第6章抽樣估計與假設檢驗

1、第六章第六章 抽樣估計與假設檢驗抽樣估計與假設檢驗 第一節(jié)第一節(jié) 抽樣與抽樣估計抽樣與抽樣估計第二節(jié)第二節(jié) 假設檢驗假設檢驗第一節(jié)第一節(jié) 抽樣與抽樣估計抽樣與抽樣估計一、基本概念一、基本概念二、抽樣方式二、抽樣方式三、抽樣誤差及其測度三、抽樣誤差及其測度四、抽樣分布四、抽樣分布五、參數(shù)估計五、參數(shù)估計一、基本概念一、基本概念l抽樣、抽樣估計抽樣、抽樣估計l總體、總體容量總體、總體容量l樣本、樣本容量、大樣本和小樣本樣本、樣本容量、大樣本和小樣本 l概率抽樣、非概率抽樣、抽樣框概率抽樣、非概率抽樣、抽樣框 抽樣抽樣即即抽樣調(diào)查抽樣調(diào)查，是是指在總體中選取部分單指在總體中選取部分單位組成樣本并收集

2、樣本位組成樣本并收集樣本單位的數(shù)據(jù)資料的過程。單位的數(shù)據(jù)資料的過程。抽樣估計抽樣估計是在抽樣調(diào)查的基是在抽樣調(diào)查的基礎上，礎上，利用利用樣本的數(shù)據(jù)資料樣本的數(shù)據(jù)資料計算計算樣本指標樣本指標，以樣本特征以樣本特征值對值對總體特征值總體特征值做出具有一做出具有一定可靠程度的定可靠程度的估計和判斷估計和判斷。總體總體（在抽樣調(diào)查中又叫（在抽樣調(diào)查中又叫全全及總體及總體或或母體母體，簡稱總體）：，簡稱總體）：是由是由被調(diào)查對象的全部單被調(diào)查對象的全部單位位所構(gòu)成的集合體。所構(gòu)成的集合體?？傮w容量總體容量：總體中的總體中的單位數(shù)，用單位數(shù)，用N N表示。表示。樣本樣本: :樣本是從總體中抽取的進行調(diào)查的

3、抽取的進行調(diào)查的部分單位部分單位的集合體，又稱抽樣總體抽樣總體。樣本容量樣本容量：樣本中的樣本中的單位數(shù)，用單位數(shù)，用n n表示。表示。大樣本和小樣本大樣本和小樣本：n30n30時稱大樣本，時稱大樣本，n n3030稱小樣本稱小樣本概率抽樣概率抽樣: :又稱隨機抽又稱隨機抽樣，是按隨機原則抽取樣，是按隨機原則抽取樣本單位。樣本單位。非概率抽樣非概率抽樣: :又稱非隨機抽樣，又稱非隨機抽樣，是指從研究的目的和需要出發(fā)，是指從研究的目的和需要出發(fā)，根據(jù)調(diào)查者的經(jīng)驗或判斷，從根據(jù)調(diào)查者的經(jīng)驗或判斷，從總體中總體中有意識地有意識地抽取部分單抽取部分單位構(gòu)成樣本。位構(gòu)成樣本。抽樣框抽樣框是包括全部抽樣單

4、位的名單框架。是包括全部抽樣單位的名單框架。形式有三種：形式有三種：名單抽樣框名單抽樣框、區(qū)域抽樣區(qū)域抽樣框框、 時間抽樣框時間抽樣框。簡簡單單隨隨機機抽抽樣樣分分層層抽抽樣樣整整群群抽抽樣樣系系統(tǒng)統(tǒng)抽抽樣樣多多階階段段抽抽樣樣概概率率抽抽樣樣方方便便抽抽樣樣判判斷斷抽抽樣樣自自愿愿樣樣本本滾滾雪雪球球抽抽樣樣配配額額抽抽樣樣非非概概率率抽抽樣樣抽抽樣樣方方式式 從總體從總體N個單位中隨機地抽取個單位中隨機地抽取n個單個單位作為樣本，每個單位入選樣本的概位作為樣本，每個單位入選樣本的概率是相等的。是最基本的抽樣方法，率是相等的。是最基本的抽樣方法，是其它抽樣方法的基礎。是其它抽樣方法的基礎。特

5、點：特點： 簡單、直觀，在抽樣框完整時，簡單、直觀，在抽樣框完整時，可直接從中抽取樣本；用樣本統(tǒng)可直接從中抽取樣本；用樣本統(tǒng)計量對目標量進行估計比較方便。計量對目標量進行估計比較方便。局限性：局限性： 當當N很大時，不易構(gòu)造抽樣框；很大時，不易構(gòu)造抽樣框；抽出的單位很分散，給實施調(diào)查抽出的單位很分散，給實施調(diào)查增加了困難；沒有利用其它輔助增加了困難；沒有利用其它輔助信息以提高估計的效率。信息以提高估計的效率。 將總體中若干個單位合并為組將總體中若干個單位合并為組(群群),抽樣時直接抽取群，然后對中選群中抽樣時直接抽取群，然后對中選群中的所有單位全部實施調(diào)查。整群抽樣的所有單位全部實施調(diào)查。整群

6、抽樣的值依賴于每一群對總體的代表性，的值依賴于每一群對總體的代表性，當群中元素不同質(zhì)（不相似）時，整當群中元素不同質(zhì)（不相似）時，整群抽樣得到的結(jié)果最佳。群抽樣得到的結(jié)果最佳。特點：特點：抽樣抽樣時只需群的抽樣框，可簡化工作量調(diào)時只需群的抽樣框，可簡化工作量調(diào)查的地點相對集中，節(jié)省調(diào)查費用，查的地點相對集中，節(jié)省調(diào)查費用，方便調(diào)查的實施。方便調(diào)查的實施。缺點缺點是估計的精度是估計的精度較差。較差。群群1 1群群2 2群群N N總體總體 將抽樣單位按某種特征或某種規(guī)則劃分為不同的層，然后將抽樣單位按某種特征或某種規(guī)則劃分為不同的層，然后從不同的層中獨立、隨機地抽取樣本。又叫分類抽樣或類型抽從不同

7、的層中獨立、隨機地抽取樣本。又叫分類抽樣或類型抽樣。樣。 分層抽樣的值依賴于層內(nèi)各元素是同質(zhì)性（相似的）。使分層抽樣的值依賴于層內(nèi)各元素是同質(zhì)性（相似的）。使層內(nèi)差異小，層間差異大。優(yōu)點：保證樣本的結(jié)構(gòu)與總體的結(jié)層內(nèi)差異小，層間差異大。優(yōu)點：保證樣本的結(jié)構(gòu)與總體的結(jié)構(gòu)比較相近，從而提高估計的精度；組織實施調(diào)查方便；既可構(gòu)比較相近，從而提高估計的精度；組織實施調(diào)查方便；既可以對總體參數(shù)進行估計，也可以對各層的目標量進行估計。以對總體參數(shù)進行估計，也可以對各層的目標量進行估計。 將總體中的所有單位將總體中的所有單位(抽樣單位抽樣單位)按一定順序排列，在規(guī)定的范按一定順序排列，在規(guī)定的范圍內(nèi)隨機地抽

8、取一個單位作為初始單位，然后按事先規(guī)定好的圍內(nèi)隨機地抽取一個單位作為初始單位，然后按事先規(guī)定好的規(guī)則確定其它樣本單位。如果按相等的間隔抽取后續(xù)單位，則規(guī)則確定其它樣本單位。如果按相等的間隔抽取后續(xù)單位，則稱為等距抽樣。稱為等距抽樣。優(yōu)點：操作簡便，可提高估計的精度優(yōu)點：操作簡便，可提高估計的精度缺點：對估計量方差的估計比較困難缺點：對估計量方差的估計比較困難 先將總體單位劃分成若干大群，大群內(nèi)先將總體單位劃分成若干大群，大群內(nèi)再分成若干小群。先按某種方法抽取大再分成若干小群。先按某種方法抽取大群，然后在中選群中抽取小群，再進一群，然后在中選群中抽取小群，再進一步抽樣，從選中的群中抽取出若干個單

9、步抽樣，從選中的群中抽取出若干個單位進行調(diào)查。具有整群抽樣的優(yōu)點，保位進行調(diào)查。具有整群抽樣的優(yōu)點，保證樣本相對集中，節(jié)約調(diào)查費用，適用證樣本相對集中，節(jié)約調(diào)查費用，適用于大規(guī)模的抽樣調(diào)查，如：于大規(guī)模的抽樣調(diào)查，如：我國的農(nóng)作我國的農(nóng)作物產(chǎn)量調(diào)查：全國農(nóng)作物產(chǎn)量抽樣調(diào)查，物產(chǎn)量調(diào)查：全國農(nóng)作物產(chǎn)量抽樣調(diào)查，首先由省所有縣市級中抽取部分縣市作首先由省所有縣市級中抽取部分縣市作為第一階段樣本，再從被抽中的縣市中為第一階段樣本，再從被抽中的縣市中抽取鄉(xiāng)鎮(zhèn)作為第二階段樣本，從被抽中抽取鄉(xiāng)鎮(zhèn)作為第二階段樣本，從被抽中鄉(xiāng)鎮(zhèn)中抽取村作為第三階段樣本，最后鄉(xiāng)鎮(zhèn)中抽取村作為第三階段樣本，最后從中選村中抽取農(nóng)戶

10、，并從農(nóng)戶的播種從中選村中抽取農(nóng)戶，并從農(nóng)戶的播種面積中抽取部分地塊，進行實割實測，面積中抽取部分地塊，進行實割實測，計算平均畝產(chǎn)量，然后逐級往上綜合計計算平均畝產(chǎn)量，然后逐級往上綜合計算平均畝產(chǎn)量，并推算全國總產(chǎn)量。算平均畝產(chǎn)量，并推算全國總產(chǎn)量。調(diào)查過程中由調(diào)查員調(diào)查過程中由調(diào)查員依據(jù)方便的原則，依據(jù)方便的原則，自行確定入選樣自行確定入選樣本的單位。本的單位。例如：例如：調(diào)查員在街頭、調(diào)查員在街頭、公園、商店等公公園、商店等公共場所進行攔截共場所進行攔截調(diào)查；廠家在出調(diào)查；廠家在出售產(chǎn)品柜臺前對售產(chǎn)品柜臺前對路過顧客進行的路過顧客進行的調(diào)查。調(diào)查。優(yōu)點：優(yōu)點：容易實施，調(diào)容易實施，調(diào)查的成

11、本低。查的成本低。缺點：缺點：樣本單位的確樣本單位的確定帶有隨意性，定帶有隨意性，樣本無法代表有樣本無法代表有明確定義的總體，明確定義的總體，調(diào)查結(jié)果不宜推調(diào)查結(jié)果不宜推斷總體。斷總體。 被調(diào)查者自愿參被調(diào)查者自愿參加，成為樣本中加，成為樣本中的一分子，向調(diào)的一分子，向調(diào)查人員提供有關查人員提供有關信息。信息。例如，參例如，參與報刊上和互聯(lián)與報刊上和互聯(lián)網(wǎng)上刊登的調(diào)查網(wǎng)上刊登的調(diào)查問卷活動，向某問卷活動，向某類節(jié)目撥打熱線類節(jié)目撥打熱線電話等，都屬于電話等，都屬于自愿樣本。自愿樣本。 自愿樣本與抽樣自愿樣本與抽樣的隨機性無關，的隨機性無關，樣本是有偏的，樣本是有偏的，不能依據(jù)樣本的不能依據(jù)樣本

12、的信息推斷總體信息推斷總體 研究人員根據(jù)經(jīng)驗、研究人員根據(jù)經(jīng)驗、判斷和對研究對象的判斷和對研究對象的了解，有目的選擇一了解，有目的選擇一些單位作為樣本。例些單位作為樣本。例如：如：重點抽樣，典型重點抽樣，典型抽樣，代表抽樣等方抽樣，代表抽樣等方式。式。 判斷抽樣是主觀的，判斷抽樣是主觀的，樣本選擇的好壞取決樣本選擇的好壞取決于調(diào)研者的判斷、經(jīng)于調(diào)研者的判斷、經(jīng)驗、專業(yè)程度和創(chuàng)造驗、專業(yè)程度和創(chuàng)造性。抽樣成本比較低，性。抽樣成本比較低，容易操作。樣本是人容易操作。樣本是人為確定的，沒有依據(jù)為確定的，沒有依據(jù)隨機的原則，調(diào)查結(jié)隨機的原則，調(diào)查結(jié)果不能用于推斷總體。果不能用于推斷總體。 先選擇一組調(diào)

13、查單先選擇一組調(diào)查單位，對其實施調(diào)查之位，對其實施調(diào)查之后，再請他們提供另后，再請他們提供另外一些屬于研究總體外一些屬于研究總體的調(diào)查對象，調(diào)查人的調(diào)查對象，調(diào)查人員根據(jù)所提供的線索，員根據(jù)所提供的線索，進行此后的調(diào)查。這進行此后的調(diào)查。這個過程持續(xù)下去，就個過程持續(xù)下去，就會形成滾雪球效應。會形成滾雪球效應。 適合于對稀少群體適合于對稀少群體和特定群體研究，容和特定群體研究，容易找到那些屬于特定易找到那些屬于特定群體的被調(diào)查者，調(diào)群體的被調(diào)查者，調(diào)查的成本也比較低。查的成本也比較低。 先將總體中的先將總體中的所有單位按一定所有單位按一定的標志的標志(變量變量)分分為若干類，然后為若干類，然后

14、在每個類中采用在每個類中采用方便抽樣或判斷方便抽樣或判斷抽樣的方式選取抽樣的方式選取樣本單位。樣本單位。 操作簡單，可操作簡單，可以保證樣本的結(jié)以保證樣本的結(jié)構(gòu)和總體的結(jié)構(gòu)構(gòu)和總體的結(jié)構(gòu)類似。類似。抽取具體樣本單位抽取具體樣本單位時，不是依據(jù)隨時，不是依據(jù)隨機原則，屬于非機原則，屬于非概率抽樣概率抽樣 。三、抽樣誤差及其測度三、抽樣誤差及其測度 1.1.統(tǒng)計誤差及分類統(tǒng)計誤差及分類 偏差偏差/系統(tǒng)誤差：系統(tǒng)誤差：由于破壞隨機原則而產(chǎn)生隨機性誤差隨機性誤差/抽樣誤差：抽樣誤差：即使遵循隨機原則，以樣本指標代表總體指標時也會產(chǎn)生的偏差統(tǒng)計誤差統(tǒng)計誤差登記性誤差登記性誤差:統(tǒng)計調(diào)查中，由于觀察、測量

15、、登記、計算等原因或被調(diào)查者提供虛假信息所造成。代表性誤差代表性誤差:以樣本指標推斷總體指標時產(chǎn)生的代表性程度的差異。2.2.抽樣誤差的度量抽樣誤差的度量 度量抽樣誤差的三個概念度量抽樣誤差的三個概念 （1）抽樣實際誤差）抽樣實際誤差：指某一次具體抽樣中，樣本指標值與總體參數(shù)真實值之間的偏差。 （2）抽樣平均誤差抽樣平均誤差：是指所有可能的樣本指標與總體指標之間的平均差異程度，即樣本估計值的標準差樣本估計值的標準差。 （3）抽樣極限抽樣極限/允許誤差允許誤差：又稱置信區(qū)間置信區(qū)間，是指一定概率下抽樣誤差的可能范圍抽樣誤差的可能范圍，說明樣本估計量在總體參數(shù)周圍變動的范圍，記作。 抽樣誤差是指不

16、包括登記性誤差和系統(tǒng)性誤差在內(nèi)的隨機誤差，它衡量了抽樣估計的精確度。抽樣平均誤差抽樣平均誤差 抽樣平均數(shù)的平均誤差抽樣平均數(shù)的平均誤差 概念：概念：就是抽樣平均數(shù)的標準差，反映抽樣平均數(shù)的所有可能值對總體平均數(shù)的平均離散程度，記作 。 定義公式：定義公式： 其中： ：各個可能樣本的平均數(shù) ：總體平均數(shù) ：重復抽樣條件下所有可能的樣本數(shù) )(xmxxi2)()(ixm可能樣本的個數(shù)）（2-抽樣平均誤差抽樣平均誤差實際抽樣推斷中采用的公式實際抽樣推斷中采用的公式 重復重復簡單隨機抽樣 不重復不重復簡單隨機抽樣 其中， 為總體方差 為不重復抽樣的修正因子 ）（NnnNnNnx11-22nx2)()1

17、()(2NnNnx21NnN重復抽樣重復抽樣：也叫放回抽樣，抽樣過程中：也叫放回抽樣，抽樣過程中總體單位的總數(shù)不變，每個抽中單位有總體單位的總數(shù)不變，每個抽中單位有再次被抽中的可能。在重復試驗中，樣再次被抽中的可能。在重復試驗中，樣本可能個數(shù)是本可能個數(shù)是N Nn n。不重復抽樣不重復抽樣：也叫無放回抽樣，每個單位只有一：也叫無放回抽樣，每個單位只有一次被抽中的機會，總體單位數(shù)不斷減少。次被抽中的機會，總體單位數(shù)不斷減少。如果考慮順序，樣本可能個數(shù)為如果考慮順序，樣本可能個數(shù)為 如果不考慮順序，樣本可能個數(shù)為如果不考慮順序，樣本可能個數(shù)為!()!NNn!()! !NNn n抽樣平均誤差抽樣平均

18、誤差樣本成數(shù)（比例）的抽樣平均誤差樣本成數(shù)（比例）的抽樣平均誤差 重復抽樣條件下：重復抽樣條件下： 不重復抽樣條件下：不重復抽樣條件下： 總體中具有某種特征的單位占全部總體單位數(shù)的比例稱為總體比例，記作 ，樣本中具有此種特征的單位占全部樣本單位數(shù)的比例稱為樣本比例，記作 。PpnPPp)1()()1 ()1 ()(NnnPPp)1 ()1 (1-1NnnNnNnp）（抽樣極限誤差抽樣極限誤差樣本平均數(shù)的抽樣極限誤差：樣本平均數(shù)的抽樣極限誤差：以絕對值形式表示的樣本平均數(shù)的抽樣誤差的可能范圍，用符號表示為： 即： 說明樣本均值以確定的總體均值為中心，在 之間變動。在實際抽樣估計中是以樣本均值推斷

19、總體均值的區(qū)間范圍，因此，可將上述不等式做如下變換：xxxxxxxxxx抽樣極限抽樣極限/允許誤差允許誤差樣本比例的抽樣極限誤差：樣本比例的抽樣極限誤差：以絕對值形式表示的樣本比例的抽樣誤差的可能范圍，用符號表示為： 即： 同理，也可將上述不等式轉(zhuǎn)換為：pPpppPpPpppPp四、抽樣分布四、抽樣分布（一）抽樣分布的概念和種類（一）抽樣分布的概念和種類（二）樣本平均數(shù)的抽樣分布（二）樣本平均數(shù)的抽樣分布（三）樣本比例（成數(shù)）的抽樣分布（三）樣本比例（成數(shù)）的抽樣分布（一）抽樣分布的概念和種類（一）抽樣分布的概念和種類1.概念概念 精確分布小樣本分布：精確分布小樣本分布：大多數(shù)是在正態(tài)分布總體

20、條件下得到的，但應用不廣2.種類種類漸進分布大樣本分布漸進分布大樣本分布：樣本容量無限增 大時統(tǒng)計量的極限分布，可看作是抽 樣分布的一種近似。 抽樣分布是樣本統(tǒng)計量的概率分布抽樣分布是樣本統(tǒng)計量的概率分布。從一個總體中隨機抽取容量相等的樣本，根據(jù)樣本資料計算某一統(tǒng)計量所有可能的概率分布，稱為這個統(tǒng)計量的抽樣分布。統(tǒng)計量是樣本的函數(shù)，不依賴于任何未知參數(shù)；統(tǒng)計量是統(tǒng)計推斷的基礎，不同的統(tǒng)計推斷問題需要構(gòu)造不同的統(tǒng)計量；常用的統(tǒng)計量有：樣本的均值、方差、離散系數(shù)精確的抽樣分布很難得到，即使得到也很難推廣應用；通常把樣本量無限增大時統(tǒng)計量的極限分布作為抽樣分布的一種近似，稱為漸近分布；在精確分布與漸

21、近分布都無法得到的情況下，可以通過隨機模擬來獲得統(tǒng)計量的近似分布；如：為了得到某個統(tǒng)計量的分布函數(shù)，可以進行一系列類似試驗得到一組該統(tǒng)計量的觀測值，從而近似得到其經(jīng)驗分布函數(shù)。常見的抽樣分布常見的抽樣分布常見的抽樣分布常見的抽樣分布（一）正態(tài)分布（一）正態(tài)分布. .正態(tài)分布：正態(tài)分布：如果隨機變量的概率密度函數(shù)為：-+其中，為常數(shù)且0，則稱服從參數(shù)為、 的正態(tài)分布，記作 ，。正態(tài)分布是最常見的抽樣分布正態(tài)分布是最常見的抽樣分布22221)(xexfxXX(N)2常見的抽樣分布常見的抽樣分布2.標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布：在正態(tài)分布中，當參數(shù)在正態(tài)分布中，當參數(shù)=0，=1時，時，則稱服從標準正態(tài)分

22、布，記作則稱服從標準正態(tài)分布，記作，1）。）。標準正態(tài)分布的分布密度和分布函數(shù)的性質(zhì)如下：（1）是偶函數(shù)，即=（2）=1- （3）如果，則的分布函數(shù)為上述公式稱為正態(tài)分布函數(shù)的標準化公式。上述公式稱為正態(tài)分布函數(shù)的標準化公式。XX0(N)(x)(x)(x)( x)(x)( x)(xX(N)2X)()(xxF常見的抽樣分布常見的抽樣分布（二） 分布 設 是獨立同分布的隨機變量，且每個隨機變量都服從標準正態(tài)分布，即 （0，1），則隨機變量 = 的分布稱為自由度為 的 分布，記作 （ ）。 當當 時，時， 分布趨近于正態(tài)分布分布趨近于正態(tài)分布，即 （ ）（ ，2 ）。 2nxxx,21ix2niix

23、12n22nn2n2nn常見的抽樣分布常見的抽樣分布（三）（三） 分布分布 設隨機變量 與 相互獨立， （0，1）， （ ），則稱隨機變量 服從自由度為 的 分布，記作 ( )。 當當 時，時， 分布趨近于標準正態(tài)分布分布趨近于標準正態(tài)分布。實際應用中，當 30時， 分布可用標準正態(tài)分布近似。tXYXY2nnYXt/nttnnttn常見的抽樣分布常見的抽樣分布（四）（四） 分布分布 1.設隨機變量 與 相互獨立，且分別服從自由度為 、 的 分布，則稱隨機變量 服從第一自由度為 、第二自由度 為 的 分布，記作 ( ， )。 2. 分布對于兩個總體的方差比的統(tǒng)計推斷問題十分重要，是方差分析等統(tǒng)計

24、推斷方法的基礎。與前兩種分布不同的是 分布不以正態(tài)分布為其極限分布，它總是一個正偏分布是一個正偏分布。 FFFF XY1n2n221/nYnXF 1n2n1n2nFF（二）樣本平均數(shù)的抽樣分布（二）樣本平均數(shù)的抽樣分布（一）總體方差（一）總體方差 已知時，樣本平均數(shù)已知時，樣本平均數(shù) 的抽樣的抽樣分布分布 設總體 ，（ ）是一個簡單隨機樣本，則有： （ ， ） 將樣本平均數(shù)標準化，即有： N（0，1） 說明：正態(tài)分布總體的樣本平均數(shù)的數(shù)學期望值等樣本平均數(shù)的數(shù)學期望值等于總體平均數(shù)，樣本平均數(shù)的方差等于總體方差除以樣于總體平均數(shù)，樣本平均數(shù)的方差等于總體方差除以樣本容量本容量，同時也說明了樣本

25、平均數(shù)抽樣分布具有的基本性質(zhì)。 2x),(2NXnxxx,21xNn/2)(xEnxV/)(2/)(nxxxZ（二）樣本平均數(shù)的抽樣分布（二）樣本平均數(shù)的抽樣分布（一）總體方差（一）總體方差 已知時，樣本平均數(shù)已知時，樣本平均數(shù) 的抽樣分布的抽樣分布 中心極限定理：中心極限定理：設 是具有期望值 ，方差 的任意總體，則樣本平均數(shù)的抽樣分布將隨 的增大而趨于總 體平均數(shù)為 ，標準差為 的正態(tài)分布，即 漸近服 從 ( ， )。 將這一正態(tài)隨機變量進行標準化，則有 0，1) *說明：樣本無論抽自正態(tài)或非正態(tài)總體，只要樣本容說明：樣本無論抽自正態(tài)或非正態(tài)總體，只要樣本容量足夠大，在總體平均數(shù)量足夠大，

26、在總體平均數(shù) 和方差和方差 已知和有限的條件下，已知和有限的條件下，樣本平均數(shù)樣本平均數(shù) 的抽樣分布就會趨于正態(tài)分布。一般認為樣本的抽樣分布就會趨于正態(tài)分布。一般認為樣本容量容量 30時，即可用中心極限定理作為推斷的依據(jù)。時，即可用中心極限定理作為推斷的依據(jù)。2xX2nnXxNn/2(/NnxZn2x（二）樣本平均數(shù)的抽樣分布（二）樣本平均數(shù)的抽樣分布（二）總體方差（二）總體方差 未知時，樣本平均數(shù)未知時，樣本平均數(shù) 的抽樣分布的抽樣分布 當總體方差 未知時，可以用樣本方差 代替總體方差 ，或用樣本標準差 代替總體標準差 ，則有： 設總體 ， )，（ ）是 其一個簡單隨機樣本，樣本平均數(shù)為 ，

27、樣本標準差 ， 則統(tǒng)計量 （ ） *即當總體方差未知時，樣本平均數(shù)服從自由度為即當總體方差未知時，樣本平均數(shù)服從自由度為 的的 分布分布 2x22S2S( NX2nxxx,21xSnSxt/t1n1ntt t分布的性質(zhì)分布的性質(zhì) t t分布與正態(tài)分布相類似，具有對稱性。分布與正態(tài)分布相類似，具有對稱性。 t t分布的均值與標準正態(tài)分布均值相同，為分布的均值與標準正態(tài)分布均值相同，為0 0，但，但方差為方差為(n-1)/(n-3)(n-1)/(n-3)。由此，在求由此，在求t t分布的方差時定義分布的方差時定義自由度必須大于自由度必須大于2 2。標準正態(tài)分布的方差等于標準正態(tài)分布的方差等于1 1

28、，因此，因此，t t分布方差總大于分布方差總大于標準分布的方差，也就是說，標準分布的方差，也就是說，t t分布比正態(tài)分布略分布比正態(tài)分布略“胖胖”些。些。t t分布與正態(tài)分布：分布與正態(tài)分布： 當自由度增大時，當自由度增大時，t t分布的方差接近于標準正態(tài)分布的方差接近于標準正態(tài)分布方差值分布方差值1 1。例如：。例如： 當當n-1=10n-1=10時，時，t t分布的方差為分布的方差為10/8=1.2510/8=1.25； 當當n-1=30n-1=30時，時，t t分布的方差為分布的方差為30/28=1.0730/28=1.07； 當當n-1=100n-1=100時，時，t t分布的方差為分

29、布的方差為100/98=1.02100/98=1.02； 結(jié)論：隨著自由度的逐漸增大，結(jié)論：隨著自由度的逐漸增大，t t分布近似于正分布近似于正態(tài)分布。因此，對于態(tài)分布。因此，對于t t分布，不要求其樣本容量很大，分布，不要求其樣本容量很大，k=k=3030時，時，t t分布與正態(tài)分布已很近似。分布與正態(tài)分布已很近似。（三）樣本比例（成數(shù)）的抽樣分布（三）樣本比例（成數(shù)）的抽樣分布 當從總體中抽取一個容量為 的樣本時，樣本中具有某種特征的單位數(shù) 服從二項分布，即有 ， )，且有 ， 因此樣本比例 也服從二項分布，且有： 根據(jù)中心極限定理，當 時，二項分布趨近于正態(tài)分布。所以，在大樣本下，若在大

30、樣本下，若 和和 均大于均大于5，樣本，樣本 比例近似服從正態(tài)分布：比例近似服從正態(tài)分布：nxxnB(PnPXE)()1 ()(PnPXVnxp/PxEnnxEpE)(1)()()1 (1)(1)()(2PPnxVnnxVpVnnP)1 (Pn)1 (1,PPnPNP五、參數(shù)估計（一）統(tǒng)計估計問題（一）統(tǒng)計估計問題（二）點估計（二）點估計（三）區(qū)間估計（三）區(qū)間估計（一）統(tǒng)計估計問題l 統(tǒng)計估計又叫抽樣估計，統(tǒng)計估計又叫抽樣估計，是指利用抽樣調(diào)查取得的樣本實際資料，采用一定的估計方法，去估計和推斷相應總體的分布（非參數(shù)估計非參數(shù)估計），或在已知總體分布情況下，去估計和推斷未知的指標（參數(shù)估計參

31、數(shù)估計）的一種統(tǒng)計分析方法。一種統(tǒng)計分析方法。l 由于總體指標是表明總體數(shù)量特征的參數(shù)，多數(shù)實際問題是需要掌握總體指標，因此抽樣估計多被稱為：參數(shù)估計參數(shù)估計。l 評價估計量的標準：無偏性、有效性、一致性評價估計量的標準：無偏性、有效性、一致性（二）點估計 如果總體隨機變量的分布函數(shù)已知，如果總體隨機變量的分布函數(shù)已知，但它的一個或多個參數(shù)未知，若從總體中但它的一個或多個參數(shù)未知，若從總體中抽取一組樣本觀察值，以該組數(shù)據(jù)來估計抽取一組樣本觀察值，以該組數(shù)據(jù)來估計總體參數(shù)，就稱為參數(shù)的點估計?？傮w參數(shù)，就稱為參數(shù)的點估計。 計算簡便直觀，一般不考慮抽樣誤差計算簡便直觀，一般不考慮抽樣誤差和可靠程

32、度，適用于對估計準確與可靠程和可靠程度，適用于對估計準確與可靠程度要求不高的情況。度要求不高的情況。 例例 某廠對所生產(chǎn)的電子元件抽取某廠對所生產(chǎn)的電子元件抽取5%5%進行抽樣進行抽樣調(diào)查，計算出樣本的平均耐用時間調(diào)查，計算出樣本的平均耐用時間=4340=4340小時，小時，樣本合格率樣本合格率=98%=98%。請估計該廠所生產(chǎn)的電子元。請估計該廠所生產(chǎn)的電子元件的平均耐用時間和合格率。件的平均耐用時間和合格率。 解：解：點估計法是用樣本指標直接作為總體指標的代表值，所以，全部電子元件的平均耐用時間即為4340小時；總體合格率為98%。（三）區(qū)間估計1.1.區(qū)間估計的概念區(qū)間估計的概念 根據(jù)樣

33、本統(tǒng)計量根據(jù)樣本統(tǒng)計量以一定的可靠程度去估計總體參數(shù)估計總體參數(shù)值所在的范圍或區(qū)間值所在的范圍或區(qū)間，是抽樣估計的主要方法。2.2.區(qū)間估計的置信度與精確度區(qū)間估計的置信度與精確度 （1 1）置信度）置信度：表示區(qū)間估計的可靠程度或把握程度區(qū)間估計的可靠程度或把握程度，也即所估計的區(qū)間包含總體參數(shù)真實值的可能性大小，一般以1- 表示。其中 表示顯著性水平，即某一小概率事件發(fā)生的臨界水平。 置信度通常采用三個標準： （1）顯著性水平=0.05，即1- =0.95 （2）顯著性水平=0.01，即1- =0.99 （3）顯著性水平=0.001，即1- =0.999 （2 2）抽樣估計的精確度）抽樣估

34、計的精確度：用置信區(qū)間的大小置信區(qū)間的大小即抽樣極抽樣極限限/ /允許誤差允許誤差來表示 （3 3）抽樣估計的置信度置信度與精確度的矛盾關系精確度的矛盾關系 在樣本容量和其他條件一定樣本容量和其他條件一定的情況下， 若希望抽樣估計有較高的可靠度較高的可靠度，則必須擴大置信區(qū)間，即必須降低估計的精確度必須降低估計的精確度； 若希望抽樣估計有較高的精確度較高的精確度，即置信區(qū)間范圍縮小，則必須降低估計的把握度必須降低估計的把握度。 即：抽樣估計要求的把握度越高，則抽樣允許誤差越大，抽樣估計要求的把握度越高，則抽樣允許誤差越大，精確度越低精確度越低；反之則相反反之則相反。 *思考：思考：在抽樣調(diào)查中

35、，如何同時提高抽樣估計的精確度和把握度？3.3.區(qū)間估計的應用：一個總體參數(shù)（區(qū)間估計的應用：一個總體參數(shù)（總體均值總體均值、總體比例總體比例、總體方差總體方差）的區(qū)間估計）的區(qū)間估計區(qū)間估計的應用區(qū)間估計的應用（一）總體均值的區(qū)間估計（一）總體均值的區(qū)間估計 1.總體方差已知時總體方差已知時 當 ， )時，來自該總體的簡單隨機樣本 的樣本均值服從數(shù)學期望為 、方差 為的正態(tài)分布，將樣本均值統(tǒng)計量 標準化，得到 統(tǒng)計量 根據(jù)區(qū)間估計的定義，在給定的顯著性水平 下，總體均值 在 1- 的置信度下的置信區(qū)間為： （ ， ），即 其中， 即抽樣平均誤差 ， 即抽樣允許誤差 ( NX2nxxx,212

36、x) 1 , 0(/NnxZZnZx2/nZx2/xxxx)(xnnZ2/x1.1.總體方差已知時總體均值的區(qū)間估計總體方差已知時總體均值的區(qū)間估計 例題應用例題應用 例例 某廠生產(chǎn)的零件長度服從正態(tài)分布，從該廠生產(chǎn)的零件中隨機抽取25件，測得它們的平均長度為30.2厘米。已知總體標準差 =0.45厘米。 要求：要求：（1）計算抽樣平均誤差和抽樣允許誤差 （2）估計零件平均長度的可能范圍（ =0.05） 已知已知： ， )， =30.2， =25， 1- =0.95，( NX245. 0 xn解題過程解題過程 （1）抽樣平均誤差 查標準正態(tài)分布表可知在 =0.05時， =1.96，所以，抽樣允

37、許誤差 （2）總體均值的置信區(qū)間為： （ ， ）= =（ ， ）= （30.02，30.38） 即我們可以以95%的概率保證該廠零件平均長度在30.02厘米到30.38厘米之間。 09. 02545. 0)(nx2/Z1764. 009. 096. 12/nZxnZx2/nZx2/),(xxxx1764. 02 .301764. 02 .30nZxNnxZ) 1 , 0(/2.2.總體方差未知時總體均值的區(qū)間估計總體方差未知時總體均值的區(qū)間估計*總體方差 未知，可以以樣本方差 代替，但新的統(tǒng)計量不服從標準正態(tài)分布，而是服從自由度為 -1的 分布 *給定置信度1- ，可查 分布表確定臨界值 從而

38、總體均值的置信區(qū)間為： （ ， ） 其中， 即為抽樣平均誤差 即為抽樣允許誤差上式也可表示為： 22Sntt) 1(2/ntnStxn 12/nStxn 12/)(1xnSnnStn 12/xxxxx例題應用例題應用 例例 從某市高中生中按不重復抽樣方法隨機抽取25名調(diào)查每周收看電視的時間，分組資料見表。 要求：要求：（1）計算抽樣平均誤差和抽樣允許誤差 （2）估計該市全體高中生每周平均看電視時間的置信區(qū)間（給定的顯著性水平為0.05）。解題過程（一）解題過程（一）已知：已知： =25， =0.05樣本均值 樣本方差 =4.16（1）查 分布表知 =0.05時，臨界值 = 2.0639，因此，

39、 抽樣平均誤差 抽樣允許誤差n)(5251987856321小時x2515)-(98)5-7(8)5-5(6)5-3(25)-(1222222s) 1(2/nt ) 125(025. 0t408.02516.4)(1nSxn842.0408.00639.212/nStnxt解題過程（二）解題過程（二）（2）總體均值置信度為95%的置信區(qū)間為：（ ， ） = =（5-0.842，5+0.842）=（4.16，5.84） 即我們可以以95%的把握保證該市高中生每周平均看電視時間在4.16到5.84小時之間。 nStxn12/nStxn12/),(xxxx（二）總體比例的區(qū)間估計（二）總體比例的區(qū)間

40、估計 *在大樣本下，樣本比例的分布趨近于均值為 、方差為 的正態(tài)分布。因此，給定置信度1- ，查正態(tài)分布 表得 ，則樣本比例的抽樣極限誤差為： 所以，總體比例的置信度為1- 的置信區(qū)間為： PnPP)1 ( 2/Z)(2/pZppppPp例題分析例題分析 例例 某廠對一批產(chǎn)成品按不重復抽樣方法隨機抽選200件進行質(zhì)量檢測，其中一等品160件，試以90%的概率估計一等品率的范圍。 已知已知： ，1- =90%， =200 查表知： =1.645 計算得樣本比例的抽樣平均誤差為： 抽樣極限誤差為： 所以，該批產(chǎn)品的一等品比例的置信區(qū)間為： 即這批產(chǎn)品的一等品率在75.35% 到84.66% 之間。

41、%80200160pn2/Z%83.2200%)801 (%80)1 ()(nppp%655. 4%83. 2645. 1)(2/pZp%655. 4%80%655. 4%80P（三）總體方差的區(qū)間估計（三）總體方差的區(qū)間估計 1.大樣本情況下，樣本標準差 的分布近似服從正態(tài)分布 ，所以，總體標準差 的置信度為1- 的置信區(qū)間近似為： （ ） 2.小樣本情況下，若總體呈正態(tài)分布且其均值和方差未知，則總體方差 的置信區(qū)間可由如下統(tǒng)計量的分布來確定： 總體方差的置信度為1- 的置信區(qū)間為： （ ， ） S)2/,(2nNnSZSnSZS2,22/2/)1()1(2222nSn)1()1(22/2n

42、Sn)1()1(22/12nSn2例題應用例題應用 例例 從某班學生中隨機抽取16人，計算得語文平均成績?yōu)?5分，方差為25分。假定學生成績服從正態(tài)分布，試求總體方差及標準差的置信區(qū)間（給定的顯著性水平為0.05）。 解解：已知 =25， =0.05，查 分布表確定兩個臨界值： = = 將臨界值數(shù)字帶入上述公式中，總體方差 和標準差的置信度為1- 的置信區(qū)間分別為： （ ， ），即為（13.64，59.89） （ ， ），即為（3.69，7.74） n2) 1(2/12n262. 6) 116(975. 02) 1(2/2n488.27) 116(025. 022488.2725)116(26

43、2.625)116(64.1389.59第二節(jié)第二節(jié) 假設檢驗假設檢驗 參數(shù)估計我們主要學習了在總體分布已知的情況下參數(shù)估計我們主要學習了在總體分布已知的情況下,如何根如何根據(jù)樣本去得到參數(shù)的優(yōu)良估計。但有時據(jù)樣本去得到參數(shù)的優(yōu)良估計。但有時,我們并不需要估計我們并不需要估計某個參數(shù)的具體值而只需驗證它是否滿足某個條件某個參數(shù)的具體值而只需驗證它是否滿足某個條件,這就是這就是統(tǒng)計假設檢驗問題。統(tǒng)計假設檢驗問題。假設檢驗是對總體的分布函數(shù)的形式假設檢驗是對總體的分布函數(shù)的形式或分布中某些參數(shù)做出某種假設或分布中某些參數(shù)做出某種假設, ,然后通過抽取樣本然后通過抽取樣本, ,構(gòu)造構(gòu)造適當?shù)慕y(tǒng)計量適

44、當?shù)慕y(tǒng)計量, ,對假設的正確性進行判斷的過程。對假設的正確性進行判斷的過程。非參數(shù)假設檢驗非參數(shù)假設檢驗總體分布未知時的總體分布未知時的假設檢驗問題假設檢驗問題參數(shù)假設檢驗參數(shù)假設檢驗總體分布已知，總體分布已知，檢驗關于未知參數(shù)檢驗關于未知參數(shù)的某個假設的某個假設引例引例一、假設檢驗的基本思想一、假設檢驗的基本思想二、假設檢驗中的兩類錯誤二、假設檢驗中的兩類錯誤三、三、 假設檢驗的方法步驟假設檢驗的方法步驟四、一個正態(tài)總體的假設檢驗四、一個正態(tài)總體的假設檢驗例：例：某工廠生產(chǎn)某工廠生產(chǎn)1010歐姆的電阻歐姆的電阻. .根據(jù)以往生產(chǎn)根據(jù)以往生產(chǎn)的電阻實際情況的電阻實際情況, ,可以認為其電阻值可

45、以認為其電阻值 X XN(N( , , 2 2),),標準差標準差=0.1=0.1?，F(xiàn)在隨機抽取。現(xiàn)在隨機抽取1010個電阻個電阻, ,測得它們的電阻值為測得它們的電阻值為: : 9.9, 10.1, 10.2, 9.7, 9.9, 9.9, 10, 9.9, 10.1, 10.2, 9.7, 9.9, 9.9, 10, 10.5, 10.1, 10.2. 10.5, 10.1, 10.2. 試問試問: :從這些樣本從這些樣本, ,我們能否認為該廠生我們能否認為該廠生產(chǎn)的電阻的平均值產(chǎn)的電阻的平均值 為為1010歐姆歐姆? ?引例引例u確定總體確定總體: :記X X為該廠生產(chǎn)的電阻的測量值。為

46、該廠生產(chǎn)的電阻的測量值。根據(jù)假設根據(jù)假設,X ,X N(N( , , 2 2),),這里這里 =0.1.=0.1.u明確任務明確任務: : 通過樣本推斷通過樣本推斷X X的均值的均值是否等是否等于于1010歐姆。歐姆。u假設假設: :上面的任務就是要通過樣本去檢驗上面的任務就是要通過樣本去檢驗“X X的均值的均值=10”=10”這樣一個假設是否成立。這樣一個假設是否成立。( (在數(shù)理統(tǒng)計中在數(shù)理統(tǒng)計中把把“X X的均值的均值=10”=10”這樣一個這樣一個待檢驗的假設記作待檢驗的假設記作“H H0 0:=10:=10”稱為稱為 “原假原假設設”或或 “零假設零假設”。這是個什么問題？這是個什么

47、問題？ 原假設的對立面是原假設的對立面是“X X的均值的均值10”10”記作記作“H H1 1:1010”稱為稱為“對立假設對立假設”或或“備擇假設備擇假設”. .把它們合寫在一起就是把它們合寫在一起就是: : H H0 0:=10 :=10 H H1 1:1010解決問題的思路分析解決問題的思路分析: 樣本均值是樣本均值是的一個良好估計的一個良好估計. . 如果如果=10,=10,即原假設成立時即原假設成立時, ,那么那么: :這里的問題是這里的問題是, ,我們?nèi)绾未_定常數(shù)我們?nèi)绾未_定常數(shù)K K呢呢合理的思路是找出一個界限合理的思路是找出一個界限K,K, 細致的分析細致的分析: : n=10

48、 n=10 =0.1=0.1) 1 , 0(/NnXZ設) 1 , 0(10/1 . 0NXZ于是于是, ,當原假設當原假設 H H0 0:=10 :=10 成立時成立時, ,有有: 為確定常數(shù)為確定常數(shù)K,K,現(xiàn)在我們考慮一個相當小的正現(xiàn)在我們考慮一個相當小的正數(shù)數(shù) , ,例如例如 =0.05.=0.05. 于是于是, ,當原假設當原假設 H H0 0:=10 :=10 成立時成立時, ,有有: :) 1 , 0(10/1 . 010NXZ2/10/1 . 010ZXP10/1 . 0102/ZXP062. 0101 . 096. 110/1 . 02/ZK取我們就拒絕原假設我們就拒絕原假設

49、 H H0 0:=10. :=10. 我們就接受原假設我們就接受原假設 H H0 0:=10.:=10. 現(xiàn)在我們就得到檢驗準則如下現(xiàn)在我們就得到檢驗準則如下: :時當062. 010 X時當062. 010 X062. 005. 010-05.10XX，因為：所以，從這些樣本中所以，從這些樣本中, ,我們可以認為該廠生我們可以認為該廠生產(chǎn)的電阻的平均值產(chǎn)的電阻的平均值 為為1010歐姆。歐姆。 例題的思路例題的思路符合人們的邏輯符合人們的邏輯, , 這種思維叫這種思維叫: : 帶概率性質(zhì)的反證法帶概率性質(zhì)的反證法u 帶概率性質(zhì)的反證法的邏輯是帶概率性質(zhì)的反證法的邏輯是: : 如果假設如果假設

50、H H0 0是正確是正確的的話話, ,出現(xiàn)一個出現(xiàn)一個概率很小概率很小的的事件事件, ,則以很大的把握否定假設則以很大的把握否定假設H H0 0。 通常的反證法設定一個假設以后通常的反證法設定一個假設以后, ,如果出現(xiàn)如果出現(xiàn)的事實與之矛盾的事實與之矛盾,(,(即如果這個假設是正確的即如果這個假設是正確的話話, ,出現(xiàn)一個概率等于出現(xiàn)一個概率等于0 0的事件的事件) )則絕對地否定假設。則絕對地否定假設。為了判斷用簡便方法測得的有害氣體含量是否有系統(tǒng)偏差，提出兩個相互對立的假設) 1 , 0(/0NnXZ檢驗法則的建立原則上依賴于小概率事件。其思想是先假設H0是正確的,在H0正確的假設下構(gòu)造一

51、個事件A,使A在H0正確的條件下發(fā)生的概率很小,即PA|H0很小,而一般認為“一個概率很小的事件在一次試驗中是幾乎不可能發(fā)生的”,進行一次試驗,若A竟然發(fā)生,則H0的正確性值得懷疑,因而決定拒絕原假設H0。一、一、 假設檢驗的基本思想假設檢驗的基本思想統(tǒng)計假設檢驗問題的一般提法是:在給定備擇假設H1下對原假設H0作出判斷,若拒絕原假設H0,則接受備擇假設,否則就接受原假設H0。 在H0對H1的檢驗問題中要作出某種判斷,必須從樣本(X1,X2,.,Xn)出發(fā)制定一個法則,一旦樣本觀察值(x1,x2,.,xn)確定,可利用所構(gòu)造的法則作出判斷:拒絕H0還是拒絕H1.這種法則稱為H0對H1的一個檢驗

52、法則,簡稱為一個檢驗法則,或一個檢驗. 檢驗法則本質(zhì)上就是把樣本空間劃分為兩個互不相交的子集C和C*,使得當樣本(X1,X2,.,Xn)的觀察值(x1,x2,.,xn)C時,將拒絕原假設H0,若(x1,x2,.,xn)C*,則接受原假設.這樣的劃分構(gòu)成一個準則,稱樣本空間的子集C為檢驗的臨界域(或拒絕域). 一類錯誤是,當H0為真時,因為盡管事件A|H0是小概率事件,但仍有可能發(fā)生,即樣本觀察值(x1,x2,.,xn)C時,按檢驗法則將拒絕原假設H0,這種錯誤稱為第一類錯誤。犯第一類錯誤的概率即為我們選定的小概率事件的概率PA|H0=,稱為犯第一類錯誤的概率或拒真概率。即 根據(jù)檢驗法則,若A發(fā)

53、生則拒絕H0,否則接受H0，這不免要犯兩類錯誤。二、假設檢驗中的兩類錯誤二、假設檢驗中的兩類錯誤P拒絕H0 |H0為真= PA|H0 =P(x1,x2,.,xn)C |H0為真 = 另一類錯誤是,當原假設H0不真,即H1為真時,A也有可能不發(fā)生,即樣本觀察值(x1,x2,.,xn)C*,按檢驗法則將接受原假設H0,這種錯誤稱為第二類錯誤.犯第二類錯誤的概率P|H1=,稱為犯第二類錯誤的概率或受偽概率.即P接受H0 |H1為真= P|H1 =P(x1,x2,.,xn)C* |H1為真 = 假設檢驗的兩類錯誤假設檢驗的兩類錯誤P拒絕拒絕H0|H0為真為真=P接受接受H0|H0不真不真= 犯兩類錯誤的概率犯兩類錯誤的概率: :顯著性水平顯著性水平 為犯第一類錯誤的概率為犯第一類錯誤的概率.H0為真為真實際情況實際情況決定決定拒絕拒絕H0接受接受H0H0不真不真第一類錯誤第一類錯誤正確