積分變換第1-2節(jié)

1、積分變換積分變換第一章 Fourier變換 1.1 Fourier積分 但全直線上的非周期函數(shù)沒有但全直線上的非周期函數(shù)沒有FourierFourier級級 數(shù)表示；數(shù)表示； 引進類似于引進類似于FourierFourier級數(shù)的級數(shù)的FourierFourier積積分分 ( (周期趨于無窮時的極限形式周期趨于無窮時的極限形式) )復習復習: : 周期函數(shù)在一定條件下可以展開為周期函數(shù)在一定條件下可以展開為 FourierFourier級數(shù)級數(shù)；最常用的一種周期函數(shù)是三角函數(shù)最常用的一種周期函數(shù)是三角函數(shù)fT(t)=Asin(wt+j), 其中其中w=2p/T研究周期函數(shù)研究周期函數(shù) fT(t

2、) ,如果在區(qū)間如果在區(qū)間-T/2,T/2上滿足上滿足狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)條件條件:1. 連續(xù)或只有有限個第一類間斷點連續(xù)或只有有限個第一類間斷點;2.只有有限個極值點只有有限個極值點.那么在區(qū)間那么在區(qū)間-T/2,T/2上就可以展成上就可以展成Fourier級數(shù)級數(shù).t由高數(shù)可知由高數(shù)可知, , 任何滿足狄氏條件的周期函數(shù)任何滿足狄氏條件的周期函數(shù)fT(t), 可表示為三角級數(shù)的形式如下可表示為三角級數(shù)的形式如下:22010( )(cossin) (1.1)2( )2dTTTnnnTafttTaftan tbn twwww- - 其中222( )cosdTTnTaftn t

3、tTw w- - 222( )sindTTnTbftn ttTw w- - 1.2 Fourier變換變換1. Fourier變換的概念變換的概念我們知道我們知道, , 若函數(shù)若函數(shù)f(t)滿足傅氏積分定理的條件滿足傅氏積分定理的條件, , 則在則在f(t)的連續(xù)點處的連續(xù)點處, , 有有jj1( )( )eded(1.7)2tf tfwwwwwwp p- - (1.8)式叫做式叫做f(t)的的Fourier變換式變換式, , (1.9)式為式為F(w w)的的Fourier逆變換式逆變換式, , f(t)與與F(w w)可相互轉(zhuǎn)換可相互轉(zhuǎn)換, ,可記為可記為F(w w)= f(t) 和和 f

4、(t)= -1F(w w)jj1( )( )( )ed( )ed(1.9)21.8)ttfFFf tttw ww wwwwww wp p- - - - - 設(shè)設(shè)則則還可以將還可以將f(t)放在左端放在左端, , F(w w)放在右端放在右端, , 中間用雙中間用雙向箭頭連接向箭頭連接: : f(t) F(w w) (1.8)式右端的積分運算式右端的積分運算, , 叫做叫做f(t)的的Fourier變換變換, , 同樣同樣, (1.9)式右端的積分運算式右端的積分運算, , 叫做叫做F(w w)的的Fourier逆變換逆變換. . F(w w)稱作稱作f(t)的的象函數(shù)象函數(shù), f(t)稱作稱作

5、F(w w)的的象原函數(shù)象原函數(shù).可以說象函數(shù)可以說象函數(shù)F(w w)和象原函數(shù)和象原函數(shù)f(t)構(gòu)成了一個構(gòu)成了一個Fourier變換對變換對. .wpwwdedeftjj-)(21傅氏積分定理傅氏積分定理 若若f(t)在在(- - , + )上滿足條件上滿足條件: : 1. f(t)在任一有限區(qū)間上滿足狄氏條件在任一有限區(qū)間上滿足狄氏條件; 2.f(t)在無限區(qū)間在無限區(qū)間(- - , + )上絕對可積上絕對可積, , 則有則有(,)|( )|df tt- - 在在絕絕對對可可積積是是指指的的收收斂斂. . 為連續(xù)點為連續(xù)點 為間斷點為間斷點( )(0)(0)2f ttf tf tt-0,

6、02( )e,00.( ).ttf ttf t - - FourierFourier, , ,求求函函數(shù)數(shù)的的變變換換及及其其積積分分表表達達式式 其其中中這這個個叫叫做做指指數(shù)數(shù)衰衰減減函函數(shù)數(shù) 是是工工程程技技術(shù)術(shù)中中常常碰碰到到的的一一個個函函數(shù)數(shù)例例tf(t)根據(jù)根據(jù)(1.8)式式, , 有有j0eedtttww- (j)0edttww- 這就是指數(shù)衰減函數(shù)的這就是指數(shù)衰減函數(shù)的Fourier變換變換.221jjwwwwww- -= ( )Fw( )f t( )j tf t edtw w - - - 根據(jù)根據(jù)(1.9)式式, 有有j221jed2tw wwww wpwpw- - 220

7、1cossindttwwwwwww wpwpw 22000cossind/20e0tttttt wwwwwwwpwpwwp p- - 因因此此( )f t= 1( )Fw-1( )2j tFedw wwwwwp p- 問題的提出 定定義義于于 ，而而不不必必考考慮慮時時取取值值的的函函數(shù)數(shù)；絕絕對對可可積積的的條條件件太太強強。許許多多簡簡單單函函數(shù)數(shù)的的傅傅氏氏變變換換或或者者不不存存在在，或或者者為為非非常常義義下下的的廣廣義義函函數(shù)數(shù)給給應應用用帶帶來來很很大大的的不不方方便便。(1)0),0(2)t 對于任意一個函數(shù)),(tj使其進行Fourier變換時克服上述兩個缺點？能否經(jīng)過適當?shù)?/p>

8、改造 因此因此, , 幾乎所有的實用函數(shù)幾乎所有的實用函數(shù)j j(t)乘上乘上u(t)再乘再乘上上e- t后得到的后得到的j j( (t) )u(t)e- t傅氏變換都存在傅氏變換都存在. . 首先將首先將j j(t) 乘上乘上u(t), 這樣這樣t小于零的部分的小于零的部分的函數(shù)值就都等于函數(shù)值就都等于0了了. 而大家知道在各種函數(shù)中而大家知道在各種函數(shù)中, , 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)e t ( 0)的上升速度是很快的了的上升速度是很快的了, , 因而因而e- t下降的速度也下降的速度也是很快的是很快的. .tf (t)Otf (t)u(t)e- - tO對對函數(shù)函數(shù)j j(t)u(t)e- -

9、t( 0)取傅氏變換取傅氏變換, , 可得可得j( )( ) ( )eedttGt u ttww wjwj- (j)00( )ed( )edtstf ttf ttww-其其中中j,( )( ) ( )sf tt u twjwj若若再再設(shè)設(shè)( )jsF sG - - 則則得得0( )( )edstF sf tt- - 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(t)當當t 0時有定義時有定義, , 而且積分而且積分是是一一個個復復參參量量0( )ed()stf tts- - 0( )( )ed(2.1)stF sf tt- - 在在s的某一域內(nèi)收斂的某一域內(nèi)收斂, , 則由此積分所確定的函數(shù)可寫則由此積分所確定的

10、函數(shù)可寫為為稱此式為函數(shù)稱此式為函數(shù)f(t)的的Laplace變換式變換式( (簡稱拉氏變換式簡稱拉氏變換式), ), 記為記為F(s)= f(t)F(s)稱為稱為f(t)的的Laplace變換變換( (或稱為或稱為象函數(shù)象函數(shù)). ). 而而f(t)稱為稱為F(s)的的Laplace逆變換逆變換( (或或象原函數(shù)象原函數(shù)) )記為記為f(t)= - -1F(s)注注：的的變變換換，實實際際上上就就是是的的變變換換。( )(0)( ) ( )tf t tLaplacef t u t eFourier - - 例例1 1 求單位階躍函數(shù)求單位階躍函數(shù)的的變變換換00( )10tu tLaplac

11、et . .0 ( )edstu tt- - 解解: : 根據(jù)拉氏變換的定義根據(jù)拉氏變換的定義, , 有有這個積分在這個積分在Re(s)0時收斂時收斂, , 而且有而且有011ede.0ststtss- - - 1 ( )(Re( )0)u tss ( ( ) )1u ts所以例例2 2 求指數(shù)函數(shù)求指數(shù)函數(shù)f(t)=ekt的拉氏變換的拉氏變換(k為實數(shù)為實數(shù)).根據(jù)根據(jù)(2.1)式式, , 有有()00 ( )e ededktsts k tf ttt-()011e(Re( ).s k tsksksk-其實其實k為復數(shù)時上式也成立為復數(shù)時上式也成立, , 只是收斂區(qū)間為只是收斂區(qū)間為 Re(s

12、) Re(k).).1ktesk- - 例例3 求求 f(t)=sinkt (k為實數(shù)為實數(shù)) ) 的拉氏變換的拉氏變換. .0sinsinedstktktt- - jj01(ee)ed2jktktstt- ( () )(j )(j )00jeded2sk tsk ttt- -(j )(j )00j112jjsk tsk teesksk-22j112j(R ( )0)je sksksksk- - 解：解： 22sinkktsk 在今后的實際工作中在今后的實際工作中, , 我們并不要求用廣義我們并不要求用廣義積分的方法來求函數(shù)的拉氏和積分的方法來求函數(shù)的拉氏和FourierFourier變換變換

13、, , 有有現(xiàn)成的拉氏和傅氏變換表可查現(xiàn)成的拉氏和傅氏變換表可查, , 就如同使用三角就如同使用三角函數(shù)表函數(shù)表, , 對數(shù)表及積分表一樣對數(shù)表及積分表一樣. . 本書已將工程實本書已將工程實際中常遇到的一些函數(shù)及其傅氏、拉氏變換列于際中常遇到的一些函數(shù)及其傅氏、拉氏變換列于附錄中附錄中, , 以備查詢以備查詢. . 在物理學和工程技術(shù)中在物理學和工程技術(shù)中, , 有許多重要函數(shù)不滿足有許多重要函數(shù)不滿足傅氏積分定理中的絕對可積條件傅氏積分定理中的絕對可積條件, , 即不滿足條件即不滿足條件|( )|df tt- 一種改進思路是轉(zhuǎn)換為一種改進思路是轉(zhuǎn)換為LaplaceLaplace求，但例如常

14、數(shù)求，但例如常數(shù), , 符號函數(shù)符號函數(shù), , 以及正以及正, , 余弦函數(shù)等余弦函數(shù)等, , 我們希望其我們希望其能正確地反應出頻率的特性能正確地反應出頻率的特性, , 因此引入了單位因此引入了單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換就可以求出它們的傅氏脈沖函數(shù)及其傅氏變換就可以求出它們的傅氏變換變換. . 1.2 Fourier變換變換 2. 單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換 在物理和工程技術(shù)中在物理和工程技術(shù)中, , 常常會碰到單位脈沖函常常會碰到單位脈沖函數(shù)數(shù). . 因為有許多物理現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì)因為有許多物理現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì), , 如在電如在電學中學中, , 要研究線性電路受具有脈沖

15、性質(zhì)的電勢作要研究線性電路受具有脈沖性質(zhì)的電勢作用后產(chǎn)生的電流用后產(chǎn)生的電流; ; 在力學中在力學中, , 要研究機械系統(tǒng)受要研究機械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運動情況等沖擊力作用后的運動情況等. . 研究此類問題就會研究此類問題就會產(chǎn)生我們要介紹的單位脈沖函數(shù)產(chǎn)生我們要介紹的單位脈沖函數(shù). . 工程上將工程上將d-函數(shù)稱為函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù), , 可將可將d-函數(shù)函數(shù)用一個長度等于用一個長度等于1的有向線段表示的有向線段表示, , 這個線段的長這個線段的長度表示度表示d-函數(shù)的積分值函數(shù)的積分值, , 稱為稱為d-函數(shù)的強度函數(shù)的強度. .tOd(t)1稱稱de(t)的弱極限為的弱極

16、限為d-函數(shù)函數(shù), , 記為記為d(t).即即0( ) ( )( ),dlim( ) ( )d(0)對任意的無窮次可微函數(shù)若對任意的無窮次可微函數(shù)若t f ttt fff ttte ee edddd-1/0( )0tte eeeeed d 其其中中其其它它de(t)1/eeO0lim()()tte ee ed dd d d-函數(shù)有性質(zhì)函數(shù)有性質(zhì):00( )d1( ) ( )d(0)() ( )d( )ttt f ttfttf ttf td dd dd d- - 及及( ) ( )lim( ) ( )t f t dtt f t dte ee edddd- 0 0lim( )lim( )f t d

17、tf t dteeeeeeeeeeee000000001111(1)(1)篩選性質(zhì)篩選性質(zhì)事實上f(t)是連續(xù)函數(shù)，按積分中值定理知：eeee)(lim0f)0(f=（2 2）( ) td d( ( ) )td d 則有則有為無窮次可微的函數(shù)，為無窮次可微的函數(shù)，若若)()4(tf函數(shù)為偶函數(shù)函數(shù)為偶函數(shù), ,即即()( )ttd dd d- - （3 3）( )tt dtd d- - ( ( ) )u t 其中其中, 10( )00tu tt 稱為單位階躍函數(shù)稱為單位階躍函數(shù). .反之反之, ,有有 ( )du tdt( ) ( )(0)t f t dtfd d- - - 一般地，有一般地，

18、有( )( )( ) ( )( 1)(0)nnnt f t dtfd d- - - d-函數(shù)的Fourier變換為:于是常數(shù)1 與d (t)構(gòu)成了一Fourier變換對.證法2：若F(w)=2pd (w), 由Fourier逆變換可得j01( )2( )ed12tj tf tewwwww wpd wwpd wwp p - .例1 證明：2pd (w) 和1構(gòu)成Fourier變換對證法1：= ( )Fw)(td( )j tt edtw wd d- - 01j ttew w- - = ( ) td d 1 1-12j tedw ww wp p- 2( )j tedtw ww wp pd d - - 1j tedtw w- - ts-2( )j sedsw