第5章 特殊隨機變量

1、第第5章章 典型的隨機分布典型的隨機分布東華大學理學院內容提要內容提要5.1 二項分布5.2 泊松分布5.3 超幾何分布5.4 均勻分布5.5 正態(tài)分布5.6 指數分布5.8 正態(tài)分布產生的分布5.1 二項分布二項分布l實例擲10枚硬幣，正面朝上的硬幣數；定點投籃5次，投中的次數；旅店預訂出320個房間，不來入住的房間數；.5.1 二項分布二項分布l伯努利伯努利(Bernoulli)試驗試驗：在一次試驗中，其結果可以歸為“成功”和“失敗”兩類。l伯努利分布：伯努利分布：5.1 二項分布二項分布l例：擲5枚骰子，求其中正好出現2個“6點”的概率？正好出現k個“6點”的概率？l假設：5枚骰子獨立同

2、分布。l對于每個骰子， s-出現“6點”, f-不出現“6點”。 P(s)=p=1/6, P(f)=5/6l正好出現2個“6點”的概率正好k個6點的概率k=0,1, 55.1 二項分布二項分布l二項分布二項分布：伯努利試驗“成功”的概率每次都為p, 這樣獨立進行n次，那么“成功”的總次數X服從參數為(n, p)二項分布 ，記為XB(n,p)。l二項分布的質量函數：二項分布的質量函數：5.1 二項分布二項分布5.1 二項分布二項分布5.1 二項分布二項分布5.1 二項分布二項分布l單調性單調性P(X=i)當i(n+1)p遞減。l用用Excel計算計算概率質量函數概率質量函數Binomdist(i

3、,n,p,0)分布函數（累計質量函數）分布函數（累計質量函數）Binomdist(i,n,p,1)5.1 二項分布二項分布l例1 某公司生產的光碟次品率為0.01，每個光碟之間是相互獨立的。公司賣出光碟10個一盒，并保證如果每盒中超過1張次品碟就全額退款。問退款的概率有多大？如果某人買三盒，問恰退貨一盒的概率有多大？l答案：0.004266，0.012695.1 二項分布二項分布l例2 假設一家計算機硬件制造商生產的芯片10%為次品。如果我們訂100個這樣的芯片，令我們收到的次品芯片數量為X，則X是一個二項隨機變量嗎？l條件獨立性(每個芯片是否次品相互獨立)；重復性（每個芯片是次品的概率10%

4、）。5.1 二項分布二項分布l二項分布的伯努利分解二項分布的伯努利分解：設XB(n, p)，那么其中Xi相互獨立，且為相同的伯努利分布l數學期望和方差數學期望和方差：設X B(n, p) ，那么l可加性可加性: 如果X與Y獨立, 且XB(n, p)，YB(m,p)，那么X+YB(n+m, p) 。習題習題lP128 ex2, ex5, ex65.2 泊松分布泊松分布l實例某個地區(qū)一周內發(fā)生的交通事故數；某個網頁一天的訪問量；銀行網點10分鐘的顧客數；一頁書的印刷錯誤數;.5.2 泊松分布泊松分布l稱隨機變量X服從參數為的泊松泊松(Poisson)分分布布，如果X只取非負整數值0,1,2，且其概

5、率質量函數為l單調性單調性： i 時遞減。lExcel計算計算：概率質量函數Poisson(i, , 0)分布函數Poisson(i, , 1)5.2 泊松分布泊松分布 =45.2 泊松分布泊松分布l泊松分布矩母函數l泊松分布數學期望和方差5.2 泊松分布泊松分布l二項分布的泊松近似二項分布的泊松近似：設XB(n, p) 。當n很大p很小時，其分布近似于參數為 =np的泊松分布，即l證明：5.2 泊松分布泊松分布l例(1)某微信群有20人，每人在1小時內發(fā)言的概率為0.1，且相互獨立。求1小時內發(fā)言人數超過3人的概率。l解：二項分布l(2)某微信群有200人，每人在1小時內發(fā)言的概率為0.01

6、，且相互獨立。求1小時內發(fā)言人數超過3人的概率。l解：用泊松分布近似5.2 泊松分布泊松分布l例3 假設某段高速公路平均每周發(fā)生的事故數為3。計算一周至少發(fā)生一起事故的概率。5.2 泊松分布泊松分布l泊松分布的可加性泊松分布的可加性: 獨立的泊松隨機變量之和仍為泊松隨機變量. l具體地說，設X1和X2為相互獨立的泊松隨機變量，它們的均值分別為1和2, 那么X1+X2為均值是1+2的泊松隨機變量。l證明：利用矩母函數。5.2 泊松分布泊松分布l例 4 如果保險公司平均每天處理的索賠數量是5，且不同天的索賠數量是相互獨立的。問：從長期來看，索賠數量小于3件的天數所占的比例是多少？ 5天中恰好有3天

7、的索賠數量是4件的概率是多少？ 5天中索賠數量總數是12件的概率是多少？例例5設隨機變量)4(),2() 1( , )(XPXPXPPX求且習題習題lP256 ex11, ex13, ex165.3 超幾何分布超幾何分布l模型：一個盒子里有N只白球，M只黑球。隨機選取(沒有重復) n只，則取得的白球數服從超幾何分布。l稱隨機變量X服從參數為(N, M, n)的超幾何分超幾何分布布，如果概率質量函數為5.2 超幾何分布超幾何分布l用Excel計算組合數Combin(N,i)概率質量函數Hypgeomdist(i,n,N,N+M)l例 = Combin(15,4)=15141312/24=1365

8、 = Hypgeomdist(4,6,15,20)=0.352175.3 超幾何分布超幾何分布l例6 從20個有用的組件中隨機地選出6個組件，組成了一個6個組件系統。當6個組件中至少有4個組件合格，則所組成的系統能夠運作。如果20個組件中有15個組件合格，那么所組成的系統能夠運作的概率為多少？5.3 超幾何分布超幾何分布l設隨機變量X服從參數為(N, M, n)的超幾何分超幾何分布布，則l其中p=N/(N+M)l證明參照第4章習題33.5.3 超幾何分布超幾何分布l模型：一個盒子里有N只白球，M只黑球。獨立重復隨機選取n只（取一個記顏色后放回再取下一個），取得的白球數服從什么分布？l答：二項分

9、布B(n, N/(N+M)l超幾何分布的二項分布近似：當N和M比起n大很多，參數為(N, M, n)的超幾何分布近似超幾何分布近似于于B(n, N/(N+M) 。5.3 超幾何分布超幾何分布l模型：設有兩個盒子都有大量白球和黑球，其中白球的比例都為p，現從兩個盒子分別取n, m只球。那么兩個盒子取出的白球數分別服從B(n,p)和B(m,p)。l問題：若已知兩個盒子取出的白球數之和是k, 問第一個盒子取出的白球數服從什么分布？l答：參數為(n, m, k)的超幾何分布超幾何分布例例7假設X，Y相互獨立),(),(pmBYpnBX計算)|(kYXiXP習題習題lP129 ex18, ex205.4

10、 均勻分布均勻分布定義：定義：設隨機變量X在區(qū)間, 上等可能取值，則其密度函數稱為區(qū)間, 上的均勻均勻分布分布。均勻分布密度函數5.4 均勻分布均勻分布性質（1）均勻分布的分布函數為xxxxxF10)(（2）的長度),()(IIXP5.4 均勻分布均勻分布例8 公交車上午7點出發(fā)每隔15分鐘在某站?？恳淮?，也就是說在該站的停靠時間為7:00,7:15,7:30,7:45等等. 如果一個乘客到達該站的時間在7:00和7:30之間并且服從均勻分布，解出他等待公交的時間的概率(a) 等待公交的時間小于5分鐘；(b) 等待公交的時間至少為12分鐘。7：007：157：305.4 均勻分布均勻分布l數學

11、期望和方差：設X服從區(qū)間, 上的均勻分布，那么5.4 均勻分布均勻分布二維均勻分布：隨機變量X, Y在二維區(qū)域R上服從均勻分布如果它們的聯合密度函數在區(qū)域R上為常數，在區(qū)域R外為0。其密度函數：其中c為區(qū)域R的面積的倒數。的面積的面積RRDDYXP),(5.4 均勻分布均勻分布l例9（第4章習題13, 三角形上的均勻分布）給定X和Y的聯合密度函數為：(a) 計算X的密度函數；(b) 計算Y的密度函數； (c) X和Y是否獨立？習題習題lP130, ex21, ex225.5 正態(tài)分布正態(tài)分布l實例學生考試成績；測量誤差；成年男性的身高和體重；上海的年平均氣溫；通訊中的噪聲干擾信號；5.5 正態(tài)

12、分布正態(tài)分布l定義：一個隨機變量稱為服從參數為和2的正態(tài)分布正態(tài)分布,記為X N(, 2), 若其密度函數為l數學期望和方差數學期望和方差 EX=, Var(X)=2l特別地，標準正態(tài)分布特別地，標準正態(tài)分布N(0,1)5.5 正態(tài)分布正態(tài)分布l命題1：（正態(tài)隨機變量的線性函數仍是正態(tài)分布）設X N(, 2), 那么對任意a, b0, Y=a+bXN (a+b, b22).l推論（正態(tài)隨機變量的標準化）設X N(, 2), 則 5.5 正態(tài)分布正態(tài)分布l正態(tài)分布的計算(查表)轉化為標準正態(tài)分布查標準正態(tài)分布函數表 (x), x0利用標準正態(tài)的對稱性 (-x)=1- (x). l利用Excel(

13、x)=Normsdist(x)5.5 正態(tài)分布正態(tài)分布例10 若X為一均值為3，方差為16的正態(tài)隨機變量，求：(a) PX-1;(c) P2X7.5.5 正態(tài)分布正態(tài)分布：如果數據集是近似近似正態(tài)的，且樣本均值和樣本標準差分別為約68%的數據值在 內。約95%的數據值在 內。約99.7%的數據值在 內。5.5 正態(tài)分布正態(tài)分布l例11 假設有一種二進制消息，即由0或1構成的，需要使用電報從A傳送到B。 但是，由于存在信道噪聲的干擾，從而可能會出現傳輸錯誤，拍電報時，如果消息是1，則發(fā)送2，如果消息是0，則發(fā)送-2，設在A 處發(fā)送的是x(x=2或-2)，則在B處收到R，這里R=x+N，N是信道噪

14、聲干擾。接收端B收到消息R后，按如下規(guī)則進行譯碼：若若R 0.5，則譯為，則譯為1; 若若R0.5，則譯為，則譯為0l設N是一標準正態(tài)隨機變量時，求譯碼錯誤的概率。0.0668, 0.0062l如果直接發(fā)送消息碼，錯誤概率多大？0.3, 0.35.5 正態(tài)分布正態(tài)分布l正態(tài)分布的矩母函數l證：5.5 正態(tài)分布正態(tài)分布l命題2 （獨立正態(tài)隨機變量的和仍是正態(tài)分布）假設 相互獨立，且 ，則l推論：獨立正態(tài)隨機變量的線性函數仍是正態(tài)分布5.5 正態(tài)分布正態(tài)分布例12 根據美國國家海洋與大氣委員會的統計數據顯示洛杉磯的年降雨量是一個均值為12.08英寸，標準差為3.1英寸的正態(tài)隨機變量.假設每年的降雨

15、量是獨立的, 求(a) 未來2年年降雨量總和超過25英寸的概率；(b) 明年降雨量超過后年降雨量3英寸以上的概率。5.5 正態(tài)分布正態(tài)分布l例(P130ex25)某一地區(qū)年降雨量(單位：英寸)服從N(40,42)，則接下來的4年中有2年的年降雨量超過50英寸的概率為多少？(假設不同年份的年降雨量相互獨立)l答案：0.0002285.5 正態(tài)分布正態(tài)分布lN(0,1)的百分位數：對0 L=0.95，其中X表示燈泡的亮度。)l答案：1860習題習題lP130 ex23, ex30, ex26, ex35, ex365.6 指數分布指數分布l實例某地區(qū)兩次交通事故的間隔時間；某網頁兩次訪問之間的間隔

16、時間；銀行網點顧客等待服務的時間；書上兩次印刷錯誤間隔的字符數；某車險兩次理賠的間隔時間；.5.6 指數分布指數分布l 5.6 指數分布指數分布l矩母函數（參看第4章習題53）l數學期望和方差l應用背景：如果單位時間內“事件發(fā)生”數是參數泊松分布（稱為泊松過程），那么兩次“發(fā)生”之間的間隔時間長度就是參數的指數分布。5.6 指數分布指數分布l性質1（無記憶性）指數分布元件不會記住已有的壽命，它永遠像新元件一樣工作。l證明：5.6 指數分布指數分布l例13 假設一輛汽車在其電池耗盡之前行駛里程服從均值為10（千英里）的指數分布，若一人希望做一次5 （千英里）的旅行，請問她不需要更換電池情況下能完

17、成她的旅行的概率為多少？5.6 指數分布指數分布l性質2：設X1, X2, , Xn為一組獨立的指數分布隨機變量，參數分別為1, 2, , n ，則min(X1, X2, , Xn)服從參數為1+ 2+ + n的指數分布。l例14 串聯系統能正常工作則要求組成系統的各個組件都能正常工作，對一個含有n個組件的串聯系統，設其各個組件的正常工作時間獨立地服從指數分布，參數分別為1, 2, , n ，則該系統能維持工作時間為t的概率為多少？習題習題lP131 ex37, ex395.8 正態(tài)分布產生的分布正態(tài)分布產生的分布l2分布：若Z1, Z2, , Zn相互獨立, 且都服從N(0,1) ，則稱其平

18、方和服從自由度n的2（卡方）分布，表示為X n2 。l數學期望和方差 EX=n, Var(X)=2n.5.8 正態(tài)分布產生的分布正態(tài)分布產生的分布l2分布可加性：當X1和X2分別為自由度為n1 和n2的2隨機變量且相互獨立時，則X1+X2服從自由度為n1+n2的2分布.l2分布的分位數：設X n2 ，若則稱數2,n為上分位數或100(1- )%百分位數。5.8 正態(tài)分布產生的分布正態(tài)分布產生的分布l2分布的計算：查2 ,n的表使用Excel函數l求上分位數2,n =chiinv(, n). l求尾概率P(Xx)=chidist(x ,n)l例chiinv(0.05, 2)=5.991， chi

19、dist(5.991,2)=0.05.l例5.8.1 =1-chidist(30,26)l例5.8.2 =chiinv(0.05,15)5.8 正態(tài)分布產生的分布正態(tài)分布產生的分布l例15 假設需要在3維空間定位一個目標，3個坐標的誤差(單位:米)獨立地服從N(0, 4)，求定位的點與目標距離超過3米的概率。5.8 正態(tài)分布產生的分布正態(tài)分布產生的分布lt-分布分布：設ZN(0,1), X n2 ，且Z和X相互獨立，則稱隨機變量服從自由度n的t-分布。學生t-分布可簡稱為t分布。英國統計學家Gosset于1908年以筆名student首先發(fā)表5.8 正態(tài)分布產生的分布正態(tài)分布產生的分布lt-分

20、布與N(0,1): 當n，TnN(0,1)l ETn=0 Var(Tn)=n/(n-2)l厚尾性(n=12為例)5.8 正態(tài)分布產生的分布正態(tài)分布產生的分布lt-分布的上分位數及其對稱性5.8 正態(tài)分布產生的分布正態(tài)分布產生的分布lt分布的計算：查t ,n的表使用Excel函數l求雙側上分位數t,n =tinv(2, n). l求單尾概率P(Tx)=tdist(x ,n, 1)l求雙尾概率P(|T|x)=tdist(x,n, 2)l例tinv(0.1, 2)=2.92， tdist(2.92,2,1)=0.05, tdist(2.92,2,2)=0.1.5.8 正態(tài)分布產生的分布正態(tài)分布產生的分布lF-分布分布：設X和Y分別服從自由度為n和m的2分布，且相互獨立，稱服從自由度為n和m的F-