工程力學實驗-理論力學實驗

1、1實驗一、理論力學實驗、振動基礎實驗實驗一、理論力學實驗、振動基礎實驗4-1-1單自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的剛度和固有頻率測定單自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的剛度和固有頻率測定4-1-3 用實驗方法求不規(guī)則物體重心用實驗方法求不規(guī)則物體重心4-1-4 比較漸加、突加、沖擊和振動四種不同類型載荷比較漸加、突加、沖擊和振動四種不同類型載荷 4-1-5 用用“三線擺三線擺”法驗證均質(zhì)圓盤轉(zhuǎn)動慣量理論公式法驗證均質(zhì)圓盤轉(zhuǎn)動慣量理論公式4-3-1 測定梁的各階固有頻率測定梁的各階固有頻率2 周期運動的最簡單形式周期運動的最簡單形式是簡諧振動。即用時間是簡諧振動。即用時間t的正的正弦或余弦函數(shù)表示的運動規(guī)弦或余弦函數(shù)表示

2、的運動規(guī)律。其一般表達式為律。其一般表達式為 sin()1nxAt（） 實驗實驗4-1-1中單自由度質(zhì)中單自由度質(zhì)量彈簧系統(tǒng)振動和實驗量彈簧系統(tǒng)振動和實驗4-1-5中中三線擺在微小偏轉(zhuǎn)后自然釋放三線擺在微小偏轉(zhuǎn)后自然釋放都可以看成是簡諧振動。都可以看成是簡諧振動。 理論力學多功能實驗臺 3實驗原理實驗原理 由彈簧質(zhì)量組成的振動系統(tǒng)，在彈簧的線性變形范由彈簧質(zhì)量組成的振動系統(tǒng)，在彈簧的線性變形范圍內(nèi)，系統(tǒng)的變形和所受到的外力的大小成線性關系。圍內(nèi)，系統(tǒng)的變形和所受到的外力的大小成線性關系。據(jù)此，施加不同的力，得到不同的變形，由此計算系統(tǒng)據(jù)此，施加不同的力，得到不同的變形，由此計算系統(tǒng)的剛度和固有

3、頻率的剛度和固有頻率fn。式中：式中：m為系統(tǒng)的質(zhì)量。為系統(tǒng)的質(zhì)量。(m應該應該取塑料模型及托盤的總質(zhì)量取塑料模型及托盤的總質(zhì)量0.138Kg)Fk12nkfm實驗目的實驗目的1測定單自由度系統(tǒng)的等效剛度測定單自由度系統(tǒng)的等效剛度k。2計算彈簧質(zhì)量振動系統(tǒng)的固有頻率計算彈簧質(zhì)量振動系統(tǒng)的固有頻率fn。 4-1-1單自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的剛度和固有頻率測定單自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的剛度和固有頻率測定4 4-1-5 用用“三線擺三線擺”法驗證均質(zhì)圓盤轉(zhuǎn)動慣量理論公式法驗證均質(zhì)圓盤轉(zhuǎn)動慣量理論公式實驗目的實驗目的 1. 了解并掌握用了解并掌握用“三線擺三線擺”方法測取物體轉(zhuǎn)動慣量的方方法測取物體轉(zhuǎn)動慣量的

4、方法。法。2. 分析分析“三線擺三線擺”擺長對測量的誤差。擺長對測量的誤差。 三線擺示意圖 “三線擺三線擺”是測取轉(zhuǎn)動慣量的一種常用是測取轉(zhuǎn)動慣量的一種常用方法。給擺一個微小偏轉(zhuǎn)，然后自然釋放，方法。給擺一個微小偏轉(zhuǎn)，然后自然釋放，擺就會產(chǎn)生扭振。同樣的擺線長，不同的轉(zhuǎn)擺就會產(chǎn)生扭振。同樣的擺線長，不同的轉(zhuǎn)動慣量，擺動的周期是不相同的；而同樣的動慣量，擺動的周期是不相同的；而同樣的轉(zhuǎn)動慣量，不同的擺長，擺動的周期也不相轉(zhuǎn)動慣量，不同的擺長，擺動的周期也不相同。因此，同。因此，“三線擺三線擺”的擺動周期不僅與物的擺動周期不僅與物體的轉(zhuǎn)動慣量有關，而且與擺線的長度也有體的轉(zhuǎn)動慣量有關，而且與擺線的

5、長度也有關。根據(jù)擺的線長和擺動周期，可以推算出關。根據(jù)擺的線長和擺動周期，可以推算出三線擺在線性振動范圍內(nèi)圓盤轉(zhuǎn)動慣量計算三線擺在線性振動范圍內(nèi)圓盤轉(zhuǎn)動慣量計算公式為公式為2224cmgr TJl5 式中：式中：Jc為圓盤對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量；為圓盤對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量；m為圓盤質(zhì)量；為圓盤質(zhì)量； l為為擺線長；擺線長；r為懸線到轉(zhuǎn)軸的距離；為懸線到轉(zhuǎn)軸的距離；T為圓盤的擺動周期。為圓盤的擺動周期。 按下式計算圓盤的轉(zhuǎn)動慣量理論值：22th1()/kg.m22DJm注意事項注意事項 1. 不規(guī)則物體的軸心應與圓盤中心重合。不規(guī)則物體的軸心應與圓盤中心重合。 2. 擺的初始角應小于或等于擺的初始角應小于

6、或等于5。3. 兩個擺的線長應一致。兩個擺的線長應一致。 4. 實際測試時，不應有較大幅度的平動。實際測試時，不應有較大幅度的平動。 2max202max0max2121nkJJE能：圓盤扭轉(zhuǎn)振動時最大動lTmgrJlJmgrTflJmgrlrmgmglEcnnp222020222max2maxmax4211,21)cos1 (因此有：能：圓盤扭轉(zhuǎn)振動時最大勢6實驗原理實驗原理 物體的重心位置是固定不變的。利用柔軟細繩的受力特點及兩物體的重心位置是固定不變的。利用柔軟細繩的受力特點及兩力平衡原理，可以用懸掛的方法確定其重心的位置。利用平面力平衡原理，可以用懸掛的方法確定其重心的位置。利用平面一

7、般力系的平衡條件，測取桿件的重心位置和物體的重量。一般力系的平衡條件，測取桿件的重心位置和物體的重量。 實驗方法實驗方法（1）垂吊法）垂吊法 將型鋼片狀試件，用細繩將其垂吊在上將型鋼片狀試件，用細繩將其垂吊在上頂板前端的螺釘上，以此可確定此狀態(tài)下頂板前端的螺釘上，以此可確定此狀態(tài)下的一條重力作用線；另換一位置垂吊，又的一條重力作用線；另換一位置垂吊，又可確定另一條重力作用線。通過兩種垂吊可確定另一條重力作用線。通過兩種垂吊狀態(tài)下的重力作用線，便可確定此物體的狀態(tài)下的重力作用線，便可確定此物體的重心位置。重心位置。4-1-3 用實驗方法求不規(guī)則物體重心用實驗方法求不規(guī)則物體重心7（2）稱重法）稱

8、重法 使用連桿、水平儀、積木和臺稱，利用已學力學知使用連桿、水平儀、積木和臺稱，利用已學力學知識，用稱重法求出連桿的重量，并確定其重心位置。識，用稱重法求出連桿的重量，并確定其重心位置。WlFxxWlFMFFWNccNNN221210重心位置：根據(jù)：重量：8實驗原理實驗原理 漸加載荷、突加載荷、沖擊載荷和振動載荷是常見的漸加載荷、突加載荷、沖擊載荷和振動載荷是常見的四種載荷。將不同類型的載荷作用在同一臺秤上，可以方四種載荷。將不同類型的載荷作用在同一臺秤上，可以方便地觀察到各自的作用力與時間的關系曲線，進行相互比便地觀察到各自的作用力與時間的關系曲線，進行相互比較，可清楚地了解不同類型的載荷對

9、承載體的作用力是不較，可清楚地了解不同類型的載荷對承載體的作用力是不同的。同的。 4-1-4 比較漸加、突加、沖擊和振動四種不同類型載荷比較漸加、突加、沖擊和振動四種不同類型載荷9漸加載荷漸加載荷:將重物緩慢、漸漸地倒入臺秤上的托盤中將重物緩慢、漸漸地倒入臺秤上的托盤中 ；振動載荷振動載荷:打開偏心振動裝置上的電源開關，然后輕輕置于打開偏心振動裝置上的電源開關，然后輕輕置于臺秤的托盤上。仔細觀察臺秤指針的運動臺秤的托盤上。仔細觀察臺秤指針的運動。沖擊載荷沖擊載荷:再將沙袋拎起至某一高度（如再將沙袋拎起至某一高度（如5cm）后自由釋放，）后自由釋放，沙袋對臺秤造成一定的沖擊，仔細觀察臺秤指針的變

10、化沙袋對臺秤造成一定的沖擊，仔細觀察臺秤指針的變化 ；突加載荷突加載荷:當重物剛好接觸托盤時突然釋放，實現(xiàn)突加載荷特當重物剛好接觸托盤時突然釋放，實現(xiàn)突加載荷特征，仔細觀察臺秤指針的變化征，仔細觀察臺秤指針的變化 ；(最大晃動量應該等于顯示值)10 實驗裝置及儀實驗裝置及儀器框圖如圖器框圖如圖4-12a所示。通過變換支所示。通過變換支承塊可改變梁的支承塊可改變梁的支承結構，移動支架承結構，移動支架的位置可改變梁的的位置可改變梁的長短，因此該裝置長短，因此該裝置不僅可作為簡支、不僅可作為簡支、固支系統(tǒng)，還可作固支系統(tǒng)，還可作為一端自由的懸臂為一端自由的懸臂系統(tǒng)。系統(tǒng)。 4-3-1 測定梁的各階固

11、有頻率測定梁的各階固有頻率11實驗目的實驗目的 用瞬態(tài)激振法確定梁的各階固有頻率。用瞬態(tài)激振法確定梁的各階固有頻率。實驗原理實驗原理 試件是一組矩形截面梁，從理論上說，它應有試件是一組矩形截面梁，從理論上說，它應有無限個固有頻率。梁的震動是無窮多個主振型的疊無限個固有頻率。梁的震動是無窮多個主振型的疊加。如果給梁一個大小合適的瞬態(tài)力，相當于用所加。如果給梁一個大小合適的瞬態(tài)力，相當于用所有頻率的正弦信號同時激勵。使用錘擊進行瞬態(tài)激有頻率的正弦信號同時激勵。使用錘擊進行瞬態(tài)激勵時，要求相應時間勵時，要求相應時間 這里的這里的 是感興趣是感興趣的頻率上限。的頻率上限。2/T 梁因敲擊產(chǎn)生的振動信號

12、由速度傳感器獲取并梁因敲擊產(chǎn)生的振動信號由速度傳感器獲取并將其轉(zhuǎn)換為與速度信號成正比的電信號，該信號將其轉(zhuǎn)換為與速度信號成正比的電信號，該信號通過測振儀放大后輸出給數(shù)據(jù)采集分析儀。通過測振儀放大后輸出給數(shù)據(jù)采集分析儀。 12 參數(shù)設置參數(shù)設置 開啟各儀器的電源開關，計算機進入開啟各儀器的電源開關，計算機進入W2K平平臺，點擊臺，點擊“uTekSs數(shù)據(jù)采集處理與分析系統(tǒng)數(shù)據(jù)采集處理與分析系統(tǒng)”(參見附參見附4.X)，進入，進入“信號與系統(tǒng)分析信號與系統(tǒng)分析”，點擊，點擊“工程工程”“新新建工程建工程“，進入，進入“設置設置”菜單或屏幕右端菜單或屏幕右端“采集參數(shù)采集參數(shù)”設置測量參數(shù)，具體參數(shù)選

13、擇為：設置測量參數(shù)，具體參數(shù)選擇為：采樣頻率：采樣頻率：5120Hz；電壓范圍：程控放大自檢最佳放大；電壓范圍：程控放大自檢最佳放大倍數(shù)；通道數(shù)：倍數(shù)；通道數(shù)：2；觸發(fā)參數(shù)：觸發(fā)方式（正觸發(fā)），；觸發(fā)參數(shù)：觸發(fā)方式（正觸發(fā)），觸發(fā)電平（觸發(fā)電平（20%），觸發(fā)延遲（），觸發(fā)延遲（-40），觸發(fā)通道），觸發(fā)通道（1）；采集控制：采集方式（監(jiān)視采集），監(jiān)視類型）；采集控制：采集方式（監(jiān)視采集），監(jiān)視類型（頻譜），有無效控制（有）；采樣方式：內(nèi)部，基（頻譜），有無效控制（有）；采樣方式：內(nèi)部，基準通道號（準通道號（1）；數(shù)字濾波：低通，濾波頻率：下限）；數(shù)字濾波：低通，濾波頻率：下限（0），上限（）

14、，上限（5000）；）； 13數(shù)據(jù)采集數(shù)據(jù)采集：先點擊工具欄中的：先點擊工具欄中的 “示波示波” 進入示波界面，進入示波界面，試敲力錘，檢驗力度是否合適，合適后進入試敲力錘，檢驗力度是否合適，合適后進入“采集采集”，并根據(jù)提示進行測試；測試畢，點擊工具欄中的并根據(jù)提示進行測試；測試畢，點擊工具欄中的“系統(tǒng)系統(tǒng)分析分析”“幅值和相位幅值和相位”，查看測得的幅值和相位圖形，查看測得的幅值和相位圖形，通過點擊工具欄中的通過點擊工具欄中的“”，“”，或鍵盤，或鍵盤“”，“”，移動光標找出與固有頻率理論計算值接近的峰值，移動光標找出與固有頻率理論計算值接近的峰值，即梁的實際固有頻率并填入記錄表格。即梁的

15、實際固有頻率并填入記錄表格。實驗報告實驗報告實驗報告內(nèi)容應包括：實驗目的、實驗原理、實驗裝置實驗報告內(nèi)容應包括：實驗目的、實驗原理、實驗裝置與儀器框圖、實驗方法和實驗數(shù)據(jù)處理與結果分析等。與儀器框圖、實驗方法和實驗數(shù)據(jù)處理與結果分析等。14兩端簡支梁兩端簡支梁f1 = 26.250 ; f2 = 108.75 ; f3 = 241.2515兩端固支梁兩端固支梁f1 = 31.250, f2 = 111.25, f3 = 223.7516 一般的一般的周期振動周期振動可以借助傅里葉級數(shù)表示成一系可以借助傅里葉級數(shù)表示成一系列簡諧振動的疊加，該過程稱為諧波分析。設周期振列簡諧振動的疊加，該過程稱為

16、諧波分析。設周期振動動 x(t) 的周期是的周期是T，則有，則有()1, 2 3xx tnTn，0111( )(cossin)(2)2nnnax tan tbn t 根據(jù)根據(jù) 傅里葉級數(shù)理論，任何一個周期函數(shù)如果傅里葉級數(shù)理論，任何一個周期函數(shù)如果滿足狄里赫利條件，則可以展成傅氏級數(shù)，即滿足狄里赫利條件，則可以展成傅氏級數(shù)，即17 式中12T002( )Tax t dtT0,nnaa b102( )cosTnax tntdtT102( )sinTnbx tntdtT02a( )x t 式式(2)也可寫也可寫成成011( )=sin()(3)2nnnax tAnt 式中22,12,3nnnnnn

17、aAabnb， tg， ， 可見，一個周期振動可視為頻率順次為基頻可見，一個周期振動可視為頻率順次為基頻 及整數(shù)及整數(shù)倍的若干或無數(shù)簡諧振動分量的合成振動過程。這些分量倍的若干或無數(shù)簡諧振動分量的合成振動過程。這些分量依據(jù)依據(jù)n=1，2，3，分別稱為基頻分量、二倍頻分量、三分別稱為基頻分量、二倍頻分量、三倍頻分量等等。因此，傅氏展開也稱為倍頻分量等等。因此，傅氏展開也稱為諧波分析諧波分析。1在一個周期在一個周期T中的平均值中的平均值。表示周期振動表示周期振動常數(shù)項常數(shù)項由下式確定：由下式確定：稱為基頻；系數(shù)稱為基頻；系數(shù)0111( )(cossin)(2)2nnnax tan tbn t18

18、如果函數(shù)如果函數(shù)f(t)的周期的周期T無限增大，則無限增大，則f(t)成為非周期函成為非周期函數(shù)。傅氏積分和傅氏變換是研究非周期函數(shù)的有力手段。數(shù)。傅氏積分和傅氏變換是研究非周期函數(shù)的有力手段。與周期函數(shù)不同，非周期函數(shù)的頻譜是連續(xù)曲線。與周期函數(shù)不同，非周期函數(shù)的頻譜是連續(xù)曲線。 由數(shù)學知，若非周期函數(shù)由數(shù)學知，若非周期函數(shù)f(t)滿足條件：滿足條件：(1) 在任一在任一（- ，+ )1( )( )(4)2j tj tf tf t edt ed 上式稱函數(shù)( )f t( )( )(5)j tGf t edt則式（4）可寫成1( )( )(6)2j tf tGed的傅氏積分公式傅氏積分公式。如

19、令可積，則在可積，則在f(t)的連續(xù)點處有的連續(xù)點處有上絕對上絕對有限區(qū)間滿足狄氏條件；有限區(qū)間滿足狄氏條件；(2) 在區(qū)間在區(qū)間19以上兩式表明，以上兩式表明， 與與 可以通過積分互相表達，式可以通過積分互相表達，式（5）叫做）叫做 的的傅氏變換傅氏變換。( )f t( )f t( )G 在振動力學中，在振動力學中， 又稱非周期函數(shù)又稱非周期函數(shù) 的的頻譜函頻譜函數(shù)數(shù)。頻譜函數(shù)的值一般是復數(shù)。它的。頻譜函數(shù)的值一般是復數(shù)。它的 稱非周期函稱非周期函數(shù)數(shù) 的頻譜或幅值頻譜。與周期函數(shù)的頻譜不同，非的頻譜或幅值頻譜。與周期函數(shù)的頻譜不同，非周期函數(shù)的頻譜是周期函數(shù)的頻譜是 頻率頻率 的連續(xù)曲線，

20、故稱的連續(xù)曲線，故稱連續(xù)頻連續(xù)頻譜譜。 通常對一個非周期函數(shù)通常對一個非周期函數(shù) 求傅里葉變換求傅里葉變換 ，即表示對即表示對 作頻譜分析。作頻譜分析。( )G( )G( )G( )f t( )f t( )f t( )f t 實驗實驗4-3-1測試梁的各階固有頻率實驗中梁的振動測試梁的各階固有頻率實驗中梁的振動可以看成是周期振動，其中使用錘擊實現(xiàn)瞬態(tài)激勵可以可以看成是周期振動，其中使用錘擊實現(xiàn)瞬態(tài)激勵可以看成是非周期振動。看成是非周期振動。( )( )(5)j tGf t edt1( )( )(6)2j tf tGed20用用 函數(shù)表示沖擊力函數(shù)表示沖擊力 對作用時間短、變化急劇的力常用它的沖

21、量進行描述。對作用時間短、變化急劇的力常用它的沖量進行描述。 函數(shù)的定義是函數(shù)的定義是00()()1ttttdt（1） 定義表明定義表明 只在只在 近旁及其短暫的時近旁及其短暫的時間內(nèi)起作用，其數(shù)值為無限大。但它對積分是有限數(shù)間內(nèi)起作用，其數(shù)值為無限大。但它對積分是有限數(shù)1。由上式的積分式可見，如果時間由上式的積分式可見，如果時間t以以(s)記，記， 函數(shù)的單函數(shù)的單位是位是1/s。()tt用用 函數(shù)表示作用在極短時間內(nèi)沖擊力是很方便的。函數(shù)表示作用在極短時間內(nèi)沖擊力是很方便的。21式中式中 表示施加沖量的瞬時。表示施加沖量的瞬時。 如果在如果在t=0的瞬時施加沖量的瞬時施加沖量S，則相應的沖

22、擊力，則相應的沖擊力F=S(t)當當S=1,即施加單位沖量時，沖擊力即施加單位沖量時，沖擊力 ，因此，因此有的書中把有的書中把 函數(shù)又稱為單位脈沖函數(shù)。函數(shù)又稱為單位脈沖函數(shù)。()Ft 函數(shù)的積分表達式，即函數(shù)的積分表達式，即1( )cos2xxd 上式表明：上式表明： 函數(shù)可以由等振幅的所有頻率的正函數(shù)可以由等振幅的所有頻率的正弦波（用余弦函數(shù)表示）來合成；換言之，弦波（用余弦函數(shù)表示）來合成；換言之， 函數(shù)能函數(shù)能分解為包含所有頻率的等振幅的正弦波分解為包含所有頻率的等振幅的正弦波。設此沖量的大小為設此沖量的大小為S，則相應的沖擊力，則相應的沖擊力 ()FSt22梁的橫向振動梁的橫向振動

23、單自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)只有一個固有頻率，而梁具有單自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)只有一個固有頻率，而梁具有連續(xù)分布的質(zhì)量和彈性，因此，稱之為彈性系統(tǒng)。并符合連續(xù)分布的質(zhì)量和彈性，因此，稱之為彈性系統(tǒng)。并符合理想彈性體的基本假設，即均勻、各向同性、服從胡克定理想彈性體的基本假設，即均勻、各向同性、服從胡克定律律。 它的振動規(guī)律要用它的振動規(guī)律要用時間和空間坐標的函數(shù)來時間和空間坐標的函數(shù)來描述，描述，其運動方程是偏微分方程，但是在物理本質(zhì)上以及振動其運動方程是偏微分方程，但是在物理本質(zhì)上以及振動的基本概念、分析方法上與有限多個自由度是相似的。的基本概念、分析方法上與有限多個自由度是相似的。 由于確定彈性體上無

24、數(shù)質(zhì)點的位置需要無限個坐標，由于確定彈性體上無數(shù)質(zhì)點的位置需要無限個坐標，因此彈性體具有無限多個坐標，因此彈性體是具有因此彈性體具有無限多個坐標，因此彈性體是具有無限無限多自由度的系統(tǒng)多自由度的系統(tǒng)。23梁的橫向振動微分方程梁的橫向振動微分方程 圖中的直梁在圖中的直梁在xy平面內(nèi)作橫向振動。假定梁的各截面平面內(nèi)作橫向振動。假定梁的各截面的中心慣性主軸在同一平面的中心慣性主軸在同一平面Oxy內(nèi)，外載荷也作用在該平內(nèi)，外載荷也作用在該平面，并且略去剪切變形的影響及截面繞中性軸轉(zhuǎn)動慣量的面，并且略去剪切變形的影響及截面繞中性軸轉(zhuǎn)動慣量的影響，因此梁的主要變形是彎曲變形，這即是通常稱為歐影響，因此梁的

25、主要變形是彎曲變形，這即是通常稱為歐拉拉-伯努利梁的模型。伯努利梁的模型。 24 在梁上在梁上x處取長為處取長為dx的微元段。在任意瞬時的微元段。在任意瞬時t，此微元，此微元段的橫向位移用段的橫向位移用y(x, t)表示；單位長度梁上分布的外力用表示；單位長度梁上分布的外力用 p (x, t)表示；單位長度梁上分布的外力矩用表示；單位長度梁上分布的外力矩用m (x, t)表示。表示。記梁的密度為記梁的密度為 ，橫截面積為，橫截面積為A，材料彈性模量為，材料彈性模量為E，截，截面對中性軸的慣性矩為面對中性軸的慣性矩為J。由牛頓第二定律寫出微段沿。由牛頓第二定律寫出微段沿y向向的運動微分方程的運動

26、微分方程22( , )yQAdxp x ttx22()( , )(A)yQAdxQQdxp x t dxtx化簡后為：化簡后為：25 再由各力對垂直于再由各力對垂直于Oxy平面的軸的力矩平衡方程，得平面的軸的力矩平衡方程，得2( , )()( , )()02Mp x tQMdxm x t dxdxMQdx dxxx( , )(B)MQm x tx2222( , )Mmyp x tAxxt22yMEJt222222()( , )( , )yyEJAp x tm x txxtx上式就是歐拉歐拉-伯努利梁伯努利梁的橫向振動微分方程橫向振動微分方程。由材料力學知識知由材料力學知識知 。將。將M式代入上

27、式，式代入上式，得得將式將式(B)代入式代入式(A)，得，得略去略去dx后的二次項并簡化后，得后的二次項并簡化后，得26 對于等截面梁，對于等截面梁，E，J為常數(shù)，則上式可寫成為常數(shù)，則上式可寫成4242( , )( , )yyEJAp x tm x txtx222222()0yyEJAxxt 上式中令外力上式中令外力 p(x,t)=0, 外力矩外力矩m(x,t)=0,得到梁得到梁的橫向自由振動的運動微分方程：的橫向自由振動的運動微分方程：二、固有頻率和主振型二、固有頻率和主振型27上式的解可以用上式的解可以用x的函數(shù)的函數(shù)Y(x)與與t的諧函數(shù)的乘積表示，即的諧函數(shù)的乘積表示，即 ( , )

28、( )(cossin)y x tY x AptBpt22222( )()( )0dd Y xEJpAY xdxdx 主振型函數(shù)主振型函數(shù)Y(x)在符合梁的邊界條件并具有非零解的條件下，由此方程求解 p2 和振型函數(shù)Y(x)的問題，稱為梁作橫向振動的特征值問題梁作橫向振動的特征值問題。其中Y(x)為主振型主振型或振型函數(shù)振型函數(shù)，即梁上各點按振型即梁上各點按振型Y(x)作作同步諧振動同步諧振動。將上式代入上式。將上式代入上式 中，得中，得222222()0yyEJAxxt梁的橫向自由振動的運動微分方程：梁的橫向自由振動的運動微分方程：28444( )( )dY xY xdx242pa2/aEJA( )xxj xj xY xCeDeEeFe1234( )sincos( )Y xCxCxC sh xC ch xc式中： 根據(jù)梁的邊界條件可以確定根據(jù)梁的邊界條件可以確定B值及振型函數(shù)值及振型函數(shù)Y(x)中中待定常數(shù)因子。