第五章二次曲線的一般理論

1、5.2 二次曲線的漸近方向、中心、漸近線教學(xué)目標(biāo)：教學(xué)目標(biāo)： 理解二次曲線的漸近方向、中心、漸近線概念；理解二次曲線的漸近方向、中心、漸近線概念； 掌握二次曲線的漸近方向、中心、漸近線的求法；掌握二次曲線的漸近方向、中心、漸近線的求法； 能根據(jù)漸近方向和中心對(duì)二次曲線進(jìn)行分類。能根據(jù)漸近方向和中心對(duì)二次曲線進(jìn)行分類。 教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)： 二次曲線的漸近方向、中心、漸近線概念及求法。二次曲線的漸近方向、中心、漸近線概念及求法。 教學(xué)難點(diǎn)：教學(xué)難點(diǎn)： 根據(jù)漸近方向和中心對(duì)二次曲線進(jìn)行分類。根據(jù)漸近方向和中心對(duì)二次曲線進(jìn)行分類。5.2 5.2 二次曲線的漸近方向、中心、漸近線二次曲線的漸近方向、中

2、心、漸近線1.二次曲線的漸近方向二次曲線的漸近方向 定義定義5.2.1 滿足條件滿足條件( (X,Y)=0的方向的方向X:Y叫做二叫做二次曲線的漸近方向，否則叫做非漸近方向次曲線的漸近方向，否則叫做非漸近方向。事實(shí)上，事實(shí)上，YX :為漸近方向?yàn)闈u近方向 0),(YX0222212211YaXYaXa事實(shí)上，事實(shí)上，YX :為漸近方向?yàn)闈u近方向 0),(YX0222212211YaXYaXa)0(02)(112212211aaYXaYXa)0(: )(:1111212aaIaYX0222212211YaXYaXa)0(02)(221112222aaXYaXYa或或)0, 0, 0(012121

3、112aaaXYa或或)0(: )(:2222212aaIaXY或或)0, 0, 0() 1:0(0:1:121112aaaYX或或或或2221001baI 0122ba12222byax可見(jiàn)，對(duì)橢圓可見(jiàn)，對(duì)橢圓，12222byax對(duì)雙曲線對(duì)雙曲線它有二不同實(shí)漸近方向；它有二不同實(shí)漸近方向；它有二相同的實(shí)漸近方向；它有二相同的實(shí)漸近方向；01222baI，001002I，它沒(méi)有實(shí)漸近方向；它沒(méi)有實(shí)漸近方向；pxy22對(duì)拋物線對(duì)拋物線1xy對(duì)雙曲線對(duì)雙曲線它也有二不同實(shí)漸近方向；它也有二不同實(shí)漸近方向；0412I， 定義定義5.2.2 沒(méi)有實(shí)漸近方向的二次曲線叫做橢圓沒(méi)有實(shí)漸近方向的二次曲線叫做

4、橢圓型的型的,有一個(gè)實(shí)漸近方向的二次曲線叫做拋物線型的有一個(gè)實(shí)漸近方向的二次曲線叫做拋物線型的,有兩個(gè)實(shí)漸近方向的二次曲線叫做雙曲型的有兩個(gè)實(shí)漸近方向的二次曲線叫做雙曲型的。即即:橢圓型橢圓型:I20；拋物型；拋物型:I20；雙曲型；雙曲型:I202. 二次曲線的中心與漸近線二次曲線的中心與漸近線 定義定義5.2.3 如果點(diǎn)如果點(diǎn)C是二次曲線的通過(guò)它的所有弦是二次曲線的通過(guò)它的所有弦的中點(diǎn)的中點(diǎn)(C是二次曲線的對(duì)稱中心是二次曲線的對(duì)稱中心)，那么點(diǎn)那么點(diǎn)C叫做二次叫做二次曲線的中心曲線的中心。 定理定理5.2.1 點(diǎn)點(diǎn)C(x0 ,y0)是二次曲線是二次曲線(1)的中心的中心，其充其充要條件是要

5、條件是：) 12 . 5(*)(0),(0),(2302201200213012011001ayaxayxFayaxayxF二次曲線二次曲線(1)的的中心坐標(biāo)由下方程組決定：的的中心坐標(biāo)由下方程組決定：)22 . 5(0),(0),(23221221312111ayaxayxFayaxayxF如果如果I20，則，則(5.22)有唯一解，即為唯一中心坐標(biāo)有唯一解，即為唯一中心坐標(biāo)如果如果I20，分兩種情況：，分兩種情況：.)22 . 5(231322121211無(wú)無(wú)解解，沒(méi)沒(méi)有有中中心心時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)aaaaaa這這條條直直線線叫叫中中心心直直線線。都都是是二二次次曲曲線線的的中中心心，點(diǎn)點(diǎn)無(wú)無(wú)數(shù)數(shù)

6、多多解解，直直線線上上所所有有時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng))22 . 5(231322121211aaaaaa 定義定義5.2.45.2.4 有唯一中心的二次曲線叫中心二次曲線中心二次曲線,沒(méi)有中心的二次曲線叫無(wú)心二次曲線無(wú)心二次曲線,有一條中心直線的二次曲線叫線心二次曲線線心二次曲線,無(wú)心二次曲線和線心二次曲線統(tǒng)稱為非中心二次曲線非中心二次曲線。二次曲線分類：二次曲線分類： 漸近線求法漸近線求法：求出中心，再求出漸近方向即可得到漸：求出中心，再求出漸近方向即可得到漸近線的參數(shù)方程。近線的參數(shù)方程。 定義定義5.2.55.2.5 通過(guò)二次曲線的中心，而且以漸近方向?yàn)榉较虻闹本€叫做二次曲線的漸近線。 可見(jiàn)：橢圓型

7、二次曲線沒(méi)有實(shí)漸近線可見(jiàn)：橢圓型二次曲線沒(méi)有實(shí)漸近線;雙曲型二次曲線雙曲型二次曲線有二不同實(shí)漸近線有二不同實(shí)漸近線;而對(duì)拋物型二次曲線而對(duì)拋物型二次曲線,若其為無(wú)心的若其為無(wú)心的,則其沒(méi)有漸近線則其沒(méi)有漸近線,若其為線性的若其為線性的,則由于其漸近方向?yàn)閯t由于其漸近方向?yàn)?212:aaYX，而這正是中心直線的方向，而這正是中心直線的方向，它的漸近線即為中心直線。它的漸近線即為中心直線。 定理定理5.2.25.2.2 二次曲線的漸近線與這二次曲線或者沒(méi)有二次曲線的漸近線與這二次曲線或者沒(méi)有交點(diǎn)，或者整條直線在這二次曲線上成為二次曲線的交點(diǎn)，或者整條直線在這二次曲線上成為二次曲線的組成部分。組成部

8、分。則則l與曲線不相交，與曲線不相交，5.3 二次曲線的直徑1. 二次曲線的直徑二次曲線的直徑 在在5.1中我們已經(jīng)討論了直線與二次曲線相交中我們已經(jīng)討論了直線與二次曲線相交的各種情況，當(dāng)直線平行于二次曲線的某一非漸近方的各種情況，當(dāng)直線平行于二次曲線的某一非漸近方向時(shí)，這條直線與二次曲線總交于兩點(diǎn)向時(shí)，這條直線與二次曲線總交于兩點(diǎn)(兩個(gè)不同實(shí)的，兩個(gè)不同實(shí)的，兩重合實(shí)的或一對(duì)共軛虛的兩重合實(shí)的或一對(duì)共軛虛的),這兩點(diǎn)決定了二次曲線的這兩點(diǎn)決定了二次曲線的一條弦一條弦.現(xiàn)在我們來(lái)研究二次曲線上一族平行弦的中點(diǎn)軌跡現(xiàn)在我們來(lái)研究二次曲線上一族平行弦的中點(diǎn)軌跡. 求二次曲線的一族平行弦的中點(diǎn)軌跡求

9、二次曲線的一族平行弦的中點(diǎn)軌跡.即即 ，解解0),(YX而而 是平行于方向是平行于方向 的弦的中點(diǎn)，的弦的中點(diǎn)，00(,)xy:X YYX :設(shè)設(shè) 是二次曲線的一個(gè)非漸近方向，是二次曲線的一個(gè)非漸近方向，:X Y那么過(guò)那么過(guò) 的弦的方程為的弦的方程為00( ,)x y00,.xxXtyyYt它與二次曲線它與二次曲線 的兩交點(diǎn)的兩交點(diǎn)(即弦的兩端點(diǎn)即弦的兩端點(diǎn))由下列二次方程由下列二次方程( , )0F x y 210020000( , )2( ,)( ,)( ,)0X Y tXF x yYF x ytF x y(1)從而有從而有12( , )( , )0,XF x yYF x y(5.3-1)

10、兩根兩根 與與 所決定所決定,因?yàn)橐驗(yàn)?為弦的中點(diǎn)，所以有為弦的中點(diǎn)，所以有1t2t00( ,)x y120,tt100200(,)(,)0.XF x yYF x y這就是說(shuō)平行于方向這就是說(shuō)平行于方向 的弦的中點(diǎn)的弦的中點(diǎn) 的的坐標(biāo)滿足方程坐標(biāo)滿足方程,X Y00(,)xy即即111213122223()()0,X a xa yaY a xa ya(5.3-2)或或上列方程的一次項(xiàng)系數(shù)不能全為零，這時(shí)因?yàn)槿羯狭蟹匠痰囊淮雾?xiàng)系數(shù)不能全為零，這時(shí)因?yàn)槿魟t則一條直線一條直線.(5.3-3)所以所以(5.3-3)或或(5.3-1)是一個(gè)二元一次方程，它是是一個(gè)二元一次方程，它是反過(guò)來(lái)，反過(guò)來(lái)，111

11、212221323()()0.a Xa Y xa Xa Y ya Xa Y111212220a Xa Ya Xa Y2211122211121222( , )2()()0,X Ya Xa XYa Ya Xa Y Xa Xa Y Y這與這與 是非漸近方向的假設(shè)矛盾，是非漸近方向的假設(shè)矛盾，:X Y12( , )( , )0,XF x yYFx y(5.3-1)定理定理 5.3.1二次曲線的一族平行弦的中點(diǎn)二次曲線的一族平行弦的中點(diǎn)軌跡是一條直線軌跡是一條直線.),(00yx如果點(diǎn)如果點(diǎn)滿足方程滿足方程(5.3-1)100200(,)(,)0,XF xyYFxy(5.3-1)那么方程那么方程(1)

12、中將有絕對(duì)值相等而符號(hào)相反的兩個(gè)根，中將有絕對(duì)值相等而符號(hào)相反的兩個(gè)根，210020000( , )2( ,)( ,)( ,)0X Y tXF x yYF x ytF x y(1)點(diǎn)點(diǎn) 就是具有方向就是具有方向 的弦的中點(diǎn)，的弦的中點(diǎn)，),(00yxYX,YX,因此方程因此方程(5.3-1)為一族平行于某一非漸近方向?yàn)橐蛔迤叫杏谀骋环菨u近方向 的弦的中點(diǎn)軌跡方程的弦的中點(diǎn)軌跡方程.得到了結(jié)論定理！得到了結(jié)論定理！下面引進(jìn)二次曲線直徑的概念下面引進(jìn)二次曲線直徑的概念定義定義 5.3.1 二次曲線的平行弦中點(diǎn)的軌跡二次曲線的平行弦中點(diǎn)的軌跡叫做這個(gè)二次曲線的直徑，它所對(duì)應(yīng)的平行弦，叫叫做這個(gè)二次曲

13、線的直徑，它所對(duì)應(yīng)的平行弦，叫做共軛于這條直徑的共軛弦；而直徑也叫做共軛于做共軛于這條直徑的共軛弦；而直徑也叫做共軛于平行弦方向的直徑平行弦方向的直徑.有多少條直徑有多少條直徑?（5.3-4）12( , )( , )0.XF x yYF x y推論推論 如果二次曲線的一族平行弦的方向?yàn)槿绻吻€的一族平行弦的方向?yàn)?，那，那么共軛于這族平行弦的直徑方程是么共軛于這族平行弦的直徑方程是:X Y中心與非中心二次曲線的直徑中心與非中心二次曲線的直徑1. 中心二次曲線中心二次曲線中心滿足中心滿足:(2)(3)直徑方程直徑方程:12( , )( , )0,XF x yYFx y所以所以, 直徑過(guò)中心直

14、徑過(guò)中心.所有直徑都過(guò)中心所有直徑都過(guò)中心1111213( , )0,F x ya x a y a2112223( , )0,F x ya x a y a111213122223()()0,X a x a y aY a x a y a1. 非中心二次曲線非中心二次曲線非中心二次曲線滿足非中心二次曲線滿足(2)(3)又分兩種情形又分兩種情形或或無(wú)心曲線：無(wú)心曲線：直徑平行漸近方向直徑平行漸近方向因直徑方程因直徑方程:12( , )( , )0,XF x yYF x y111213122223aaaaaa111213122223aaaaaa1111213( , )0,F x ya x a ya21

15、12223( , )0,F x ya x a ya111213122223aaaaaa111212221323()()0.a X a Y xa X a Y y a X a Y方向矢量方向矢量12221112(): ()a Xa Ya Xa Y11121222aakaa22221212(): ()ka Xa Yka Xa Y2212:aa容易驗(yàn)證容易驗(yàn)證2212:aa是漸近方向是漸近方向;因?yàn)榇藭r(shí)：因?yàn)榇藭r(shí)：22111222( , )20X Ya Xa XYa Y線心曲線：線心曲線：直徑就是其中心直線直徑就是其中心直線可以化為可以化為因?yàn)橹睆椒匠桃驗(yàn)橹睆椒匠?31112122223aaakaaa

16、111212221323()()0.a Xa Y xa Xa Y y a Xa Y111212221323()()0.a Xa Y xa Xa Y ya Xa Y12( , )( , )0,XF x yYF x y或或定理定理 5.3.2 中心二次曲線的直徑通過(guò)曲線中心二次曲線的直徑通過(guò)曲線中心，無(wú)心二次曲線的直徑平行于曲線的漸近方向中心，無(wú)心二次曲線的直徑平行于曲線的漸近方向,線心二次曲線的直徑只有一條線心二次曲線的直徑只有一條,就是曲線的中心直線就是曲線的中心直線.12( , )( , )0,XF x yYFx y1111213( ,)0,Fx ya xaya11121222aaaa 因此

17、當(dāng)因此當(dāng) ，即二次曲線為中心曲線時(shí)，即二次曲線為中心曲線時(shí),它的全部直徑屬于一個(gè)中心直線束，這個(gè)直線束的它的全部直徑屬于一個(gè)中心直線束，這個(gè)直線束的中心就是二次曲線的中心；中心就是二次曲線的中心； 當(dāng)當(dāng) ，即，即二次曲線為無(wú)心曲線時(shí)，直徑屬于一個(gè)平行線束；二次曲線為無(wú)心曲線時(shí)，直徑屬于一個(gè)平行線束；111213122223aaaaaa0),(2322122ayaxayxF例例 1 求橢圓或雙曲線求橢圓或雙曲線 的直徑的直徑.解解12( , )( , )0,XF x yYF x y(5.3-1)顯然，直徑通過(guò)曲線的中心顯然，直徑通過(guò)曲線的中心22221xyab2222( , )10,xyF x

18、yab 12( , ),xF x ya22( , ).yF x yb 220,XYxyab根據(jù)根據(jù)(5.3-1),共軛于非漸近方向共軛于非漸近方向 的直徑方程是的直徑方程是:X Y(0,0)例例 2 解解求拋物線求拋物線 的直徑的直徑.pxy22, 02),(2ypxyxF,),(1pyxF.),(2yyxF所以共軛于非漸近方向所以共軛于非漸近方向 的直徑為的直徑為YX :, 0YyXp即即, pYXy 所以拋物線所以拋物線 的直徑平行于它的漸近方向的直徑平行于它的漸近方向pxy22. 0:112( , )( , )0,XF x yYF x y(5.3-1)解解直徑方程為直徑方程為即即例例 3

19、 求二次曲線求二次曲線的共軛于非漸近方向的共軛于非漸近方向 的直徑的直徑.:X Y1( , )1,F x yxy 2( , )1,F x yxy (1)(1) 0,X x yY x y ()(1)0.XYxy因?yàn)橐阎€因?yàn)橐阎€ 的漸近方向?yàn)榈臐u近方向?yàn)?),(yxF:1:1,X Y 所以對(duì)于非漸近方向所以對(duì)于非漸近方向 一定有一定有 YX :,XY03222),(22yxyxyxyxF2. 共軛方向與共軛直徑共軛方向與共軛直徑所以有所以有其中其中(4)12221112:():()XYa Xa Ya Xa Y 我們把二次曲線的與非漸近方向我們把二次曲線的與非漸近方向 共軛的直徑方向共軛的直

20、徑方向:X YYX :叫做非漸近方向叫做非漸近方向 的共軛方向，的共軛方向，:X Y1222() ,Xa Xa Y t1112() ,Ya Xa Y t0t 10,xy因此曲線的共軛于非漸近方向因此曲線的共軛于非漸近方向 的直徑為的直徑為:X Y因此有因此有所以所以另外又有另外又有 ，0t因此得以下結(jié)論因此得以下結(jié)論2 211122212122222 21112221112(,)()2()()()X Yaa Xa Y taa Xa Ya Xa Y taa Xa Y t222211 2212111222()(2)a aaa Xa XYa Y t22(,)IX Y t(, )0,X YYX :因?yàn)?/p>

21、因?yàn)?為非漸近方向，為非漸近方向，:X Y這就是說(shuō)，中心二次曲線的非漸近方向的共軛方向仍然這就是說(shuō)，中心二次曲線的非漸近方向的共軛方向仍然是非漸近方向，而在非中心二次曲線的情形是漸近方向是非漸近方向，而在非中心二次曲線的情形是漸近方向.(5.3-5)非漸近非漸近方向方向當(dāng)當(dāng) 即二次曲線為中心曲線時(shí)，即二次曲線為中心曲線時(shí)， ；20I (,)0X Y當(dāng)當(dāng) 即二次曲線為非中心曲線時(shí)，即二次曲線為非中心曲線時(shí)， 20I (,)0.X Y111222()0.a XXaXYX Ya YY從從(5.3-5)式看出，兩個(gè)方向式看出，兩個(gè)方向 與與 是對(duì)稱是對(duì)稱的，因此對(duì)中心曲線來(lái)說(shuō)，非漸近方向的，因此對(duì)中心

22、曲線來(lái)說(shuō)，非漸近方向 的共的共軛方向?yàn)檐椃较驗(yàn)?，而，而 的共軛方向就是的共軛方向就是:X Y:XY:XY:XY:X Y:X Y 由由(4)得二次曲線的非漸近方向得二次曲線的非漸近方向 與它的與它的共軛方向共軛方向 之間的關(guān)系之間的關(guān)系YX :YX(4)12221112:():()XYa Xa Ya Xa Y22(,)IX Y t),(YX 中心曲線的一對(duì)具有相互共軛方向中心曲線的一對(duì)具有相互共軛方向的直徑叫做一對(duì)共軛直徑的直徑叫做一對(duì)共軛直徑.定義定義 5.3.2設(shè)設(shè)代入代入(5.3-5)，得，得(5.3-6)這就是一對(duì)共軛直徑的斜率滿足的關(guān)系式這就是一對(duì)共軛直徑的斜率滿足的關(guān)系式.1112

23、22()0.a XXaXYX Ya YY,YkX,YkX221211()0,a kkakka(5.3-5), 01122akkb即即.22abkk(5.3-7)有著關(guān)系有著關(guān)系12222byaxkk例如橢圓例如橢圓的一對(duì)共軛直徑的斜率的一對(duì)共軛直徑的斜率與與, 0)(111222akkakka而雙曲線而雙曲線 的一對(duì)共軛直徑的斜率的一對(duì)共軛直徑的斜率 與與 有著關(guān)系有著關(guān)系22221xyabkk.22abkk (5.3-8)在在(5.3-5)中，如果設(shè)中，如果設(shè)那么有那么有因此如果對(duì)二次曲線的共軛方向從因此如果對(duì)二次曲線的共軛方向從(5.3-5)作代數(shù)的推廣作代數(shù)的推廣,那么漸近方向可以看成與

24、自己共軛的方向，從而漸近那么漸近方向可以看成與自己共軛的方向，從而漸近線也就可以看成與自己共軛的直徑線也就可以看成與自己共軛的直徑.(5.3-5)顯然此時(shí)顯然此時(shí) 為二次曲線的漸近方向?yàn)槎吻€的漸近方向.YX :111222()0.a XXaXYX Ya YY: ,XYX Y2211122220,a Xa XYa Y 二次曲線的垂線于其共軛弦的二次曲線的垂線于其共軛弦的直徑叫做二次曲線的主直徑，主直徑的方向與垂直徑叫做二次曲線的主直徑，主直徑的方向與垂直于主直徑的方向都叫做二次曲線的主方向直于主直徑的方向都叫做二次曲線的主方向. 5.4 二次曲線的主直徑與主方向二次曲線的主直徑與主方向定義定

25、義 5.4.1 顯然，主直徑是二次曲線的對(duì)稱軸，因此主顯然，主直徑是二次曲線的對(duì)稱軸，因此主直徑也叫做二次曲線的軸，軸與曲線的交點(diǎn)叫做直徑也叫做二次曲線的軸，軸與曲線的交點(diǎn)叫做曲線的頂點(diǎn)曲線的頂點(diǎn).現(xiàn)在我們來(lái)求二次曲線現(xiàn)在我們來(lái)求二次曲線(1)的主方向與主直徑的主方向與主直徑.22111222132333( , )2220F x ya xa xya ya xa ya，那么，那么(2)或或(3)（4）1.如果二次曲線如果二次曲線(1)為中心曲線為中心曲線那么與二次曲線那么與二次曲線(1)的非漸近方向的非漸近方向共軛的直徑為共軛的直徑為111212221323()()0a Xa Y xa Xa Y

26、 ya Xa Y設(shè)直徑的方向?yàn)樵O(shè)直徑的方向?yàn)楦鶕?jù)主方向的定義，根據(jù)主方向的定義，成為主方向的條件是它成為主方向的條件是它垂直與它的共軛方向垂直與它的共軛方向:,XY在直角坐標(biāo)系下有在直角坐標(biāo)系下有，即即12( , )( , )0XF x yYF x y12221112:():(),XYa Xa Ya Xa Y :XY:X Y:X Y0XXYY:XYY X 11121222:():(),X Ya Xa Ya Xa Y因此因此 成為中心二次曲線成為中心二次曲線(1)的主方向的條件是的主方向的條件是(5.4-1)或把它改寫成或把它改寫成 這是一個(gè)關(guān)于這是一個(gè)關(guān)于 的齊次線性方程組，而的齊次線性方程組

27、，而 不能全為零，所以不能全為零，所以成立，其中成立，其中11121222:():(),X Ya Xa Ya Xa Y11121222,a Xa YXa Xa YY:X Y011121222()0,()0.aXa Ya XaY:X Y:X Y111212220aaaa(5.4-3)即即那么它的任何直徑的方向是它的惟一的漸近方向那么它的任何直徑的方向是它的惟一的漸近方向而垂直于它的方向顯然為而垂直于它的方向顯然為2.如果二次曲線如果二次曲線(1)為非中心二次曲線為非中心二次曲線11121222,a Xa YXa Xa YY2120.II因此對(duì)于中心二次曲線來(lái)說(shuō)，只要由因此對(duì)于中心二次曲線來(lái)說(shuō)，只

28、要由(5.4-3)解出解出 ，再代入再代入(5.4-1)就能得到它的主方向就能得到它的主方向.1112112212:(),XYaaaa 2211121222:,XYaaaa(5.4-)所以非中心二次曲線所以非中心二次曲線(1)的主方向：的主方向：漸近主方向漸近主方向（5）非漸近主方向非漸近主方向（6）正是非中心二次曲線的漸近主方向正是非中心二次曲線的漸近主方向(5)與非漸近主方向與非漸近主方向(6).20,I 注意到注意到此時(shí)方程此時(shí)方程(5.4-3)的兩根為的兩根為把它代入把它代入(5.4-1) 所得到的主方向所得到的主方向1112112212:(),X Yaaaa2211121222:.X

29、 Yaaaa10,211122,Iaa2120.II11121222,a Xa YXa Xa YY(5.4-1) 因此，一個(gè)方向因此，一個(gè)方向 成為二次曲線成為二次曲線(1)的主方向的主方向的條件是的條件是(5.4-1)成立，這里的成立，這里的 是方程是方程(5.4-2)或或(5.4-3)的根的根. 定義定義 5.4.2 方程方程(5.4-2)或或(5.4-3)叫做二次曲線叫做二次曲線(1)的特的特征方程，特征方程的根叫做二次曲線的特征根征方程，特征方程的根叫做二次曲線的特征根.總結(jié)總結(jié):1)從二次曲線從二次曲線(1)的特征方程的特征方程(5.4-3)求出特征根求出特征根 ,把它代入把它代入(

30、5.4-1). 我們就得到相應(yīng)的主方向我們就得到相應(yīng)的主方向. 2)如果主方向?yàn)榉菨u近方向，那么根據(jù)如果主方向?yàn)榉菨u近方向，那么根據(jù)(5.4-1)就能就能得到共軛于它的主直徑得到共軛于它的主直徑.111212220aaaa111212221323()()0a Xa Y xa Xa Y ya Xa Y12( , )( , )0XF x yYF x y11121222,a Xa YXa Xa YY2120.II:X Y(5.4-3)(5.4-5.4-)證證如果二次曲線的特征根全為零如果二次曲線的特征根全為零, 那么得那么得因?yàn)樘卣鞣匠痰呐袆e式因?yàn)樘卣鞣匠痰呐袆e式所以二次曲線的特征根都是實(shí)數(shù)所以二次

31、曲線的特征根都是實(shí)數(shù).定理定理 5.4.2 二次曲線的特征根不能全為零二次曲線的特征根不能全為零.證證即即與與從而得從而得這與二次曲線的定義矛盾，所以二次曲線的特征這與二次曲線的定義矛盾，所以二次曲線的特征根不能全為零根不能全為零.定理定理 5.4.1 二次曲線的特征根都是實(shí)數(shù)二次曲線的特征根都是實(shí)數(shù).2120.II222121122124()40.IIaaa 120,II11220aa21122120,a aa1112220,aaa 由二次曲線由二次曲線(1)的特征根的特征根 確定的主方確定的主方向向 ，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)，為二次曲線的非漸近方向；時(shí)，為二次曲線的非漸近方向；當(dāng)當(dāng) 時(shí)，為二次曲線的漸

32、近主方向時(shí)，為二次曲線的漸近主方向.定理定理 5.4.3證證 因?yàn)橐驗(yàn)?2111222( , )2X Ya Xa XYa Y所以由所以由(5.4-1)得得又因?yàn)橛忠驗(yàn)?不全為零，所以當(dāng)不全為零，所以當(dāng) 時(shí)，時(shí)，為二次曲線為二次曲線(1)的非漸近主方向的非漸近主方向;11121222()()a Xa Y Xa Xa Y Y:X Y0011121222,a Xa YXa Xa YY2222(, )().X YXYXY,X Y0( , )0,X Y:X Y當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 為二次曲線為二次曲線(1)的的漸近主方向漸近主方向.定理定理 5.4.4 中心二次曲線至少有兩條主直徑，非中心二次曲線至少有兩條主

33、直徑，非中心二次曲線只有一條主直徑中心二次曲線只有一條主直徑.證證 由二次曲線由二次曲線(1)的特征方程的特征方程(5.4-3)解得兩特征根為解得兩特征根為 10 當(dāng)二次曲線當(dāng)二次曲線(1)為中心曲線時(shí)，為中心曲線時(shí)， .如果如果特征方程的判別式特征方程的判別式那么那么 這時(shí)的中心曲線為圓這時(shí)的中心曲線為圓(包括點(diǎn)包括點(diǎn)2222(, )().X YXYXY0(, )0,X Y:X Y21121,24.2III222121122124()40IIaaa1122,aa120a 20I 圓和虛圓圓和虛圓)，它的特征根為一對(duì)二重根，它的特征根為一對(duì)二重根.把它代入把它代入(5.4-1)或或(5.4-1)，則得到兩個(gè)恒等式，則得到兩個(gè)恒等式，它被任何方向它被任何方向 所滿足，所以任何實(shí)數(shù)方向都所滿足，所以任何實(shí)數(shù)方向都是圓的非漸近主方向，從而通過(guò)圓心的任何直線都是圓的非漸近主方向，從而通過(guò)圓心的任何直線都是直徑是直徑.而且都是圓的主直徑而且都是圓的主直徑. 如果特征方程的判別式如果特征方程的判別式Y(jié)YaXaXYaXa22121211,那么特征根為兩個(gè)不等的非零實(shí)根那么特征根為兩個(gè)不等的非零實(shí)根 . 將它們分將它們分別代入別代入(5.4-1)得相應(yīng)的兩非漸近主方向?yàn)榈孟鄳?yīng)的兩非漸近主方向?yàn)?2, 1122( 0)aa