matlab(二)實驗1

1、MATLAB 圖形功能與分形 數(shù)學實驗（二）課堂及考試要求 課程安排：共8次課，16課時。 成績分配：滿分100分平時成績50分。包括：上課出勤：20分，點名缺勤3次取消考試資格。 平時作業(yè)：30分，實驗結果每次上交實驗報告。考試成績50分。實驗一 MATLAB繪圖 【實驗目的】 1. 掌握利用MATLAB繪制圖形的基本方法 2.了解常見曲線的圖形特征，會畫復合函數(shù)、參數(shù)函數(shù)、隱函數(shù)及極坐標下函數(shù)的圖形 3.學會設置圖形的屬性 【實驗要求】 熟悉MATLAB繪圖命令plot、ezplot、polar、plot3、mesh等一、二維曲線繪圖plot如何畫出如何畫出 ysin(x) 在在 0, 2

2、*pi 上的圖像？上的圖像？ 手工作圖手工作圖u 找點：找點： x=0, pi/3, pi/2, 2*pi/3, pi, u 計算函數(shù)值：計算函數(shù)值： y=sin(0), sin(pi/3), sin(pi/2), u 描點：在坐標系中畫出這些離散點描點：在坐標系中畫出這些離散點u 用直線或曲線連接這些點，得到函數(shù)的大致圖形用直線或曲線連接這些點，得到函數(shù)的大致圖形 MATLAB 作圖作圖u 給出離散點列：給出離散點列： x=0:pi/10:2*piu 計算函數(shù)值：計算函數(shù)值： y=sin(x)u 畫圖：畫圖： MATLAB 二維繪圖命令二維繪圖命令plot(x,y,string)作作出函數(shù)圖

3、形出函數(shù)圖形例：例： x=0:pi/10:2*pi; y=sin(x); plot(x,y,bo-) 在在MATLAB中用圖形函數(shù)繪圖的一般操作步中用圖形函數(shù)繪圖的一般操作步驟分為驟分為7步，如表所示，下面以繪制一個簡單三步，如表所示，下面以繪制一個簡單三角函數(shù)的圖形為例，詳細介紹各個步驟。角函數(shù)的圖形為例，詳細介紹各個步驟。例例1 1 用圖形表示用圖形表示2,2,sincos xxxy（1 1）準備圖形數(shù)據）準備圖形數(shù)據圖形是數(shù)據變換規(guī)律和相互聯(lián)系的形象顯示，所以圖形是數(shù)據變換規(guī)律和相互聯(lián)系的形象顯示，所以數(shù)據輸入是圖形創(chuàng)建的基礎，我們需要選定數(shù)據的數(shù)據輸入是圖形創(chuàng)建的基礎，我們需要選定數(shù)據

4、的范圍范圍, ,選擇對應范圍的自變量，計算相應的函數(shù)值。選擇對應范圍的自變量，計算相應的函數(shù)值。本例中，我們需在命令窗口輸入如下代碼：本例中，我們需在命令窗口輸入如下代碼：x = -pi/2:.1:pi/2;y=cos(x)-sin(x);（2 2）選擇圖形的顯示位置）選擇圖形的顯示位置 系統(tǒng)默認圖形窗口為系統(tǒng)默認圖形窗口為figure1，如果大家需要在圖，如果大家需要在圖形窗口中并列顯示多個窗口，這需要使用形窗口中并列顯示多個窗口，這需要使用subplot指指令來選擇子圖號。如果大家需要把圖形窗口定義為令來選擇子圖號。如果大家需要把圖形窗口定義為figure2，并且分為，并且分為3*2=6個

5、子窗口，使得本例函數(shù)圖個子窗口，使得本例函數(shù)圖形顯示在圖形窗口的左下角，那么大家需要在命令形顯示在圖形窗口的左下角，那么大家需要在命令窗口中輸入以下代碼：窗口中輸入以下代碼：figure(2);subplot(3,2,5)（3 3）調用繪圖指令并設置參數(shù)）調用繪圖指令并設置參數(shù) 此步是此步是主要繪圖步驟，主要繪圖步驟，調用調用plot函數(shù)繪制圖形函數(shù)繪制圖形plot(x,y)（4 4）選擇線性和標記屬性）選擇線性和標記屬性此步可以單獨使用圖形句柄設置，也可以與步驟此步可以單獨使用圖形句柄設置，也可以與步驟( (3）同時進行，選擇圖形的線性、顏色及數(shù)據點型等參數(shù)，同時進行，選擇圖形的線性、顏色及

6、數(shù)據點型等參數(shù)，形成圖形概貌，如果大家希望用黑色點線形成圖形概貌，如果大家希望用黑色點線“-.”來繪來繪制本例函數(shù)，并使用制本例函數(shù)，并使用“* ”標注點型，則可輸入標注點型，則可輸入plot(x,y,k-.*)（5 5）設置坐標范圍及網格線）設置坐標范圍及網格線 完成基本繪制后，在圖形概貌的基礎上對圖形進完成基本繪制后，在圖形概貌的基礎上對圖形進行編輯，增強圖形的可讀性；一般說來，大家需要設行編輯，增強圖形的可讀性；一般說來，大家需要設置坐標軸的刻度范圍和分隔線。本例系統(tǒng)默認的坐標置坐標軸的刻度范圍和分隔線。本例系統(tǒng)默認的坐標軸范圍是軸范圍是x,y-2,2,且沒有網格線，將本例的且沒有網格線

7、，將本例的x坐標軸坐標軸和和坐標軸的范圍分別設置為坐標軸的范圍分別設置為-,和和-4,4，且給坐且給坐標加上分隔線，可以輸入以下代碼：標加上分隔線，可以輸入以下代碼：axis(-pi,pi,-3,3)grid on（6 6）給圖形加注釋）給圖形加注釋 為了進一步使圖形具有說服力和可讀性，我們還為了進一步使圖形具有說服力和可讀性，我們還經常給圖形添加注釋，例如圖形的名稱、坐標軸的名經常給圖形添加注釋，例如圖形的名稱、坐標軸的名稱、圖例及文字說明，針對本例圖形，給圖形取名為稱、圖例及文字說明，針對本例圖形，給圖形取名為“first figure” ,x和和y坐標軸分別取名坐標軸分別取名“橫橫”、“

8、縱縱”，圖例設置為圖例設置為“ y=cos(x)-sin(x) ”,并在并在（pi/2,-1）點加上點加上文字說明文字說明“ final point”，輸入以下代碼：輸入以下代碼：title(first figure); xlabel(橫);ylabel(縱); legend(y=cos(x)-sin(x); text(pi/2,-1, final point);（7 7）圖形輸出）圖形輸出 大家完成圖形的繪制和編輯以后，需要將圖大家完成圖形的繪制和編輯以后，需要將圖形打印或是存放在其他文檔中，最簡單的方法是使用形打印或是存放在其他文檔中，最簡單的方法是使用【file】菜單中的菜單中的【sav

9、e as】選項，并且大家可以自選項，并且大家可以自行選擇需要保存的格式類型。行選擇需要保存的格式類型。u plot(x,y)q 基本形式基本形式 x, y 都是向量，則以都是向量，則以x中元素為橫坐標中元素為橫坐標, ,y中中元素為縱坐標作平面曲線。此時元素為縱坐標作平面曲線。此時 x, y 必須必須具具有相同長度（維數(shù)）。有相同長度（維數(shù)）。 x=0:0.1:4*pi; y=cos(x); plot(x,y);例例2：y = cos(x)在在0, 4上的圖像上的圖像. .自己動手自己動手 練習練習1 1：在：在0 x2 區(qū)間內，繪制曲線區(qū)間內，繪制曲線 y=2e-0.5x cos(4x)可設

10、置圖名、標注等 解答 excise1.mu plot(x,y)q 基本形式基本形式 x, y 都是向量，則以都是向量，則以 x 中元素為橫坐標，中元素為橫坐標， y 中元素為縱坐標作平面曲線。中元素為縱坐標作平面曲線。此時此時 x, y 必須具有相同長度。必須具有相同長度。當當x ,y 是同維矩陣時，則以是同維矩陣時，則以x,y對應列元素為對應列元素為橫、縱坐標分別繪制曲線，曲線條數(shù)等于矩陣橫、縱坐標分別繪制曲線，曲線條數(shù)等于矩陣的列數(shù)。的列數(shù)。此時此時 x, y 必須具有相同的大小。必須具有相同的大小。 x 是向量是向量, , y 是矩陣，是矩陣，若若 x 的長度與的長度與 y 的行數(shù)相等，

11、則將的行數(shù)相等，則將 x 與與 y 中的各列相對應，繪制多條平面曲線；中的各列相對應，繪制多條平面曲線；若若 x 的長度與的長度與 y 的列數(shù)相等，則將的列數(shù)相等，則將 x 與與 y 中的各行相對應，繪制多條平面曲線。中的各行相對應，繪制多條平面曲線。此時此時 x 的長度必須等于的長度必須等于 y 的行數(shù)或列數(shù)。的行數(shù)或列數(shù)。 指出以下各個繪圖命令的輸出圖形分別是什么，指出以下各個繪圖命令的輸出圖形分別是什么，并上機驗證并上機驗證 t=0 1; x=1 2; y=x;3 4; z=y;5 6; plot(t,x); plot(t,y); plot(t,y); plot(t,z); plot(t

12、,z);練習練習2：q具有兩個縱坐標標度的圖形具有兩個縱坐標標度的圖形 在在MATLAB中，如果需要繪制出具有不同縱坐中，如果需要繪制出具有不同縱坐標標度的兩個圖形，可以使用標標度的兩個圖形，可以使用plotyy繪圖函數(shù)。繪圖函數(shù)。調用格式為：調用格式為： plotyy(x1,y1,x2,y2)其中其中x1,y1對應一條曲線，對應一條曲線，x2,y2對應另一條曲線。對應另一條曲線。橫坐標的標度相同，縱坐標有兩個，左縱坐標用橫坐標的標度相同，縱坐標有兩個，左縱坐標用于于x1,y1數(shù)據對，右縱坐標用于數(shù)據對，右縱坐標用于x2,y2數(shù)據對。數(shù)據對。例例3 3 用不同標度在同一坐標內繪制曲線：用不同標

13、度在同一坐標內繪制曲線： y1=0.2e-0.5x cos(4x) y2=2e-0.5x cos(x). x=0:pi/100:2*pi; y1=0.2*exp(-0.5*x).*cos(4*pi*x); y2=2*exp(-0.5*x).*cos(pi*x); plotyy(x,y1,x,y2);程序如下：程序如下： x=0:0.2:2*pi; plot(x,cos(x); plot(x,cos(x),r+:); plot(x,cos(x),bd-.); plot(x,cos(x),k*-);q 點和線的基本屬性點和線的基本屬性u plot(x,y,string)其中其中 string 是用

14、是用 單引號單引號 括起來的字符串，用來括起來的字符串，用來指定圖形的屬性指定圖形的屬性（點、線的形狀和顏色）（點、線的形狀和顏色）屬性可以全部指定，也屬性可以全部指定，也可以只指定其中某幾個可以只指定其中某幾個排列順序任意排列順序任意紅色、虛線、紅色、虛線、離散點用加號離散點用加號藍色、點劃線藍色、點劃線離散點為菱形離散點為菱形黑色、實線黑色、實線離散點用星號離散點用星號 圖形的基本屬性匯總線型點標記顏色- - 實線實線: : 點線點線-.-. 點劃線點劃線- - 虛線虛線. . 實心點實心點o o 空心圓空心圓x x 叉號叉號+ + 加號加號* * 星號星號s s 方形方形d d 菱形菱形

15、 向上三角向上三角v v 向下三角向下三角 向右三角向右三角 x=linspace(0,2*pi,30);y=sin(x);z=cos(x);plot(x,y,r,x,z,go);q圖形標注與坐標控制圖形標注與坐標控制有關圖形標注函數(shù)的調用格式為：有關圖形標注函數(shù)的調用格式為：title(圖形名稱圖形名稱)xlabel(x軸標注說明軸標注說明)ylabel(y軸標注說明軸標注說明)text(x,y,圖形標注說明圖形標注說明)legend(圖例標注圖例標注）title( string)xlabel( string)ylabel( string)text(x,y,string)/gtext(str

16、ing)legend(string)x=linspace(0,2*pi,30);y=sin(x);z=cos(x);plot(x,y,r,x,z,go);title(曲線y1=sinx與y2=cosx); xlabel(x軸);ylabel(y軸); legend(y1=sin(x),y2=cos(x); gtext(y1=sin(x); gtext(y2=cos(x); 例例5 5二、繪制符號函數(shù)二維曲線圖：二、繪制符號函數(shù)二維曲線圖： ezplot ezplot即Easy to use function plotter，是一個易用的一元函數(shù)繪圖函數(shù) 。特別是在繪制參數(shù)函數(shù)和隱函數(shù)的圖像時，

17、ezplot要比plot更方便。因為plot繪制圖形時要指定自變量的范圍，而ezplot無需數(shù)據準備，直接繪出圖形。 u ezplot(f)上的圖形繪制 22 在區(qū)間 xf(x)f上的圖形繪制 在區(qū)間 bxaf(x)fu ezplot(f,a,b)上的圖形 22,22 在區(qū)間 0),(yxyxfu ezplot(f(x,y)( , )0 , f x yaxb cyd在區(qū)間上的圖形u ezplot(f(x,y),a,b,c,d)u ezplot(f,g,a,b)( ),( ) xf tyg tatb在區(qū)間上的圖形缺省的繪圖區(qū)間為缺省的繪圖區(qū)間為 -2-2 , 2, 2 ezplot的調用格式：的

18、調用格式：例例6 61、作圖y=sinx、 y=sinx，x -, 33cos0,2sinytxt在上畫出星形線的圖形。2、 2,0.5,0,2+sin()=0 xexy在上畫出隱函數(shù)的圖形。3、subplot(2,2,1);ezplot(sin(x);subplot(2,2,2);ezplot(sin(x),-pi,pi);subplot(2,2,3); ezplot(cos(t)3,sin(t)3,0,2*pi)subplot(2,2,4); ezplot(exp(x)+sin(x*y),-2,0.5,0,2) 例7 曲線的極坐標方程為： ，要作出它的圖形，應輸入：三、極坐標方程繪圖：三、

19、極坐標方程繪圖： polar如果想用利用曲線的極坐標方程作圖，可使用polar命令，其基本形式是： polar(theta,rho)3cos3theta=0:0.1:2*pi; rho=3*cos(3*theta); polar(theta,rho)或ezpolar(3*cos(3*t)其他相關命令其他相關命令u 保持當前窗口的圖像保持當前窗口的圖像hold on 或或 hold offu 新建繪圖窗口新建繪圖窗口figure(n)u 顯示網格顯示網格grid on 或或 grid offu 劃分繪圖區(qū)域劃分繪圖區(qū)域subplot(m,n,p) 在工程實踐中記錄分析數(shù)據，在教學科研中演示在工程

20、實踐中記錄分析數(shù)據，在教學科研中演示統(tǒng)計結果、用戶常需要使用一些特殊圖形。由于圖統(tǒng)計結果、用戶常需要使用一些特殊圖形。由于圖形的特殊性，故僅僅調用形的特殊性，故僅僅調用plot函數(shù)將很難繪制。函數(shù)將很難繪制。 針對這種情況，針對這種情況，MATLAB提供了若干特殊圖形繪提供了若干特殊圖形繪制函數(shù)。接下來主要介紹特殊圖形的繪制方法，主制函數(shù)。接下來主要介紹特殊圖形的繪制方法，主要圖形包括：條形圖、區(qū)域圖、餅狀圖、柱狀圖、要圖形包括：條形圖、區(qū)域圖、餅狀圖、柱狀圖、離散圖、羅盤圖、羽毛圖、輪廓圖以及箭頭圖等。離散圖、羅盤圖、羽毛圖、輪廓圖以及箭頭圖等。繪制和編輯特殊圖形繪制和編輯特殊圖形特殊二維繪

21、圖函數(shù)特殊二維繪圖函數(shù)bar 繪制直方圖hist 繪制統(tǒng)計直方圖stairs 繪制階梯圖stem 繪制火柴桿圖rose 繪制統(tǒng)計扇形圖comet 繪制彗星曲線area 區(qū)域圖pie 餅圖例例8 8subplot(3,2,1); %直方圖x=0:0.2:2*pi; y=cos(x); bar(y); subplot(3,2,2)；%階梯圖x=0:pi/20:2*pi;y=sin(x);stairs(x,y)subplot(3,2,3);%火柴棍圖x=0:0.2:2*pi; y=cos(x); stem(y)subplot(3,2,4);%餅形圖x=1 2 3 4 5 6 7;y=0 0 0 1

22、0 0 0;pie(x,y)subplot(3,2,5);%面積圖x=magic(6);area(x)subplot(3,2,6);%彗星圖x= -pi:pi/500:pi;y=tan(sin(x)-sin(tan(x); comet(x,y)三、空間三維繪圖函數(shù)三、空間三維繪圖函數(shù) 在很多場合，二維圖形遠遠滿足不了用戶的需求，為在很多場合，二維圖形遠遠滿足不了用戶的需求，為了可以呈現(xiàn)更加形象和逼真的三維圖形，了可以呈現(xiàn)更加形象和逼真的三維圖形，MATLAB提供提供了豐富的三維繪圖函數(shù)。雖然三維繪圖可以看成二維繪圖了豐富的三維繪圖函數(shù)。雖然三維繪圖可以看成二維繪圖的拓展，一些繪制函數(shù)調用格式十

23、分相似，很多圖形繪制的拓展，一些繪制函數(shù)調用格式十分相似，很多圖形繪制和設置函數(shù)也可以二、三維通用，但是三維圖形仍有其特和設置函數(shù)也可以二、三維通用，但是三維圖形仍有其特殊之處，例如需要進行二維圖形所沒有的視角、光照及透殊之處，例如需要進行二維圖形所沒有的視角、光照及透明度的設置。接下來主要結合以大家常用的三維曲線、網明度的設置。接下來主要結合以大家常用的三維曲線、網格和曲面圖為重點講解，介紹這些三維圖形的繪制方法。格和曲面圖為重點講解，介紹這些三維圖形的繪制方法。主要介紹主要介紹plot3、mesh、surf三維繪圖函數(shù)的調用方法三維繪圖函數(shù)的調用方法 和二維繪制函數(shù)和二維繪制函數(shù)plot相

24、對應，相對應，plot3函數(shù)是曲線繪制函數(shù)是曲線繪制函數(shù)在三維空間中的擴展，兩者的區(qū)別是：函數(shù)在三維空間中的擴展，兩者的區(qū)別是： plot3增增加了第三維的參數(shù)。加了第三維的參數(shù)。plot3函數(shù)的常用調用格式為：函數(shù)的常用調用格式為：plot3(x,y,z,s)。 x, y, ,z都是向量，則以都是向量，則以x中元素為橫坐標中元素為橫坐標, ,y中元素為中元素為縱坐標縱坐標, , z中元素為豎坐標中元素為豎坐標作平面曲線。此時作平面曲線。此時 x, y，z 必須必須具有相同長度（維數(shù)）。具有相同長度（維數(shù)）。 x, y,z是同維矩陣時，分別以對應列元素為坐標，曲是同維矩陣時，分別以對應列元素為

25、坐標，曲線條數(shù)等于矩陣的列數(shù)。線條數(shù)等于矩陣的列數(shù)。q 三維曲線三維曲線 ： plot3設三維曲線的參數(shù)方程為：設三維曲線的參數(shù)方程為：x=x(t),y=y(t),z=z(t),則其圖形可由下面的命令繪出則其圖形可由下面的命令繪出：例例9 9：三維螺旋線：三維螺旋線plot3的用法與的用法與 plot 類似類似 t=0:0.1:10*pi; x=2*t; y=sin(t); z=cos(t); plot3(x,y,z);plot3(x,y,z,s)q 空間曲面空間曲面 mesh(Z) 繪出矩陣繪出矩陣 Z 的三維消隱圖。的三維消隱圖。mesh(X,Y,Z) X, Y 是是向量向量時，時，len

26、gth(X)=n，length(Y)=m，m,n=size(Z)mesh(X,Y,Z,C)繪制由矩陣繪制由矩陣 X,Y,Z 所確定的曲面所確定的曲面網線圖網線圖，矩陣矩陣 C 用于確定網格顏色，省略時用于確定網格顏色，省略時 C=Z。mesh, meshc, meshzmeshc調用方式與調用方式與 mesh 相同，在相同，在xy面面繪制出函數(shù)的等值線繪制出函數(shù)的等值線meshz調用方式與調用方式與 mesh 相同，并畫出母線平行于相同，并畫出母線平行于Z軸的邊界面軸的邊界面u 網格生成函數(shù)：網格生成函數(shù)：meshgridx, y 為給定的向量，為給定的向量，X, Y 是網格劃分后得到的網格矩

27、陣是網格劃分后得到的網格矩陣u 繪制由函數(shù)繪制由函數(shù) z=z(x,y) 確定的曲面時，首先需產生一個網確定的曲面時，首先需產生一個網格矩陣，然后計算函數(shù)在各網格點上的值。格矩陣，然后計算函數(shù)在各網格點上的值。若若 x = y, 則可簡寫為則可簡寫為 X,Y= meshgrid(x)X,Y= meshgrid(x,y) x=-8:0.5:8; y=-8:0.5:8; X,Y= meshgrid(x,y); r=sqrt(X.2+Y.2)+eps; Z=sin(r)./r; mesh(X,Y,Z)例例10： 曲面圖是把網格圖表面的網格圍成的片狀區(qū)域用不同的色彩填充，而形成的彩色表面。除了網格空檔被

28、色彩填充之外，曲面圖與網格圖外觀是一樣的，但是前者更具立體感。MATLAB中的surf函數(shù)專門用于繪制三維著色曲面圖，其調用格式和對數(shù)據準備的要求上節(jié)的mesh函數(shù)相同.x=-8:0.5:8; y=-8:0.5:8;X,Y= meshgrid(x,y);r=sqrt(X.2+Y.2)+eps;Z=sin(r)./r; subplot(2,2,1) mesh(X,Y,Z) subplot(2,2,2) surf(X,Y,Z) subplot(2,2,3) surfc(X,Y,Z) subplot(2,2,4) surfl(X,Y,Z)例例11：cylinde(r,n) 三維柱面繪圖函數(shù)r為半徑；

29、n為柱面圓周等分數(shù)例12：繪制三維陀螺錐面及球面.t1=0:0.1:0.9;t2=1:0.1:2;r=t1,-t2+2;x,y,z=cylinder(r,30);subplot(1,2,1)surf(x,y,z);x,y,z=sphere(30);subplot(1,2,2)surf(x,y,z);課堂上機練習課堂上機練習上的圖形特征。在區(qū)間研究函數(shù)的圖形。畫出參數(shù)方程的圖形。內畫出函數(shù)在區(qū)間變化趨勢。的圖形觀察其周期性和和作出函數(shù)2 , 2)3(log3)(. 43cossin5coscos. 31sin 1 , 1. 2cottan. 135xexxfttyttxxyxyxyx5.做函數(shù)的

30、曲面圖223xxyyz6.畫出矩形域和圓域上的馬鞍面畫出y=arcsin x的圖象畫出y=sec x在0，pi之間的圖象在同一坐標系中畫出 的圖象畫出f(x)=(1-x) +(1+x) 的圖象，并根據圖象特點指出函數(shù)f(x)的奇偶性。畫出y=1+ln(x+2)及其反函數(shù)的圖象。畫出 及其反函數(shù)的圖象。233,yxyxyxyxyx321yx 了解有關分形的基本特性以及生成分形圖形的基本方 法，對分形幾何這門學科有一個直觀的了解。 掌握利用MATLAB軟件進行分形圖形生成的方法.函數(shù)的迭代、混沌與分形函數(shù)的迭代、混沌與分形【實驗目的】 早在19世紀末及20世紀初，一些科學家就構造出一些邊界形狀極不

31、光滑的圖形，這類圖形的構造方法都有一個共同的特點，即最終圖形F都是按照一定的規(guī)則R通過對初始圖形F不斷修改得到的，下面是幾個最具代表性的分形圖形及其生成方法。例1 1：Koch曲線及其構造方法 給定一條線段F0，將該線段三等分，并將中間一段用以該線段為邊的等邊三角形的另外兩邊代替，得到圖形F1；然后，再對圖形F1中每一小段都按照上述方式修改，直至無窮，則最后得到的極限曲線，即所謂的Koch曲線。 kkFlimF F0 F1 F2 F0 F1 F2 F3 F4 F5 Koch曲線的MATLAB程序如下：function koch(p,q,n)axis equalif (n=0) plot(p(1);q(1), p(2);q(2), LineWidth,1,Color,red); hold on;else c = q-p; c = -c(2); c(1); % 表示與c向量垂直的向量 c = (p+q)/2 + c/sqrt(12); % 求出向左側翹起 1/3的頂點坐標向量 c a = (2*p+q)/3; % 求出從 p 到 q 的 1/3 處端點坐標向量 a b = (p+2*q)/3; % 求出從 p 到 q 的 2/3 處端點坐標向量 b koch(p, a, n-1); % 對 pa 線段做下一回合