工程力學(xué) 第四章-空間力系.

1、41 空間匯交力系空間匯交力系42 空間力偶系空間力偶系43 力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)軸的矩力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)軸的矩44 空間一般力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化空間一般力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化 45 空間一般力系簡(jiǎn)化結(jié)果的討論空間一般力系簡(jiǎn)化結(jié)果的討論46 空間一般力系的平衡方程及應(yīng)用空間一般力系的平衡方程及應(yīng)用47 平行力系的中心與物體的重心平行力系的中心與物體的重心 習(xí)題課習(xí)題課 本章重點(diǎn)、難點(diǎn)本章重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)重點(diǎn) 力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影和力對(duì)軸之矩。力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影和力對(duì)軸之矩。 空間力系平衡方程的應(yīng)用?？臻g力系平衡方程的應(yīng)用。 常見(jiàn)的空間約束及約束反力。常見(jiàn)的空間約束及約束反力。 難點(diǎn)難點(diǎn) 空間矢量

2、的運(yùn)算，空間結(jié)構(gòu)的幾何關(guān)系與立體空間矢量的運(yùn)算，空間結(jié)構(gòu)的幾何關(guān)系與立體圖。圖。 本章重點(diǎn)、難點(diǎn)本章重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)重點(diǎn) 力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影和力對(duì)軸之矩。力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影和力對(duì)軸之矩。 空間力系平衡方程的應(yīng)用。空間力系平衡方程的應(yīng)用。 常見(jiàn)的空間約束及約束反力。常見(jiàn)的空間約束及約束反力。 難點(diǎn)難點(diǎn) 空間矢量的運(yùn)算，空間結(jié)構(gòu)的幾何關(guān)系與立體空間矢量的運(yùn)算，空間結(jié)構(gòu)的幾何關(guān)系與立體圖。圖。 本章重點(diǎn)、難點(diǎn)本章重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)重點(diǎn) 力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影和力對(duì)軸之矩。力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影和力對(duì)軸之矩。 空間力系平衡方程的應(yīng)用。空間力系平衡方程的應(yīng)用。 常見(jiàn)的空間約束及約束

3、反力。常見(jiàn)的空間約束及約束反力。 難點(diǎn)難點(diǎn) 空間矢量的運(yùn)算，空間結(jié)構(gòu)的幾何關(guān)系與立體空間矢量的運(yùn)算，空間結(jié)構(gòu)的幾何關(guān)系與立體圖。圖。迎 面風(fēng) 力側(cè) 面風(fēng) 力b工程中常常存在著很多各力的作用線不在同一平面內(nèi)的力系，即空間力系，空間力系是最一般的力系。(a)圖為空間匯交力系；(b)圖為空間任意力系；(b)圖中去掉風(fēng)力后為空間平行力系。4-1 4-1 空間匯交力系空間匯交力系或由仰角 與方位角 來(lái)確定。1.1.力在空間的表示力在空間的表示的接觸之點(diǎn)。一、力在空間軸上的投影與分解一、力在空間軸上的投影與分解：力的三要素：大小、方向、作用點(diǎn)大?。捍笮。鹤饔命c(diǎn)作用點(diǎn)：方向方向：由、g 三個(gè)方向角確定gFx

4、yOFF 物體和力矢的起點(diǎn)或終點(diǎn)4-1 工程中的空間力系問(wèn)題工程中的空間力系問(wèn)題4-2 力在空間坐標(biāo)軸上的投影力在空間坐標(biāo)軸上的投影4-3 力對(duì)軸之矩力對(duì)軸之矩 4-4 空間力系的平衡方程空間力系的平衡方程4-5 重心坐標(biāo)公式重心坐標(biāo)公式 一次投影法（直接投影法）一次投影法（直接投影法）g cos, cos, cosFZFYFXgcoscoscoscossinFFFXxygsincossinsinsinFFFYxygsincosFFZ由圖可知：即： 二次投影法（間接投影法）二次投影法（間接投影法） 當(dāng)力與各軸正向間夾角不易確定時(shí)，可先將 F 投影到xy 面上，然后再投影到x、y 軸上。三軸的方

5、向余弦對(duì)應(yīng)于力分別稱為其中：zyxF,cos,cos,cosg 若以 表示力沿直角坐標(biāo)軸的正交分量，則：zyxFFF,zyxFFFFkZFjYFiXFzyx,而：kZjYiXF所以：FxFyFz 已知力的投影求該力已知力的投影求該力 力沿坐標(biāo)軸分解力沿坐標(biāo)軸分解222ZYXFFZFYFXgcos,cos,cos大?。悍较颍?幾何法幾何法 與平面匯交力系的合成方法相同，也可用力多邊形方法求合力。inFFFFFR321二、空間匯交力系的合成二、空間匯交力系的合成即：合力等于各分力的矢量和：合力等于各分力的矢量和 注意注意 力在坐標(biāo)軸上的投影是代數(shù)量；而力沿直角坐標(biāo)軸的分量及力在坐標(biāo)平面上的投影是矢

6、量。 (由于力多邊形是空間力多邊形，合成并不方便，一般不采用此方法合成） 空間力系的合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一空間力系的合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。軸上投影的代數(shù)和。由于 代入上式kZjYiXFiiiiixXRiyYRizZR 合力投影定理合力投影定理 解析法解析法kZjYiXRiii合力定理定理: 合力的解析求法合力的解析求法222222)()()(ZYXRRRRzyx大?。篟RRRRRzyxgcos,cos,cos方向： 0X 0Y0Z解析法解析法平衡充要條件為：幾何法幾何法平衡充要條件為該力系的力多邊形封閉力多邊形封閉。0iFR空間匯交力系平衡的充

7、要條件是：力系的合力為零，即：空間匯交力系平衡的充要條件是：力系的合力為零，即：三、空間匯交力系的平衡三、空間匯交力系的平衡亦稱為亦稱為 空間匯交力系的平衡方程空間匯交力系的平衡方程三個(gè)獨(dú)立的方程，只能求解三個(gè)未知量三個(gè)獨(dú)立的方程，只能求解三個(gè)未知量 平衡的充要條件平衡的充要條件 幾何法平衡充要條件幾何法平衡充要條件 解析法平衡充要條件解析法平衡充要條件4-2 4-2 空間力偶系空間力偶系一、空間力偶一、空間力偶三要素三要素 力偶矩的大力偶矩的大小小 ； 力偶力偶作用面的方位作用面的方位 ； 力偶的轉(zhuǎn)向力偶的轉(zhuǎn)向 。決定空間力偶對(duì)剛體的作用效應(yīng),除力偶矩的大小、力偶的轉(zhuǎn)向外,還必須確定力偶作用

8、面的方位，作用面的方位不同，則空間力偶對(duì)物體的作用效應(yīng)也不同，所以空間力偶對(duì)剛體的作用效應(yīng)取決于下列三要素：y 空間力偶三要素可以用一個(gè)矢量表示，該矢量稱為力偶矩力偶矩矢。矢。二、力偶矩用矢量表示二、力偶矩用矢量表示 力偶矩力偶矩矢矢 力偶矩力偶矩矢表示方法矢表示方法 大?。捍笮。菏噶康拈L(zhǎng)度表示力偶矩的大?。?矢量的方位：矢量的方位：與力偶作用面的法線方位相同 矢量的指向：矢量的指向：與轉(zhuǎn)向的關(guān)系服從右手螺旋定則。或從力偶矢的末端看去，力偶的轉(zhuǎn)向?yàn)槟鏁r(shí)針轉(zhuǎn)向。 證明證明 ： 作II/，cd / ab 作一對(duì)平衡力R, R (在E點(diǎn), 且 使-R=R) 作用在同一剛體的兩平行平面的兩個(gè)力偶，若它

9、們的轉(zhuǎn)向作用在同一剛體的兩平行平面的兩個(gè)力偶，若它們的轉(zhuǎn)向相同，力偶矩的大小相等，則兩個(gè)力偶等效。相同，力偶矩的大小相等，則兩個(gè)力偶等效。F1與R合成得F2，作用在d點(diǎn) F1與R合成得F2，作用在c點(diǎn) 且R-F1=F2 ，R- F1= F2 由反向平行力合成得：三、空間力偶的等效定理三、空間力偶的等效定理 定理定理 在I內(nèi)的力偶（F1，F(xiàn)1）等效變成II內(nèi)的（ F2， F2） 推論推論 在同一剛體內(nèi)，力偶可以從一個(gè)平面移至另一平行平面而在同一剛體內(nèi)，力偶可以從一個(gè)平面移至另一平行平面而不改變它對(duì)剛體的作用。不改變它對(duì)剛體的作用。 空間力偶空間力偶矩矩矢是一個(gè)自由矢量矢是一個(gè)自由矢量 由于力偶可

10、以在同一平面內(nèi)和平行平面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，因此由于力偶可以在同一平面內(nèi)和平行平面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，因此表示力偶表示力偶矩的矩矩的矩矢的矢端亦可在空間任意移動(dòng)，可見(jiàn)空間力偶矢的矢端亦可在空間任意移動(dòng)，可見(jiàn)空間力偶矩矩矢是一個(gè)自由矢量。矢是一個(gè)自由矢量。四、空間力偶系的合成與平衡四、空間力偶系的合成與平衡 由于空間力偶系各力偶是自由矢量，只要不改變各分力偶矩矢方向，將它們都滑移至某匯交點(diǎn)，它們的合成符合矢量合成法則。 即：合力偶矩 = 分力偶矩的矢量和。 合成合成niinmmmmmm1321即：mmmmmmmmmmzyxzyxgcos,cos,cos;222大?。悍较颍和队笆酵队笆綖椋? xm0ym0zm0i

11、mm顯然空間力偶系的平衡條件是：亦稱為亦稱為 空間力偶系的平衡方程空間力偶系的平衡方程三個(gè)獨(dú)立的方程，只能求解三個(gè)未知量三個(gè)獨(dú)立的方程，只能求解三個(gè)未知量 平衡平衡4-3 4-3 力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)軸的矩力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)軸的矩一、空間力一、空間力對(duì)對(duì)點(diǎn)之矩點(diǎn)之矩三要素三要素 力矩的大力矩的大小小 ； 力的力的作用線與作用線與矩心所組成的平面的矩心所組成的平面的方位方位 。 力矩的轉(zhuǎn)向力矩的轉(zhuǎn)向 ；決定力對(duì)剛體的作用效應(yīng),除力矩的大小、力矩的轉(zhuǎn)向外,還須考慮力與矩心所組成的平面的方位，方位不同，則力對(duì)物體的作用效應(yīng)也不同。所以空間力對(duì)剛體的作用效應(yīng)取決于下列三要素：例例 力P1， P2 ，P3 對(duì)

12、汽車反鏡繞球鉸鏈O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)不同二、力對(duì)點(diǎn)的矩的矢量表示二、力對(duì)點(diǎn)的矩的矢量表示 在平面問(wèn)題中，力對(duì)點(diǎn)的矩是代數(shù)量；而在空間問(wèn)題中，由空間力對(duì)點(diǎn)的矩的三要素知，力對(duì)點(diǎn)的矩是矢量。 面積AOBdFFmFmOO2)()( 力矩力矩矢矢的的表示方法表示方法 力矩力矩矢矢大小大小 ： 力矩力矩矢方位：矢方位： 與該力和矩心組成的平面的法線方位相同注意：力矩矢為定位矢量注意：力矩矢為定位矢量注意：力矩矢為定位矢量注意：力矩矢為定位矢量 力矩力矩矢的指向：矢的指向：與轉(zhuǎn)向的關(guān)系服從右手螺旋定則?；驈牧厥傅哪┒丝慈?，物體由該力所引起的轉(zhuǎn)向?yàn)槟鏁r(shí)針轉(zhuǎn)向。 力對(duì)點(diǎn)的矩的矢積表達(dá)式力對(duì)點(diǎn)的矩的矢積表達(dá)式 如果

13、r 表示A點(diǎn)的矢徑，則：,)(FrFmO 導(dǎo)出導(dǎo)出)()sin(FmdFF, rFrFrO力對(duì)點(diǎn)的矩等于矩心到該力作用點(diǎn)力對(duì)點(diǎn)的矩等于矩心到該力作用點(diǎn)的矢徑與該力的矢量積。的矢徑與該力的矢量積。kZjYiXF由于kzj yi xrZYXzyxkjiFrFmO)(方向相同，的方向和)(FmFrO又.)(FrFmO 結(jié)論結(jié)論 力對(duì)點(diǎn)的矩的解析表達(dá)式力對(duì)點(diǎn)的矩的解析表達(dá)式 kFmjFmiFmkyXxYjxZzXizYyZzOyOxO)()()()()()(二、力對(duì)軸的矩二、力對(duì)軸的矩 實(shí)例實(shí)例的面積2)()(BOAdFFmFmxyxyOz它是代數(shù)量，正負(fù)規(guī)定 + 定義定義 力使物體繞某一軸轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的

14、量度力使物體繞某一軸轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的量度, ,稱為力對(duì)該稱為力對(duì)該軸之矩軸之矩. . 力對(duì)軸的矩的解析式力對(duì)軸的矩的解析式)()()()(yOxOxyOzFmFmFmFm由合力矩定理：即yXxYFmz)(同理可得其余兩式，即有：yXxYFmxZzXFmzYyZFmzyx)()()(力對(duì)軸的矩的解析式力對(duì)軸的矩的解析式三、力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)通過(guò)該點(diǎn)的軸之矩的關(guān)系三、力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)通過(guò)該點(diǎn)的軸之矩的關(guān)系面積由于AOBFmO2)(2)()(BOAFmFmxyOz通過(guò)O點(diǎn)作任一軸Z，則： 力對(duì)點(diǎn)的矩矢在通過(guò)該點(diǎn)的力對(duì)點(diǎn)的矩矢在通過(guò)該點(diǎn)的任意軸上的投影等于這力對(duì)于該任意軸上的投影等于這力對(duì)于該軸的矩。這就是力

15、對(duì)點(diǎn)之矩與對(duì)軸的矩。這就是力對(duì)點(diǎn)之矩與對(duì)通過(guò)該點(diǎn)軸之矩的關(guān)系。通過(guò)該點(diǎn)軸之矩的關(guān)系。 定理定理 證明證明cosBOAOABg由幾何關(guān)系：2cos2BOAOABg 即：)(cos)(FmFmzOg)()(FmFmzzOkFmjFmiFmFrFmzOyOxOO)()()()(kFmjFmiFmzyx)()()(又由于所以力對(duì)點(diǎn)O的矩為：222)()()()()(FmFmFmFmFmzyxOO大?。?()(cos,)()(cos,)()(cosFmFmFmFmFmFmOzOyOxg方向：四、力對(duì)點(diǎn)的矩的解析求法四、力對(duì)點(diǎn)的矩的解析求法 把研究平面一般力系的簡(jiǎn)化方法拿來(lái)研究空間一般力系的簡(jiǎn)化問(wèn)題，但須

16、把平面坐標(biāo)系擴(kuò)充為空間坐標(biāo)系。 4-4 4-4 空間一般力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化空間一般力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化nFFF,21 設(shè)作用在剛體上有空間一般力系試將力系向向O點(diǎn)簡(jiǎn)化點(diǎn)簡(jiǎn)化 根據(jù)力線平移定理，將各力平行搬移到O點(diǎn)，得到一空間匯交力系：. )(),(),(2211nOnOOFmmFmmFmm一、簡(jiǎn)化方法一、簡(jiǎn)化方法 任選任選O點(diǎn)為簡(jiǎn)化中心點(diǎn)為簡(jiǎn)化中心 將各力平行搬移到將各力平行搬移到O點(diǎn)點(diǎn), , 321nFFFFnmmm,21和一附加力偶系：;,2211nnFFFFFF 空間力偶是自由矢量，總可匯交于O點(diǎn)。RFFFFFFFFRinino2121匯交力系合力 合成空間匯交力系合成空間匯交力系 合成附加力偶系

17、合成附加力偶系附加力偶的合力偶矩)()()()(2121ionoooinoFmFmFmFmmmmmM二、主矢與主矩二、主矢與主矩1. 主矢：指原空間一般力系各力的矢量和主矢：指原空間一般力系各力的矢量和 。iFiFR即 主矢主矢 的的R解析求法解析求法注意注意：因主矢等于原力系各力的矢量和,所以它與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)。主矢大小主矢大小:222222)()()(ZYXRRRRRzyx主矢方向主矢方向:cos,cos,cosRZRYRXg 主矩：指原空間一般力系對(duì)簡(jiǎn)化中心之矩的矢量和主矩：指原空間一般力系對(duì)簡(jiǎn)化中心之矩的矢量和 。 )(ioFm)(iooFmM即大小大?。阂蛑骶氐扔诟髁?duì)簡(jiǎn)化中心之

18、矩的矢量和，所以它的大小和方向與簡(jiǎn)化中心有關(guān)。注意注意： 根據(jù)力對(duì)點(diǎn)之矩與力對(duì)軸之矩的關(guān)系:)( )( ; )( )( ; )( )(FmFmMFmFmMFmFmMzzOOzyyOOyixxiOOx222OzOyOxOMMMM主矩主矩OM解析求法解析求法OOzOOyOOxMMMMMMgcos,cos,cos方向方向：三、結(jié)論三、結(jié)論空間一般力系向任一點(diǎn)空間一般力系向任一點(diǎn)O 簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化 ，一般可以得到一力和，一般可以得到一力和一力偶一力偶 ；該力作用于簡(jiǎn)化中心；該力作用于簡(jiǎn)化中心 ，其大小及方向等于該力系的，其大小及方向等于該力系的主矢主矢 ，該力偶之矩矢等于該力系對(duì)于簡(jiǎn)化中心的主矩，該力偶之矩

19、矢等于該力系對(duì)于簡(jiǎn)化中心的主矩 ?；行牡奈恢糜嘘P(guān)，換個(gè)簡(jiǎn)化中心，主矩不為零) 空間一般力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化得一主矢和主矩，下面針對(duì)主矢、主矩的不同情況分別加以討論。4-5 4-5 空間一般力系簡(jiǎn)化結(jié)果的討論空間一般力系簡(jiǎn)化結(jié)果的討論 若 , 則該力系平衡平衡（下節(jié)專門討論）。0, 0OMR 若 則力系可合成一個(gè)合力偶合力偶，其矩等于原力系對(duì)于簡(jiǎn)化中心的主矩MO。此時(shí)主矩與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)。0, 0OMR 若 則力系可合成為一個(gè)合力合力，力系合力0, 0OMRR等于主矢 ，合力 通過(guò)簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)。（此時(shí)主矩與簡(jiǎn)RR一、一、力系平衡力系平衡二、二、力系簡(jiǎn)化為一個(gè)合力偶力系簡(jiǎn)化為一個(gè)合力偶三、三、力系

20、簡(jiǎn)化為一個(gè)合力力系簡(jiǎn)化為一個(gè)合力 若 , 時(shí)，OMR 0, 0OMR由于做iOOOFRRMRMddRM合力,)(dRMO可進(jìn)一步簡(jiǎn)化，將MO變成( R, ,R) 使R與R 抵消只剩下R 例例 擰螺絲炮彈出膛四、四、力系簡(jiǎn)化力系簡(jiǎn)化為力螺旋為力螺旋力螺旋力螺旋 由力及垂直與該力平面內(nèi)的力偶所組成的特殊力系由力及垂直與該力平面內(nèi)的力偶所組成的特殊力系 若 ， 時(shí)，OMR /0, 0OMRM 和主矢R合成為合力R 而：sinRMRMOOO所以M/和R 在O點(diǎn)處形成一個(gè)點(diǎn)處形成一個(gè)力螺旋力螺旋。M/不變，是在平面內(nèi)的一力偶 若 ，R不平行也不垂直M0，成最一般的任意角 時(shí)， 0, 0OMR可將M/搬到

21、O處因?yàn)镸/ / 是自由矢量，首先把MO 分解為M/和M , 力系簡(jiǎn)化中，不隨簡(jiǎn)化中心改變的量有：R， M/ 簡(jiǎn)化中心為O時(shí)：有M 和M/，當(dāng)簡(jiǎn)化中心為另一點(diǎn)O1 時(shí)，為M 和M/ ， 即M/總是不變的（它是原力系中的力偶與簡(jiǎn)它是原力系中的力偶與簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)）化中心無(wú)關(guān)） 注意注意, R， M/是是力系簡(jiǎn)化中的不變量力系簡(jiǎn)化中的不變量)(RMROOMMOO)(iOOFmM主矩又)()(iOOFmRM)()(izzFmRM常用投影式 空間力系向O點(diǎn)簡(jiǎn)化后得主矢 R和主矩 MO , 若MO R，可進(jìn)一步合成為一個(gè)作用在新簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)的合力R 。五、空間力系的合力矩定理五、空間力系的合力矩定理 定理

22、定理 導(dǎo)出導(dǎo)出 一、空間一、空間一般一般力系平衡的充要條件力系平衡的充要條件0)(iOOFmM00FR0)()()(222ZYXRR0) )() )() )(222FmFmFmMMzyxOO 4-6 4-6 空間一般力系的平衡方程及應(yīng)用空間一般力系的平衡方程及應(yīng)用空間空間一般一般力系平衡力系平衡00OMR必要充分力系的主矢力系的主矢 和主矩和主矩 都等于零都等于零，即： ROM 平衡的充要條件平衡的充要條件還有四矩式，五矩式和六矩式，同時(shí)各有一定限制條件。0)(, 00)(, 00)(, 0FmZFmYFmXzyx 解析法平衡充要條件解析法平衡充要條件六個(gè)獨(dú)立的方程，只能求解六個(gè)未知量六個(gè)獨(dú)立

23、的方程，只能求解六個(gè)未知量亦稱為空間一般力系的平衡方程亦稱為空間一般力系的平衡方程三、由空間一般力系的平衡方程導(dǎo)出的其它方程三、由空間一般力系的平衡方程導(dǎo)出的其它方程 空間匯交力系的平衡方程空間匯交力系的平衡方程因?yàn)楦髁€作用都匯交于一點(diǎn)，各軸都通因?yàn)楦髁€作用都匯交于一點(diǎn)，各軸都通過(guò)該點(diǎn)，故各力矩方程都成為了恒等式。過(guò)該點(diǎn)，故各力矩方程都成為了恒等式。000ZYX三個(gè)獨(dú)立的方程，只能求解三個(gè)未知量三個(gè)獨(dú)立的方程，只能求解三個(gè)未知量0)(0)(0FmFmZyx000)(YXFmz 空間平行力系的平衡方程空間平行力系的平衡方程設(shè)各力線都設(shè)各力線都 / z 軸軸因此因此均成為了恒等式，而自然均成為

24、了恒等式，而自然滿足。滿足。即有：三個(gè)獨(dú)立的方程，只能求解三個(gè)未知量三個(gè)獨(dú)立的方程，只能求解三個(gè)未知量二、空間約束二、空間約束 觀察物體在空間的六種可能的運(yùn)動(dòng)中（沿三軸移動(dòng)和繞三觀察物體在空間的六種可能的運(yùn)動(dòng)中（沿三軸移動(dòng)和繞三軸轉(zhuǎn)動(dòng)）軸轉(zhuǎn)動(dòng)） ，有哪幾種運(yùn)動(dòng)被約束所阻礙，有阻礙就有約束反力。，有哪幾種運(yùn)動(dòng)被約束所阻礙，有阻礙就有約束反力。阻礙移動(dòng)為反力，阻礙轉(zhuǎn)動(dòng)為反力偶。阻礙移動(dòng)為反力，阻礙轉(zhuǎn)動(dòng)為反力偶。例例1、球形鉸鏈、球形鉸鏈2、向心軸承，蝶鉸鏈、向心軸承，蝶鉸鏈3、止推軸承、止推軸承4、帶有銷子的夾板、帶有銷子的夾板5、空間固定端、空間固定端42球形鉸鏈球形鉸鏈滾珠（柱）軸承滾珠（柱）

25、軸承 RzRx活頁(yè)鉸活頁(yè)鉸滑動(dòng)軸承滑動(dòng)軸承止推軸承止推軸承帶有銷子的夾板帶有銷子的夾板空間固定端空間固定端例例 畫(huà)出車床輪軸的受力圖畫(huà)出車床輪軸的受力圖 例例 畫(huà)出起重機(jī)畫(huà)出起重機(jī)C點(diǎn)點(diǎn)和和 B點(diǎn)的受力圖點(diǎn)的受力圖 例例 已知: RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352, Pz=1400N 求：平衡時(shí)(勻速轉(zhuǎn)動(dòng))力Q=？和軸承A , B的約束反力？ 解解：選輪軸為研究對(duì)象； 受力分析如圖； 選Axyz坐標(biāo)；列方程求解。最好使每一個(gè)方程有一個(gè)未知量，以方便求解。)N(746,020cos10050;0)N(352,0;0QQPmPYPYYzyyAyA由：)N(385 ,

26、 020sin ; 0)N(2040 , 020sin 50300200 ; 0)N(729 , 020cos ; 0)N(437 , 020cos 5020050300 ; 00000AzBABzBxAxBABByxzZQPZZZZQPZmXQPXXXXQXPPm方法方法(二二) :將空間力系投影到三個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，轉(zhuǎn)化為平面力將空間力系投影到三個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，轉(zhuǎn)化為平面力系平衡問(wèn)題來(lái)求解，請(qǐng)同學(xué)們課后自己練習(xí)求解系平衡問(wèn)題來(lái)求解，請(qǐng)同學(xué)們課后自己練習(xí)求解。 4-7 4-7 平行力系的中心平行力系的中心 物體的重心物體的重心一、空間平行力系的中心一、空間平行力系的中心 平行力系的中心平行力系的中

27、心坐標(biāo)公式坐標(biāo)公式由合力矩定理： 矢量形式矢量形式)()(iOOFmRm 定義：定義：空間平行力系，當(dāng)它有合力時(shí)，合力的作用點(diǎn)C 就是此平行力系的中心平行力系的中心。nnCFrFrFrRr2211;,00110PFFPFFPRRnn令nnCrFrFrFrR2211P0 為沿 方向的單位矢量RiiinnCFrFRrFrFrFr2211RzFzRyFyRxFxiiCiiCiiC , , 此式稱矢量形式此式稱矢量形式平行力系的平行力系的中心中心坐標(biāo)公式坐標(biāo)公式 直角坐標(biāo)形式（投影式）直角坐標(biāo)形式（投影式）物體重心問(wèn)題可以看成是空間平行力系中心的一個(gè)特例。 二、二、 物體的重心物體的重心 定義：定義：

28、組成物體各質(zhì)點(diǎn)的重力的合力作用線所通過(guò)的一個(gè)確定的點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為物體的重心物體的重心。 重心坐標(biāo)公式重心坐標(biāo)公式 確定物體重心的意義確定物體重心的意義 保證平衡的穩(wěn)定性；保證平衡的穩(wěn)定性； 保證運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性；保證運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性； 消除振動(dòng)。消除振動(dòng)。 如果把物體的重力都看成為平行力系，則求重心問(wèn)題就是求平行力系的中心問(wèn)題。iiCxPxPPxPxiiC即有：由合力矩定理： 直角坐標(biāo)形式直角坐標(biāo)形式iiCyPyP又 根據(jù)平行力系中心位置與各平行力系的方向無(wú)關(guān)的性質(zhì)，將力線轉(zhuǎn)成與 y 軸平行，再應(yīng)用合力矩定理對(duì) x 軸取矩得：PyPyiiC有：,iiCzPzP得：PzPziiC綜合上述得直角坐標(biāo)形式重

29、心坐標(biāo)公式直角坐標(biāo)形式重心坐標(biāo)公式為：PzPzPyPyPxPxiiCiiCiiC,若以Pi= mig , P=Mg 代入上式可得質(zhì)心坐標(biāo)公式MzmzMymyMxmxiiCiiCiiC, 積分形式積分形式 設(shè)g gI 表示第i個(gè)小部分每單位體積的重量，Vi 第I 個(gè)小體積，則iiiVPg代入上式并取極限，可得：PdVzzPdVyyPdVxxVCVCVCggg, 式中 ，上式稱為 積分形式積分形式重心坐標(biāo)公式重心坐標(biāo)公式。VdVPg對(duì)于均質(zhì)物體，g = 恒量，上式成為：VdVzzVdVyyVdVxxVCVCVC,同理對(duì)于薄曲（平）面和細(xì)曲（直）桿均可寫(xiě)出相應(yīng)的公式。 均質(zhì)物體重心坐標(biāo)公式形心均質(zhì)物

30、體重心坐標(biāo)公式形心（幾何中心幾何中心）坐標(biāo)坐標(biāo) 設(shè)g 表示單位體積的重量，Vi 第i個(gè)小體積，則iiVPg代入直角坐標(biāo)形式重心坐標(biāo)公式，可得：VzVzVyVyVxVxiiCiiCiiC, 均質(zhì)立體均質(zhì)立體 同理對(duì)于均質(zhì)薄曲（平）面和均質(zhì)細(xì)曲（直）桿均可寫(xiě)出相應(yīng)的公式。 均質(zhì)薄曲（平）面均質(zhì)薄曲（平）面AzAzAyAyAxAxiiCiiCiiC, 均質(zhì)細(xì)曲（直）桿均質(zhì)細(xì)曲（直）桿lzlzlylylxlxiiCiiCiiC,三、重心的求法三、重心的求法 對(duì)稱法對(duì)稱法 具有對(duì)稱點(diǎn)對(duì)稱軸對(duì)稱面的均質(zhì)物體，其重心就在其具有對(duì)稱點(diǎn)對(duì)稱軸對(duì)稱面的均質(zhì)物體，其重心就在其對(duì)稱點(diǎn)對(duì)稱軸對(duì)稱面上。對(duì)稱點(diǎn)對(duì)稱軸對(duì)稱面

31、上。 組合法組合法 分割法分割法 例例 已知：Z 形截面，尺寸如圖。求：該截面的重心位置。 解解：將該截面分割為三部分，取Oxy直角坐標(biāo)系，如圖。2111cm0 . 3,cm5 . 4,cm5 . 1Syx2222cm0 . 4,cm0 . 3,cm5 . 0Syx2333cm0 . 3,cm5 . 0,cm5 . 1Syxcm2 . 03435 . 135 . 04)5 . 1(3321332211SSSxSxSxSAxAxiiCcm7 . 23435 . 0334)5 . 4(3321332211SSSySySySAyAyiiC2111cm0 . 3,cm5 . 4,cm5 . 1Syx2

32、222cm0 . 4,cm0 . 3,cm5 . 0Syx2333cm0 . 3,cm5 . 0,cm5 . 1Syx 負(fù)面積法負(fù)面積法 解解： Z 形截面可視為由面積為S1的大矩形和面積分別為S2及S3的小矩形三部分組成， S2及S3是應(yīng)去掉的部分，面積為負(fù)值。2111cm30cm,5 . 2, 0Syx2222cm12cm,0 . 2cm,5 . 1Syx2333cm8cm,0 . 3cm,0 . 2Syxcm2 . 0)8()12(302)8()5 . 1()12(030321332211SSSxSxSxSAxAxiiCcm7 . 2)8()12(303)8(2)12(5 . 23032

33、1332211SSSySySySAyAyiiC2111cm30cm,5 . 2, 0Syx2222cm12cm,0 . 2cm,5 . 1Syx2333cm8cm,0 . 3cm,0 . 2Syx 解解：由于對(duì)稱關(guān)系，該圓弧重心必在Ox 軸上，即yC=0。dRdL cos RxRdRLdLxxLC2cos 2sinRxC例例 求半徑為R，頂角為2 的均質(zhì)圓弧的重心。 積分法積分法取微段：0)(FmB由01CxPlP稱PlPxC1稱簡(jiǎn)單圖形的面積及重心坐標(biāo)公式可由表中查出。 稱重法稱重法 實(shí)驗(yàn)法實(shí)驗(yàn)法 懸掛法懸掛法iziyixZRYRXR,)()(iooFmRm)()(:izzFmRm投影式)(

34、)(FmFmzZo 第四章第四章 空間力系空間力系習(xí)題課習(xí)題課一、概念及內(nèi)容一、概念及內(nèi)容)( , FmMo 空間力偶及空間力對(duì)點(diǎn)之矩是矢量， 空 間力對(duì)軸之矩和平面力偶、平面力對(duì)點(diǎn)之矩是代數(shù)量。 空間力系合力投影定理合力投影定理： 空間力系的合力矩定理合力矩定理： 空間力對(duì)點(diǎn)之矩與對(duì)軸之矩的關(guān)系( Z 軸過(guò)軸過(guò)O點(diǎn)）點(diǎn)）二、基本方程二、基本方程 空間力系的平衡方程空間力系的平衡方程空間一般力系空間一般力系空間匯交力系空間匯交力系 000ZYX空間力偶系空間力偶系000000zyxmmmZYX000zyxmmm空間空間x軸力軸力系系000zymmX00000zyxmmmYX000000 xzy

35、xmmmmYX 四矩式、 五矩式和六矩式的附加條件均 為使方程式獨(dú)立。四四矩矩式式空空 間間xoy面的面的力力系系 空間力系中有時(shí)也包括摩擦問(wèn)題。 空間力系的幾個(gè)問(wèn)題空間力系的幾個(gè)問(wèn)題 x , y, z (三個(gè)矩軸和三個(gè)投影軸可以不重合)可以是任選的六個(gè)軸。 力矩方程一般不少于三個(gè)（MO是矢量） 空間一般力系有六個(gè)獨(dú)立平衡方程（空間物體六個(gè)自由度） 可解六個(gè)未知量。 三、解題步驟、技巧與注意問(wèn)題三、解題步驟、技巧與注意問(wèn)題： 解題步驟解題步驟(與平面問(wèn)題相同)選研究對(duì)象；畫(huà)受力圖；選取坐標(biāo)軸；列平衡方程、求解。 解題技巧解題技巧 用矩軸代替投影軸，常常方便解題； 投影軸盡量選取得與未知力，力矩軸一般要與未知力平行或相交； 一般采取從整體局部的研究方法； 摩擦力F = N f ，方向與運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)方向相反。 需注意的問(wèn)題需注意的問(wèn)題 力偶在投影方程中不出現(xiàn)； 空間力偶是矢量，平面力偶是代數(shù)量； 求物體重心問(wèn)題常用組合法。對(duì)于均質(zhì)物體，重心、形心、質(zhì)心為同一點(diǎn)。例例1 已知已知:P=2000N, C點(diǎn)在Oxy平面內(nèi)求：力求：力P 對(duì)三個(gè)坐標(biāo)軸的矩 60cos45cos60sin45cos45co