動為上投影點的運動為簡諧運動簡諧運動. .xAo二、相量圖法二、相量圖法勻速圓周運動與簡諧運動勻速圓周運動與簡諧運動xoAcos0Ax 0t0 x勻速圓周運動與簡諧運動勻速圓周運動與簡諧運動oAtt t)cos(tAxx)cos(2tAa2 tmvvxyOAt)cos(tAxnaaAmvsin()Atv2nAa 用相量圖法畫簡諧運動的用相量圖法畫簡諧運動的 圖圖tx 2cos()xAtT2cos()xAtT討論討論 相位差：表示兩個相位之差相位差：表示兩個相位之差 （1）對對同一同一簡諧運動，相位差可以給出簡諧運動，相位差可以給出兩運動狀態(tài)間變化所需的時間兩運動狀態(tài)間變化所需的時間)

6、()(12tt12ttt)cos(11tAx)cos(22tAx三、相三、相 初相初相 相差相差：叫在時刻：叫在時刻 t 振動的振動的相（或相位）相（或相位）; t：t=0 時刻的相位叫時刻的相位叫初相初相Ax2Atobaat32AvAxAoAbt（2）對于兩個對于兩個同同頻率頻率的簡諧運動，相位差表的簡諧運動，相位差表示它們間示它們間步調(diào)步調(diào)上的上的差異差異（解決振動合成問題）（解決振動合成問題）. .)cos(111tAx)cos(222tAx2121()()tt0 xto同步同步xto為其它為其它超前超前落后落后txo反相反相tx 圖圖tv圖圖ta 圖圖TAA2A2AxvatttAAoo

7、oT)cos(tAx0取取)2cos(tA)sin(tAv)cos(2tA)cos(2tAaT諧振動的位移、速度、加速度之間的位相關系諧振動的位移、速度、加速度之間的位相關系例例 一質(zhì)點沿一質(zhì)點沿x軸作簡諧運動，振幅軸作簡諧運動，振幅A=0.05m，周，周期期T=0.2s。當質(zhì)點正越過平衡位置項負。當質(zhì)點正越過平衡位置項負x方向運方向運動時開始計時。動時開始計時。 （1）寫出此質(zhì)點的簡諧運動表達式；）寫出此質(zhì)點的簡諧運動表達式； （2）求在）求在t=0.05s時質(zhì)點的位置、速度和加時質(zhì)點的位置、速度和加速度；速度； （3）另一質(zhì)點和此質(zhì)點的振動頻率相同，）另一質(zhì)點和此質(zhì)點的振動頻率相同，但振幅

8、為但振幅為0.08m，并和此質(zhì)點反相，寫出這另一，并和此質(zhì)點反相，寫出這另一質(zhì)點的簡諧運動表達式；質(zhì)點的簡諧運動表達式； （4）畫出兩振動的相量圖。）畫出兩振動的相量圖。 解解 (1)取平衡位置為坐標原點，以余弦函數(shù)表示取平衡位置為坐標原點，以余弦函數(shù)表示簡諧運動，則簡諧運動，則A=0.05m， =2 /T=10 s-1。由于。由于t=0時時x=0，且，且v0 為確定初相為確定初相, 畫出畫出t=0時旋轉(zhuǎn)矢量時旋轉(zhuǎn)矢量的位置的位置2T由題知由題知0.24mA 2sT 解解: 1) 設振動方程為設振動方程為cos()xAtx opt=0 AM330cosxA振動方程為振動方程為:0.24cos(

9、)3xtm533 或由圖得到由圖得到2) 從從x = 0.12m, 且向且向x軸負方向運動的狀態(tài)軸負方向運動的狀態(tài), 回到平衡位置所回到平衡位置所需的時間需的時間x AM5650.836tss op（1） 動能動能( (以彈簧振子為例以彈簧振子為例) ) )(sin21)sin(212122222ktAmtAmmEv6.6.3 3 簡諧振動的能量簡諧振動的能量22k1sin ()2EkAt總機械能總機械能221122kpEEEmvkx2km（2） 勢能勢能 線性回復力線性回復力是是保守力保守力，作，作簡簡諧諧運動的系統(tǒng)運動的系統(tǒng)機機械能守恒械能守恒. .O x Xm)(cos2121222pt

10、kAkxE（3） 機械能機械能222pk2121kAAmEEE22k1sin ()2EkAt簡簡 諧諧 運運 動動 能能 量量 圖圖22p1cos2EkAt22k1sin2EkAt4T2T43T能量能量otTv, xtoTtAxcostAsinv221kAE0tx tv22200222001111cos241111sin24TTppTTkkEE dtkAtdtkATTEE dtkAtdtkATT簡諧運動勢能曲線簡諧運動勢能曲線kEpExAA222p11cos22EkxkAtxO212EkABC 例例 質(zhì)量為質(zhì)量為 的物體，以振幅的物體，以振幅 作簡諧運動，其最大加速度為作簡諧運動，其最大加速度

11、為 ，求：求：kg 10.0m 100 . 12（1）振動的周期；振動的周期； （2）通過平衡位置的動能；通過平衡位置的動能；（3）總能量；總能量；（4）物體在何處其動能和勢能相等？物體在何處其動能和勢能相等？2sm 0 . 4Aamaxs 314. 02T1s 20J 100.23（2）222maxmax,k2121AmmEv解（解（1）2maxAa已知已知2max2sm 0 . 4m 100 . 1kg 10. 0aAm，T；( (2) )maxk,E求求:( (1) )（4）pkEE 時時 J 100 . 13pE由由222p2121xmkxE2p22mEx 24m 105 . 0總能量

12、總能量E；（3）max, kEE J 100 . 23解解( (4) )何處動勢能相等何處動勢能相等? ?求求:( (3) )cm 707. 0 x已知已知2max2sm 0 . 4m 100 . 1kg 10. 0aAm， 設一質(zhì)點同時參與設一質(zhì)點同時參與兩獨立的同方向、同頻兩獨立的同方向、同頻率的簡諧振動：率的簡諧振動：11A1xxO2x2A2)cos(111tAx)cos(222tAx兩振動的位相差兩振動的位相差 =常數(shù)常數(shù)126.6 6.6 同一直線上同頻率的簡諧運動的合成同一直線上同頻率的簡諧運動的合成 兩個兩個同同方向方向同同頻率簡諧運動頻率簡諧運動合成合成后仍后仍為為同同頻率的頻

13、率的簡諧簡諧運動運動)cos(212212221AAAAA)cos(tAx11A1xxOAx21xxx2x2A222112211coscossinsintanAAAAtoo212k)cos()(21tAAxA21AAA1A2AT（1）相位差相位差212k), 2 1 0( ，kxxxto)cos()(12tAAxT2A21AA（2）相位差相位差) 12(12k) , 1 0( ，k21AAA)12(12kox（3）一般情況一般情況2121AAAAA21AAA21AAA加強加強減弱減弱小結(jié)小結(jié)（1）相位差相位差212k) 1 0( ， k（2）相位差相位差) 12(12k) 1 0( ， k6.

14、7 6.7 同一直線上不同頻率的簡諧運動的合成同一直線上不同頻率的簡諧運動的合成 頻率頻率較大較大而頻率之而頻率之差很小差很小的兩個的兩個同方同方向向簡諧運動的合成，其合振動的振幅時而簡諧運動的合成，其合振動的振幅時而加強時而減弱的現(xiàn)象叫加強時而減弱的現(xiàn)象叫拍拍. .tAtAx111112coscostAtAx222222coscos21xxx討論討論 , , 的情況的情況 21AA 2112合振動頻率合振動頻率振幅部分振幅部分振幅振幅 振動頻率振動頻率212cos22AAt2)(21max2AA0minA2121(2cos2 )cos2 22xAtt拍頻拍頻（振幅變化的頻率）（振幅變化的頻率

15、）2212T121T12振動頻率振動頻率 拍頻拍頻2)(2112 一一 阻尼振動阻尼振動現(xiàn)象：現(xiàn)象：振幅隨時間減小振幅隨時間減小原因：原因：阻尼阻尼動力學分析：動力學分析：阻力系數(shù)阻力系數(shù)0dddd22kxtxCtxm阻尼力阻尼力vCFr6.4 阻尼振動阻尼振動角頻率角頻率振幅振幅固有角頻率固有角頻率阻尼系數(shù)阻尼系數(shù)0dddd22kxtxCtxm0dd2dd2022xtxtxmk0mC 2)cos(etAxt22022022T阻尼振動位移時間曲線阻尼振動位移時間曲線tOxAA)0(tAtcose220)cos(etAxttAeotxabc三種阻尼的比較三種阻尼的比較 ( (c) )臨界阻尼臨界

16、阻尼220 ( (b) )過阻尼過阻尼 220 ( (a) )欠阻尼欠阻尼22012txcc t eecos()txAt22220012ttxc ec e0dd2dd2022xtxtx驅(qū)動力驅(qū)動力受迫振動受迫振動tFkxtxCtxmp22cosddddmk0mC2mFf tfxtxtxp2022cosdd2dd6.5 6.5 受迫振動受迫振動 共振共振驅(qū)動力的驅(qū)動力的角頻率角頻率 tfxtxtxp2022cosdd2dd)cos()cos(ep0tAtAxt2p22p204)(fA2p20p2tan共振共振)cos(ptAx22 2220pp()4fA 0ddpAtfxtxtxp2022cosdd2dd0pecos()cos()txAtAt 驅(qū)動力的角頻率為某一定值時驅(qū)動力的角頻率為某一定值時, , 受迫振動受迫