MATLAB學(xué)習(xí)必備資料

1、第四章第四章 平面平面( )和空間和空間( )中的向量中的向量 4.1 向量的類型向量的類型 4.2 平面和空間中的向量運(yùn)算平面和空間中的向量運(yùn)算 4.3 平面和空間的向量空間平面和空間的向量空間 4.4 欠定方程在欠定方程在 和和 中的解空間中的解空間 4.5 平面上的線性變換平面上的線性變換 4.6 應(yīng)用實(shí)例應(yīng)用實(shí)例 4.7 習(xí)題習(xí)題2R3R2R3R4.1 向量的類型向量的類型物理向量物理向量：向量這個(gè)術(shù)語起源于物理，用以表示既有大小又有方向的物理量，如力，位移和速度等。那些只需用一個(gè)實(shí)數(shù)來表示的物理量，如溫度、壓力和質(zhì)量等就稱為標(biāo)量。廣義地說，向量要用兩個(gè)或兩個(gè)以上的實(shí)數(shù)組成的數(shù)組來表示

2、其特征，比如它的大小和方向。幾何向量幾何向量：把平面上的物理向量的箭尾A的坐標(biāo)值取為( , )，而把箭頭所處的點(diǎn)B的坐標(biāo)值取為( , )，聯(lián)接A點(diǎn)到B點(diǎn)的箭頭就稱為幾何向量幾何向量。用下式表示： A稱為向量的起點(diǎn)，而B稱為向量的終點(diǎn)。這樣的幾何向量，要用 , , , 四個(gè)實(shí)數(shù)才能表示。把向量的箭尾A移到原點(diǎn)，這時(shí)的向量作用線通過了原點(diǎn)，稱為位置向位置向量量。vAB 1a2a1b2b1a2a1b2b 圖4.1 向量和位置向量代數(shù)向量代數(shù)向量：把平面中的幾何向量v用它在x和y 兩個(gè)方向的分量 和 來表示，寫成表示式： 這就是平面中的向量代數(shù)表示方法。粗看起來，它與幾何向量的表示法沒有太大的差別，但

3、到了三維以上，幾何向量將失去意義，而代數(shù)向量可以無限地?cái)U(kuò)展，從而滿足工程和經(jīng)濟(jì)模型分析的需要。從幾何到代數(shù)，也就是從三維向高維抽象的線性代數(shù)方法論。1122xyvbavbavxvyv例4.1 設(shè)要求畫出這兩個(gè)向量的圖形。解解：u和v都是二維空間的列向量。可以用平面坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，或從坐標(biāo)原點(diǎn)引向這兩點(diǎn)的箭頭來表示。用手工畫是很容易的，也可以用MATLAB程序來畫，得到的圖形見圖4.2。 112223,41uvuv uv例4.1的MATLAB畫圖程序，可表示為程序ea401：u=2;4; v=3;-1;plot(2,3,4,1,x);hold on% 用x號(hào)畫出兩個(gè)點(diǎn)% 若裝有ATLAST中的

4、子程序drawvec，可畫向量如下drawvec(u);hold on% 畫出向量udrawvec(v,g);hold off,grid on% 畫出向量v圖4.2 二維空間中的向量4.2 平面和空間平面和空間( )中的向量運(yùn)算中的向量運(yùn)算4.2.1 向量的加減向量的加減則 圖4.3 向量的相加和相減 1122,uvuvuv1122uvuvu + v，1122uvuvuv23RR和4.2.2 向量的數(shù)乘向量的數(shù)乘 用代數(shù)方法表示，設(shè)乘數(shù)為標(biāo)量，便有若 則 在直角坐標(biāo)系中，向量的幾何長(zhǎng)度表示為 經(jīng)過數(shù)乘后的向量幾何長(zhǎng)度也為原幾何長(zhǎng)度的數(shù)乘：123,aaaa123,aaaa222123aaaa22

5、2122()()()aaaaa4.2.3 向量與向量的數(shù)量積向量與向量的數(shù)量積 兩向量u和v的數(shù)量積定義為 其中為兩個(gè)向量之間的夾角，見圖4.5。圖4.5 向量數(shù)量積的三角關(guān)系cosu vuvv u 為了找到對(duì)應(yīng)的代數(shù)關(guān)系，將BC兩點(diǎn)聯(lián)接起來，得到圖4.5。運(yùn)用余弦定理，可以列出： 移項(xiàng)后，得到 由此可見 。這個(gè)乘積的也稱為內(nèi)積，用表示。用列矩陣表示向量u和v，則可以寫成 （4-1） 2222cosuvuvuv222222222121211221 12 21cos21()()2uuvvuvuvu vu vuvuvuv1 122u vu vu v11 12 2122vu vu vu uvTu v

6、u vu v 向量的數(shù)量積有如下特性，讀者可自行證明： 1) 2) 3) 4) 利用向量的數(shù)量積的關(guān)系，可以得出以下的幾個(gè)重要結(jié)果： 1)向量的幾何長(zhǎng)度（今后稱范數(shù)）：u u0u vv u()()ccuvu v()uvwu vu wvvvvvvT,)(232221vvvnorm2)兩向量u, v之間的夾角： （4-2） 3)由于-1cos1, 則 ， 這個(gè)式子稱為Cauchy-Schwarz不等式。 4)兩向量u, v垂直垂直的條件為： ，即 5)范數(shù)為1的向量稱為單位向量，向量v的單位向量為 cosTTTuvu vuvu uv vu vuvcos0,0Tu vu v()n o r mvvuv

7、v4.2.4 向量與向量的向量積向量與向量的向量積 向量積的定義：的定義：兩向量u, v的叉乘是一個(gè)新向量z，它的方向與u, v正交，按右手法則確定它的方向，即令右手食指沿u，彎曲的中指指v，則拇指指z的方向。其大小為： 它的幾何意義非常明顯，是兩個(gè)向量構(gòu)成的平行四邊形的面積，圖4.6中的h就是 sinzuvuvsinh v圖4.6 向量積的三角關(guān)系 對(duì)于三維空間的向量u和v，叉乘如下： 向量積有如下的代數(shù)特性，讀者可自行證明：112233,uvuvuvuv2 33 23 11 31 22 1u vu vu vu vu vu vuv1) 2)3)4) 稱為向量的混合乘積，它是一個(gè)標(biāo)量。 (4-

8、3) uvv uu u0()()()cccuvuvuv()uvwuvuw()wuvw z2 33 21231233 11 31231 22 112312 33 223 11 331 22 1()()()()u vu vw w ww w wu vuvu u uuvu vv v vw u vu vw u vuvw uvu vTw u vwz圖4.8 空間向量組成平行六面體 由圖4.8不難看出它的幾何意義。 兩向量x, y點(diǎn)乘的MATLAB命令為f=dot(x,y)，兩向量x, y叉乘的MATLAB命令為z=cross(x,y)。這兩個(gè)命令在線性代數(shù)中不太用，不作深入介紹 4.3 平面和空間（平面和

9、空間（ ）的向量空間）的向量空間 4.3.1 平面和空間向量的線性相關(guān)性平面和空間向量的線性相關(guān)性 例4.2 取例4.1中的u和v，設(shè)平面上的向量w1.5u2v，則可求得 可見，u和v經(jīng)過數(shù)乘和加法運(yùn)算的合成向量w仍然在原來的二維空間之內(nèi)。向量經(jīng)過加法和數(shù)乘仍在原 空間內(nèi)的特性稱為對(duì)加法和數(shù)乘的封閉性，u和v所有線性組合構(gòu)成的向量w的集合W也稱為u和v張成張成(Span)的線性空間。 2391.52414 w23RR和2R圖4.9 向量u,v線性組合成向量w 可以提出一個(gè)反問題，平面上的任何一點(diǎn) ; 是不是一定能用u和v的線性組合來實(shí)現(xiàn)？即是否一定能找到一組常數(shù) , ，使得11222341wc

10、cw 1w2w1c2c 要回答這個(gè)問題，只要解這個(gè)二元方程組就行了。把它寫成矩陣形式，有： 其中，系數(shù)矩陣A=u, v，由于det (u, v)不為零， 和 是肯定可以求出的。但并非任何u和v都能達(dá)到這個(gè)要求。 11222341cwcwAc = w2c1c 比如我們將v改為 此時(shí)u和v向量的各元素成比例關(guān)系， 幾何上看這兩個(gè)向量是共線的，不管如何把它們乘以什么實(shí)系數(shù)并相加，合成的向量只能在一直線上，不可能覆蓋整個(gè)二維平面。這種情況下，稱這兩個(gè)向量u和v是線性相關(guān)線性相關(guān)的。12v2 1det()det04 2u,v 例例4.34.3 設(shè)三維空間 中的三個(gè)列向量 , 和 ，試判斷它們是否線性相關(guān)

11、？ 解：如果三個(gè)基本向量之間線性無關(guān)，那么它們的線性組合可以覆蓋（張成）整個(gè)三維空間。如果它們線性相關(guān)，那么它們的線性組合將只能構(gòu)成一個(gè)平面，甚至一根直線。判斷三個(gè)向量的線性相關(guān)性的方法是利用向量組 , , 的行列式。 1331 ,1 ,1 ,230123vvv3R1v2v3v1v2v3v圖4.10 向量 , , 線性相關(guān)（共面） 如果這三個(gè)向量線性相關(guān)，則det(A)就等于零，說明這三個(gè)向量是線性相關(guān)的，它們必定處于同一平面上。它們的線性組合仍在這個(gè)平面上，不可能張成三維空間。在空間畫出這些向量和這個(gè)平面，得到圖4.10 。 -202012024xyzv1v2v31 3 -3 1 1 1 2

12、 3 0D123v ,v ,v3v1v2v4.3.2 平面和空間向量張成的空間平面和空間向量張成的空間 由向量組張成的空間稱為向量空間向量空間。所謂張成，是把這些向量組中的向量進(jìn)行線性組合，這樣得到的集合，就是向量空向量空間間，也稱為線性空間線性空間。下面舉例子來說明。 （1）例4.1中所示的u和v，它們的線性組合為 ，當(dāng)和取所有可能的實(shí)數(shù)時(shí)，得到的w可以是該x-y平面上的任何位置，因而w的集合W，就是整個(gè)x-y平面，是一個(gè)向量空間，可以表為W=Span(u,v) wuv （2）在例4.2中，若將v改為 則 在和取所有可能的實(shí)數(shù)時(shí)，得 到的w是該xy平面上的一根無限直 線，這根直線就是一個(gè)向量

13、空間。 這根無限直線是原來向量平面的一 部分，所以稱為二維向量空間的一 個(gè)子空間子空間。因?yàn)閡和v兩個(gè)向量是共 線的，也就是線性相關(guān)的，它們圖4.11 二維向量 張成的平面就退化為直線，成了一空間的子空間 維的空間，如圖4.11。 12vwuv4.3.3 中的子空間中的子空間圖4.12 向量u,v,w張成的子空間，秩為2（左），秩為1（右） 作為向量空間的平面，是三維空間的一部分，所以也稱為三維空間的一個(gè)子空間子空間。圖4.12左邊的子圖表述了u, v, w共面時(shí)張成的子空間。 當(dāng)三個(gè)基本向量共線時(shí)，它們的線性組合都在一條通過原點(diǎn)的空間直線上，如圖4.12右圖。該直線上的向量仍然滿足對(duì)加法和數(shù)

14、乘的封閉性，是三維空間的子空間 23RR和4.4 欠定方程在欠定方程在 中的解空中的解空間間 例4.4 解下列方程組，說明其解的特性。 解：將此方程的系數(shù)增廣矩陣化為行階梯形,得到： 它等價(jià)于下列方程組： 123123123 8 +8 +24 =16 -9 +9 +9 = 0 -19 +23 +27 =4 xxxxxxxxx 1 0 1 1 0 0 1 2 1 0 0 0 0U132311 2xxxx 23RR和 其中 可任意取值，令 ，上述方程可寫成： 這個(gè)解稱為x的通解?？梢园芽闯蓛刹糠?，其中 為原方程組的一個(gè)特解， 則為此欠定方程的一個(gè)基礎(chǔ)解。在上面所得的行最簡(jiǎn)形U0中，把最后一列全取為

15、零，就得到 ，由此可知，基礎(chǔ)解是令原方程中的常數(shù)項(xiàng)為零所得的齊次方程的解。 3x3xc 121112xccx x 可以畫出此方程的通解 和基礎(chǔ)解集合 的圖形。如圖4.13所示， 是通過原點(diǎn)的無限長(zhǎng)直線，所以它是向量空間。通解 也是一條無限長(zhǎng)直線，但因沒有包括原點(diǎn)在內(nèi)，所以它不構(gòu)成向量空間。圖4.13 例4.4的特解和通解cx = cbxcbxcx = 4.5 平面平面( 空間空間)上的線性變換上的線性變換4.5.1 平面上線性變換的幾何意義平面上線性變換的幾何意義 例4.5 設(shè)x為二維平面上第一象限中的一個(gè)單位方塊，其四個(gè)頂點(diǎn)為（0，0），（1，0），（1，1），（0，1）。寫成 把不同的A矩

16、陣作用于此組數(shù)據(jù)，可以得到多種多樣的結(jié)果。假定A是22矩陣： 01100011x2R1）設(shè) 2）設(shè) 3）設(shè) 4）設(shè) 5）設(shè)t/6， 10 0 1 1 0,01 0 0 1 1A1y1則 2 0 0 2.0 2.0 0, 00.5 0 0 0.5 0.5A2y2則 1 2 0 1.0 1.0 0, 2 2 0 0 0.2 0.2A3y3則 1.0 0.5 0 1 3 2, 0 1.0 0 2 4 2A4y4則 cos t sin t 0 0.8660 0.3660 0.5000, sin t cos t 0 0.5000 1.3660 0.8660A 5y5則 這些矩陣的每一列代表平面上一點(diǎn)的橫

17、縱坐標(biāo)，四列就代表四個(gè)點(diǎn)。把第一數(shù)據(jù)增補(bǔ)到第五列作為第五點(diǎn)，把這些點(diǎn)順序連以直線，就得到相應(yīng)的四邊形。用六個(gè)圖分別繪制出數(shù)據(jù)矩陣 , , , , 和 的圖形，就可以得到圖4.14的圖形。 圖4.14 對(duì)單元方格進(jìn)行幾種線性變換后生成的圖形1y2y3y4y5yx 可以看出，矩陣A1使原圖對(duì)縱軸生成鏡像，矩陣A2使原圖在橫軸方向膨脹并在縱軸方向壓縮；矩陣A3使原圖在左下至右上伸長(zhǎng)而在其垂直方向壓縮；矩陣A4使原圖向右方剪切變形，矩陣A5使原圖沿反時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)tpi/6?？傊?，線性變換把原來空間的圖形在各個(gè)方向以不同的比例放大或縮小。要注意，在x平面中的直線，變換到y(tǒng)平面中后，仍然是一根直線，但是其

18、范數(shù)和方向都可能發(fā)生變化。 例4.5所用的MATLAB程序ea405的部分語句x=0,1,1,0;0,0,1,1;subplot(2,3,1),fill(x(1,:),0,x(2,:),0,r)axis equal,axis(-1.5,1.5,-1,2),grid onA1=-1,0;0,1,y1A1*xsubplot(2,3,2),fill(y1(1,:),0,y1(2,:),0,g). MATLAB還提供了一個(gè)平面線性變換的演示函數(shù)eigshow。分別鍵入eigshow(A2)eigshow(A3)，它顯示不同x的經(jīng)線性變換Ax后生成的y。x取單位向量，用鼠標(biāo)可以拖動(dòng)它轉(zhuǎn)動(dòng)，形成的軌跡是單

19、位園。同時(shí)畫出Ax的向量，形成的軌跡如圖4.15。 圖4.15 矩陣A的特征向量和特征值演示（左圖A A2，右圖AA3）4.5.2 二維矩陣特征值的計(jì)算方法二維矩陣特征值的計(jì)算方法 在特征點(diǎn)處，有 ，即 （4-1） 要使這個(gè)矩陣方程有非零解，它的系數(shù)行列式必須為零，即 。 若 則有 （4-2） 解這個(gè)二次方程求出兩個(gè)解 ，即有兩個(gè)特征值。將算出的特征值代回到(4-1)求x，這是一個(gè)系數(shù)行列式為零的齊次方程，所以就歸結(jié)為求欠定方程基礎(chǔ)解系。Ax= xAxxAI x = 0AI = 011122122,aaaaA11121122122121220aaaaa aaaAI= 以A2為例，其 ，代入（4

20、-2）得 其解為 。然后代入(4-1)，得 和 111221222,0,0,0.5aaaa22112211 2212 212.51 0aaa aa a 120.5,21121.5 0000 xx AIx112001xx 解為取任意12200001.5xx AIx122100 xx 任意解為取 由此得到特征值和特征向量的矩陣形式： 特征值和特征向量的計(jì)算步驟：展開行列式；求多項(xiàng)式的根；將根代入原矩陣方程，求此方程的歸一化解。 0.5 0 0 1 ,02.0 1 02p24.5.3 特征值和特征向量的幾何意義特征值和特征向量的幾何意義 一個(gè)變換作用于某圖形所造成的新圖形的面積變化，取決于該變換的行

21、列式。可以看出，A1，A2，A4和A5的行列式絕對(duì)值都是1，所以它們不會(huì)使變換后圖形的面積發(fā)生改變。而A3的行列式為 -2，變換后圖形面積的增加倍數(shù)恰好與其絕對(duì)值相對(duì)應(yīng)。特征值則表示該變換在原圖形的特征向量的方向上的放大量。 例例4.6 數(shù)據(jù)矩陣 表示英文大寫字母N圖形的各個(gè)節(jié)點(diǎn)，要 求： （1）畫出其形狀； （2）取 作為變換矩陣求出 的數(shù)據(jù)，并畫出其圖形； （3）對(duì)結(jié)果進(jìn)行討論。 0 0.50 0.50 6.00 6.00 5.50 5.50 0 0 0 6.42 0 8.00 8.00 1.58 8.00 x10.2501Ay = Ax 解：（1）本題畫圖的要點(diǎn)是要在給定的數(shù)據(jù)右方，補(bǔ)上

22、第一點(diǎn)的坐標(biāo)，使畫出的圖形封閉。 （2）作矩陣乘法，得 （3）畫出數(shù)據(jù)矩陣y代表的圖形其方法同畫x，也要補(bǔ)上第一點(diǎn)坐標(biāo)。 0 0.5 2.1 6 8 7.5 5.9 2 0 0 6 0 8 8 1.6 8 y = Ax 程序運(yùn)行后生成的圖形見圖4.16。 圖4.16 例4.6生成的N字符圖形 實(shí)現(xiàn)這個(gè)運(yùn)算和繪圖的MATLAB程序ea406如下： x0=0,0.5,0.5,6,6,5.5,5.5,0;0,0,， 6.4,0,8,8,1.6,8; x=x0,x0(:,1); % 把首頂點(diǎn)坐標(biāo)補(bǔ)到末頂點(diǎn)后 A=1,0.25;0,1; y=A*x; subplot(1,2,1),plot(x(1,:)

23、,x(2,:) subplot(1,2,2),plot(y(1,:),y(2,:)4.5.4 用三維向量表示剛體平面運(yùn)動(dòng)齊次坐標(biāo)系 把二維向量變換為三維向量，即把平面上的向量變換成為空間向量，這在某些情況下是很有用的。比如剛體在平面上的運(yùn)動(dòng)要用兩個(gè)平移和一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)來描述，轉(zhuǎn)動(dòng)可以從上面的線性變換A5得到，但平移y xc 卻不是一個(gè)線性變換。因?yàn)椋?1）設(shè) , ;則它們的和為 可見，它對(duì)加法不封閉； aay =x +cbby =x +caabby = y +y = x +x2cx+c2）設(shè) ,將它乘以常數(shù)k， 可見，它對(duì)乘法也不封閉；就是說，這不符合線性變換的規(guī)則，x和y不屬于同一個(gè)向量空間，無法

24、用矩陣乘法來實(shí)現(xiàn)平移變換y x c。 為了把剛體的運(yùn)動(dòng)完全用線性變換來描述，人們用增加空間維數(shù)的方法，把平面問題放到三維的空間來建立方程，這就可能把x和y由擴(kuò)展了的向量空間來涵蓋。 aay =x +ckkkkkaaay = y = x + cx +c = x+c 這樣的坐標(biāo)系稱為齊次坐標(biāo)系。在這個(gè)坐標(biāo)系中，可以把平移矩陣寫成：于是 121xxx121001001ccM11221xcxc y = M x = 對(duì)象若同時(shí)有旋轉(zhuǎn)和平移，則可以分別列出旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矩陣。不過此時(shí)的旋轉(zhuǎn)矩陣也要改為33維，這可以把上述A5中增加第三行和第三列，置A(3,3)1，其余新增元素為零。 這就是既包括平移，又包

25、括轉(zhuǎn)動(dòng)的平面齊次坐標(biāo)系內(nèi)的變換矩陣。 12 cos t sin tc sin t cos tc,001A54.6 應(yīng)用實(shí)例應(yīng)用實(shí)例4.6.1 化學(xué)方程的配平化學(xué)方程的配平 138223242( )()( )()x C Hx Ox COx H O382223010: 8 ,: 0 ,: 0 ,: 20221C HOCOH O 要使方程配平， , , , 必須滿足： 將所有項(xiàng)移到左端，并寫成矩陣相乘的形式，就有： 1234301080020221xxxx 12343010080020002210 xxxx Ax1x2x3x4x對(duì)矩陣A進(jìn)行行階梯變換，鍵入程序ea471：A3,0,1,0;8,0,0

26、,2;0,2,2,1U0rref(A)得到注意四個(gè)列對(duì)應(yīng)于四個(gè)變量的系數(shù)，有 1.0000 0 0 0.25000 0 1.0000 0 1.2500 0 0 1.0000 0.7500U142434 0.2500 x0 1.2500 x0 0.7500 x0 x xx 此處可取 ，則 , , ,均有整數(shù)解， ， ， 。因而配平后的化學(xué)方程為： 對(duì)于比較復(fù)雜的反應(yīng)過程，為了便于得到最小整數(shù)的解，在解化學(xué)配平的線性方程組時(shí)，應(yīng)該在MATLAB中先規(guī)定取有理分式格式。即先鍵入format rat，然后鍵入ea471，結(jié)果為： 38222C H5O3CO4H O44x 1x2x3x11x 25x 3

27、3x 把最簡(jiǎn)行階梯形矩陣恢復(fù)為方程，就很容易看出應(yīng)令 ，其余變量的整數(shù)取值就一目了然了。 142434/4 1 0 0 1/4 0 0 1 0 5/4 5/4 0 0 1 3/4 3/4xxUxxxx44x 4.6.2 減肥配方的實(shí)現(xiàn)減肥配方的實(shí)現(xiàn)營(yíng)養(yǎng)每100g食物所含營(yíng)養(yǎng) （g） 減肥所要求的每日營(yíng)養(yǎng)量 脫脂牛奶 大豆面粉 乳清 蛋白質(zhì) 36511333碳水化合物 52347445脂肪 071.13 設(shè)脫脂牛奶的用量為 個(gè)單位（100g），大豆面粉的用量為 個(gè)單位，乳清的用量為 個(gè)單位，表中的三個(gè)營(yíng)養(yǎng)成分列向量為： 則它們的組合所具有的營(yíng)養(yǎng)為 36511352 ,34 ,74,071.1121aaa123123365113523474071.1xxxxxx123aaa1x2x3x 使這個(gè)合成的營(yíng)養(yǎng)與劍橋配方的要求相等，就可以得到以下的矩陣方程： 用MATLAB解這個(gè)問題非常方便，列出程序ea472如下： A36,51,13;52,34,74;0,7