單位沖激函數(shù)

1、18.2 單位沖激函數(shù)單位沖激函數(shù) 二、單位沖激函數(shù)的概念及性質(zhì)二、單位沖激函數(shù)的概念及性質(zhì) 三、單位沖激函數(shù)的三、單位沖激函數(shù)的 Fourier 變換變換 一、為什么要引入單位沖激函數(shù)一、為什么要引入單位沖激函數(shù) 四、周期函數(shù)的四、周期函數(shù)的 Fourier 變換變換 2一、為什么要引入單位沖激函數(shù)一、為什么要引入單位沖激函數(shù) 理由理由 (1) 在數(shù)學(xué)、物理學(xué)以及工程技術(shù)中，一些常用的重要在數(shù)學(xué)、物理學(xué)以及工程技術(shù)中，一些常用的重要 函數(shù)，如常數(shù)函數(shù)、線性函數(shù)、符號函數(shù)以及單位函數(shù)，如常數(shù)函數(shù)、線性函數(shù)、符號函數(shù)以及單位 階躍函數(shù)等等，都不能進(jìn)行階躍函數(shù)等等，都不能進(jìn)行 Fourier 變換

2、。變換。 (2) 周期函數(shù)的周期函數(shù)的 Fourier 級數(shù)與非周期函數(shù)的級數(shù)與非周期函數(shù)的 Fourier 變變 換都是用來對信號進(jìn)行頻譜分析的，它們之間能否換都是用來對信號進(jìn)行頻譜分析的，它們之間能否 統(tǒng)一起來。統(tǒng)一起來。 (3) 在工程實際問題中，有許多瞬時物理量不能用通常在工程實際問題中，有許多瞬時物理量不能用通常 的函數(shù)形式來描述，如沖擊力、脈沖電壓、質(zhì)點的的函數(shù)形式來描述，如沖擊力、脈沖電壓、質(zhì)點的 質(zhì)量等等。質(zhì)量等等。 3一、為什么要引入單位沖激函數(shù)一、為什么要引入單位沖激函數(shù) 細(xì)桿取細(xì)桿取 的結(jié)果。的結(jié)果。0a )(xP )(lim0 xPaa .0,0,0,xx 長度為長度為

3、 a ，質(zhì)量為，質(zhì)量為 m 的均勻細(xì)桿放在的均勻細(xì)桿放在 x 軸的軸的 0 , a 區(qū)間區(qū)間 引例引例 )(xPa .,0,0,其它其它axam上，則它的線密度函數(shù)為上，則它的線密度函數(shù)為 質(zhì)量為質(zhì)量為 m 的質(zhì)點放置在坐標(biāo)原點，則可認(rèn)為它相當(dāng)于的質(zhì)點放置在坐標(biāo)原點，則可認(rèn)為它相當(dāng)于 顯然顯然 , 該密度函數(shù)并沒有反映出質(zhì)點的任何質(zhì)量信息該密度函數(shù)并沒有反映出質(zhì)點的任何質(zhì)量信息 , 相應(yīng)地，質(zhì)點的密度函數(shù)為相應(yīng)地，質(zhì)點的密度函數(shù)為 P191 例例 8.5 4二、單位沖激函數(shù)的概念及性質(zhì)二、單位沖激函數(shù)的概念及性質(zhì) 1. 單位沖激函數(shù)的概念單位沖激函數(shù)的概念 (1) 當(dāng)當(dāng) 時，時， 0 t;0)

4、( t (2) .1d)( tt 顯然，借助單位沖激函數(shù)，前面顯然，借助單位沖激函數(shù)，前面引例引例中質(zhì)點的密度函數(shù)中質(zhì)點的密度函數(shù) 定義定義 )(t 單位沖激函數(shù)單位沖激函數(shù) 滿足：滿足： 單位沖激函數(shù)單位沖激函數(shù) 又稱為又稱為 Dirac 函數(shù)函數(shù)或者或者 函數(shù)函數(shù)。 )(t . )()(xmxP 就可表示為就可表示為 P192 5二、單位沖激函數(shù)的概念及性質(zhì)二、單位沖激函數(shù)的概念及性質(zhì) 1. 單位沖激函數(shù)的概念單位沖激函數(shù)的概念 (1) 單位沖激函數(shù)單位沖激函數(shù) 并不是經(jīng)典意義下的函數(shù)，而并不是經(jīng)典意義下的函數(shù)，而是一是一 個個廣義函數(shù)廣義函數(shù)( (或者或者奇異函數(shù)奇異函數(shù)) )，它不能用

5、通常意義下的，它不能用通常意義下的 “值的對應(yīng)關(guān)系值的對應(yīng)關(guān)系”來理解和使用，而總是通過它的性質(zhì)來理解和使用，而總是通過它的性質(zhì) 注注 )(t 來使用它。來使用它。 (2) 單位沖激函數(shù)有多種單位沖激函數(shù)有多種定義方式，前面給出的定義方式定義方式，前面給出的定義方式 是由是由 Dirac( (狄拉克狄拉克) )給出的。給出的。 單位沖激函數(shù)單位沖激函數(shù)其它定義方式其它定義方式6二、單位沖激函數(shù)的概念及性質(zhì)二、單位沖激函數(shù)的概念及性質(zhì) 2. 單位沖激函數(shù)的性質(zhì)單位沖激函數(shù)的性質(zhì) . )(d)()(00tfttftt (2) 對稱性質(zhì)對稱性質(zhì) . )()(tt 函數(shù)為偶函數(shù)，即函數(shù)為偶函數(shù)，即 (

6、1) 篩選性質(zhì)篩選性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 是定義在是定義在 上的有界函數(shù)，上的有界函數(shù)， )(tf),( 且在且在 處連續(xù)，處連續(xù)， 0 t. )0(d)()(fttft 則則 一般地，若一般地，若 在在 點連續(xù)，點連續(xù)， 0tt )(tf則則 P192性質(zhì)性質(zhì) 8.1 P193性質(zhì)性質(zhì) 8.2 7 函數(shù)的圖形表示方式非常特別，通常采用一個從原點函數(shù)的圖形表示方式非常特別，通常采用一個從原點 出發(fā)長度為出發(fā)長度為 1 的有向線段來表示，的有向線段來表示， 同樣有，函數(shù)同樣有，函數(shù) 的沖激強度為的沖激強度為 A。 )(tA 代表代表 函數(shù)的積分值，函數(shù)的積分值， 稱為稱為沖激強度沖激強度。

7、 二、單位沖激函數(shù)的概念及性質(zhì)二、單位沖激函數(shù)的概念及性質(zhì) 3. 單位沖激函數(shù)的圖形表示單位沖激函數(shù)的圖形表示 t 1 )(t )(0tt t 1 0t)(tA t A 其中有向線段的長度其中有向線段的長度 8三、單位沖激函數(shù)的三、單位沖激函數(shù)的 Fourier 變換變換 .10e ttj 由此可見，單位沖激函數(shù)包含所有頻率成份，且它們具有由此可見，單位沖激函數(shù)包含所有頻率成份，且它們具有 利用篩選性質(zhì)，可得出利用篩選性質(zhì)，可得出 函數(shù)的函數(shù)的 Fourier 變換：變換： tttjd)(e )(t 即即 與與 1 構(gòu)成構(gòu)成Fourier變換對變換對 )(t .1)(t 相等的幅度，稱此為相等

8、的幅度，稱此為均勻頻譜均勻頻譜或或白色頻譜白色頻譜。 t 1 )(t 1 )(t P194 9 重要公式重要公式 . )(2dettj 稱這種方式的稱這種方式的 Fourier 變換是一種變換是一種廣義的廣義的Fourier變換變換。 在在 函數(shù)的函數(shù)的 Fourier 變換中，其廣義積分是根據(jù)變換中，其廣義積分是根據(jù) 函數(shù)的函數(shù)的 注注 性質(zhì)直接給出的，而不是通過通常的積分方式得出來的，性質(zhì)直接給出的，而不是通過通常的積分方式得出來的， 三、單位沖激函數(shù)的三、單位沖激函數(shù)的 Fourier 變換變換 按照按照 Fourier 逆變換公式有逆變換公式有 10)(2 . )(2 )(1 F tt

9、jd1e 解解 )(1tf(1) (2) 將等式將等式 的兩邊對的兩邊對 求導(dǎo)，有求導(dǎo)，有 ttjde )(2 tt jtjd)(e , )(2 tttjde , )(2 j )(2 F )(2tf. )(2 j即得即得 P194 例例8.7 修改修改 11. )(1j 它是工程技術(shù)中最常用的函數(shù)之一。它是工程技術(shù)中最常用的函數(shù)之一。 解解 tsgn已知已知 ,2j , )(2 1, )1(sgn21)( ttu又又 )(tut1 tsgn )( U得得 1(21)稱稱 為為單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)，也稱為，也稱為 Heaviside 函數(shù)函數(shù)， )(tu注注 P194 例例8.8 修改修改

10、12 ttjtjdee0 ttjd)(0e )(20 . )(20 )(1 F解解 )(1tf(1) (2) 由由 ， t0cos )(2100eetjtj . )()(00 )(2 F )(2tf有有 tj0e tj0e (21 ) 0 0 )(2 FP194 例例8.7 部分部分 P195 例例8.9 13四、周期函數(shù)的四、周期函數(shù)的 Fourier 變換變換 . )()(2)(00 nnnFF 定理定理 設(shè)設(shè) 以以 T 為周期，在為周期，在 上滿足上滿足 Dirichlet 條件，條件， )(zf,0T則則 的的 Fourier 變換為變換為)(zf其中，其中， ,/20T )(0 nF是是 的離散頻譜。的離散頻譜。)(zf由由 有有 證明證明 ntnjnFtf0e)()(0 . )()(200 nnnF ttnjtnjdee0 nnFF)()(0 P195定理定理 8.3 14附：附： 單位沖激函數(shù)的其它定義方式單位沖激函數(shù)的其它定