材料力學(xué)-劉鴻文 第三章 3-2

1、t 當(dāng)圓軸承受繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的外扭轉(zhuǎn)力當(dāng)圓軸承受繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的外扭轉(zhuǎn)力偶作用時(shí)，其橫截面上將只有扭矩一偶作用時(shí)，其橫截面上將只有扭矩一個(gè)內(nèi)力分量。個(gè)內(nèi)力分量。 圓軸受扭后，將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。圓軸受扭后，將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。圓軸上的直角微元均發(fā)生了變化，這圓軸上的直角微元均發(fā)生了變化，這種直角的改變量即為剪應(yīng)變。這表明種直角的改變量即為剪應(yīng)變。這表明，圓軸橫截面和縱截面上都將出現(xiàn)剪，圓軸橫截面和縱截面上都將出現(xiàn)剪應(yīng)力分別用應(yīng)力分別用 t t 和和 t t 表示。表示。ABCDtABCD3-4 3-4 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力123x44123xTkTk4（1）縱向線轉(zhuǎn)動(dòng)；但仍保持位置相互平行；（2）

2、圓周線繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，但仍在原來的平面內(nèi)；（3）圓周線大小、形狀及兩圓周線之間的距離不變。Tn剪應(yīng)力方向是沿周邊切線方向；剪應(yīng)力方向是沿周邊切線方向；截面只有剪應(yīng)力，無正應(yīng)力；截面只有剪應(yīng)力，無正應(yīng)力；2 2、推論、推論平截面假定：平截面假定：(1) 橫截面保持為平面，形狀、大小、間距不變橫截面保持為平面，形狀、大小、間距不變(2) 半徑保持為直線半徑保持為直線幾何關(guān)系幾何關(guān)系：（確定剪應(yīng)變的分布）,= (x)討論距軸為討論距軸為 的的lmnp面面 剪應(yīng)力沿半徑分布是變化的（未知）因此，以剪剪應(yīng)力沿半徑分布是變化的（未知）因此，以剪應(yīng)變?nèi)胧址治?。?yīng)變?nèi)胧址治觥xTT143223d)dmm( dx

3、ddxmm令dxd 扭轉(zhuǎn)角沿桿長的變化率 幾何方程 (1)ooR1243mlndxpmn32d 物理關(guān)系：物理關(guān)系：( (剪切虎克定律剪切虎克定律) ) t tG (2)(2) t t G(3)(3)代入幾何方程代入幾何方程剪應(yīng)力分布剪應(yīng)力分布: (1) 對于單一材料對于單一材料, 以軸心為原點(diǎn)線性分布以軸心為原點(diǎn)線性分布 (2) 對于同心復(fù)合材料對于同心復(fù)合材料, 以軸心為原點(diǎn)分段線性分布以軸心為原點(diǎn)分段線性分布實(shí)實(shí)心心圓圓截截面面T空空心心圓圓截截面面T：靜力學(xué)關(guān)系（確定微觀剪應(yīng)力與宏觀扭矩的等效關(guān)系）：靜力學(xué)關(guān)系（確定微觀剪應(yīng)力與宏觀扭矩的等效關(guān)系）dAodAt t AdATt (4)(

4、4)(3)3)代入代入(4), (4), 積分后得：積分后得：TGITIt剪應(yīng)力計(jì)算公式剪應(yīng)力計(jì)算公式2PAdAI令：2AAGdAGdATIP 極慣性矩極慣性矩DdD2PAdAI令：取微分面積：取微分面積：2dAd222042420220.132DPADIdAdDdD2222244224422320.1DdPADdIdAddDdDdOd極慣性矩的計(jì)算極慣性矩的計(jì)算存在什么應(yīng)力存在什么應(yīng)力: 實(shí)心圓截面和空心實(shí)心圓截面和空心圓截面上僅有剪應(yīng)力圓截面上僅有剪應(yīng)力. .應(yīng)力如何分布應(yīng)力如何分布: 與扭矩方向一致與扭矩方向一致, ,以以軸心為原點(diǎn)線性分布軸心為原點(diǎn)線性分布應(yīng)力怎樣計(jì)算應(yīng)力怎樣計(jì)算三個(gè)待

5、定問題的答案三個(gè)待定問題的答案tpITmaxpTRItmaxPTIW令maxTTWt則：抗扭截面抗扭截面模量模量(系數(shù)系數(shù))；量綱量綱 長度長度 3 3tT最大剪應(yīng)力發(fā)生在最外沿最大剪應(yīng)力發(fā)生在最外沿,即即:max=R處處3244)dD(I DdD433max320.2/216PTDIDWDD4444max343432/21610.2116PTDdDdIWDDDD440.132PDID抗扭截面摸量抗扭截面摸量WT的計(jì)算的計(jì)算思考：思考：由兩種不同材料組成的圓軸，里層和外層材料的切變模量分別為G1和G2，且G1=2G2。圓軸尺寸如圖所示。圓軸受扭時(shí)，里、外層之間無相對滑動(dòng)。關(guān)于橫截面上的切應(yīng)力分

6、布，有圖中（A）、（B）、（C）、（D）所示的四種結(jié)論，請判斷哪一種是正確的。d2dT1G2GO(A)(B)(C)(D)繪出半圓柱體各截面上的應(yīng)力分布。說明該部分的平衡情況。TABCDTCBDAMOMOOAA例例2：軸，：軸，d = 50mm，MO =1kN.m,求求 處的處的切應(yīng)力切應(yīng)力及邊緣處的及邊緣處的最大切應(yīng)力。最大切應(yīng)力。12.5Amm解：解：1.求任意截面上的扭矩求任意截面上的扭矩1000OTMN m2.求極慣性矩及抗扭截面系數(shù)求極慣性矩及抗扭截面系數(shù)43 4484(50 10 )61 103232PdImm8363361 1024 1025 10PTIWmmR3.求 及Atmax

7、t38100012.5 102061 10AAPTMPaItmax610004224 10PTRMPaItmaxTTWt2.2.強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件： maxmax: TTWttTAB圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算 要理解其物理意義! 例例3：由無縫鋼管制成的汽車傳動(dòng)軸：由無縫鋼管制成的汽車傳動(dòng)軸AB，外徑，外徑D=90mm,壁厚壁厚t=2.5mm,材料為材料為45號鋼。使用時(shí)最大扭矩號鋼。使用時(shí)最大扭矩T=1.5KN, ，試校核，試校核AB軸的強(qiáng)度。軸的強(qiáng)度。 MPa60t解解：944. 0905 . 2290Dd334490(1)(1 0.944 )1616TDW329400mm軸的

8、最大剪應(yīng)力為軸的最大剪應(yīng)力為max915005129400 10TTMPaWt tAB軸滿足強(qiáng)度條件。軸滿足強(qiáng)度條件。TAB例例4：如把上例中的傳動(dòng)軸改為：如把上例中的傳動(dòng)軸改為實(shí)心軸實(shí)心軸，要求它與原來，要求它與原來的空心軸的空心軸強(qiáng)度相同強(qiáng)度相同，試確定其，試確定其直徑直徑，并比較二者的，并比較二者的重量重量。解：按題目要求，實(shí)心軸的最大剪應(yīng)力也為解：按題目要求，實(shí)心軸的最大剪應(yīng)力也為51MPa,即即16max3150051 1016TTDWtmD0531. 01051161500361在兩軸材料、長度相同的情況下，重量之比即為面積之比：在兩軸材料、長度相同的情況下，重量之比即為面積之比：

9、31. 01 .538590222212212DdDAA 可見在載荷相同的條件下，空心軸的重量僅為實(shí)可見在載荷相同的條件下，空心軸的重量僅為實(shí)心軸的心軸的31%，其減輕重量、節(jié)約材料時(shí)非常明顯的。，其減輕重量、節(jié)約材料時(shí)非常明顯的。這個(gè)數(shù)字說明什么？這個(gè)數(shù)字說明什么？例例5:圖示傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，圖示傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，E軸通過聯(lián)軸器與軸通過聯(lián)軸器與H軸連接，軸連接，A輪帶動(dòng)輪帶動(dòng)D輪輪使使C軸轉(zhuǎn)動(dòng)。從軸轉(zhuǎn)動(dòng)。從B輪輸入功率輪輸入功率P1=14kW，功率的一半通過錐形，功率的一半通過錐形齒輪傳給齒輪傳給C軸，另一半由軸，另一半由H軸輸出。已知：軸輸出。已知： n1= n2= 120 r/min, z1=36,

10、z3=12;d1=70mm, d 2 =50mm, d3=35mm. 求求: 各各軸軸橫截面上的最大切應(yīng)力。橫截面上的最大切應(yīng)力。3聯(lián)軸器聯(lián)軸器31.求各軸的扭矩求各軸的扭矩由外力偶矩計(jì)算公式由外力偶矩計(jì)算公式9549PMn2.求各軸的扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力求各軸的扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力3max33185.721.98()35 10316CTTMPaWt2max3255722.69()50 10316HTTMPaWt1max31111416.55()70 10316ETTMPaWtd1= 70mmd2 = 50mmd3 =35mm上一節(jié)已經(jīng)導(dǎo)出如下公式：上一節(jié)已經(jīng)導(dǎo)出如下公式：ddx因?yàn)椋海?）ddx所以：又有：pT

11、GI（2）pTGI所以：(2)代入(1)pTddxGI( 常量),兩邊積分得： GIlPTddxGIGIp抗扭剛度kTkT 3-5 3-5 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形lPTddxGI弧度弧度：平面角的度量單位。：平面角的度量單位。 圓心角所對應(yīng)的圓心角所對應(yīng)的弧長弧長和和半徑半徑相等，這個(gè)角就是相等，這個(gè)角就是一弧度。一弧度。360157 17 442，弧度10.01745329 弧度弧度表示：弧度表示：rad當(dāng)當(dāng)G，T，Ip為常量時(shí)為常量時(shí)TlGI當(dāng)當(dāng)G，T，IP階梯變化時(shí)階梯變化時(shí)1niiiiPiT lG I2.2.單位長度扭轉(zhuǎn)角單位長度扭轉(zhuǎn)角用于描述圓軸扭轉(zhuǎn)變形的聚集程度用于描述圓

12、軸扭轉(zhuǎn)變形的聚集程度(單位長度的扭轉(zhuǎn)角單位長度的扭轉(zhuǎn)角).前面已經(jīng)推出前面已經(jīng)推出:又有：TGITGImaxmax: TGImax180max:TGI單位單位:度度/米米; (o/m)ddx單位單位:弧度弧度/米米; (rad/m)ddx解：解：1、外力偶矩：、外力偶矩：NmnPTAKA2759549NmTNmTKCKB91,1842、作扭矩圖：、作扭矩圖：試設(shè)計(jì)軸的直徑試設(shè)計(jì)軸的直徑d例例7：傳動(dòng)軸轉(zhuǎn)速：傳動(dòng)軸轉(zhuǎn)速 分轉(zhuǎn)208n,6PKWA主動(dòng)輪KWPKWCB2,4P從動(dòng)輪 130,80oMPamGGPat已知：APBPCP TKATKBTKCmax184TNmxT91Nm184Nm3、按強(qiáng)

13、度條件設(shè)計(jì)直徑：、按強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)直徑： maxmax( )tTWtt63103018416dm336105 .31103018416d解得 TKATKBTKCxT91Nm184Nm4、按剛度條件設(shè)計(jì)直徑、按剛度條件設(shè)計(jì)直徑：maxmax( )180PTGImax4( )18032TdG即m34291034108018018432d解得mmm341034d3取 TKATKBTKCxT91Nm184Nm例例8：圖示階梯軸，已知=80MPa,G=80GPaCD段直徑為d, AC段直徑為0.8d。試確定：該軸的直徑d；并求A、C截面的相對扭轉(zhuǎn)角AC 。解：1、作扭矩圖：55100.5m0.5m0.5m

14、ABCD15KNm 15KNm5KNmT T（NmNm）2、求直徑d ttmaxmaxTWTAB段：633108016)8 . 0(105dmmmd3 .85103 .853BC段：6331080161010dmmd86mmd865510NmT0.5m0.5m0.5mABCD15KNm 15KNm5KNm3、求、求AC BCABACBCPABPGITlGITl393439345 100.5 3280 1086 1010 100.5 3280 1086 10 （0.8）（）33313.951011.0102.95100.169rad 5510NmT0.5m0.5m0.5mABCD15KNm 15

15、KNm5KNm例例9:9:一內(nèi)徑為d、外徑為D=2d的空心圓管與一直徑為d的實(shí)心圓桿牢固結(jié)合成一組合圓軸，共同承受轉(zhuǎn)矩Me。圓管與圓桿的材料不同，其切變模量分別為G1和G2，且G1=G2/2，設(shè)兩桿扭轉(zhuǎn)變形時(shí)且均處于線彈性范圍。試問兩桿橫截面上的最大切應(yīng)力之比1/2為多大？并畫出沿半徑方向的切應(yīng)力變化規(guī)律。dD 1 2eM2t1t因兩桿扭轉(zhuǎn)變形時(shí)無相對轉(zhuǎn)動(dòng)因兩桿扭轉(zhuǎn)變形時(shí)無相對轉(zhuǎn)動(dòng)21 222111PPIGLTIGLT221121PPIGIGTT1222211221221121GGdDITITIdTIDTPPPPtt解: 從圓桿中取長度l-x和dx微段，截面的扭矩為T(x)=(l-x)t. p

16、pT x dxtlxdxdGIGI 例例10:10:等直圓桿的扭轉(zhuǎn)剛度為GIp,受分布扭矩 t (單位為Nm/m)作用，求A-B截面的相對扭轉(zhuǎn)角BA 。AB 截面相對扭轉(zhuǎn)角為：截面相對扭轉(zhuǎn)角為： 22022BAlllpplppT x dxtlx dxdGIGItlxt lGIGI l - xT(x)dx 段兩相鄰截面的扭轉(zhuǎn)角為： 從中取從中取 dx 段，該截面的直徑為：段，該截面的直徑為： pT x dxdGIx AB 截面相對扭轉(zhuǎn)角為：截面相對扭轉(zhuǎn)角為： llpT xdxdGIx 432pIdx 式中：式中：進(jìn)一步考慮變截面圓桿，進(jìn)一步考慮變截面圓桿，A、B 兩端直徑分別為兩端直徑分別為 d

17、1、d2 。 該段相鄰兩截面的扭轉(zhuǎn)角為：該段相鄰兩截面的扭轉(zhuǎn)角為： 211ddd xx dl 3-6 3-6 圓柱形密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形圓柱形密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形由平衡方程得由平衡方程得Q=P由剪力引起的剪應(yīng)力，由剪力引起的剪應(yīng)力，近似認(rèn)為均勻分布近似認(rèn)為均勻分布T=PD2t t1 =4P d2QA由扭矩引起的剪應(yīng)力，近由扭矩引起的剪應(yīng)力，近似認(rèn)為與受扭直桿相同似認(rèn)為與受扭直桿相同TWtt t2max =8PD d3兩種剪應(yīng)力同時(shí)作用，則簧兩種剪應(yīng)力同時(shí)作用，則簧絲橫截面內(nèi)側(cè)有最大剪應(yīng)力絲橫截面內(nèi)側(cè)有最大剪應(yīng)力t tmax = t t1+t t2max 8PD d3 1 1d2D由于由

18、于d2D,上述剪應(yīng)力近似等于上述剪應(yīng)力近似等于t tmax 8PD d3由于上述推導(dǎo)的近似性，上述剪應(yīng)力由于上述推導(dǎo)的近似性，上述剪應(yīng)力公式存在一定誤差?？尚拚缦拢汗酱嬖谝欢ㄕ`差?？尚拚缦拢夯山z的強(qiáng)度條件是t tmax t t ck彈簧的變形在彈性范圍內(nèi)，在彈性范圍內(nèi)，P與與伸長量伸長量l l成正比成正比3.7 3.7 非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念非圓截面等直桿：非圓截面等直桿：平面假設(shè)不成立。即各截面發(fā)生翹曲不保持平面。因此，由等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)推出的應(yīng)力、變形公式不適用，須由彈性力學(xué)方法求解。3.7 3.7 非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念一一、自由扭轉(zhuǎn)、自由扭轉(zhuǎn)：桿

19、件扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面的翹曲不受限制，：桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面的翹曲不受限制，任意兩相鄰截面的翹曲程度完全相同。任意兩相鄰截面的翹曲程度完全相同。二二、約束扭轉(zhuǎn)：、約束扭轉(zhuǎn)：桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面的翹曲受到限制，桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面的翹曲受到限制，相鄰截面的翹曲程度不同。相鄰截面的翹曲程度不同。t tmaxT hb2t t1 ntntmax TlGb bhb3TlGItGIt=Gb bhb3hbht t 1T t t max 注意！b2maxmax: tTWh btWt其中注意！注意！ 多數(shù)教材與手冊上有如下定義：hbIGITtt3 : , b其中max1ntt31 ; ) 10 : (bbh即對于狹長矩形查表求 和b 時(shí)一定要注意，表中 和b 與那套公式對應(yīng)。hbht t 1T t t max 注意！b一、剪應(yīng)力流的方向與扭矩的方向一致。一、剪應(yīng)力流的方向與扭矩的方向一致。二、開口薄壁截面桿在自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的剪應(yīng)力分布如圖（二、開口薄壁截面桿在自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的剪應(yīng)力分布如圖（a），厚），厚 度中點(diǎn)處，應(yīng)力為零。度中點(diǎn)處，應(yīng)力為零。38 開口和閉合薄壁截面在自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力開口和閉合薄壁截面在自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力三、閉口薄壁截面桿在自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的剪應(yīng)力分布如圖（三、閉口薄壁截面桿在自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的剪應(yīng)力分布如圖（b b），同），同 一厚度處，應(yīng)力均勻分布。一厚度處，應(yīng)力均勻分布。hb0.333h若面積及