多自由度系統(tǒng)振動(dòng)1

1、第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 機(jī)械工程學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院 王文瑞王文瑞 博士，副教授博士，副教授 3.1 多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程3.2 運(yùn)動(dòng)微分方程的耦合問(wèn)題 3.3 無(wú)阻尼自由振動(dòng)3多自由度系統(tǒng)定義v自由度數(shù)自由度數(shù)超過(guò)超過(guò) 1， 但仍但仍有限的有限的力學(xué)系統(tǒng)。力學(xué)系統(tǒng)。v二自由度系統(tǒng)是二自由度系統(tǒng)是多自由度系統(tǒng)的最簡(jiǎn)單多自由度系統(tǒng)的最簡(jiǎn)單情況。情況。v與單自由度系統(tǒng)比較，多自由度系統(tǒng)具有一些本質(zhì)上與單自由度系統(tǒng)比較，多自由度系統(tǒng)具有一些本質(zhì)上的新概念，需要新的分析方法的新概念，需要新的分析方法。v二自由度系統(tǒng)是多自由度系統(tǒng)最簡(jiǎn)單的特例。從二自二自由度系統(tǒng)是多自由度系統(tǒng)

2、最簡(jiǎn)單的特例。從二自由度系統(tǒng)到多自由度系統(tǒng)，主要是量的擴(kuò)充，在問(wèn)題由度系統(tǒng)到多自由度系統(tǒng)，主要是量的擴(kuò)充，在問(wèn)題的表述、求解方法、振動(dòng)性態(tài)上沒(méi)有本質(zhì)的表述、求解方法、振動(dòng)性態(tài)上沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別區(qū)別v數(shù)學(xué)工具：線性代數(shù)、矩陣?yán)碚摂?shù)學(xué)工具：線性代數(shù)、矩陣?yán)碚?5無(wú)限自由度簡(jiǎn)化為多自由度E IKK簡(jiǎn)化為帶有集中質(zhì)量的彈性梁簡(jiǎn)化為帶有集中質(zhì)量的彈性梁有有限限元元 下面是一個(gè)典型的二自由度彈簧阻尼質(zhì)量系統(tǒng)簡(jiǎn)圖，請(qǐng)大家列寫(xiě)其動(dòng)力學(xué)方程 v一 、多自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的矩陣表達(dá)形式3.1 多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 取m1，m2靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為兩個(gè)坐標(biāo)的正向，根據(jù)牛頓第二定律得到1 11 11

3、 121221212222122132322()()( )()()( )m xk xc xkxxc xxF tm xkxxc xxk xc xF t 整理,得1 1121221212212221232212322()()( )()()( )m xcc xc xkkxk xF tm xc xcc xk xkk xF t運(yùn)動(dòng)微分方程建立 在多自由度系統(tǒng)振動(dòng)理論中，廣泛使用矩陣記號(hào) (寫(xiě)為矩陣形式)12212211111223223222220( )0( )ccckkkmxxxF tccckkkmxxxF t 設(shè)120 ,0mMm 122223 ,cccCccc 122223kkkKkkk質(zhì)量矩陣阻

4、尼矩陣剛度矩陣 12Txxx 12Txxx 12Txxx12( )( )( )TF tF tF t位移向量；速度向量；加速度向量；激勵(lì)向量； ( )MxCxKxF t矩陣形式的運(yùn)動(dòng)微分方程定義：運(yùn)動(dòng)微分方程的矩陣形式10 )0(,)0()()()()(00 xxxxtFtxKtxCtxM 2010212010212121322221213222212121)0()0(,)0()0(00 xxxxxxxxFFxxkkkkkkxxccccccxxmm 和單自由度微分方程的關(guān)系v單自由度系統(tǒng)v 如果將 m, k , c 看作一維矩陣， 看作一維向量，則單自由度和多自由度微分方程具有相同的形式。 (

5、)mxcxkxf t , , ,x x x f t 12多自由度系統(tǒng)微分方程基本特征a.a.描述系統(tǒng)特性的描述系統(tǒng)特性的 M M、K K 和和 C C 不再是三個(gè)常數(shù)，不再是三個(gè)常數(shù)，而是三個(gè)常數(shù)矩陣而是三個(gè)常數(shù)矩陣; ; （現(xiàn)象）（現(xiàn)象）b. b. 系統(tǒng)中各自由度的運(yùn)動(dòng)是相互關(guān)聯(lián)的，這反系統(tǒng)中各自由度的運(yùn)動(dòng)是相互關(guān)聯(lián)的，這反映映在方程中在方程中矩陣矩陣 M M 、K K 和和 C C 的非對(duì)角元素不的非對(duì)角元素不為零。這種系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的相互關(guān)聯(lián)稱(chēng)作為零。這種系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的相互關(guān)聯(lián)稱(chēng)作耦合。這。這樣的動(dòng)力學(xué)方程組求解比較困難。樣的動(dòng)力學(xué)方程組求解比較困難。（本質(zhì)）（本質(zhì)）由簡(jiǎn)至繁：先研究無(wú)阻尼系統(tǒng)振動(dòng)

6、。由簡(jiǎn)至繁：先研究無(wú)阻尼系統(tǒng)振動(dòng)。（固有振動(dòng)（固有振動(dòng)自由振動(dòng)自由振動(dòng)受迫振動(dòng)）受迫振動(dòng)）系統(tǒng)動(dòng)能的矩陣表達(dá)形式系統(tǒng)的動(dòng)能為： 221 1221112221122010212TTEm xm xmxxxmxxMx質(zhì)量矩陣的二次型v二、 系統(tǒng)動(dòng)能、勢(shì)能和能量耗散函數(shù)的矩陣表達(dá)形式系統(tǒng)勢(shì)能的矩陣表達(dá)形式 22211212321221122232111()2221212TUk xkxxk xkkkxxxkkkxxKx剛度矩陣的二次型系統(tǒng)能量耗散函數(shù)的矩陣表達(dá)形式 2221 1212321221122232111()2221212TDc xcxxc xcccxxxcccxxCx阻尼矩陣的二次型通過(guò)對(duì)以上

7、三個(gè)函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，可以分別求出三個(gè)矩陣的各個(gè)元素 22TTijjiijjiEEmmxxxx22ijjiijjiUUkkxxxx22ijjiijjiDDccxxxx多自由度系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，剛度矩陣和阻尼矩陣是對(duì)稱(chēng)矩陣質(zhì)量，剛度和阻尼矩陣的確定（二階混合偏導(dǎo)數(shù)在什么條件下與求導(dǎo)次序無(wú)關(guān)？）v列系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程方法：（1）寫(xiě)出系統(tǒng)動(dòng)能、勢(shì)能和能耗散函數(shù)的表達(dá)式（2）對(duì)這三個(gè)函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，從而得到質(zhì)量，剛度和阻尼矩陣的各個(gè)元素（3）進(jìn)一步寫(xiě)出矩陣形式的運(yùn)動(dòng)微分方程多自由度微分方程的構(gòu)造步驟v由于能量為標(biāo)量，對(duì)于任意的 ,， 0,0 xx 102TTExMx 102TUxKx 102TDxCx質(zhì)量矩陣一

8、定是正定的；剛度矩陣和阻尼矩陣是半正定的質(zhì)量，剛度和阻尼矩陣的性質(zhì)19三 建立多自由系統(tǒng)微分方程的方法v單自由度系統(tǒng)是和容易通過(guò)單自由度系統(tǒng)是和容易通過(guò)牛頓定律牛頓定律和和達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理建建立動(dòng)力學(xué)方程的。立動(dòng)力學(xué)方程的。v但對(duì)于自由度數(shù)較多的情況，建立正確的微分方程本身但對(duì)于自由度數(shù)較多的情況，建立正確的微分方程本身就是一件困難的事。就是一件困難的事。v需要找到一種需要找到一種規(guī)范化、程式化規(guī)范化、程式化的建模方法。的建模方法。牛頓力學(xué)牛頓力學(xué)分析力學(xué)分析力學(xué)拉格朗日法拉格朗日法結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)剛度法、柔度法剛度法、柔度法 例例1 圖示的三個(gè)自由度系統(tǒng)，應(yīng)用牛頓第二定律導(dǎo)出系統(tǒng)的運(yùn)

9、動(dòng)微分方程。設(shè)彈簧是線性的，阻尼是粘性的。 解：解：如圖所示，坐標(biāo)q1，q2，q3分別表示m1，m2，m3偏離其各自平衡位置的水平位移，而Q1，Q2，Q3是相應(yīng)的外激勵(lì)。（1）取隔離體，分別作受力分析)()(1221221111111qqkqqcqkqcQqm )()()()(233233122122222qqkqqcqqkqqcQqm )()(233233333qqkqqcQqm （2）化簡(jiǎn)1221212212111)()(Qqkqkkqcqccqm 23323212332321222)()(Qqkqkkqkqcqccqcqm 33323332333Qqkqkqcqcqm 此式可用矩陣形式表

10、達(dá)為 MqCqKqQ其中各矩陣和列陣分別為1230000,00mMmm1222233330,0cccCcccccc1222233330,0kkkKkkkkkk123,qqqq123,qqqq123,qqqq123QQQQ考慮有阻尼系統(tǒng)，其拉格朗日方程形式為 拉格朗日方程)(ddtQqUqTqTtjjjj), 2 , 1(njqj和 為振動(dòng)系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)和廣義速度，T為系統(tǒng)的動(dòng)能，它是廣義速度的二次型，U為系統(tǒng)的勢(shì)能，它是廣義坐標(biāo)的二次型，Qj(t)為對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)qj的除有勢(shì)力以外的其它非有勢(shì)力的廣義力，n為系統(tǒng)的自由度數(shù)目。 jq 應(yīng)用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程的主要步驟如下：判斷系

11、統(tǒng)的自由度數(shù)，并適當(dāng)選取廣義坐標(biāo)，其數(shù)目和自由度數(shù)相同；計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能；計(jì)算非有勢(shì)力所對(duì)應(yīng)的各廣義坐標(biāo)的廣義力；將求得的動(dòng)能、勢(shì)能和廣義力代入拉格朗日方程中進(jìn)行運(yùn)算，即可得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。 例例2 圖所示平板剛體由四根彈簧連接，被限制在光滑水平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，圖示位置為平衡位置，且彈簧為原長(zhǎng)。已知質(zhì)量為m，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Io。試導(dǎo)出微幅運(yùn)動(dòng)的微分方程。 解：解：取剛體質(zhì)心O點(diǎn)偏離平衡位置的x，y和剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)，即321,qyqxq系統(tǒng)的動(dòng)能為22221)(21oIyxmT取靜平衡位置為勢(shì)能零點(diǎn)，系統(tǒng)的勢(shì)能為244233222211)(21)(21)(21)(21aykaykax

12、kaxkU計(jì)算拉格朗日方程中各項(xiàng)導(dǎo)數(shù)如下：1122d,0,()()dTTUmxk xakxatxxx3344d,0,()()dTTUmykyakyatyyy11222333444d,0d()()()()oTTItUk xakxaakyaakyaa代入拉格朗日方程得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為0)()(221121akakxkkxm 0)()(443343akakykkym 1 122334422221 1223344()()()0oIk ak axk ak ayk ak ak ak a寫(xiě)成矩陣形式0MqKq其中質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為121 12234334422221 12233441 122334400

13、000000omMmIkkk ak aKkkk ak ak ak ak ak ak ak ak ak a位移向量為T(mén)qxy第一階主振型第二階主振型第三階主振型 例例3 圖示的質(zhì)量塊m，可沿光滑水平面滑動(dòng)，其右側(cè)與剛度為k的彈簧相連，左側(cè)與阻尼系數(shù)為c的阻尼器相連，并在質(zhì)量塊m上作用一水平外激勵(lì)Q。擺錘重m1，由一長(zhǎng)為l的無(wú)重剛桿與滑塊m以鉸相連，并只能在圖示鉛垂面內(nèi)擺動(dòng)。試列出此系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程。 解：解：以平衡時(shí)質(zhì)量塊m的質(zhì)心O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。以q1=x和q2=為廣義坐標(biāo)，則質(zhì)點(diǎn)m1坐標(biāo)為sin1lxxcos1ly 系統(tǒng)動(dòng)能為)(2121212112yxmxmT即cos21)(21122121x lmlmxmmT 擺錘m1所受重力m1g和彈簧反力kx為有勢(shì)力，滑塊m所受重力mg與光滑面的反力相平衡。以平衡位置為勢(shì)能的零位置，則系統(tǒng)勢(shì)能為2121)cos1 (kxglmU 外激勵(lì)Q與阻尼力 為非有勢(shì)力，它們與廣義坐標(biāo)q1和q2對(duì)應(yīng)的廣義力分別為xc0,21QxcQQ計(jì)算拉格朗日方程各項(xiàng)導(dǎo)數(shù)如下： 2111d()cossin ,d0,Tmm xmlmltxTUkxxx211111dcossin ,dsin ,sinTmlmlxmlxtTUmlxm gl