電磁場與電磁波 第四章 時變電磁場.

1、第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波1成都工業(yè)學(xué)院成都工業(yè)學(xué)院 傅林傅林第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波2第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波3 本章內(nèi)容本章內(nèi)容 4.1 波動方程波動方程 4.2 電磁場的位函數(shù)電磁場的位函數(shù) 4.3 電磁能量守恒定律電磁能量守恒定律 4.4 惟一性定理惟一性定理 4.5 時諧電磁場時諧電磁場第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波44.1 波動方程波動方程 在無源空間中，設(shè)媒質(zhì)是線性、各向同性且無損耗的均勻媒在無源空間中，設(shè)媒質(zhì)是線性、各向同性且無損耗的均勻媒質(zhì)，則有質(zhì)，則有 無源區(qū)的波動方程無源區(qū)的波動方程 波動方程波動方程 二二階

2、矢量微分方程，階矢量微分方程，揭示電磁場的波動性。揭示電磁場的波動性。 麥克斯韋方程麥克斯韋方程 一階矢量微分方程組，描述電場與磁場一階矢量微分方程組，描述電場與磁場 間的相互作用關(guān)系。間的相互作用關(guān)系。 麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組 波動方程。波動方程。 問題的提出問題的提出0222tHH0222tEE電磁波動方程電磁波動方程第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波50222tHH0222tEE22)(tHHH2)(tEH00HtHtH同理可得同理可得 推證推證 問題問題 若為有源空間，結(jié)果如何？若為有源空間，結(jié)果如何？ 若為導(dǎo)電媒質(zhì)，結(jié)果如何？若為導(dǎo)電媒質(zhì)，結(jié)果如何？第第 4 章章電磁場

3、與電磁波電磁場與電磁波64.2 電磁場的位函數(shù)電磁場的位函數(shù) 討論內(nèi)容討論內(nèi)容 位函數(shù)的性質(zhì)位函數(shù)的性質(zhì) 位函數(shù)的定義位函數(shù)的定義 位函數(shù)的規(guī)范條件位函數(shù)的規(guī)范條件 位函數(shù)的微分方程位函數(shù)的微分方程第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波7引入位函數(shù)來描述時變電磁場，使一些問題的分析得到簡化。引入位函數(shù)來描述時變電磁場，使一些問題的分析得到簡化。 引入位函數(shù)的意義引入位函數(shù)的意義 位函數(shù)的定義位函數(shù)的定義0)(tA0 BABtBtAE第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波8 位函數(shù)的不確定性位函數(shù)的不確定性()()()AAAAAAtttt ）、（A 滿足下列變換關(guān)系的兩組位函數(shù)滿足下列變

4、換關(guān)系的兩組位函數(shù) 和和 能描述同能描述同一個電磁場問題。一個電磁場問題。）、（AAAt 即即也就是說，對一給定的電磁場可用不同的位函數(shù)來描述。也就是說，對一給定的電磁場可用不同的位函數(shù)來描述。 不同位函數(shù)之間的上述變換稱為規(guī)范變換。不同位函數(shù)之間的上述變換稱為規(guī)范變換。A 原因原因：未規(guī)定：未規(guī)定 的散度。的散度。為任意可微函數(shù)為任意可微函數(shù)第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波9除了利用洛侖茲條件外，另一種常用的是庫侖條件，即除了利用洛侖茲條件外，另一種常用的是庫侖條件，即 在電磁理論中，通常采用洛侖茲條件，即在電磁理論中，通常采用洛侖茲條件，即 位函數(shù)的規(guī)范條件位函數(shù)的規(guī)范條件0 A

5、0tA 造成位函數(shù)的不確定性的原因就是沒有規(guī)定造成位函數(shù)的不確定性的原因就是沒有規(guī)定 的散度。利用的散度。利用位函數(shù)的不確定性，可通過規(guī)定位函數(shù)的不確定性，可通過規(guī)定 的散度使位函數(shù)滿足的方程得的散度使位函數(shù)滿足的方程得以簡化。以簡化。AA第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波10tDJH)(tAtJA)(222tAJtAAtEJBJtAA222 位函數(shù)的微分方程位函數(shù)的微分方程BHEDtAEABAAA2)(0tA第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波11 D)(tA222t同樣同樣tAEED、0tA第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波12222t 說明說明JtAA222 若應(yīng)用

6、庫侖條件，若應(yīng)用庫侖條件，位函數(shù)滿足什么樣的方程位函數(shù)滿足什么樣的方程? 具有什么特點具有什么特點? 問題問題 應(yīng)用洛侖茲條件的特點：應(yīng)用洛侖茲條件的特點： 位函數(shù)滿足的方程在形式上是對稱位函數(shù)滿足的方程在形式上是對稱 的，且比較簡單，易求解；的，且比較簡單，易求解； 解的物理意義非常清楚，明確地解的物理意義非常清楚，明確地 反映出電磁場具有有限的傳遞速度；反映出電磁場具有有限的傳遞速度； 矢量位只決定于矢量位只決定于J，標，標 量位只決定于量位只決定于，這對求解方程特別有利。只需解出這對求解方程特別有利。只需解出A，無需，無需 解出解出 就可得到待求的電場和磁場。就可得到待求的電場和磁場。

7、電磁位函數(shù)只是簡化時變電磁場分析求解的一種輔助函數(shù)，應(yīng)電磁位函數(shù)只是簡化時變電磁場分析求解的一種輔助函數(shù)，應(yīng) 用不同的規(guī)范條件，矢量位用不同的規(guī)范條件，矢量位A和標量位和標量位 的解也不相同，但最終的解也不相同，但最終 得到的電磁場矢量是相同的。得到的電磁場矢量是相同的。第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波134.3 電磁能量守恒定律電磁能量守恒定律 討論內(nèi)容討論內(nèi)容 坡印廷定理坡印廷定理 電磁能量及守恒關(guān)系電磁能量及守恒關(guān)系 坡印廷矢量坡印廷矢量第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波14 進入體積進入體積V的能量體積的能量體積V內(nèi)增加的能量體積內(nèi)增加的能量體積V內(nèi)損耗的能量內(nèi)損耗的

8、能量電場能量密度電場能量密度：e12w E D磁場能量密度磁場能量密度：m12w H B電磁能量密度電磁能量密度：em1122wwwE DH B 空間區(qū)域空間區(qū)域V中的電磁能量中的電磁能量：11d()d22VVWw VE DH BV 特點特點：當場隨時間變化時，空間各點的電磁場能量密度也要隨：當場隨時間變化時，空間各點的電磁場能量密度也要隨 時間改變，從而引起電磁能量流動。時間改變，從而引起電磁能量流動。 電磁能量守恒關(guān)系：電磁能量守恒關(guān)系： 電磁能量及守恒關(guān)系電磁能量及守恒關(guān)系ddWtVS第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波15其中其中： 單位時間內(nèi)體積單位時間內(nèi)體積V 中所增加中所增

9、加 的電磁能量。的電磁能量。 單位時間內(nèi)電場對體積單位時間內(nèi)電場對體積V中的電流所做的功；中的電流所做的功； 在導(dǎo)電媒質(zhì)中，即為體積在導(dǎo)電媒質(zhì)中，即為體積V內(nèi)總的損耗功率。內(nèi)總的損耗功率。 通過曲面通過曲面S 進入體積進入體積V 的電磁功率。的電磁功率。 表征電磁能量守恒關(guān)系的定理表征電磁能量守恒關(guān)系的定理積分形式積分形式：VVSVJEVBHDEtSHEdd)2121(ddd)(VVJEdVVBHDEtd)2121(ddSSHEd)(JEBHDEtHE)2121()( 坡坡印廷定理印廷定理微分形式微分形式：第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波16在線性和各向同性的媒質(zhì)中，當參數(shù)都不隨時間

10、變化時，則有在線性和各向同性的媒質(zhì)中，當參數(shù)都不隨時間變化時，則有將以上兩式相減，得到將以上兩式相減，得到由由tBtDJHtBHHtDJHtBHtDJHH)21()(21DttttD)21()(21BHttHHtHHtBH 推證推證第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波17即可得到坡印廷定理的微分形式即可得到坡印廷定理的微分形式再利用矢量恒等式再利用矢量恒等式：)(HHHJBHDtH)2121()(在任意閉曲面在任意閉曲面S 所包圍的體積所包圍的體積V上，對上式兩端積分，并應(yīng)用散上，對上式兩端積分，并應(yīng)用散度定理，即可得到坡印廷定理的積分形式度定理，即可得到坡印廷定理的積分形式VVSVJE

11、VBHDEtSHEdd)2121(ddd)( 物理意義：物理意義：單位時間內(nèi)，通過曲面單位時間內(nèi)，通過曲面S 進入體積進入體積V的電磁能量等于的電磁能量等于 體積體積V 中所增加的電磁場能量與損耗的能量之和。中所增加的電磁場能量與損耗的能量之和。第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波18 定義：定義： ( W/m2 )HS 物理意義物理意義： 的方向的方向 電磁能量傳輸?shù)姆较螂姶拍芰總鬏數(shù)姆较騍 的大小的大小 通過垂直于能量傳輸方通過垂直于能量傳輸方 向的單位面積的電磁功率向的單位面積的電磁功率S 描述時變電磁場中電磁能量傳輸?shù)囊粋€重要物理量描述時變電磁場中電磁能量傳輸?shù)囊粋€重要物理量 坡

12、印廷矢量（電磁能流密度矢量）坡印廷矢量（電磁能流密度矢量） H S 能能流流密密度度矢矢量量 E O第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波19 例例4.3.1 同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a 、外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為、外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，其間，其間填充均勻的理想介質(zhì)。設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為填充均勻的理想介質(zhì)。設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為U ，導(dǎo)體中流過的電，導(dǎo)體中流過的電流為流為I 。（。（1）在導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，計算同軸線中傳輸?shù)模┰趯?dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，計算同軸線中傳輸?shù)墓β剩唬üβ?；?）當導(dǎo)體的電導(dǎo)率）當導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時，計算通過內(nèi)導(dǎo)體表面為有限值時，計算通過內(nèi)導(dǎo)體表面進

13、入每單位長度內(nèi)導(dǎo)體的功率。進入每單位長度內(nèi)導(dǎo)體的功率。同軸線同軸線第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波20 解：解：（1）在內(nèi)外導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，電場和磁場只存）在內(nèi)外導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，電場和磁場只存在于內(nèi)外導(dǎo)體之間的理想介質(zhì)中，內(nèi)外導(dǎo)體表面的電場無切向分在于內(nèi)外導(dǎo)體之間的理想介質(zhì)中，內(nèi)外導(dǎo)體表面的電場無切向分量，只有電場的徑向分量。利用高斯定理和安培環(huán)路定理，容易量，只有電場的徑向分量。利用高斯定理和安培環(huán)路定理，容易求得內(nèi)外導(dǎo)體之間的電場和磁場分別為求得內(nèi)外導(dǎo)體之間的電場和磁場分別為,ln()UEeb a()ab2IHe2 ()ln()22ln()zUIUISEHeeeb

14、 ab a內(nèi)外導(dǎo)體之間任意橫截面上的坡印廷矢量內(nèi)外導(dǎo)體之間任意橫截面上的坡印廷矢量第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波21電磁能量在內(nèi)外導(dǎo)體之間的介質(zhì)中沿軸方向流動，即由電源流向電磁能量在內(nèi)外導(dǎo)體之間的介質(zhì)中沿軸方向流動，即由電源流向負載，如圖所示。負載，如圖所示。2d2 d2ln()bzSaUIPS eSUIb a 穿過任意橫截面的功率為穿過任意橫截面的功率為同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（理想導(dǎo)體情況）（理想導(dǎo)體情況）第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波22 （2）當導(dǎo)體的電導(dǎo)率）當導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時，導(dǎo)體內(nèi)部存在沿電流方為有限值時，導(dǎo)體內(nèi)

15、部存在沿電流方向的電場向的電場內(nèi)內(nèi)2zJIEea根據(jù)邊界條件，在內(nèi)導(dǎo)體表面上電場的切向分量連續(xù)，即根據(jù)邊界條件，在內(nèi)導(dǎo)體表面上電場的切向分量連續(xù)，即因此，在內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的電場為因此，在內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的電場為zzEE外 內(nèi)2ln()zaUIEeeab aa外2aIHea外磁場則仍為磁場則仍為內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量為內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量為2232()22ln()zaaIUISEHeeaab a 外外外同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（非理想導(dǎo)體情況）（非理想導(dǎo)體情況）第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波2322122320()d2 d2SaIIPS

16、Sa zRIaa e外21Ra式中式中 是單位長度內(nèi)導(dǎo)體的電阻。由此可見，進入內(nèi)導(dǎo)是單位長度內(nèi)導(dǎo)體的電阻。由此可見，進入內(nèi)導(dǎo)體中功率等于這段導(dǎo)體的焦耳損耗功率。體中功率等于這段導(dǎo)體的焦耳損耗功率。由此可見，內(nèi)導(dǎo)體表面外由此可見，內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量既有軸向側(cè)的坡印廷矢量既有軸向分量，也有徑向分量，如分量，也有徑向分量，如圖所示。圖所示。進入每單位長度進入每單位長度內(nèi)導(dǎo)體的功率為內(nèi)導(dǎo)體的功率為 以上分析表明電磁能量是由電磁場傳輸?shù)?，?dǎo)體僅起著定向以上分析表明電磁能量是由電磁場傳輸?shù)?，?dǎo)體僅起著定向引導(dǎo)電磁能流的作用。當導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時，進入導(dǎo)體中引導(dǎo)電磁能流的作用。當導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有

17、限值時，進入導(dǎo)體中的功率全部被導(dǎo)體所吸收，成為導(dǎo)體中的焦耳熱損耗功率。的功率全部被導(dǎo)體所吸收，成為導(dǎo)體中的焦耳熱損耗功率。同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（非理想導(dǎo)體情況）（非理想導(dǎo)體情況）第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波244. 4 惟一性定理惟一性定理 在以閉曲面在以閉曲面S為邊界的有界區(qū)域為邊界的有界區(qū)域V 內(nèi)，內(nèi)，如果給定如果給定t0 時刻的電場強度和磁場強度時刻的電場強度和磁場強度的初始值，并且在的初始值，并且在 t 0 時，給定邊界面時，給定邊界面S上的電場強度的切向分量或磁場強度的切向分量，那么，在上的電場強度的切向分量或磁場強度的切向分

18、量，那么，在 t 0 時，區(qū)域時，區(qū)域V 內(nèi)的電磁場由麥克斯韋方程惟一地確定。內(nèi)的電磁場由麥克斯韋方程惟一地確定。 惟一性定理的表述惟一性定理的表述 在分析有界區(qū)域的時變電磁場問題時，常常需要在給定的初在分析有界區(qū)域的時變電磁場問題時，常常需要在給定的初始條件和邊界條件下，求解麥克斯韋方程。那么，在什么定解條始條件和邊界條件下，求解麥克斯韋方程。那么，在什么定解條件下，有界區(qū)域中的麥克斯韋方程的解才是惟一的呢？這就是麥件下，有界區(qū)域中的麥克斯韋方程的解才是惟一的呢？這就是麥克斯韋方程的解的惟一問題。克斯韋方程的解的惟一問題。 惟一性問題惟一性問題VS第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波2

19、5 惟一性定理的證明惟一性定理的證明 利用反證法對惟一性定理給予證明。假設(shè)區(qū)域利用反證法對惟一性定理給予證明。假設(shè)區(qū)域內(nèi)的解不是惟內(nèi)的解不是惟一的，那么至少存在兩組解一的，那么至少存在兩組解 、 和和 、 滿足同樣的麥克斯韋滿足同樣的麥克斯韋方程，且具有相同的初始條件和邊界條件。方程，且具有相同的初始條件和邊界條件。1E2H2E1H000EHEt00HEt0()0H0()0E則在區(qū)域則在區(qū)域V 內(nèi)內(nèi) 和和 的初始值為零；在的初始值為零；在邊界面邊界面S 上電場強度上電場強度 的的切向分量為零或磁場強度切向分量為零或磁場強度 的切向分量為零，且的切向分量為零，且 和和 滿足麥滿足麥克斯韋方程克斯

20、韋方程0E0H0E0H0E0H012EEE012HHH令令第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波26根據(jù)坡印廷定理，應(yīng)有根據(jù)坡印廷定理，應(yīng)有222000d11()dd0d22VVHEVEVt所以所以由于場的初始值為零，將上式兩邊對由于場的初始值為零，將上式兩邊對 t 積分，可得積分，可得222000011()d(d)d022tVVHEVEVt 00nn000n0()()()0SSSEHeeEHHeE根據(jù)根據(jù) 和和 的邊界條件，上式左端的被積函數(shù)為的邊界條件，上式左端的被積函數(shù)為0E0HVVSVEVEHtSeHEdd)2121(ddd)(202020n00第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與

21、電磁波2700,E 00H 12,EE12HH上式中兩項積分的被積函數(shù)均為非負的，要使得積分為零，必有上式中兩項積分的被積函數(shù)均為非負的，要使得積分為零，必有（證畢）（證畢）即即 惟一性定理指出了獲得惟一解所必須滿足的條件，為電磁場惟一性定理指出了獲得惟一解所必須滿足的條件，為電磁場 問題的求解提供了理論依據(jù)，具有非常重要的意義和廣泛的問題的求解提供了理論依據(jù)，具有非常重要的意義和廣泛的 應(yīng)用。應(yīng)用。 第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波284. 5 時諧電磁場時諧電磁場 復(fù)矢量的麥克斯韋方程復(fù)矢量的麥克斯韋方程 時諧電磁場的復(fù)數(shù)表示時諧電磁場的復(fù)數(shù)表示 復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率復(fù)電容率和復(fù)磁

22、導(dǎo)率 時諧場的位函數(shù)時諧場的位函數(shù) 亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程 平均能流密度矢量平均能流密度矢量第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波29 時諧電磁場的概念時諧電磁場的概念 如果場源以一定的角頻率隨時間呈時諧（正弦或余弦）變化，如果場源以一定的角頻率隨時間呈時諧（正弦或余弦）變化，則所產(chǎn)生電磁場也以同樣的角頻率隨時間呈時諧變化。這種以一則所產(chǎn)生電磁場也以同樣的角頻率隨時間呈時諧變化。這種以一定角頻率作時諧變化的電磁場，稱為時諧電磁場或正弦電磁場。定角頻率作時諧變化的電磁場，稱為時諧電磁場或正弦電磁場。 研究時諧電磁場具有重要意義研究時諧電磁場具有重要意義 在工程上，應(yīng)用最多的就是時諧電磁場。

23、在工程上，應(yīng)用最多的就是時諧電磁場。廣播、電視和通信廣播、電視和通信 的載波等都是時諧電磁場。的載波等都是時諧電磁場。 任意的時變場在一定的條件下可通過傅里葉分析方法展開為不任意的時變場在一定的條件下可通過傅里葉分析方法展開為不 同頻率的時諧場的疊加。同頻率的時諧場的疊加。4.5.1 時諧電磁場的復(fù)數(shù)表示時諧電磁場的復(fù)數(shù)表示第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波30 時諧電磁場可用復(fù)數(shù)方法來表示，使得大多數(shù)時諧電磁場問時諧電磁場可用復(fù)數(shù)方法來表示，使得大多數(shù)時諧電磁場問題的分析得以簡化。題的分析得以簡化。 設(shè)設(shè) 是一個以角頻率是一個以角頻率 隨時間隨時間t t 作正弦變化的場量，它作正弦變

24、化的場量，它可以是電場和磁場的任意一個分量，也可以是電荷或電流等變量，可以是電場和磁場的任意一個分量，也可以是電荷或電流等變量，它與時間的關(guān)系可以表示成它與時間的關(guān)系可以表示成( , )A r t 0( , )cos( )A r tAtrj( )j0( , )ReeRe ( )etrtA r tAA r其中其中j ( )0( )erA rA時間因子時間因子空間相位因子空間相位因子 利用三角公式利用三角公式式中的式中的A0為振幅、為振幅、 為與坐標有關(guān)的相位因子。為與坐標有關(guān)的相位因子。( )r 實數(shù)表示法或?qū)崝?shù)表示法或瞬時表示法瞬時表示法復(fù)數(shù)表示法復(fù)數(shù)表示法復(fù)振幅復(fù)振幅 時諧電磁場的時諧電磁場

25、的復(fù)數(shù)表示復(fù)數(shù)表示第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波31 復(fù)數(shù)式只是數(shù)學(xué)表示方式，不代表真實的場。復(fù)數(shù)式只是數(shù)學(xué)表示方式，不代表真實的場。照此法，矢量場的各分量照此法，矢量場的各分量Ei（i 表示表示x、y 或或 z）可表示成）可表示成 j( )jm( , )Re( )eReeitrtiiiE r tE rEjm( , )Re( )etE r tErj( )j( )j( )mmmm( )( )e( )e( )eyxzrrrxxyyzzEre Ere Ere Er各分量合成以后，電場強度為各分量合成以后，電場強度為 有關(guān)復(fù)數(shù)表示的進一步說明有關(guān)復(fù)數(shù)表示的進一步說明復(fù)矢量復(fù)矢量 真實場是復(fù)

26、數(shù)式的實部，即瞬時表達式。真實場是復(fù)數(shù)式的實部，即瞬時表達式。 由于時間因子是默認的，有時它不用寫出來，只用與坐標有由于時間因子是默認的，有時它不用寫出來，只用與坐標有 關(guān)的部分就可表示復(fù)矢量。關(guān)的部分就可表示復(fù)矢量。第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波32 例例4.5.1 將下列場矢量的瞬時值形式寫為復(fù)數(shù)形式將下列場矢量的瞬時值形式寫為復(fù)數(shù)形式mm( , )cos()sin()xxxyyyE z te Etkze Etkz（2）mm( , , )()sin()sin()cos()cos()xzaxH x z te H kkztaxe Hkzta解：解：（1）由于）由于mm( , )co

27、s()cos()2xxxyyyE z te Etkze Etkzj(/2)j()mmReeeyxt kzt kzxxyye Ee Ej(/2)j()mmm( )eeyxkzkzxxyyEze Ee Ejjjmm(eje)eyxkzxxyye Ee E（1）所以所以第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波33（2）因為）因為 cos()cos()kzttkzsin()cos()cos()22kztkzttkzjj 2jmmm( , )( )sin()ecos()ekzkzxzaxxHx ze H ke Haa故故 mm( , , )()sin()sin()cos()cos()xzaxH x z

28、 te H kkztaxe Hkzta所以所以 mm()sin()cos()2cos()cos()xzaxe H ktkzaxe Htkza第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波34 例例4.5.2 已知電場強度復(fù)矢量已知電場強度復(fù)矢量mm( )jcos()xxzEze Ek z解解jmj()2m( , )Rejcos()eRecos()etxxztxxzE z te Ek ze Ek zmcos()cos()2xxze Ek zt其中其中kz和和Exm為實常數(shù)。寫出電場強度的瞬時矢量為實常數(shù)。寫出電場強度的瞬時矢量mcos()sin()xxze Ek zt 第第 4 章章電磁場與電磁波電

29、磁場與電磁波35以電場旋度方程以電場旋度方程 為例，代入相應(yīng)場量的矢量，可得為例，代入相應(yīng)場量的矢量，可得tBEjjmmRe(e)Re(e)ttEBt jjjmmmRe(e)Re(e)RejetttEBBt mmjEB t Re 將將 、 與與 交換次序，得交換次序，得上式對任意上式對任意 t 均成立。令均成立。令 t0 ，得，得4.5.2 復(fù)矢量的麥克斯韋方程復(fù)矢量的麥克斯韋方程mmReRejEB 令令t/2 ，得，得mmRejRej(j)EB mmImIm(j)EB 即即第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波36 例題例題：已知正弦電磁場的電場瞬時值為：已知正弦電磁場的電場瞬時值為),

30、(),(),(21tzEtzEtzE8182( , )0.03sin(10 )( , )0.04 cos(10 / 3)xxEz tetkzEz tetkz式中式中888888j(10 /2)j(10 /3)j(/2)j(/3)j( , )0.03sin(10 )0.04cos(10 /3)0.03cos(10 )0.04cos(10 /3)2Re0.03eRe0.04eRe0.03e0.04eexxxxt kzt kzxxkzkzxxE z tetkzetkzetkzetkzeeee810 t 解解：（1）因為）因為j/2j/3j( )0.03e0.04eekzxE ze故電場的復(fù)矢量為故電

31、場的復(fù)矢量為試求：（試求：（1）電場的復(fù)矢量）電場的復(fù)矢量;（2）磁場的復(fù)矢量和瞬時值。）磁場的復(fù)矢量和瞬時值。第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波37mmmmmmmmjj0HJDEBBD 0tt DHJBEBDjj0HJDEBDB 從形式上講，只要把微分算子從形式上講，只要把微分算子 用用 代替，就可以把時諧電磁代替，就可以把時諧電磁場的場量之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)換為復(fù)矢量之間關(guān)系。因此得到復(fù)矢量場的場量之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)換為復(fù)矢量之間關(guān)系。因此得到復(fù)矢量的麥克斯韋方程的麥克斯韋方程jtjt 略去略去“.”和下標和下標m第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波38（2）由復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程，

32、得到磁場的復(fù)矢量）由復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程，得到磁場的復(fù)矢量00jjj32054321j( )( )j0.03e0.04ee7.6 10 e1.01 10 eexykzyjjjkzyEH zE zezkee k j58( , )Re( )e7.6 10sin(10 )tyH z tH ze ktkz481.01 10cos(10 )3tkz磁場強度瞬時值磁場強度瞬時值第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波39實際的介質(zhì)都存在損耗：實際的介質(zhì)都存在損耗： 導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電媒質(zhì)當電導(dǎo)率有限時，存在歐姆損耗。當電導(dǎo)率有限時，存在歐姆損耗。 電介質(zhì)電介質(zhì)受到極化時，存在電極化損耗。受到極化時，存在電極

33、化損耗。 磁介質(zhì)磁介質(zhì)受到磁化時，存在磁化損耗。受到磁化時，存在磁化損耗。 損耗的大小與媒質(zhì)性質(zhì)、隨時間變化的頻率有關(guān)。一些媒質(zhì)損耗的大小與媒質(zhì)性質(zhì)、隨時間變化的頻率有關(guān)。一些媒質(zhì) 的損耗在低頻時可以忽略，但在高頻時就不能忽略。的損耗在低頻時可以忽略，但在高頻時就不能忽略。4.5.3 復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率 cjj(j)j HEEEE 導(dǎo)電媒質(zhì)的等效介電常數(shù)導(dǎo)電媒質(zhì)的等效介電常數(shù)其中其中 c= j/、稱為導(dǎo)電媒質(zhì)的等效介電常數(shù)。、稱為導(dǎo)電媒質(zhì)的等效介電常數(shù)。 對于介電常數(shù)為對于介電常數(shù)為 、電導(dǎo)率為、電導(dǎo)率為 的導(dǎo)電媒質(zhì)，有的導(dǎo)電媒質(zhì)，有第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波

34、40 電介質(zhì)的復(fù)介電常數(shù)電介質(zhì)的復(fù)介電常數(shù) 同時存在極化損耗和歐姆損耗的介質(zhì)同時存在極化損耗和歐姆損耗的介質(zhì)c j(+) 磁介質(zhì)的復(fù)磁導(dǎo)率磁介質(zhì)的復(fù)磁導(dǎo)率c j 對于存在電極化損耗的電介質(zhì)，有對于存在電極化損耗的電介質(zhì)，有 ，稱為復(fù)介電，稱為復(fù)介電常數(shù)或復(fù)電容率。其虛部為大于零的數(shù)，表示電介質(zhì)的電極化損常數(shù)或復(fù)電容率。其虛部為大于零的數(shù)，表示電介質(zhì)的電極化損耗。在高頻情況下，實部和虛部都是頻率的函數(shù)。耗。在高頻情況下，實部和虛部都是頻率的函數(shù)。 對于同時存在電極化損耗和歐姆損耗的電介質(zhì)，復(fù)介電常數(shù)對于同時存在電極化損耗和歐姆損耗的電介質(zhì)，復(fù)介電常數(shù)為為c j 對于磁性介質(zhì)，復(fù)磁導(dǎo)率數(shù)為對于磁性

35、介質(zhì)，復(fù)磁導(dǎo)率數(shù)為 ，其虛部為大于零，其虛部為大于零的數(shù)，表示磁介質(zhì)的磁化損耗。的數(shù)，表示磁介質(zhì)的磁化損耗。第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波41 損耗角正切損耗角正切 導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電性能的相對性導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電性能的相對性tantan，電介質(zhì)電介質(zhì)tan，導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電媒質(zhì)磁介質(zhì)磁介質(zhì)1 弱導(dǎo)電媒質(zhì)和良絕緣體弱導(dǎo)電媒質(zhì)和良絕緣體1 一般導(dǎo)電媒質(zhì)一般導(dǎo)電媒質(zhì)1 良導(dǎo)體良導(dǎo)體 工程上通常用損耗角正切來表示介質(zhì)的損耗特性，其定義為工程上通常用損耗角正切來表示介質(zhì)的損耗特性，其定義為復(fù)介電常數(shù)或復(fù)磁導(dǎo)率的虛部與實部之比，即有復(fù)介電常數(shù)或復(fù)磁導(dǎo)率的虛部與實部之比，即有 導(dǎo)電媒質(zhì)的導(dǎo)電性能具有相對性，在

36、不同頻率情況下，導(dǎo)電導(dǎo)電媒質(zhì)的導(dǎo)電性能具有相對性，在不同頻率情況下，導(dǎo)電媒質(zhì)具有不同的導(dǎo)電性能。媒質(zhì)具有不同的導(dǎo)電性能。第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波42導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電媒質(zhì)理想介質(zhì)理想介質(zhì)4.5.4 亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程 在時諧時情況下，將在時諧時情況下，將 、 ，即可得到復(fù)即可得到復(fù)矢量的波動方程，稱為亥姆霍茲方程。矢量的波動方程，稱為亥姆霍茲方程。222t tj 瞬時矢量瞬時矢量復(fù)矢量復(fù)矢量22222200ttEEHH222200kkEEHH()k 22222200ttttEEEHHHkcc() 22c22c00kkEEHH第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波434.5

37、.5 時諧場的位函數(shù)時諧場的位函數(shù) 在時諧情況下，矢量位和標量位以及它們滿足的方程都可以在時諧情況下，矢量位和標量位以及它們滿足的方程都可以表示成復(fù)數(shù)形式。表示成復(fù)數(shù)形式。t BAAE洛侖茲條件洛侖茲條件達朗貝爾方程達朗貝爾方程瞬時矢量瞬時矢量復(fù)矢量復(fù)矢量j BAEAt Aj A222222tt AAJ2222kk AAJ第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波444.5.6 平均能量密度和平均能流密度矢量平均能量密度和平均能流密度矢量 二次式本身不能用復(fù)數(shù)形式表示，其中的場量必須是實數(shù)二次式本身不能用復(fù)數(shù)形式表示，其中的場量必須是實數(shù)形式，不能將復(fù)數(shù)形式的場量直接代入。形式，不能將復(fù)數(shù)形式

38、的場量直接代入。00( , )cos( )( , )cos( )ttttE rErH rHr 設(shè)某正弦電磁場的電場強度和磁場強度分別為設(shè)某正弦電磁場的電場強度和磁場強度分別為 電磁場能量密度和能流密度的表達式中都包含了場量的平方電磁場能量密度和能流密度的表達式中都包含了場量的平方 關(guān)系，這種關(guān)系式稱為二次式。關(guān)系，這種關(guān)系式稱為二次式。 時諧場中時諧場中二次式的表示方法二次式的表示方法第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波45則能流密度為則能流密度為 200cos( )trSEHEH如把電場強度和磁場強度用復(fù)數(shù)表示，即有如把電場強度和磁場強度用復(fù)數(shù)表示，即有j ( )0( )erE rEj

39、 ( )0( )erH rHj( )j( )jj00j2(0000Re( ee)ReeeRe ecos 22 ( )trtrtttr)trSEHEHEHEHj( )j( )00200ReeReecos( )trtrtrSEHEH先取實部，再代入先取實部，再代入 第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波46使用二次式時需要注意的問題使用二次式時需要注意的問題 二次式只有實數(shù)的形式，沒有復(fù)數(shù)形式。二次式只有實數(shù)的形式，沒有復(fù)數(shù)形式。 場量是實數(shù)式時，直接代入二次式即可。場量是實數(shù)式時，直接代入二次式即可。 場量是復(fù)數(shù)式時，應(yīng)先取實部再代入，即場量是復(fù)數(shù)式時，應(yīng)先取實部再代入，即“先取實后相乘先取

40、實后相乘”。 如復(fù)數(shù)形式的場量中沒有時間因子，取實前先補充時間因如復(fù)數(shù)形式的場量中沒有時間因子，取實前先補充時間因 子。子。第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波47 二次式的時間平均值二次式的時間平均值 在時諧電磁場中，常常要在時諧電磁場中，常常要關(guān)心關(guān)心二次式二次式在一個時間周期在一個時間周期 T 中的中的 平均值，即平均值，即平均能流密度矢量平均能流密度矢量av0011d()dTTtEHtTTSS平均電場能量密度平均電場能量密度eave00111dd2TTwwtE D tTT平均磁場能量密度平均磁場能量密度mavm00111dd2TTwwtH B tTT 在時諧電磁場中，二次式在時諧

41、電磁場中，二次式的時間平均值可以直接由復(fù)矢量計的時間平均值可以直接由復(fù)矢量計 算，有算，有av1Re() ,2EHSmav1Re()4wH Beav1Re() ,4wE D第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波48則平均能流密度矢量為則平均能流密度矢量為 2av000000111()dcos ( )d2TTttrtTTSEHEHEH如果電場和磁場都用復(fù)數(shù)形式給出，即有如果電場和磁場都用復(fù)數(shù)形式給出，即有 j ( )0j ( )0( )e( )errE rEH rHjjavav001Re( e) Re(e)2ttSEHEH*av1Re()2SEHj ( )j ( )000011Reee22r

42、rEHEH時間平均值與時間無關(guān)時間平均值與時間無關(guān)00( , )cos( ),( , )cos( )ttttE rErH rHr 例如某正弦電磁場的電場強度和磁場強度例如某正弦電磁場的電場強度和磁場強度都用實數(shù)形式給出都用實數(shù)形式給出第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波49 具有普遍意義，不僅適用于正弦電磁場，也適用于其他具有普遍意義，不僅適用于正弦電磁場，也適用于其他 時變電磁場；而時變電磁場；而 只適用于時諧電磁場。只適用于時諧電磁場。 ( , ) tS rav( )Sr 在在 中，中， 和和 都是實數(shù)形式且是都是實數(shù)形式且是 時間的函數(shù)，所以時間的函數(shù)，所以 也是時間的函數(shù)，反映的

43、是能流密度也是時間的函數(shù)，反映的是能流密度 在某一個瞬時的取值；而在某一個瞬時的取值；而 中的中的 和和 都是復(fù)矢量，與時間無關(guān)，所以都是復(fù)矢量，與時間無關(guān)，所以 也與時間無也與時間無 關(guān)，反映的是能流密度在一個時間周期內(nèi)的平均取值。關(guān)，反映的是能流密度在一個時間周期內(nèi)的平均取值。( , )( , )( , )tttS rE rH r( , ) tH r( , ) tE r( , ) tS rav1( )Re( )( )2SrE rHr( )E r( )H rav( )Srav01( )( , )dTttTSrS r 利用利用 ，可由，可由 計算計算 ，但不能直，但不能直 接由接由 計算計算 ，也就是說，也就是說( , ) tS rav( )Srav( )Sr( , ) tS rjav( , )Re( )ettS rSr( , ) tS rav( )Sr 關(guān)于關(guān)于 和和 的幾點說明