第3章運(yùn)動學(xué)基本知識

1、第一篇第一篇 理論力學(xué)理論力學(xué)第第3 3章章 運(yùn)動學(xué)基本知識運(yùn)動學(xué)基本知識 第第3章章 運(yùn)動學(xué)基本知識運(yùn)動學(xué)基本知識v本章以點(diǎn)和剛體為研究對象，學(xué)習(xí)點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)本章以點(diǎn)和剛體為研究對象，學(xué)習(xí)點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)和剛體的簡單運(yùn)動，為后續(xù)的點(diǎn)的合成運(yùn)動及和剛體的簡單運(yùn)動，為后續(xù)的點(diǎn)的合成運(yùn)動及剛體的平面運(yùn)動的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。剛體的平面運(yùn)動的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。3.1 點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)3.1.1矢量法矢量法v 在參考體上選一固定點(diǎn)在參考體上選一固定點(diǎn)O作為參考點(diǎn)，由點(diǎn)作為參考點(diǎn)，由點(diǎn)O向動點(diǎn)向動點(diǎn)M作矢徑作矢徑r，如，如圖圖3.1（a）所示，當(dāng)動點(diǎn)）所示，當(dāng)動點(diǎn)M運(yùn)動時(shí)，矢徑運(yùn)動時(shí)，矢徑r 大小和方向隨時(shí)間的變大小

2、和方向隨時(shí)間的變化而變化，矢徑化而變化，矢徑r是時(shí)間的單值連續(xù)函數(shù)，即是時(shí)間的單值連續(xù)函數(shù)，即 （3-1） 式（式（3-1）稱為動點(diǎn)矢量形式的運(yùn)動方程。）稱為動點(diǎn)矢量形式的運(yùn)動方程。v 當(dāng)動點(diǎn)當(dāng)動點(diǎn)M運(yùn)動時(shí)，矢徑運(yùn)動時(shí)，矢徑r端點(diǎn)所描出的曲線稱動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡或矢端點(diǎn)所描出的曲線稱動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡或矢徑端跡。徑端跡。圖圖3.1 點(diǎn)運(yùn)動的矢徑和速度的矢量表示點(diǎn)運(yùn)動的矢徑和速度的矢量表示)(trr OrOrv(a)(b)MMMABrrv 點(diǎn)的速度是描述點(diǎn)的運(yùn)動快慢和方向的物理量。點(diǎn)的速度是描述點(diǎn)的運(yùn)動快慢和方向的物理量。v 如圖如圖3.1（b）所示，）所示，t 瞬時(shí)動點(diǎn)瞬時(shí)動點(diǎn)M位于位于A點(diǎn)，矢徑為點(diǎn)

3、，矢徑為r，經(jīng)過時(shí)間，經(jīng)過時(shí)間間隔間隔 后的瞬時(shí)后的瞬時(shí) ，動點(diǎn)，動點(diǎn)M位于位于B點(diǎn)，矢徑為點(diǎn)，矢徑為 ，矢徑的變化為，矢徑的變化為 稱為動點(diǎn)稱為動點(diǎn)M經(jīng)過時(shí)間間隔經(jīng)過時(shí)間間隔 的位移，動點(diǎn)的位移，動點(diǎn)M經(jīng)過時(shí)間間經(jīng)過時(shí)間間隔隔 的平均速度，用的平均速度，用 表示，即表示，即 平均速度平均速度 與與 同向。同向。 平均速度的極限為點(diǎn)在平均速度的極限為點(diǎn)在t瞬時(shí)的速度，即瞬時(shí)的速度，即 式（式（3-2）稱為動點(diǎn)矢量形式的速度。點(diǎn)的速度等于動點(diǎn)的矢徑）稱為動點(diǎn)矢量形式的速度。點(diǎn)的速度等于動點(diǎn)的矢徑 對對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。它是矢量，其大小表示動點(diǎn)運(yùn)動的快慢，方向沿時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。它是矢量，其大小表示動

4、點(diǎn)運(yùn)動的快慢，方向沿軌跡曲線的切線，并指向前進(jìn)一側(cè)。速度單位是米軌跡曲線的切線，并指向前進(jìn)一側(cè)。速度單位是米/秒秒(m/s) 。ttrrrrttvtrvvrt0limdrdt vvv 與點(diǎn)的速度一樣，點(diǎn)的加速度是描述點(diǎn)的速度大小和方與點(diǎn)的速度一樣，點(diǎn)的加速度是描述點(diǎn)的速度大小和方向變化的物理量。即向變化的物理量。即 （3-3）v 式（式（3-3）中）中 為動點(diǎn)的平均加速度，為動點(diǎn)的平均加速度， 為動點(diǎn)在為動點(diǎn)在t 瞬瞬時(shí)的加速度。點(diǎn)的加速度等于動點(diǎn)的速度對時(shí)間的一階時(shí)的加速度。點(diǎn)的加速度等于動點(diǎn)的速度對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，也等于動點(diǎn)的矢徑對時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。它是矢量，導(dǎo)數(shù)，也等于動點(diǎn)的矢徑對時(shí)間的二

5、階導(dǎo)數(shù)。它是矢量，其大小表示速度的變化快慢，其方向沿速度矢端跡的切其大小表示速度的變化快慢，其方向沿速度矢端跡的切線，如圖線，如圖3.2a所示，恒指向軌跡曲線凹的一側(cè)，如圖所示，恒指向軌跡曲線凹的一側(cè)，如圖3.2b所示。加速度單位為米所示。加速度單位為米/秒秒2 (m/s2) 。220limdtddtdtrvaaaa圖圖3.2 速度矢端曲線及速度和加速度的關(guān)系速度矢端曲線及速度和加速度的關(guān)系v 為了方便書寫采用簡寫方法，即一階導(dǎo)數(shù)用字母上方加為了方便書寫采用簡寫方法，即一階導(dǎo)數(shù)用字母上方加“”，二階導(dǎo)數(shù)用字母上方加，二階導(dǎo)數(shù)用字母上方加“”表示，即上面的物理表示，即上面的物理量記為量記為 （3

6、-4）MOv(a)(b)速度矢端曲線運(yùn)動軌跡vvMMvMarvarv v 在固定點(diǎn)在固定點(diǎn)O建立直角坐標(biāo)系建立直角坐標(biāo)系oxyz，則動點(diǎn)則動點(diǎn)M的位置可用其直角坐的位置可用其直角坐標(biāo)標(biāo)x、y、z表示，如圖表示，如圖3.3所示。當(dāng)動點(diǎn)所示。當(dāng)動點(diǎn)M運(yùn)動時(shí)坐標(biāo)運(yùn)動時(shí)坐標(biāo)x、y、z是是時(shí)間時(shí)間t的單值連續(xù)函數(shù)，即有的單值連續(xù)函數(shù)，即有 (3-5) (3-6) 式式(3-6)稱為動點(diǎn)直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動方程。稱為動點(diǎn)直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動方程。圖圖3.3 動點(diǎn)的矢徑與直角坐標(biāo)的關(guān)系動點(diǎn)的矢徑與直角坐標(biāo)的關(guān)系 3.1.2 直角坐標(biāo)法直角坐標(biāo)法kjirzyx (t)fz(t)fy(t)fx321MOxyzkji

7、rxyz 由式由式(3-2)得動點(diǎn)的速度，其中得動點(diǎn)的速度，其中 i、j 、k是直角坐標(biāo)軸的單位常矢是直角坐標(biāo)軸的單位常矢量，則有量，則有 (3-7) 速度的解析形式為速度的解析形式為 (3-8) 比較式比較式(3-7)和式和式(3-8)得速度在直角坐標(biāo)軸上的投影為得速度在直角坐標(biāo)軸上的投影為 (3-9) 因此，速度在直角坐標(biāo)軸上的投影等于動點(diǎn)所對應(yīng)的坐標(biāo)對時(shí)間的因此，速度在直角坐標(biāo)軸上的投影等于動點(diǎn)所對應(yīng)的坐標(biāo)對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。一階導(dǎo)數(shù)。kjiv(t)z(t)y(t)xkjivzyxvvv(t)zdtdz=v(t)ydtdy=v(t)xdtdx=vzyx 若已知速度投影，則速度的大小和方向?yàn)?/p>

8、若已知速度投影，則速度的大小和方向?yàn)?(3-10) 同理，由式同理，由式(3-3)得動點(diǎn)的加速度為得動點(diǎn)的加速度為 (3-11) 加速度的解析形式加速度的解析形式 (3-12) 則加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影為則加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影為 (3-13)222zyxvvvv+=vv)cos(vv)cos(vv)cos(zyxkv,jv,iv,kjivazyxvvvdtdkjiazyxaaa(t)zvdtdva(t)yvdtdva(t)xvdtdvazzzyyyxxx v 加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影等于速度在同一坐標(biāo)軸上加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影等于速度在同一坐標(biāo)軸上的投影對時(shí)間一階導(dǎo)數(shù)，也等于動

9、點(diǎn)所對應(yīng)的坐標(biāo)對時(shí)的投影對時(shí)間一階導(dǎo)數(shù)，也等于動點(diǎn)所對應(yīng)的坐標(biāo)對時(shí)間二階導(dǎo)數(shù)。間二階導(dǎo)數(shù)。v 若已知加速度投影，則加速度的大小和方向?yàn)槿粢阎铀俣韧队埃瑒t加速度的大小和方向?yàn)?(3-14)v 求解點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)問題大體可分為兩類：第一類是已知動求解點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)問題大體可分為兩類：第一類是已知動點(diǎn)的運(yùn)動，求動點(diǎn)的速度和加速度，它是求導(dǎo)的過程；點(diǎn)的運(yùn)動，求動點(diǎn)的速度和加速度，它是求導(dǎo)的過程；第二類是已知動點(diǎn)的速度或加速度，求動點(diǎn)的運(yùn)動，它第二類是已知動點(diǎn)的速度或加速度，求動點(diǎn)的運(yùn)動，它是求解微分方程的過程。是求解微分方程的過程。222zyxaaaaaa)cos(aa)cos(aa)cos(zyxka,j

10、a,ia,v 例題例題3-1 曲柄連桿機(jī)構(gòu)如圖曲柄連桿機(jī)構(gòu)如圖3.4所示，設(shè)曲柄所示，設(shè)曲柄OA長為長為r，繞，繞O軸勻軸勻速轉(zhuǎn)動，曲柄與速轉(zhuǎn)動，曲柄與x軸的夾角為軸的夾角為 ，t為時(shí)間（秒為時(shí)間（秒s），連桿），連桿AB長為長為l，滑塊，滑塊B在水平的滑道上運(yùn)動，試求滑塊在水平的滑道上運(yùn)動，試求滑塊B的運(yùn)動方程，速度的運(yùn)動方程，速度和加速度。和加速度。圖圖3.4 tAxBOrlyv 解：建立直角坐標(biāo)系解：建立直角坐標(biāo)系oxy，滑塊，滑塊B的運(yùn)動方程為的運(yùn)動方程為 （1） 其中由幾何關(guān)系得其中由幾何關(guān)系得 則有則有 （2） 式（式（2）代入式（）代入式（1）得滑塊）得滑塊B的運(yùn)動方程的運(yùn)動方程

11、 （3） 對式（對式（2）求導(dǎo)得滑塊）求導(dǎo)得滑塊B的速度和加速度，即的速度和加速度，即22122)tsinlr(ltsinrtsinrxv2322222222)(1 42)(1 24tsinlrltsinlrtsinlrtcosrtcosrva21)sinlr(lcosrx2211)sinlr(sincossinlsinrcoslcosrxv 例題例題3-2如圖如圖3.5所示為液壓減震器簡圖，當(dāng)液壓減震器工作時(shí)，所示為液壓減震器簡圖，當(dāng)液壓減震器工作時(shí)，其活塞其活塞M在套筒內(nèi)作直線的往復(fù)運(yùn)動，設(shè)活塞在套筒內(nèi)作直線的往復(fù)運(yùn)動，設(shè)活塞M的加速度為的加速度為 ， v為活塞為活塞M的速度，的速度， k

12、為常數(shù)，初速度為為常數(shù)，初速度為 ，試求活塞，試求活塞M的速度和的速度和運(yùn)動方程。運(yùn)動方程。kvaovxMO圖圖3.53.5xv 解：因活塞解：因活塞M作直線的往復(fù)運(yùn)動，因此建立作直線的往復(fù)運(yùn)動，因此建立x軸表示活塞軸表示活塞M的運(yùn)動的運(yùn)動規(guī)律，如圖規(guī)律，如圖3.5所示?；钊尽；钊鸐的速度、加速度與的速度、加速度與x坐標(biāo)的關(guān)系為坐標(biāo)的關(guān)系為 代入已知條件，則有代入已知條件，則有 （1） 將式（將式（1）進(jìn)行變量分離，并積分）進(jìn)行變量分離，并積分 得得v 活塞活塞M的速度為的速度為 （2） 再對式（再對式（2）進(jìn)行變量分離，）進(jìn)行變量分離， 積分積分 得活塞得活塞M的運(yùn)動方的運(yùn)動方 程程 （

13、3）(t)xv=a dtdvkv tvvovdvdtk0ovvlnkt ktoevvdtevdxktodtevdxtktoxxo0)1 (ktooekvxx3.1.3自然法自然法v 實(shí)際工程中，例如運(yùn)行的列車是在已知的軌道上行駛，而列車的運(yùn)實(shí)際工程中，例如運(yùn)行的列車是在已知的軌道上行駛，而列車的運(yùn)行狀況也是沿其運(yùn)行的軌跡路線來確定的。這種沿已知軌跡路線來行狀況也是沿其運(yùn)行的軌跡路線來確定的。這種沿已知軌跡路線來確定動點(diǎn)的位置及運(yùn)動狀態(tài)的方法通常稱為確定動點(diǎn)的位置及運(yùn)動狀態(tài)的方法通常稱為自然法自然法。如圖。如圖3.6所示所示確定動點(diǎn)的位置應(yīng)在已知的軌跡曲線上選擇一個(gè)點(diǎn)確定動點(diǎn)的位置應(yīng)在已知的軌跡

14、曲線上選擇一個(gè)點(diǎn)O作為參考點(diǎn)，作為參考點(diǎn)，設(shè)定運(yùn)動的正負(fù)方向，由所選取參考點(diǎn)設(shè)定運(yùn)動的正負(fù)方向，由所選取參考點(diǎn)O量得量得OM的弧長的弧長s ，弧長，弧長s稱為稱為弧坐標(biāo)弧坐標(biāo)。當(dāng)動點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，弧坐標(biāo)。當(dāng)動點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，弧坐標(biāo)s隨時(shí)間而發(fā)生變化，即弧坐隨時(shí)間而發(fā)生變化，即弧坐標(biāo)標(biāo)s是時(shí)間是時(shí)間t的單值連續(xù)函數(shù)，即的單值連續(xù)函數(shù)，即 (3-14) 式式(3-14)稱為弧坐標(biāo)形式的運(yùn)動方程。稱為弧坐標(biāo)形式的運(yùn)動方程。圖圖3.6 動點(diǎn)的弧坐標(biāo)動點(diǎn)的弧坐標(biāo)f(t)s (-)(+)MOsv 為了學(xué)習(xí)速度和加速度，先學(xué)習(xí)隨動點(diǎn)運(yùn)動的動坐標(biāo)系為了學(xué)習(xí)速度和加速度，先學(xué)習(xí)隨動點(diǎn)運(yùn)動的動坐標(biāo)系自然軸自然軸系，如圖系，如

15、圖3.7所示。所示。圖圖3.7 動點(diǎn)運(yùn)動曲線切線的矢量關(guān)系動點(diǎn)運(yùn)動曲線切線的矢量關(guān)系 設(shè)在設(shè)在t瞬時(shí)動點(diǎn)在軌跡曲線上的瞬時(shí)動點(diǎn)在軌跡曲線上的M點(diǎn)，并在點(diǎn)，并在M點(diǎn)作其切線，沿其前進(jìn)的方向點(diǎn)作其切線，沿其前進(jìn)的方向給出單位矢量給出單位矢量，下一個(gè)瞬時(shí)，下一個(gè)瞬時(shí) 動點(diǎn)在動點(diǎn)在 點(diǎn)處，并沿其前進(jìn)的方向給出單點(diǎn)處，并沿其前進(jìn)的方向給出單位矢量位矢量 ，為描述曲線，為描述曲線M處的彎曲程度，引入曲率的概念，即單位矢量處的彎曲程度，引入曲率的概念，即單位矢量與與 夾角夾角 對弧長對弧長s的變化率，的變化率，k表示表示 M處的曲率半徑為處的曲率半徑為 (3-15)MdsdMtMsdd1 v 如圖如圖3.8

16、所示，在所示，在M點(diǎn)處作單位矢量點(diǎn)處作單位矢量 的平行線的平行線MA，單位矢量，單位矢量與與MA構(gòu)成一個(gè)平面構(gòu)成一個(gè)平面P，當(dāng)時(shí)間間隔，當(dāng)時(shí)間間隔 趨于零時(shí)，趨于零時(shí)，MA靠近單位矢靠近單位矢量量， 趨于趨于M點(diǎn)，平面點(diǎn)，平面P趨于極限平面趨于極限平面P0，此平面稱為密切平面，此平面稱為密切平面，過過M點(diǎn)作密切平面的垂直平面點(diǎn)作密切平面的垂直平面N，N稱為稱為M點(diǎn)的法平面。在密切平點(diǎn)的法平面。在密切平面與法平面的交線，取其單位矢量面與法平面的交線，取其單位矢量n，并恒指向軌跡曲線的曲率中，并恒指向軌跡曲線的曲率中心一側(cè)，心一側(cè)，n稱為稱為M點(diǎn)的主法線。按右手系生成點(diǎn)的主法線。按右手系生成M點(diǎn)處

17、的次法線點(diǎn)處的次法線b，使得使得 ，從而得到由，從而得到由b、 、n構(gòu)成的自然軸系。由于動點(diǎn)在構(gòu)成的自然軸系。由于動點(diǎn)在運(yùn)動，運(yùn)動，b、 、n的方向隨動點(diǎn)的運(yùn)動而變化，故的方向隨動點(diǎn)的運(yùn)動而變化，故b、 、n為動坐標(biāo)為動坐標(biāo)系。系。圖圖3.8 自然坐標(biāo)自然坐標(biāo)tMnbMNbAn法平面密切平面P0PM 由矢量法可知動點(diǎn)的速度大小為由矢量法可知動點(diǎn)的速度大小為 (3-16) 如圖如圖3.9所示，其中所示，其中 ， ， 定義為速度代數(shù)量，當(dāng)動定義為速度代數(shù)量，當(dāng)動 點(diǎn)沿軌跡曲線的正向運(yùn)動時(shí)，即點(diǎn)沿軌跡曲線的正向運(yùn)動時(shí)，即 0， 0，反之，反之 0， 0。 動點(diǎn)速度方向沿軌跡曲線切線，并指向前進(jìn)一側(cè)，

18、即點(diǎn)的速度的矢動點(diǎn)速度方向沿軌跡曲線切線，并指向前進(jìn)一側(cè)，即點(diǎn)的速度的矢量量 (3-17) 沿軌跡曲線切線的單位矢量，恒指向沿軌跡曲線切線的單位矢量，恒指向 0的方向。的方向。圖圖3.9 弧坐標(biāo)與矢徑的關(guān)系弧坐標(biāo)與矢徑的關(guān)系vtslimslimtsslimtlimdtdtstt0000rrrrv10Slimsrvtslimt0vvvssvvsrsMMvrrv 由矢量法可知動點(diǎn)的加速度為由矢量法可知動點(diǎn)的加速度為 (3-18)v 由由(3-18)式加速度應(yīng)分兩項(xiàng)，一項(xiàng)表示速度大小對時(shí)間變化率，式加速度應(yīng)分兩項(xiàng)，一項(xiàng)表示速度大小對時(shí)間變化率，用用 表示稱為表示稱為切向加速度切向加速度，其方向沿軌跡

19、曲線切線，當(dāng)，其方向沿軌跡曲線切線，當(dāng) 與與 同同號時(shí)動點(diǎn)作加速運(yùn)動，反之作減速運(yùn)動；另一項(xiàng)表示速度方向?qū)r(shí)號時(shí)動點(diǎn)作加速運(yùn)動，反之作減速運(yùn)動；另一項(xiàng)表示速度方向?qū)r(shí)間變化率，用間變化率，用 表示稱為表示稱為法向加速度法向加速度。 （1） 的大小的大小 （2） 的方向的方向 的方向如圖的方向如圖3.7所示，沿軌跡曲線的主法線，恒指向曲率中心所示，沿軌跡曲線的主法線，恒指向曲率中心一側(cè)。一側(cè)。dtdvdtdv)v(dtddtdva+=aavnadtdvtslimslimsinlimtsinlimtlimdtdtstt0000022212dtddtdv 則上面的式則上面的式(3-18)成為成為 (

20、3-19) 其中，其中， ， 。v 若將動點(diǎn)的全加速度若將動點(diǎn)的全加速度 向自然坐標(biāo)系向自然坐標(biāo)系 、n、b上投影，則有上投影，則有 (3-20) 其中其中 為次法向加速度。為次法向加速度。v 若已知動點(diǎn)的切向加速度若已知動點(diǎn)的切向加速度 和法向速度和法向速度 ，則動點(diǎn)的全加速度大，則動點(diǎn)的全加速度大小小 （3-21a ）anana+a)sv(dtsddtdva 或22van20222bnavadtsddtdvabaana22naaav 全加速度與法線間的夾角如圖全加速度與法線間的夾角如圖3.10所示。為所示。為（3-21b ）圖圖3.10 切向加速度與法向加速度切向加速度與法向加速度Mnaa

21、naaaanMvv(a)(b)naatanv 例題例題3-3飛輪邊緣上的點(diǎn)按飛輪邊緣上的點(diǎn)按 的規(guī)律運(yùn)動，飛輪的半徑的規(guī)律運(yùn)動，飛輪的半徑 。試求時(shí)間。試求時(shí)間 該點(diǎn)的速度和加速度。該點(diǎn)的速度和加速度。v 解：當(dāng)時(shí)間解：當(dāng)時(shí)間 時(shí)，飛輪邊緣上點(diǎn)的速度為時(shí)，飛輪邊緣上點(diǎn)的速度為 方向沿軌跡曲線的切線。方向沿軌跡曲線的切線。 飛輪邊緣上點(diǎn)的切向加速度為飛輪邊緣上點(diǎn)的切向加速度為 法向加速度為法向加速度為 飛輪邊緣上點(diǎn)的全加速度大小和方向?yàn)轱w輪邊緣上點(diǎn)的全加速度大小和方向?yàn)?全加速度與法線間的夾角全加速度與法線間的夾角 tsins44cm20rst10st10cm/s1134.tcosdtdsv22

22、cm/s38044.tsindtdva222cm/s364820113.van222cm/s448.aaan00780.aatanno.450v 例題例題3-4已知動點(diǎn)的運(yùn)動方程為已知動點(diǎn)的運(yùn)動方程為 式中式中x 、y 以以m計(jì)，計(jì)， t以以s計(jì)，試求計(jì)，試求 時(shí)動點(diǎn)的曲率半徑時(shí)動點(diǎn)的曲率半徑 。v 解：動點(diǎn)的速度和加速度在直角坐標(biāo)解：動點(diǎn)的速度和加速度在直角坐標(biāo)x、y、z上的投影為上的投影為v 動點(diǎn)的速度和全加速度的大小為動點(diǎn)的速度和全加速度的大小為tx201052 ty0t(m/s)20 xvx(m/s)10tyvy0 xxva)10(m/s2yyva2222410100400ttvvvy

23、x)10(m/s222yxaaa 在在 時(shí)，動點(diǎn)的切向加速度為時(shí)，動點(diǎn)的切向加速度為 法向加速度為法向加速度為 全加速度的大小為全加速度的大小為 時(shí)動點(diǎn)的曲率半徑為時(shí)動點(diǎn)的曲率半徑為0t04102ttvavan4002nnyxaaaaaa22220tm4010400400a3.2 剛體的基本運(yùn)動剛體的基本運(yùn)動v 在上一節(jié)的基礎(chǔ)上本節(jié)的研究對象是剛體，學(xué)習(xí)的內(nèi)容在上一節(jié)的基礎(chǔ)上本節(jié)的研究對象是剛體，學(xué)習(xí)的內(nèi)容是剛體的平行移動和定軸轉(zhuǎn)動，它構(gòu)成剛體的兩個(gè)基本是剛體的平行移動和定軸轉(zhuǎn)動，它構(gòu)成剛體的兩個(gè)基本運(yùn)動，也是研究剛體平面運(yùn)動的基礎(chǔ)。運(yùn)動，也是研究剛體平面運(yùn)動的基礎(chǔ)。v 3.2.1剛體的平行移

24、動剛體的平行移動v 工程實(shí)際中，如氣缸內(nèi)活塞的運(yùn)動，打樁機(jī)上樁錘的運(yùn)工程實(shí)際中，如氣缸內(nèi)活塞的運(yùn)動，打樁機(jī)上樁錘的運(yùn)動等等，其共同的運(yùn)動體點(diǎn)是在運(yùn)動過程中，剛體上任動等等，其共同的運(yùn)動體點(diǎn)是在運(yùn)動過程中，剛體上任意直線段始終與它初始位置相平行，剛體的這種運(yùn)動稱意直線段始終與它初始位置相平行，剛體的這種運(yùn)動稱為平行移動，簡稱平移。如圖為平行移動，簡稱平移。如圖3.11所示車輪的平行推所示車輪的平行推桿桿AB在運(yùn)動過程中始終與它初始位置相平行，因此推在運(yùn)動過程中始終與它初始位置相平行，因此推桿桿AB作平移。作平移。 圖圖3.11 剛體平移圖剛體平移圖 3.12 平移剛體上點(diǎn)的軌跡平移剛體上點(diǎn)的軌跡

25、v 確定平移剛體的位置和運(yùn)動狀況，只需研究剛體上任意直線段確定平移剛體的位置和運(yùn)動狀況，只需研究剛體上任意直線段AB，A、B兩點(diǎn)的矢徑為兩點(diǎn)的矢徑為 和和 ，A、B兩點(diǎn)間的有向線段兩點(diǎn)間的有向線段 之間的關(guān)之間的關(guān)系為系為 （3-22） 由平動定義知由平動定義知 為恒矢量，為恒矢量，A、B兩點(diǎn)的軌跡只相差兩點(diǎn)的軌跡只相差 的恒矢量，的恒矢量，即即A、B兩點(diǎn)的軌跡形狀相同。兩點(diǎn)的軌跡形狀相同。 式（式（3-22）對時(shí)間求導(dǎo)，得）對時(shí)間求導(dǎo)，得 （3-23） （3-24）1OAB2OOxyzABvABABAB1A2A2B1BrvaaABrrArBrABrABBArrrABrABrBAvvBAaav

26、 結(jié)論：結(jié)論：v （1）平移剛體上各點(diǎn)的軌跡形狀相同；）平移剛體上各點(diǎn)的軌跡形狀相同；v （2）在同一瞬時(shí)平移剛體上各點(diǎn)的速度相等，各點(diǎn)的）在同一瞬時(shí)平移剛體上各點(diǎn)的速度相等，各點(diǎn)的加速度相等。加速度相等。v 因此，剛體的平行移動可以轉(zhuǎn)化一點(diǎn)的運(yùn)動來研究，即因此，剛體的平行移動可以轉(zhuǎn)化一點(diǎn)的運(yùn)動來研究，即可按點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)問題來研究?？砂袋c(diǎn)的運(yùn)動學(xué)問題來研究。3.2.2剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動v 工程實(shí)際中繞固定轉(zhuǎn)動的物體很多，如飛論、電動機(jī)的轉(zhuǎn)子、卷揚(yáng)工程實(shí)際中繞固定轉(zhuǎn)動的物體很多，如飛論、電動機(jī)的轉(zhuǎn)子、卷揚(yáng)機(jī)的鼓輪、齒輪等均繞定軸轉(zhuǎn)動。這些剛體的運(yùn)動特點(diǎn)是：在運(yùn)動機(jī)的鼓輪、齒輪等均繞定軸轉(zhuǎn)

27、動。這些剛體的運(yùn)動特點(diǎn)是：在運(yùn)動過程中，剛體上存在一條不動的直線段，剛體的這種運(yùn)動稱為剛體過程中，剛體上存在一條不動的直線段，剛體的這種運(yùn)動稱為剛體的繞定軸轉(zhuǎn)動，簡稱轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動剛體的不動的直線段稱為剛體的轉(zhuǎn)的繞定軸轉(zhuǎn)動，簡稱轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動剛體的不動的直線段稱為剛體的轉(zhuǎn)軸。軸。v 1.轉(zhuǎn)動剛體的運(yùn)動方程轉(zhuǎn)動剛體的運(yùn)動方程 v 如圖如圖3.13所示，選定參考坐標(biāo)系所示，選定參考坐標(biāo)系，設(shè)，設(shè)z 軸與剛體的轉(zhuǎn)軸重合，軸與剛體的轉(zhuǎn)軸重合，過過z軸作一個(gè)不動的平面軸作一個(gè)不動的平面 （稱為靜平面），再作一個(gè)與剛體一起轉(zhuǎn)（稱為靜平面），再作一個(gè)與剛體一起轉(zhuǎn)動的平面動的平面 （稱為動平面），令靜平面（稱為動平面

28、），令靜平面 位于位于 面上，初始瞬時(shí)這面上，初始瞬時(shí)這兩個(gè)平面重合，當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動到兩個(gè)平面重合，當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動到 t 瞬時(shí)，兩個(gè)平面間的夾角為瞬時(shí)，兩個(gè)平面間的夾角為 ， 稱為剛體的轉(zhuǎn)角，用來描述轉(zhuǎn)動剛體的代數(shù)量。按照右手螺旋法稱為剛體的轉(zhuǎn)角，用來描述轉(zhuǎn)動剛體的代數(shù)量。按照右手螺旋法則規(guī)定轉(zhuǎn)角則規(guī)定轉(zhuǎn)角 的符號，其單位為弧度（的符號，其單位為弧度（ ）。）。oxyz0P0PoxzradPv 剛體定軸轉(zhuǎn)動時(shí)的運(yùn)動方程剛體定軸轉(zhuǎn)動時(shí)的運(yùn)動方程 （3-25） 是時(shí)間是時(shí)間 t 的單值連續(xù)函數(shù)。的單值連續(xù)函數(shù)。圖圖3.13 剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動f(t)f(t)zPP0 xyO v 角速度是描述剛體轉(zhuǎn)動

29、快慢的物理量，用角速度是描述剛體轉(zhuǎn)動快慢的物理量，用 表示，即轉(zhuǎn)表示，即轉(zhuǎn)角角 對時(shí)間對時(shí)間 的導(dǎo)數(shù)，的導(dǎo)數(shù)， （3-26）v 單位為弧度單位為弧度/秒（秒（ ），它是代數(shù)量。當(dāng)），它是代數(shù)量。當(dāng) 0， 0； 0， 0。v 角加速度是角速度角加速度是角速度 對時(shí)間對時(shí)間 的導(dǎo)數(shù)，用的導(dǎo)數(shù)，用 表示表示 （3-27）v 單位為弧度單位為弧度/秒秒2（ ），它是代數(shù)量。當(dāng)），它是代數(shù)量。當(dāng) 與與 同號時(shí)，同號時(shí)，剛體作加速轉(zhuǎn)動；當(dāng)剛體作加速轉(zhuǎn)動；當(dāng) 與與 異號時(shí)，剛體作減速轉(zhuǎn)動。式異號時(shí)，剛體作減速轉(zhuǎn)動。式（3-25）、（）、（3-26）、（）、（3-27）都是描述定軸轉(zhuǎn)動剛體整都是描述定軸轉(zhuǎn)動剛

30、體整體運(yùn)動的。體運(yùn)動的。t）或(dtdrad/st）（或 dtddtd222rad/sv 工程中常用轉(zhuǎn)速表示轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動快慢，即每分鐘轉(zhuǎn)工程中常用轉(zhuǎn)速表示轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動快慢，即每分鐘轉(zhuǎn)過的圈數(shù)，用過的圈數(shù)，用 表示，單位為轉(zhuǎn)表示，單位為轉(zhuǎn)/分（分（ ），角速度與），角速度與轉(zhuǎn)速的關(guān)系是轉(zhuǎn)速的關(guān)系是 （ ） （3-28）v 注意：轉(zhuǎn)動剛體的運(yùn)動微分關(guān)系與點(diǎn)的運(yùn)動微分關(guān)系有注意：轉(zhuǎn)動剛體的運(yùn)動微分關(guān)系與點(diǎn)的運(yùn)動微分關(guān)系有著相似之處，望初學(xué)者加以比較。著相似之處，望初學(xué)者加以比較。nr/min30602nnrad/sv 2.轉(zhuǎn)動剛體上各點(diǎn)的速度轉(zhuǎn)動剛體上各點(diǎn)的速度v 當(dāng)剛體作定軸轉(zhuǎn)動時(shí)，剛體上各點(diǎn)

31、均作圓周運(yùn)動，故在剛體上任選當(dāng)剛體作定軸轉(zhuǎn)動時(shí)，剛體上各點(diǎn)均作圓周運(yùn)動，故在剛體上任選一點(diǎn)一點(diǎn) M，設(shè)它到轉(zhuǎn)軸的距離為，設(shè)它到轉(zhuǎn)軸的距離為R ，如圖，如圖3.14所示，當(dāng)剛體轉(zhuǎn)過所示，當(dāng)剛體轉(zhuǎn)過 角時(shí)，點(diǎn)角時(shí)，點(diǎn) M的弧坐標(biāo)為的弧坐標(biāo)為 （3-29） 圖圖3.14 轉(zhuǎn)動剛體上各點(diǎn)的弧坐標(biāo)與轉(zhuǎn)角的關(guān)系轉(zhuǎn)動剛體上各點(diǎn)的弧坐標(biāo)與轉(zhuǎn)角的關(guān)系 圖圖3.15 轉(zhuǎn)動剛體的速度分布圖轉(zhuǎn)動剛體的速度分布圖v 式（式（3-29）對時(shí)間）對時(shí)間 t求導(dǎo)得點(diǎn)求導(dǎo)得點(diǎn)M的速度為的速度為 （3-30） 其速度分布如圖其速度分布如圖3.15所示。所示。Rs OMSM0(+)(-)vRvsRvsRvsRvsRvssvRv 3

32、.轉(zhuǎn)動剛體上各點(diǎn)的加速度轉(zhuǎn)動剛體上各點(diǎn)的加速度v 式（式（3-30）對時(shí)間）對時(shí)間 t 求導(dǎo)得點(diǎn)求導(dǎo)得點(diǎn)M的切向加速度為的切向加速度為 （3-31）v 點(diǎn)點(diǎn)M的法向加速度為的法向加速度為 （3-32） 則點(diǎn)則點(diǎn)M的全向加速度的大小和方向?yàn)榈娜蚣铀俣鹊拇笮『头较驗(yàn)?（3-33） （3-34） 其加速度分布如圖其加速度分布如圖3.16所示。所示。Rsa 222RR)R(Rvan4222222R)R()R(aaan2aatann 圖圖3.16 轉(zhuǎn)動剛體的加速度分布圖轉(zhuǎn)動剛體的加速度分布圖v 結(jié)論：結(jié)論：v （1）在同一瞬時(shí)，轉(zhuǎn)動剛體上各點(diǎn)的速度）在同一瞬時(shí)，轉(zhuǎn)動剛體上各點(diǎn)的速度 和加速度和加速度

33、的大小均的大小均與到轉(zhuǎn)軸的垂直距離與到轉(zhuǎn)軸的垂直距離 成正比；成正比；v （2）在同一瞬時(shí)，各點(diǎn)速度）在同一瞬時(shí)，各點(diǎn)速度 的方向垂直與到轉(zhuǎn)軸的距離的方向垂直與到轉(zhuǎn)軸的距離 ，各點(diǎn)加速度各點(diǎn)加速度 的方向與到轉(zhuǎn)軸的垂直距離的方向與到轉(zhuǎn)軸的垂直距離 的夾角的夾角 都相等。都相等。avvaaRRR v 例題例題3-5如圖如圖3.17所示，曲柄所示，曲柄OA繞繞O軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動 ，其轉(zhuǎn)動方程為，其轉(zhuǎn)動方程為 (rad)，BC桿繞桿繞C軸轉(zhuǎn)動，且桿軸轉(zhuǎn)動，且桿OA與桿與桿BC平行等長，平行等長，OA=BC=0.5m，試求當(dāng)，試求當(dāng) 時(shí)，直角桿時(shí)，直角桿ABD上上D點(diǎn)的速度和點(diǎn)的速度和加速度。加速度。圖圖

34、 3.17v 解：由于解：由于OA與與BC平行等長，則直角桿平行等長，則直角桿ABD作平移，因此由平移作平移，因此由平移的定義知：計(jì)算的定義知：計(jì)算D點(diǎn)的速度和加速度，只需計(jì)算點(diǎn)的速度和加速度，只需計(jì)算A點(diǎn)的速度和加速點(diǎn)的速度和加速度即可。度即可。24tst1ODCBA v 曲柄曲柄OA的角速度由式（的角速度由式（3-26）得）得 （rad/s）v 當(dāng)當(dāng) 時(shí)：時(shí)：v （1）直角桿）直角桿ABD上上D點(diǎn)的速度點(diǎn)的速度 由式（由式（3-30）得）得 （m/s） 方向垂直方向垂直O(jiān)A指向角速度方向。指向角速度方向。v （2）直角桿）直角桿ABD上上D點(diǎn)的加速度點(diǎn)的加速度 （m/s2） （m/s2）

35、（m/s2）v 其中其中 tdtd8st14850.OAR=v4850.OAR=a32850222.OAR=an32850222.OAR=an12508822.=aa=tanno.137v 例題例題3-6鼓輪鼓輪O軸轉(zhuǎn)動，其半徑為軸轉(zhuǎn)動，其半徑為 ，轉(zhuǎn)動方程為，轉(zhuǎn)動方程為 (rad)，如圖，如圖3-18所示。繩索纏繞在鼓輪上，繩索的另一端懸掛所示。繩索纏繞在鼓輪上，繩索的另一端懸掛重物重物A，試求當(dāng)，試求當(dāng) 時(shí)，輪緣上的點(diǎn)時(shí)，輪緣上的點(diǎn)M和重物和重物A的速度和加速度。的速度和加速度。圖圖 3.18v 解：鼓輪解：鼓輪O軸轉(zhuǎn)動的角速度由式（軸轉(zhuǎn)動的角速度由式（3-26）得）得（rad/s）v 鼓

36、輪鼓輪O軸轉(zhuǎn)動的角加速度由式（軸轉(zhuǎn)動的角加速度由式（3-27）得）得 （rad/s2）0.2mR 24tt 1tsOMRavd24dtt d2dt v 當(dāng)當(dāng) 時(shí)：時(shí)：v （1）點(diǎn)）點(diǎn)M的速度和加速度的速度和加速度 由式（由式（3-30）得）得（m/s） 方向垂直方向垂直 R指向角速度方向。指向角速度方向。v 切向加速度由式（切向加速度由式（3-31）得）得 （m/s2）v 法向加速度由式（法向加速度由式（3-32）得）得 （m/s2）v 全向加速度由式（全向加速度由式（3-33）得：）得： （m/s2）v 全向加速度與法線間的夾角由式（全向加速度與法線間的夾角由式（3-34）得）得v 其中其中

37、 。1ts=0.2 20.4MvRa=0.2 ( 2)0.4MR 22na=0.2 20.8MR2222=+=0.40.80.8944MMnMaaa222tan=0.52naa26.57ov （2）重物）重物A的速度和加速度的速度和加速度v 重物重物A的速度為的速度為 （m/s） 方向鉛錘向下。方向鉛錘向下。v 重物重物A的加速度為的加速度為 （m/s2） 與速度方向相反，作減速運(yùn)動。與速度方向相反，作減速運(yùn)動。= 0.4AMvva= 0.4AMa 圖圖 3.19v 例題例題3-7變速箱由四個(gè)齒輪構(gòu)成，如圖變速箱由四個(gè)齒輪構(gòu)成，如圖3.19所示。齒輪所示。齒輪和和安安裝在用一軸上，與軸一起運(yùn)動

38、，各齒輪的齒數(shù)分別為裝在用一軸上，與軸一起運(yùn)動，各齒輪的齒數(shù)分別為 、 、 和和 ，如主動軸，如主動軸的轉(zhuǎn)數(shù)的轉(zhuǎn)數(shù) (r/min)試求從動輪試求從動輪的轉(zhuǎn)數(shù)的轉(zhuǎn)數(shù) 。v 解：在機(jī)械中常用齒輪作為傳動部件，例如本題中變速箱，是由多解：在機(jī)械中常用齒輪作為傳動部件，例如本題中變速箱，是由多組齒輪構(gòu)成的，起到增速和減速的作用。在齒輪相互嚙合處其速度組齒輪構(gòu)成的，起到增速和減速的作用。在齒輪相互嚙合處其速度應(yīng)相等。如本例中的主動輪應(yīng)相等。如本例中的主動輪和從動輪和從動輪，設(shè)其角速度分別為，設(shè)其角速度分別為 、 ，齒輪的半徑分別為，齒輪的半徑分別為 和和 ，即，即 （1）IIIIVIIIn1136z 2

39、112z 332z 4128z 11450n 121r1 122rr2rv 定義齒輪的傳動比定義齒輪的傳動比 等于主動輪的角速度與從動輪角速度的比。等于主動輪的角速度與從動輪角速度的比。v 由式（由式（1）有）有 （2）v 由于齒輪嚙合時(shí)齒距必須相等，而齒距等于齒輪節(jié)圓周長與齒輪齒由于齒輪嚙合時(shí)齒距必須相等，而齒距等于齒輪節(jié)圓周長與齒輪齒數(shù)的比。若設(shè)齒輪齒數(shù)分別為數(shù)的比。若設(shè)齒輪齒數(shù)分別為 、 ，則有，則有 （3）v 從而由式（從而由式（2）和由式（）和由式（3）得）得v 即齒輪傳遞時(shí)，兩個(gè)齒輪角速度的比等于兩個(gè)齒輪半徑的反比，或即齒輪傳遞時(shí)，兩個(gè)齒輪角速度的比等于兩個(gè)齒輪半徑的反比，或等于兩

40、個(gè)齒輪齒數(shù)的反比。等于兩個(gè)齒輪齒數(shù)的反比。 （4） 121221rir1z2z121222rrzz12212211rzirzv 由上面公式解本題。設(shè)四個(gè)輪的轉(zhuǎn)數(shù)分別為由上面公式解本題。設(shè)四個(gè)輪的轉(zhuǎn)數(shù)分別為 、 、 、 ，且有，且有v 將兩式相乘得將兩式相乘得v 解得從動輪解得從動輪的轉(zhuǎn)數(shù)的轉(zhuǎn)數(shù) 為為 （r/min）1n2n3n4n121221nzinz343443nzinz1241441 3nz zinz z23nn4n1 3412436 321450117112 128z znnz zv 在機(jī)械中還有皮帶輪傳動，如圖在機(jī)械中還有皮帶輪傳動，如圖3.20所示。如不考慮皮帶的厚所示。如不考慮皮帶

41、的厚度，并假設(shè)皮帶與輪無相對滑動，設(shè)輪度，并假設(shè)皮帶與輪無相對滑動，設(shè)輪和輪和輪的角速度分別為的角速度分別為 、 ，半徑分別為，半徑分別為 和和 ，即，即圖圖3.20 （5）v 皮帶輪的傳動比皮帶輪的傳動比 為為 （6）v 即皮帶輪的傳遞時(shí)，即皮帶輪的傳遞時(shí)，兩個(gè)皮帶輪角速度的比等于兩個(gè)皮帶輪半徑的兩個(gè)皮帶輪角速度的比等于兩個(gè)皮帶輪半徑的反比。反比。121r2rIIIv2v1r1r2121 122rr12i121221rir3.3 本章小結(jié)本章小結(jié) v 1. 點(diǎn)運(yùn)動的點(diǎn)運(yùn)動的矢量法矢量法v 動點(diǎn)矢量形式的運(yùn)動方程：動點(diǎn)矢量形式的運(yùn)動方程： v 動點(diǎn)的速度：動點(diǎn)的速度： v 動點(diǎn)的加速度：動點(diǎn)的

42、加速度： v 簡寫形式：簡寫形式： v 2. 點(diǎn)運(yùn)動的點(diǎn)運(yùn)動的直角坐標(biāo)法直角坐標(biāo)法v 動點(diǎn)直角坐標(biāo)形式的的運(yùn)動方程：動點(diǎn)直角坐標(biāo)形式的的運(yùn)動方程： v 動點(diǎn)的速度：動點(diǎn)的速度：v 動點(diǎn)的速度在直角坐標(biāo)軸上的投影：動點(diǎn)的速度在直角坐標(biāo)軸上的投影： (t)rrddtrv22dddtdtvra(t)rrvravr(t)fz(t)fy(t)fx321xyzvvvvijkxyzv =x(t)v =(t)v =(t)dxdtdyydtdzzdtv 動點(diǎn)的加速度：動點(diǎn)的加速度： v 動點(diǎn)的加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影：動點(diǎn)的加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影：v 3. 點(diǎn)運(yùn)動的點(diǎn)運(yùn)動的自然法自然法v 弧坐標(biāo)形式的運(yùn)動

43、方程：弧坐標(biāo)形式的運(yùn)動方程： v 自然軸系：由軌跡曲線切線的單位矢量自然軸系：由軌跡曲線切線的單位矢量 、主法線的單位矢量、主法線的單位矢量 和次和次法線的單位矢量法線的單位矢量 構(gòu)成，滿足右手螺旋關(guān)系。即構(gòu)成，滿足右手螺旋關(guān)系。即v 速度：速度： v 速度的大?。核俣鹊拇笮。?v 加速度：加速度： v 切向加速度：切向加速度： v 法向加速度：法向加速度： v 次法向加速度：次法向加速度： v v v 4常見的幾種點(diǎn)的運(yùn)動常見的幾種點(diǎn)的運(yùn)動v 勻變速曲線運(yùn)動勻變速曲線運(yùn)動v 勻速曲線運(yùn)動勻速曲線運(yùn)動xyzaaaaijkxxyyzzavx(t)avy(t)avz(t)xyzdvdtdvdtdv

44、dtf(t)s b nvvdsvsdt na+abaanb22dvd sadtdt2nva0ba v 4 4常見的幾種點(diǎn)的運(yùn)動常見的幾種點(diǎn)的運(yùn)動勻變速曲線運(yùn)動勻變速曲線運(yùn)動勻速曲線運(yùn)動勻速曲線運(yùn)動直線運(yùn)動直線運(yùn)動切向加速度切向加速度： =恒量恒量 （1）積分積分： （2）再再積分：積分： （3）（2）、（）、（3）消去）消去時(shí)間時(shí)間 t 得得 （4）法向加速度：法向加速度：速度速度： 恒量恒量 （5）切向加速度切向加速度： 積分積分： （6）全全加速度：加速度：曲率半徑曲率半徑： 法向加速度法向加速度： 全加速度：全加速度：22dtsd=dtdv=atavvo2ootatvss21t)ss(a

45、vvoo222+=van2v0atvssoovaan20naaa v 5 5剛體的平行移動（簡稱平動）剛體的平行移動（簡稱平動）v 平行移動：在運(yùn)動過程中，剛體上任意直線段始終與它初始位置相平行移動：在運(yùn)動過程中，剛體上任意直線段始終與它初始位置相平行。平行。 （1）平移剛體上各點(diǎn)的軌跡形狀相同；）平移剛體上各點(diǎn)的軌跡形狀相同； （2）在同一瞬時(shí)，平移剛體上各點(diǎn)的速度相等，各點(diǎn)的加速度相）在同一瞬時(shí)，平移剛體上各點(diǎn)的速度相等，各點(diǎn)的加速度相等。等。 因此，剛體的平行移動可以轉(zhuǎn)化一點(diǎn)的運(yùn)動來研究，即點(diǎn)的運(yùn)動因此，剛體的平行移動可以轉(zhuǎn)化一點(diǎn)的運(yùn)動來研究，即點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)。學(xué)。v 6 6剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛

46、體的定軸轉(zhuǎn)動v 剛體的定軸轉(zhuǎn)動：在運(yùn)動過程中，剛體上存在一條不動的直線段。剛體的定軸轉(zhuǎn)動：在運(yùn)動過程中，剛體上存在一條不動的直線段。 v 剛體定軸轉(zhuǎn)動的運(yùn)動方程：剛體定軸轉(zhuǎn)動的運(yùn)動方程： （ ）v 角速度：角速度： （ ）v 角加速度：角加速度： （ ）f(t)radradradd(dt 或）22dddtdt（或）v 工程中轉(zhuǎn)速工程中轉(zhuǎn)速 ：單位為轉(zhuǎn)：單位為轉(zhuǎn)/分（分（ ），轉(zhuǎn)速與角速度的關(guān)系：），轉(zhuǎn)速與角速度的關(guān)系：（ ） v 轉(zhuǎn)動剛體上各點(diǎn)的速度和加速度：轉(zhuǎn)動剛體上各點(diǎn)的速度和加速度：v 速度：速度： v 切向加速度：切向加速度： v 法向加速度：法向加速度： v 全向加速度：全向加速度：

47、 v 全向加速度與法線間的夾角：全向加速度與法線間的夾角： nr/min26030nnrad/s=vRa =R2na =R2224=+= +naaaR2tan=naav 7. 7.轉(zhuǎn)動剛體的運(yùn)動微分關(guān)系與點(diǎn)的運(yùn)動微分關(guān)系的對應(yīng)關(guān)系：轉(zhuǎn)動剛體的運(yùn)動微分關(guān)系與點(diǎn)的運(yùn)動微分關(guān)系的對應(yīng)關(guān)系：運(yùn)動特征點(diǎn)作曲線運(yùn)動剛體作定軸轉(zhuǎn)動勻速運(yùn)動 恒量 恒量勻變速運(yùn)動一般運(yùn)動vtv+sso=t+=o22dtsd=dtdv=atavvo2ootatvss21)ss(a+v=voo22222dtd=dtd=t+=o221tt+=oo)(+=o22o2)t(f=ss=vs=a )t(f= 3.4 習(xí)習(xí) 題題v 3-1 .

48、如圖所示的平面機(jī)構(gòu)中，曲柄如圖所示的平面機(jī)構(gòu)中，曲柄OC以角速度以角速度 繞繞O軸轉(zhuǎn)動，圖軸轉(zhuǎn)動，圖示瞬時(shí)與水平線夾角示瞬時(shí)與水平線夾角 ，A、B滑塊分別在水平滑道和豎直滑滑塊分別在水平滑道和豎直滑道內(nèi)運(yùn)動，試求道內(nèi)運(yùn)動，試求AC中點(diǎn)中點(diǎn)M的運(yùn)動方程、速度和加速度。的運(yùn)動方程、速度和加速度。v 3-2.如圖所示桿如圖所示桿AB長為長為l，以角速度，以角速度 繞點(diǎn)繞點(diǎn)B轉(zhuǎn)動，其轉(zhuǎn)動方程為轉(zhuǎn)動，其轉(zhuǎn)動方程為 。與桿相連的滑塊。與桿相連的滑塊B按規(guī)律按規(guī)律 沿水平線作往復(fù)的沿水平線作往復(fù)的運(yùn)動，其中運(yùn)動，其中 、a、b均為常數(shù)，試求點(diǎn)均為常數(shù)，試求點(diǎn)A的軌跡。的軌跡。 習(xí)題習(xí)題3-1圖圖 習(xí)題習(xí)題3

49、-2圖圖ttsinsabt題5-21圖CBALLL/2L/2MxyO題5-22圖ySBxAOv 3-3.如圖所示，跨過滑輪如圖所示，跨過滑輪C的繩子一端掛有重物的繩子一端掛有重物B，另一端，另一端A被人被人拉著沿水平方向運(yùn)動，其速度拉著沿水平方向運(yùn)動，其速度 ，而點(diǎn)，而點(diǎn)A到地面的距離保持到地面的距離保持常量常量 。如滑輪離地面的高度。如滑輪離地面的高度 ，滑輪的半徑忽略不，滑輪的半徑忽略不計(jì)，當(dāng)運(yùn)動開始時(shí)，重物在地面上的計(jì)，當(dāng)運(yùn)動開始時(shí)，重物在地面上的D處，繩子處，繩子AC段在鉛直位置段在鉛直位置EC處，試求重物處，試求重物B上升的運(yùn)動方程和速度，以及重物上升的運(yùn)動方程和速度，以及重物B到達(dá)

50、滑輪處到達(dá)滑輪處所需的時(shí)間。所需的時(shí)間。v 3-4.桿桿AB以等角速度以等角速度 繞點(diǎn)繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動，并帶動套在水平桿轉(zhuǎn)動，并帶動套在水平桿OC上的小上的小環(huán)環(huán)M運(yùn)動，當(dāng)運(yùn)動開始時(shí)，桿運(yùn)動，當(dāng)運(yùn)動開始時(shí)，桿AB在鉛直位置，設(shè)在鉛直位置，設(shè)OA=h，試求：，試求： （1）小環(huán)）小環(huán)M沿桿沿桿OC滑動的速度；滑動的速度； （2）小環(huán)）小環(huán)M相對于桿相對于桿AB運(yùn)動的速度。運(yùn)動的速度。 習(xí)題習(xí)題3-3圖圖 習(xí)題習(xí)題3-4圖圖1m/sov 1mh 9mH H題5-23圖vhEA0DBC題5-24圖OAhCBMv 3-5.如圖所示，搖桿機(jī)構(gòu)的滑桿如圖所示，搖桿機(jī)構(gòu)的滑桿AB以等速度以等速度u向上運(yùn)動，搖桿向

51、上運(yùn)動，搖桿OC的長為的長為a，OD=l初始時(shí)，搖桿初始時(shí)，搖桿OC位于水平位置，試建立搖桿位于水平位置，試建立搖桿OC上點(diǎn)上點(diǎn)C的運(yùn)動方程，并求當(dāng)?shù)倪\(yùn)動方程，并求當(dāng) ，點(diǎn)，點(diǎn)C的速度。的速度。 習(xí)題習(xí)題3-5圖圖4題5-25圖xyalOUDACBv 3-6.如圖所示，偏心凸輪半徑為如圖所示，偏心凸輪半徑為R，繞，繞O軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動 ，轉(zhuǎn)角，轉(zhuǎn)角 ， 為常量，偏心距為常量，偏心距 ，凸輪帶動頂桿，凸輪帶動頂桿AB沿直線作往復(fù)運(yùn)動，試沿直線作往復(fù)運(yùn)動，試求頂桿的運(yùn)動方程和速度。求頂桿的運(yùn)動方程和速度。 習(xí)題習(xí)題3-6圖圖 習(xí)題習(xí)題3-9圖圖tOCe題5-27圖ORCABO(-)(+)R2R1BAS

52、圖5-30v 3-7.已知點(diǎn)的運(yùn)動方程，試求動點(diǎn)自然法的運(yùn)動方程。已知點(diǎn)的運(yùn)動方程，試求動點(diǎn)自然法的運(yùn)動方程。 （1） ； （2） v 3-8.列車在半徑為列車在半徑為 的圓弧軌道作勻減速行駛，設(shè)初速度的圓弧軌道作勻減速行駛，設(shè)初速度 ，末速度，末速度 ，走過的路程，走過的路程 ，試求列車在，試求列車在這段路程的起點(diǎn)和終點(diǎn)時(shí)的加速度，以及列車在這段路程中所經(jīng)歷這段路程的起點(diǎn)和終點(diǎn)時(shí)的加速度，以及列車在這段路程中所經(jīng)歷的時(shí)間。的時(shí)間。v 3-9.動點(diǎn)動點(diǎn)M沿曲線沿曲線OA和和OB兩段圓弧運(yùn)動，其圓弧的半徑分別為兩段圓弧運(yùn)動，其圓弧的半徑分別為 和和 ，以兩段圓弧的連接點(diǎn)為弧坐標(biāo)的坐標(biāo)原點(diǎn)，以兩段圓弧的連接點(diǎn)為弧坐標(biāo)的坐標(biāo)原點(diǎn)O，如圖所示。已知動點(diǎn)的運(yùn)動方程為如圖所示。已知動點(diǎn)的運(yùn)動方程為 ， s以米（以米（m）計(jì)、）計(jì)、t以秒（以秒（s）計(jì)，試求：）計(jì)，試求： （1）動點(diǎn)）動點(diǎn)M由由 運(yùn)動到運(yùn)動到 所經(jīng)走的路程；所經(jīng)走的路程； （2） 時(shí)的加速度。時(shí)的加速度。24cosxt23sinyt2xt2yt800mr 54km/hov 18km/hv 800ms 11