第五次、三重積分概念和計算1

1、三重積分概念與計算11、三重積分定義；2、三重積分計算；3、小結(jié)、思考題 。一、三重積分的定義一、三重積分的定義:即即 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .叫做體積元素叫做體積元素其中其中dv, 的平面來劃分的平面來劃分用平行于坐標面用平行于坐標面在直角坐標系中，如果在直角坐標系中，如果三重積記為三重積記為 dxdydzzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .積積元元素素叫叫做做直直角角坐坐標標系系中中的的體體其其中中dxdydz.iiiivxyz 則x0z yabcdz=gz=eNMPzyxzyxfIddd ),( =a ,b ; c ,d ; e ,gI =

2、 gezzyxfd),(積分區(qū)域是長方體積分區(qū)域是長方體. D同理，也有其同理，也有其它它 積分順序積分順序. Dyxdd gedcbazzyxfyxd),(dd1.1. x0z yz2(x,y) 為圖示曲頂柱體為圖示曲頂柱體I = ),(),(d),(yxzyxzzzyxf DyxddPNM.積分區(qū)域是曲頂柱體積分區(qū)域是曲頂柱體 Dz1(x,y)2.2.zyxzyxfIddd ),( x0z yz2(x,y)I =D積分區(qū)域是曲頂柱體積分區(qū)域是曲頂柱體 為圖示曲頂柱體為圖示曲頂柱體z1(x,y)2.2.zyxzyxfIddd ),( ),(),(d),(yxzyxzzzyxf Dyxdd這種

3、計算方法叫投影法這種計算方法叫投影法（先一后二法）（先一后二法） 注意注意1:zS這種累次積分是平行于軸且穿過閉區(qū)域內(nèi)部的直線與閉區(qū)域的邊界曲面相交不多于兩點情形注意注意2： P161 三重積分的累次積分的積分次序除了先對z、后對y、再對x外，還有其他次序。累次積分次序的選擇要考慮幾何體的形狀和被積函數(shù)的特性（主要是幾何體的形狀，即往哪個坐標面投影利于解題）。一般的，若給定積分次序時： 1、積分次序為 zyx； 投影到xoy面； 2、積分次序為 yzx； 投影到xoz面； 3、積分次序為 xy z； 投影到y(tǒng)oz面。z =0y = 0 x =00y x ：平面平面 x= 0, y = 0 ,

4、z = 0，x+2y+ z =1 所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域 . 先畫圖先畫圖x0z y1121Dxy 是是曲曲頂頂柱柱體體 Dxy:x = 0, y = 0, x+2y =1 圍成圍成：上頂上頂yxz21 ：下底下底z = 0121 yxxzyxx21021 010ddd481 .3.3.計算三重積分計算三重積分x + 2y + z =1DxyzyxxIddd yxDzxyxxy210dddI =x+2y =1 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域.0y x6241 找出上頂、下底及投影區(qū)域找出上頂、下底及投影區(qū)域

5、 .2 畫出投影區(qū)域圖畫出投影區(qū)域圖.Dxy:y = 0, 3x+y = 6, 3x+2y =12 圍成圍成.yxz 6z = 0不畫立體圖做三重積分不畫立體圖做三重積分Dxy yxDzz , y,xfyxIxy6 0)d(dd yxyyzzyxfxy6032 43 260d),(dd. 是是曲曲頂頂柱柱體體 ：上頂上頂：下底下底4.zyxz , y,xfIddd )( 計計算算666x+y+z=63x+y=62.4.x0z yzyxz , y,xfIddd )( 計計算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域.6

6、66x+y+z=63x+y=62.4.x0z yzyxz , y,xfIddd )( 計計算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域.666x+y+z=63x+y=62.4.x0z yzyxz , y,xfIddd )( 計計算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域.3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.4.666x0z y42zyxz , y,xfIddd )( 計計算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+

7、2y =12 和和 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域.3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.4.666x0z y42zyxz , y,xfIddd )( 計計算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域.z = 0y = 042x+y+z=6.4.x0z y666zyxz , y,xfIddd )( 計計算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域.42.x0z y666 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x

8、+2y =12 和和 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域.4.zyxz , y,xfIddd )( 計計算算 yxDzz , y,xfyxI6 0)d(dd.D0y x624D yxyyzzyxfxyI6 032 4 3 26 0d),(dd.0y x 2 xy 1 找出上頂、下底及投影區(qū)域找出上頂、下底及投影區(qū)域2 畫出投影區(qū)域圖畫出投影區(qū)域圖不畫立體圖做三重積分不畫立體圖做三重積分Dxy:xz 2 z = 0 xDzz , y,xfyxIxy2 0)d(dd xxzzyxfyx2 002 0d),(dd圍圍成成 2 , 0 , xyxy。Dxy當當 f (x,y,z)= ycos(

9、z+ x), I = ?21162 。是曲頂柱體是曲頂柱體 ：上頂上頂：下底下底 所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域。與與平平面面拋拋物物柱柱面面 zx,z,yxy2 0 0 : 5.I =試計算：試計算：？zyxz , y,xfIddd )( 計計算算y2=xxyzo.5. 所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域。與與平平面面拋拋物物柱柱面面 zx,z,yxy2 0 0 : zyxz , y,xfIddd )( 計計算算 zx2 2 2 y2=xxyzo.5. 所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域。與與平平面面拋拋物物柱柱面面 zx,z,yxy2 0 0 : zyxz , y,xfIddd )( 計計算算z = 0y=0 2

10、2 xyzo zzyxfyxIxxd ),(dd2 002 0 。 Dxzz , y,xfyxI2 0)d(dd0y x 2 xy y2=x.5. 所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域。與與平平面面拋拋物物柱柱面面 zx,z,yxy2 0 0 : zyxz , y,xfIddd )( 計計算算D 所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域 與與 : z,yxxyzDxy:xyz 圍圍成成 yx,y,xz =00y x11 xyDzz , y,xfyxIxy 0)d(dd xyxzzyxfyx 01 01 0d),(dd。Dxy：上頂上頂：下底下底是曲頂柱體是曲頂柱體 6.6.雙曲拋物面雙曲拋物面zyxz , y,xfIdd

11、d )( 計計算算1x+ y=1yozx1z=xy.6.6. 所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域 與與 : z,yxxyzzyxz , y,xfIddd )( 計計算算z =01x+ y=1ozx1yz=xy.6.6. 所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域 與與 : z,yxxyzzyxz , y,xfIddd )( 計計算算11z =0ozxx+ y=1y Dxyzz ,y,xfyxI0)d(dd。zz , y,xfyxxyxd )(dd01 010 。z=xy.6.6. 所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域 與與 : z,yxxyzzyxz , y,xfIddd )( 計計算算解解: 由由 22222xzyxz, 得得交交

12、線線投投影影區(qū)區(qū)域域, 122 yx故故 ： 22222221111xzyxxyxx,22222112112( , , ).xxxxyIdxdyf x y z dz x0z yzyxzyxfIddd ),( zDy,x,czc|z , y,x )()(21 其中其中 c1c2z Dz8. 計算三重積分的另一思路計算三重積分的另一思路（對有的問題適用）（對有的問題適用）截面法截面法 zyxzyxfIddd ),( zDy,x,czc|z , y,x )()(21 其中其中 c1c2 .8. 計算三重積分的另一思路計算三重積分的另一思路（對有的問題適用）（對有的問題適用）zDz截面法截面法x0z

13、y zyxzyxfIddd ),( zDy,x,czc|z , y,x )()(21 其中其中 c1c2 I = 21dccz zDyxx,y,zfd)d(8. 計算三重積分的另一思路計算三重積分的另一思路（對有的問題適用）（對有的問題適用）zDz截面法截面法x0z yzyxzyxfIddd ),( zDy,x,czc|z , y,x )()(21 其中其中 c1c28. 計算三重積分的另一思路計算三重積分的另一思路（對有的問題適用）（對有的問題適用）. I = 21dccz zDyxx,y,zfd)d(截面法截面法x0z yz21( , , )( , , )ccDf x y z dxdydz

14、dzf x y z dxdy12( , , )|( , ),zx y zx yD czc zD設(shè)空間有界閉區(qū)域設(shè)空間有界閉區(qū)域 ，其中，其中 是豎標為是豎標為 Z的平面截閉區(qū)域的平面截閉區(qū)域 得到的得到的平面閉區(qū)域。平面閉區(qū)域。則有則有“先二后一公先二后一公式式”解解（一一） zdxdydz,10 zDdxdyzdz1| ),(zyxyxDz )1)(1(21zzdxdyzD 原原式式 102)1(21dzzz241 .xozy111 zdxdydz解解（二二） zzydxdyzdz101010 zdyzyzdz1010)1( 102)1(21dzzz241 .xozy111zyxzIddd2

15、 所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域 是是由由 其其中中 1222222 czbyaxx0yzbc10. 例例 計算計算aD0 2222221)(czbyax,czc|z ,y,x cczz d2 zDyxddzyxzIddd2 Dz 所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域 是是由由 其其中中 1222222 czbyax.bczyxzIddd2 cczzczabd)1(222.3154abc =.10. 例例 計算計算x0yzD0a1)1()1(22222222 czbyczax. 2222221)(czbyax,czc|z ,y,xz三重積分的定義和計算三重積分的定義和計算在直角坐標系下的體積元素在直角坐標系下的體積元素dxdydzdv （計算時將三重積分化為三次積分的兩種形式）（計算時將三重積分化為三次積分的兩種形式）三、小結(jié)思考題思考題選擇題選擇題:;),()(201222 xxdzzyxfdydxA;)