教育統(tǒng)計學第五章相關(guān)系數(shù)

1、第五章第五章 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)第一節(jié)第一節(jié) 相關(guān)概述相關(guān)概述第二節(jié)第二節(jié) 積差相關(guān)系數(shù)積差相關(guān)系數(shù)第三節(jié)第三節(jié) 其他相關(guān)系數(shù)其他相關(guān)系數(shù)第一節(jié)第一節(jié) 相關(guān)概述相關(guān)概述一、相關(guān)的含義一、相關(guān)的含義 客觀現(xiàn)象之間的數(shù)量聯(lián)系存在著客觀現(xiàn)象之間的數(shù)量聯(lián)系存在著函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系。當一個或幾個變量取定值時，另一個變量有確定的值與之當一個或幾個變量取定值時，另一個變量有確定的值與之對應(yīng)，稱為函數(shù)關(guān)系，可用對應(yīng)，稱為函數(shù)關(guān)系，可用Y=f(X)表示。表示。圖圖5-0(a) 函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系 所謂所謂相關(guān)相關(guān)就是指事物或現(xiàn)象之間的相互關(guān)系。事物之就是指事物或現(xiàn)象之間的相互關(guān)系。事物之間在數(shù)量上

2、的變化關(guān)系有的是屬于因果關(guān)系（一種現(xiàn)象是間在數(shù)量上的變化關(guān)系有的是屬于因果關(guān)系（一種現(xiàn)象是另一種現(xiàn)象的原因，另一種現(xiàn)象是這種現(xiàn)象的結(jié)果），有另一種現(xiàn)象的原因，另一種現(xiàn)象是這種現(xiàn)象的結(jié)果），有的卻不能直接作出因果關(guān)系的解釋。當一個或幾個相互聯(lián)的卻不能直接作出因果關(guān)系的解釋。當一個或幾個相互聯(lián)系的變量取一定數(shù)值時，與之相對應(yīng)的另一個變量的值雖系的變量取一定數(shù)值時，與之相對應(yīng)的另一個變量的值雖然不確定，但它仍然按某種規(guī)律在一定范圍內(nèi)變化，變量然不確定，但它仍然按某種規(guī)律在一定范圍內(nèi)變化，變量間的這種關(guān)系，被稱為間的這種關(guān)系，被稱為相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系，如圖，如圖5-0（b）。）。圖圖5-0（b）二、相關(guān)

3、的種類二、相關(guān)的種類（一）從變化方向上劃分（一）從變化方向上劃分 1、正相關(guān)。、正相關(guān)。兩個變量中，一個變量增大，另兩個變量中，一個變量增大，另一個變量對應(yīng)值也隨之增大；或一個變量值減小，一個變量對應(yīng)值也隨之增大；或一個變量值減小，另一個變量對應(yīng)值也隨之減小，兩列變量變化方另一個變量對應(yīng)值也隨之減小，兩列變量變化方向相同。如學生的學習成績與智商之間的關(guān)系；向相同。如學生的學習成績與智商之間的關(guān)系；教師工作積極性與學校民主管理程度之間的相關(guān)，教師工作積極性與學校民主管理程度之間的相關(guān)，學校辦學經(jīng)費與教學設(shè)施之間的相關(guān)等。學校辦學經(jīng)費與教學設(shè)施之間的相關(guān)等。2、負相關(guān)：、負相關(guān)：兩個變量中，一個變

4、量增大，另一個變量對應(yīng)值也隨之減少；或一個變量值減小，另一個變量對應(yīng)值也隨之增大，兩列變量變化方向相反。如學生學習能力水平與其解題時間的關(guān)系；運動員賽跑與所用時間之間的相關(guān)；學生學習能力與識記所用時間之間的相關(guān)等。3、零相關(guān)。、零相關(guān)。兩變量值的變化方向無規(guī)律。如兩變量值的變化方向無規(guī)律。如學生的身高與學生成績的變化關(guān)系。學生的身高與學生成績的變化關(guān)系。（二）從變量的個數(shù)上劃分（二）從變量的個數(shù)上劃分1、簡相關(guān)。、簡相關(guān)。兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系。如在兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系。如在一定年齡階段，兒童身高與年齡的關(guān)系。本課所一定年齡階段，兒童身高與年齡的關(guān)系。本課所研究的都是簡相關(guān)。研究的都是簡相關(guān)

5、。2、復(fù)相關(guān)。、復(fù)相關(guān)。一個變量與兩個或兩個以上變量一個變量與兩個或兩個以上變量間的相關(guān)關(guān)系。如教師教學的成效與教師思維能間的相關(guān)關(guān)系。如教師教學的成效與教師思維能力、教學方法、學生的學習準備情況之間的關(guān)系力、教學方法、學生的學習準備情況之間的關(guān)系。（三）從變量相互關(guān)系的程度上劃分（三）從變量相互關(guān)系的程度上劃分 1、高度相關(guān)。、高度相關(guān)。即兩個變量相互聯(lián)系非常密即兩個變量相互聯(lián)系非常密切。如大學生的學習成績和智商的關(guān)系。當兩個切。如大學生的學習成績和智商的關(guān)系。當兩個變量變化關(guān)系達到一一對應(yīng)的密切程度時，數(shù)量變量變化關(guān)系達到一一對應(yīng)的密切程度時，數(shù)量變化就是確定性關(guān)系了，則稱為完全相關(guān)。變化

6、就是確定性關(guān)系了，則稱為完全相關(guān)。 2、低度相關(guān)。、低度相關(guān)。即兩變量存在相互聯(lián)系，但即兩變量存在相互聯(lián)系，但其關(guān)系并不密切。其關(guān)系并不密切。三、相關(guān)散布圖三、相關(guān)散布圖它是表示它是表示兩種事物之間的相關(guān)性及聯(lián)系的兩種事物之間的相關(guān)性及聯(lián)系的模式模式。以直角坐標的橫軸表示。以直角坐標的橫軸表示x列變量，縱軸列變量，縱軸表示表示y列變量，在相關(guān)的兩變量對應(yīng)值的垂直列變量，在相關(guān)的兩變量對應(yīng)值的垂直相交處畫點，構(gòu)成相關(guān)散布圖。如圖相交處畫點，構(gòu)成相關(guān)散布圖。如圖5-1。圖圖5-1 散布圖散布圖相關(guān)散布圖的用途：相關(guān)散布圖的用途：1、判斷相關(guān)是否直線式。、判斷相關(guān)是否直線式。當兩變量之間呈曲線趨勢，

7、其相關(guān)散布當兩變量之間呈曲線趨勢，其相關(guān)散布圖呈圖呈彎月狀彎月狀，說明兩變量之間是，說明兩變量之間是非線性關(guān)非線性關(guān)系系，如圖，如圖5-2(a)。圖圖5-2(a) 曲線相關(guān)曲線相關(guān) 當兩變量間當兩變量間呈線性趨勢呈線性趨勢，其相關(guān)散布圖是，其相關(guān)散布圖是橢橢圓形圓形，說明兩變量之間是，說明兩變量之間是線性關(guān)系線性關(guān)系，稱為，稱為直線相直線相關(guān)關(guān)，如圖，如圖5-2(b)。圖圖5-2(b) 直線相關(guān)直線相關(guān)2、判斷相關(guān)密切程度高低、判斷相關(guān)密切程度高低 相關(guān)散布圖的相關(guān)散布圖的形狀和疏密形狀和疏密，反映著，反映著相關(guān)程度相關(guān)程度的高低的高低。如圖。如圖5-3（a），散布圖的），散布圖的橢圓形狀較狹

8、橢圓形狀較狹長，稱為高度相關(guān)長，稱為高度相關(guān)。圖圖5-3（a） 高度相關(guān)高度相關(guān) 如果散布圖的如果散布圖的橢圓形狀比較粗橢圓形狀比較粗，稱為，稱為低度相低度相關(guān)。關(guān)。如圖如圖5-3（b）。）。圖圖5-3b 低度相關(guān)低度相關(guān) 3、判斷相關(guān)變化方向、判斷相關(guān)變化方向 正相關(guān)：正相關(guān)：散布點主要位于一、三象限。如圖散布點主要位于一、三象限。如圖5-4（a）,即一個變量增加（或減少），另一個變量也增加即一個變量增加（或減少），另一個變量也增加（或減少）。（或減少）。圖圖5-4（a） 正相關(guān)正相關(guān)負相關(guān)：負相關(guān)：若散布點主要位于二、四象限，如圖若散布點主要位于二、四象限，如圖5-4（b）,即一個變量增加

9、（或減少），另一個變量即一個變量增加（或減少），另一個變量也減少（或增加）。也減少（或增加）。圖圖5-4（b） 負相關(guān)負相關(guān)零相關(guān)：零相關(guān)：散布點的變化無一定規(guī)律。散點的分布散布點的變化無一定規(guī)律。散點的分布沒有明顯集中在某一方向的趨勢，形成圓形區(qū)域沒有明顯集中在某一方向的趨勢，形成圓形區(qū)域時，兩變量之間的關(guān)系為零相關(guān)。如圖時，兩變量之間的關(guān)系為零相關(guān)。如圖5-4（c）。）。圖圖5-4（c）零相關(guān)零相關(guān)四、相關(guān)系數(shù)四、相關(guān)系數(shù)通過相關(guān)散布圖的形狀，我們大概可以通過相關(guān)散布圖的形狀，我們大概可以判斷變量之間判斷變量之間相關(guān)程度的強弱、方向和性相關(guān)程度的強弱、方向和性質(zhì)，質(zhì)，但并不能得知其相關(guān)的確

10、切程度。為但并不能得知其相關(guān)的確切程度。為精確了解變量間的相關(guān)程度，還需作進一精確了解變量間的相關(guān)程度，還需作進一步統(tǒng)計分析，求出步統(tǒng)計分析，求出描述變量間相關(guān)程度與描述變量間相關(guān)程度與變化方向的量數(shù)，即相關(guān)系數(shù)。變化方向的量數(shù)，即相關(guān)系數(shù)?？傮w相關(guān)總體相關(guān)系數(shù)用系數(shù)用（讀（讀“柔柔”）表示，樣本相關(guān)系）表示，樣本相關(guān)系數(shù)用數(shù)用r r表示。表示。相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)r的取值范圍是的取值范圍是-1r 1-1r 1，一般，一般取小數(shù)點后兩位。取小數(shù)點后兩位。 r r的的正負號正負號表明兩變量間表明兩變量間變變化的方向化的方向；|r|r|表明兩變量間表明兩變量間相關(guān)的程度相關(guān)的程度，r0r0表示表示正相

11、關(guān)正相關(guān)，r0r0表示表示負相關(guān)負相關(guān)，r=0r=0表示表示零相關(guān)零相關(guān)。|r|r|越接近于越接近于1 1，表明兩變量相關(guān)程度越高，它，表明兩變量相關(guān)程度越高，它們之間的關(guān)系越密切。們之間的關(guān)系越密切。附加說明附加說明：（1）兩變量間存在相關(guān)，僅意味著變量間有關(guān)聯(lián)，）兩變量間存在相關(guān)，僅意味著變量間有關(guān)聯(lián)，并不一定是因果關(guān)系。并不一定是因果關(guān)系。（2）相關(guān)系數(shù)不是等距的測量單位。）相關(guān)系數(shù)不是等距的測量單位。r是一個比值，不是由相等單位度量而來，不能進是一個比值，不是由相等單位度量而來，不能進行加、減、乘、除運算。如行加、減、乘、除運算。如r1=0.25,r2=0.5,r3=0.75，不能認為

12、不能認為r1=r3-r2或或r2=2r1。（3）相關(guān)系數(shù)受變量取值區(qū)間大小及觀測值個數(shù)）相關(guān)系數(shù)受變量取值區(qū)間大小及觀測值個數(shù)的影響較大。的影響較大。變量的取值區(qū)間越大，觀測值個數(shù)越多，相關(guān)變量的取值區(qū)間越大，觀測值個數(shù)越多，相關(guān)系數(shù)受抽樣誤差的影響越小，結(jié)果就越可靠，如果系數(shù)受抽樣誤差的影響越小，結(jié)果就越可靠，如果數(shù)據(jù)較少，本不相關(guān)的兩列變量，計算的結(jié)果可能數(shù)據(jù)較少，本不相關(guān)的兩列變量，計算的結(jié)果可能相關(guān)，如學生的身高與學習成績。本書所舉例題，相關(guān)，如學生的身高與學習成績。本書所舉例題，數(shù)據(jù)較少，僅為說明計算方法時較方便。數(shù)據(jù)較少，僅為說明計算方法時較方便。（4）相關(guān)系數(shù)在特定情況下使用才具

13、有意義。）相關(guān)系數(shù)在特定情況下使用才具有意義。如高中生身高與體重的相關(guān)系數(shù)用在兒童身上如高中生身高與體重的相關(guān)系數(shù)用在兒童身上就沒有意義。就沒有意義。（5）通過實際觀測值計算的相關(guān)系數(shù)，須經(jīng)過顯）通過實際觀測值計算的相關(guān)系數(shù)，須經(jīng)過顯著性檢驗確定其是否有意義。著性檢驗確定其是否有意義。表表5-0 |r|的取值與相關(guān)程度的取值與相關(guān)程度*如何判斷兩個變量的相關(guān)性如何判斷兩個變量的相關(guān)性（1）找出兩個變量的正確相應(yīng)數(shù)據(jù)。）找出兩個變量的正確相應(yīng)數(shù)據(jù)。（2）畫出它們的散布圖（散點圖）。）畫出它們的散布圖（散點圖）。（3）通過散布圖判斷它們的相關(guān)性。）通過散布圖判斷它們的相關(guān)性。（4）給出相關(guān)（）給出

14、相關(guān)（r）的解答。）的解答。（5）對結(jié)果進行評價和檢驗。）對結(jié)果進行評價和檢驗。兩個變量之間是否相關(guān)，要有充分的理論依據(jù)，兩個變量之間是否相關(guān)，要有充分的理論依據(jù)，并排除共變因素的影響并排除共變因素的影響。第二節(jié)第二節(jié) 積差相關(guān)系數(shù)積差相關(guān)系數(shù)一、概念及適用條件一、概念及適用條件（一）概念（一）概念積差相關(guān)積差相關(guān)，又稱，又稱積矩相關(guān)或皮爾遜相關(guān)。積矩相關(guān)或皮爾遜相關(guān)。 （英國統(tǒng)計學家皮（英國統(tǒng)計學家皮爾遜（爾遜（pearson）于）于20世紀初提出的一種計算相關(guān)的方法）。世紀初提出的一種計算相關(guān)的方法）。公式為公式為yxNxyr(5.1)。Y；Xyx的標準差為的標準差為即變量的離差為即變量的

15、離差為式中;Y-Yy，Yy;X-Xx，Xx：（二）適用條件（二）適用條件1、兩變量均應(yīng)由測量得到的、兩變量均應(yīng)由測量得到的連續(xù)變量連續(xù)變量。2、兩變量所來自的總體都應(yīng)是、兩變量所來自的總體都應(yīng)是正態(tài)分布，正態(tài)分布，或接近正態(tài)的或接近正態(tài)的單峰對稱分布單峰對稱分布。 3、變量必須是、變量必須是成對的數(shù)據(jù)，樣本容量要成對的數(shù)據(jù)，樣本容量要大大。4、兩變量間為、兩變量間為線性關(guān)系線性關(guān)系。（三）積差相關(guān)條件的判斷方法（三）積差相關(guān)條件的判斷方法根據(jù)得到數(shù)據(jù)的方式判斷，測量數(shù)據(jù)。根據(jù)得到數(shù)據(jù)的方式判斷，測量數(shù)據(jù)。一般情況下，正常人群的身高、體重、智力水平、一般情況下，正常人群的身高、體重、智力水平、教

16、育（與心理）測驗的結(jié)果，都可按總體正態(tài)分布對待；教育（與心理）測驗的結(jié)果，都可按總體正態(tài)分布對待；如果要求比較高，則需要對數(shù)據(jù)進行正態(tài)性檢驗。如果要求比較高，則需要對數(shù)據(jù)進行正態(tài)性檢驗。根據(jù)相關(guān)散布圖可判斷兩個變量之間是否線性關(guān)系。根據(jù)相關(guān)散布圖可判斷兩個變量之間是否線性關(guān)系。二、計算方法二、計算方法（一）基本公式計算法（一）基本公式計算法步驟：步驟： r。xyxy、Y、Xyx求得將上述數(shù)據(jù)代入公式計算計算計算, 1 . 54;3;2;1計算得到了相關(guān)系數(shù)，還不能確定這兩個變量一定具有相關(guān)計算得到了相關(guān)系數(shù)，還不能確定這兩個變量一定具有相關(guān)關(guān)系，需要對相關(guān)系數(shù)進行顯著性檢驗之后，才能做出判斷。

17、關(guān)系，需要對相關(guān)系數(shù)進行顯著性檢驗之后，才能做出判斷。X 例例1 某學校為調(diào)查學生學習各科目之間的能某學校為調(diào)查學生學習各科目之間的能力遷移問題，隨機抽取力遷移問題，隨機抽取10名學生的政治與語文成績名學生的政治與語文成績見表見表5-1，請計算其相關(guān)程度。，請計算其相關(guān)程度。X解：依表解：依表5-1的資料，計算結(jié)果為的資料，計算結(jié)果為475. 0337. 4454. 41080.91yxNxyr 即即 10名學生的政治與語文成績的名學生的政治與語文成績的相關(guān)程度為相關(guān)程度為0.475。（二）原始數(shù)據(jù)計算法（二）原始數(shù)據(jù)計算法NYYNXXNYXXYr/2222課后練習：用原始數(shù)據(jù)計算法計算例課后

18、練習：用原始數(shù)據(jù)計算法計算例5-1。 兩種公式計算結(jié)果相同，但以原始數(shù)據(jù)的計兩種公式計算結(jié)果相同，但以原始數(shù)據(jù)的計算公式更為簡捷和準確。算公式更為簡捷和準確。yxNYXNxyr(5.3),yxYX如果如果已知已知第三節(jié)第三節(jié) 其他相關(guān)系數(shù)其他相關(guān)系數(shù)一、等級相關(guān)系數(shù)一、等級相關(guān)系數(shù)等級相關(guān)（等級相關(guān)（rank correlationrank correlation）是指以）是指以等級等級次序排列或以等級次序次序排列或以等級次序表示的表示的變量之間變量之間的相的相關(guān)。關(guān)。 主要包括主要包括斯皮爾曼（斯皮爾曼（spearmanspearman）二列等級相）二列等級相關(guān)和肯德爾和諧系數(shù)（關(guān)和肯德爾和

19、諧系數(shù)（the kandall the kandall coefficient of concordancecoefficient of concordance）多列等級）多列等級相相關(guān)關(guān)。一、等級相關(guān)系數(shù)一、等級相關(guān)系數(shù)（一）斯皮爾曼等級相關(guān)（一）斯皮爾曼等級相關(guān)1、概念及適用條件、概念及適用條件（1）概念）概念兩變量是兩變量是等級測量數(shù)據(jù)等級測量數(shù)據(jù)，且，且總體不一定呈正態(tài)總體不一定呈正態(tài)分布分布，樣本容量，樣本容量也不一定大于也不一定大于30，這樣兩變量的相，這樣兩變量的相關(guān)，稱為等級相關(guān)（斯皮爾曼相關(guān)）關(guān)，稱為等級相關(guān)（斯皮爾曼相關(guān)）當連續(xù)數(shù)據(jù)不能滿足計算積差相關(guān)的條件時，可以當連續(xù)數(shù)

20、據(jù)不能滿足計算積差相關(guān)的條件時，可以轉(zhuǎn)換成等級數(shù)據(jù)從而計算斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)。轉(zhuǎn)換成等級數(shù)據(jù)從而計算斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)。（2）適用條件）適用條件兩變量的資料為等級測量數(shù)據(jù)，且具有線性關(guān)系。兩變量的資料為等級測量數(shù)據(jù)，且具有線性關(guān)系。連續(xù)變量的測量數(shù)據(jù)，按其大小排成等級，亦可用等級連續(xù)變量的測量數(shù)據(jù)，按其大小排成等級，亦可用等級相關(guān)計算。相關(guān)計算。不要求總體呈正態(tài)分布。不要求總體呈正態(tài)分布。2 2、計算方法、計算方法)1(6122NNDrR式中：式中：D為兩變量每對數(shù)據(jù)的等級之差；為兩變量每對數(shù)據(jù)的等級之差；N表示樣本容量。表示樣本容量。(5.4)計算步驟：計算步驟：（1）計算兩變量等級之差

21、）計算兩變量等級之差D；（2）計算）計算D2；（3）計算）計算 D2；（4）代入公式（）代入公式（5.4）,求得求得rR 例例3 求求10名學生的語文成績與閱讀能力成績名學生的語文成績與閱讀能力成績之間的等級相關(guān)系數(shù)。之間的等級相關(guān)系數(shù)。表表5-3 10名學生的語文成績與閱讀能力成績相關(guān)計算表名學生的語文成績與閱讀能力成績相關(guān)計算表解：將有關(guān)數(shù)據(jù)代入公式（解：將有關(guān)數(shù)據(jù)代入公式（5.4）得）得927. 01100101261) 1(6122NNDrR 如果求相關(guān)的是如果求相關(guān)的是連續(xù)變量連續(xù)變量，計算時先把兩組數(shù)據(jù)，計算時先把兩組數(shù)據(jù)分別分別按大小排成等級按大小排成等級，最大值取為最大值取為1

22、等，其它類推。等，其它類推。若出現(xiàn)若出現(xiàn)相同的等級分數(shù)相同的等級分數(shù)時，可用它們所占等級位置的時，可用它們所占等級位置的平均數(shù)平均數(shù)作為它們的等級。作為它們的等級。 例例4 某校為了研究學生自學能力與學業(yè)成績之間的關(guān)系，隨機抽某校為了研究學生自學能力與學業(yè)成績之間的關(guān)系，隨機抽取取10名學生的自學能力和學科成績，見表名學生的自學能力和學科成績，見表5-4，求其相關(guān)系數(shù)。，求其相關(guān)系數(shù)。表表5-4 10名學生的自學能力和學科成績相關(guān)計算表名學生的自學能力和學科成績相關(guān)計算表解：解：85. 01100105 .2561) 1(6122NNDrR即學生的自學能力與學習成績的相關(guān)程度為即學生的自學能力

23、與學習成績的相關(guān)程度為0.85。 如果有相同等級時如果有相同等級時,可用它們所占等可用它們所占等級位置的平均數(shù)作為它們的等級。級位置的平均數(shù)作為它們的等級。（二）肯德爾和諧系數(shù)（二）肯德爾和諧系數(shù) 肯德爾等級相關(guān)方法有許多種，肯德爾和肯德爾等級相關(guān)方法有許多種，肯德爾和諧系數(shù)是其中一種。諧系數(shù)是其中一種。 肯德爾和諧系數(shù)常以肯德爾和諧系數(shù)常以r表示，適用于多表示，適用于多列等級變量的資料。列等級變量的資料。 肯德爾和諧系數(shù)可以反映多個等級變量變肯德爾和諧系數(shù)可以反映多個等級變量變化的一致性?；囊恢滦?。1、概念及適用條件、概念及適用條件（1）概念）概念 當當多個變量值多個變量值以以等級順序等級

24、順序表示時，這幾個變量表示時，這幾個變量之間的一致性程度，稱為之間的一致性程度，稱為肯德爾和諧系數(shù)或肯德爾肯德爾和諧系數(shù)或肯德爾W系數(shù)。系數(shù)。（二）肯德爾和諧系數(shù)二）肯德爾和諧系數(shù)（2）適用條件）適用條件 適用于適用于兩列以上等級變量兩列以上等級變量。如了解幾個評定者對。如了解幾個評定者對同一組學生成績等級評定的一致性程度等。同一組學生成績等級評定的一致性程度等。2、計算方法、計算方法它以符號它以符號W表示，公式為表示，公式為。n；KnRRSS，R：SSnnKssWRRR為被評對象的數(shù)目價者數(shù)目為等級變量的列數(shù)或評的離差平方和為式中;/1212232計算步驟：計算步驟：（1）分別計算每個被評對

25、象等級之和）分別計算每個被評對象等級之和R；（2）計算）計算R2值和值和R2；（3）計算）計算SSR；（4）將有關(guān)數(shù)值代入公式（）將有關(guān)數(shù)值代入公式（5.6）,求得求得W。例例5 某評價小組某評價小組7人依據(jù)已確定的人依據(jù)已確定的4項內(nèi)容對某教項內(nèi)容對某教師打分，將分數(shù)轉(zhuǎn)換為等級后的結(jié)果見表師打分，將分數(shù)轉(zhuǎn)換為等級后的結(jié)果見表5-5，求，求這這7人對該教師評價意見的一致性程度。人對該教師評價意見的一致性程度。表表5-5 7人評價某教師意見資料表人評價某教師意見資料表161.04471214705.126412132232nnKssWR解：將上述數(shù)據(jù)代入公式（解：將上述數(shù)據(jù)代入公式（5.5）中得

26、）中得 實際上，當出現(xiàn)相同等級時，應(yīng)校正實際上，當出現(xiàn)相同等級時，應(yīng)校正W系數(shù)，系數(shù)，其校正公式為其校正公式為CKnnKssWRc32121。tttC為相同等級數(shù)式中12:3例例5中第一個人評的有中第一個人評的有2個等級相同，第二個人評個等級相同，第二個人評的有的有2個個3.5和和2個個1.5等級等級所以所以CC為為5 . 612331222123312221222122212223333333C198. 05 . 674471215 .391213232CKnnKssWRc質(zhì)與量的相關(guān)質(zhì)與量的相關(guān) 一個變量為一個變量為性質(zhì)性質(zhì)變量，變量，另一個變量為另一個變量為數(shù)量數(shù)量變量，變量，這樣的兩個

27、變量之間的相這樣的兩個變量之間的相關(guān)稱為關(guān)稱為質(zhì)與量質(zhì)與量的相關(guān)。的相關(guān)。 （一）概念及適用條件（一）概念及適用條件1、概念、概念兩列變量兩列變量一列是正態(tài)連續(xù)變量一列是正態(tài)連續(xù)變量，另一列是二分變量另一列是二分變量，描述這兩個變量之間的相關(guān)，稱為描述這兩個變量之間的相關(guān)，稱為點二列相關(guān)點二列相關(guān)。二、點二列相關(guān)二、點二列相關(guān)2、適用條件、適用條件一列是一列是正態(tài)連續(xù)變量正態(tài)連續(xù)變量，另一列是，另一列是二分變量二分變量（如男與（如男與女，對與錯等）。有時一個變量并非真正的二分變女，對與錯等）。有時一個變量并非真正的二分變量，而是量，而是雙峰分布雙峰分布的變量，也可以用的變量，也可以用點二列相關(guān)

28、點二列相關(guān)來來表示。表示。 （二）計算方法（二）計算方法點二列相關(guān)系數(shù)以表示點二列相關(guān)系數(shù)以表示rpb，公式為，公式為qpqXXrxppb 式中：式中：p為二分變量中某一項所占比例；為二分變量中某一項所占比例；q為二為二分變量中另一項所占比例，分變量中另一項所占比例，p+q=1; 為二分變量中為二分變量中比例為比例為p部分所對應(yīng)的連續(xù)變量的部分所對應(yīng)的連續(xù)變量的平均數(shù)平均數(shù)； 為二分為二分變量中比例為變量中比例為q部分所對應(yīng)的連續(xù)變量的部分所對應(yīng)的連續(xù)變量的平均數(shù)平均數(shù).x x為連續(xù)變量的為連續(xù)變量的標準差標準差。pXqX 例例6 隨機抽取某區(qū)初二數(shù)學期末考試卷隨機抽取某區(qū)初二數(shù)學期末考試卷1

29、5份，試計算第二題的得份，試計算第二題的得分與總分相一致的程度（即試題的區(qū)分度，它是衡量試題鑒別能分與總分相一致的程度（即試題的區(qū)分度，它是衡量試題鑒別能力的指標值）。數(shù)據(jù)見表力的指標值）。數(shù)據(jù)見表5-6。表表5-6 數(shù)據(jù)表數(shù)據(jù)表pXqX分2 .87pX分4 .82qX解：（解：（1）求答對第二題的比率）求答對第二題的比率p和答錯的和答錯的比率比率q：p=10/15=0.67q=1-p=0.33(2)求求 和和 ，分別為答對和答錯第二題學，分別為答對和答錯第二題學生成績的平均數(shù)：生成績的平均數(shù)：297. 033. 067. 0597. 74 .822 .87pbr即該試卷第二題的區(qū)分度為即該試

30、卷第二題的區(qū)分度為0.297。(3) 求求x x, ,所有考生的總分的標準差：所有考生的總分的標準差： x x=7.597(=7.597(分分) )將上述數(shù)據(jù)代入公式（將上述數(shù)據(jù)代入公式（5.75.7）, ,可得可得品質(zhì)相關(guān)品質(zhì)相關(guān) 兩個變量都是兩個變量都是按性質(zhì)劃分成幾種類別按性質(zhì)劃分成幾種類別，表示，表示這兩個變量之間的相關(guān)稱為這兩個變量之間的相關(guān)稱為品質(zhì)相關(guān)品質(zhì)相關(guān)。 品質(zhì)相關(guān)處理的一般是品質(zhì)相關(guān)處理的一般是計數(shù)數(shù)據(jù)計數(shù)數(shù)據(jù)而不是而不是連續(xù)連續(xù)數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)，主要用于，主要用于雙向表或稱為列聯(lián)表雙向表或稱為列聯(lián)表（RC表）。表）。 品質(zhì)相關(guān)的方法有多種，最常用的是品質(zhì)相關(guān)的方法有多種，最常用的

31、是相關(guān)相關(guān)和列聯(lián)相關(guān)和列聯(lián)相關(guān)。（一）概念及適用條件（一）概念及適用條件1 1、概念、概念當兩變量均為二分變量時，描述這兩個變量之間當兩變量均為二分變量時，描述這兩個變量之間的相關(guān)，稱為的相關(guān)，稱為 相關(guān)。相關(guān)。（兩個變量都是人為二分變量兩個變量都是人為二分變量的情況除外）。的情況除外）。2、適用條件、適用條件兩變量均為兩變量均為二分變量二分變量；或資料整理為；或資料整理為22列列聯(lián)表聯(lián)表一形式。一形式。三、三、相關(guān)相關(guān)（二）計算方法（二）計算方法 相關(guān)以符號相關(guān)以符號r r 表示，其計算公式為表示，其計算公式為)()(dcdbcababcadr 式中：式中：a、b、c、d分別表示四格表中的實

32、際次數(shù)，如表分別表示四格表中的實際次數(shù)，如表5-7所示。所示。表表5-7 22列聯(lián)表列聯(lián)表：當兩個變量都各分為兩類時，數(shù)據(jù)在統(tǒng)計表中占有四個單元格，因此這類統(tǒng)計表又稱為四格表。相關(guān)就適用于四格表。 例例7 某區(qū)為研究性別與學習數(shù)學的關(guān)系，隨某區(qū)為研究性別與學習數(shù)學的關(guān)系，隨機抽取機抽取100名學生，以數(shù)學成績名學生，以數(shù)學成績85分為線進行分類，分為線進行分類，求性別與數(shù)學成績間的相關(guān)系數(shù)求性別與數(shù)學成績間的相關(guān)系數(shù)。表表5-8 100名學生成績分布表名學生成績分布表065. 0)2229)(2218)(2931(183129182231r即性別與數(shù)學成績間的相關(guān)系數(shù)為即性別與數(shù)學成績間的相關(guān)

33、系數(shù)為0.065。解：將表中數(shù)據(jù)代入公式（解：將表中數(shù)據(jù)代入公式（5.8）中，得）中，得 從高中入學考試的英語試卷從高中入學考試的英語試卷中抽取中抽取100份，并將成績分份，并將成績分為為和和。其。其中中中等以上的有中等以上的有15人，人，中等以下的有中等以下的有31人；人；中中等以上的有等以上的有36人，中等以下人，中等以下的有的有18人。問英語測驗成績?nèi)恕栍⒄Z測驗成績與性別是否存在相關(guān)？與性別是否存在相關(guān)？列表：列表：dbcadcbabcadr3396. 05446495136311815怎樣解釋怎樣解釋這一結(jié)果？這一結(jié)果？怎樣理解怎樣理解負相關(guān)？負相關(guān)？計算：計算：補充：列聯(lián)相關(guān)補充：列聯(lián)相關(guān) 當兩個變量均被分成兩個以上類別，當兩個變量均被分成兩個以上類別，或其中一個變量被分成兩個以上類別，或其中一個變量被分成兩個以上類別，表示這兩個變量之間的相關(guān)，稱為列表示這兩個變量之間的相關(guān)，稱為列聯(lián)相關(guān)。聯(lián)相關(guān)。 列聯(lián)相關(guān)系數(shù)是由列聯(lián)相關(guān)系數(shù)是由的列聯(lián)表求的列聯(lián)表求得的，因此稱為列聯(lián)相關(guān)。最常用的得的，因此稱為列聯(lián)相關(guān)。最常用的是皮爾遜定義的列聯(lián)相關(guān)系數(shù)。是皮爾遜定義的列聯(lián)相關(guān)系數(shù)。列聯(lián)相關(guān)系數(shù)的計算列聯(lián)相關(guān)系數(shù)的計算 公式中：為列聯(lián)相關(guān)系數(shù)公式中：為列聯(lián)相關(guān)系數(shù)值是經(jīng)檢驗計算的結(jié)果值是經(jīng)檢驗計算的結(jié)果n是樣本的容量是樣本的容量22NC（