第5章 特殊隨機(jī)變量

1、第第5章章 典型的隨機(jī)分布典型的隨機(jī)分布東華大學(xué)理學(xué)院內(nèi)容提要內(nèi)容提要5.1 二項(xiàng)分布5.2 泊松分布5.3 超幾何分布5.4 均勻分布5.5 正態(tài)分布5.6 指數(shù)分布5.8 正態(tài)分布產(chǎn)生的分布5.1 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布l實(shí)例擲10枚硬幣，正面朝上的硬幣數(shù)；定點(diǎn)投籃5次，投中的次數(shù)；旅店預(yù)訂出320個(gè)房間，不來(lái)入住的房間數(shù)；.5.1 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布l伯努利伯努利(Bernoulli)試驗(yàn)試驗(yàn)：在一次試驗(yàn)中，其結(jié)果可以歸為“成功”和“失敗”兩類。l伯努利分布：伯努利分布：5.1 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布l例：擲5枚骰子，求其中正好出現(xiàn)2個(gè)“6點(diǎn)”的概率？正好出現(xiàn)k個(gè)“6點(diǎn)”的概率？l假設(shè)：5枚骰子獨(dú)立同

2、分布。l對(duì)于每個(gè)骰子， s-出現(xiàn)“6點(diǎn)”, f-不出現(xiàn)“6點(diǎn)”。 P(s)=p=1/6, P(f)=5/6l正好出現(xiàn)2個(gè)“6點(diǎn)”的概率正好k個(gè)6點(diǎn)的概率k=0,1, 55.1 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布l二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布：伯努利試驗(yàn)“成功”的概率每次都為p, 這樣獨(dú)立進(jìn)行n次，那么“成功”的總次數(shù)X服從參數(shù)為(n, p)二項(xiàng)分布 ，記為XB(n,p)。l二項(xiàng)分布的質(zhì)量函數(shù)：二項(xiàng)分布的質(zhì)量函數(shù)：5.1 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布5.1 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布5.1 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布5.1 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布l單調(diào)性單調(diào)性P(X=i)當(dāng)i(n+1)p遞減。l用用Excel計(jì)算計(jì)算概率質(zhì)量函數(shù)概率質(zhì)量函數(shù)Binomdist(i

3、,n,p,0)分布函數(shù)（累計(jì)質(zhì)量函數(shù)）分布函數(shù)（累計(jì)質(zhì)量函數(shù)）Binomdist(i,n,p,1)5.1 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布l例1 某公司生產(chǎn)的光碟次品率為0.01，每個(gè)光碟之間是相互獨(dú)立的。公司賣出光碟10個(gè)一盒，并保證如果每盒中超過(guò)1張次品碟就全額退款。問(wèn)退款的概率有多大？如果某人買三盒，問(wèn)恰退貨一盒的概率有多大？l答案：0.004266，0.012695.1 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布l例2 假設(shè)一家計(jì)算機(jī)硬件制造商生產(chǎn)的芯片10%為次品。如果我們訂100個(gè)這樣的芯片，令我們收到的次品芯片數(shù)量為X，則X是一個(gè)二項(xiàng)隨機(jī)變量嗎？l條件獨(dú)立性(每個(gè)芯片是否次品相互獨(dú)立)；重復(fù)性（每個(gè)芯片是次品的概率10%

4、）。5.1 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布l二項(xiàng)分布的伯努利分解二項(xiàng)分布的伯努利分解：設(shè)XB(n, p)，那么其中Xi相互獨(dú)立，且為相同的伯努利分布l數(shù)學(xué)期望和方差數(shù)學(xué)期望和方差：設(shè)X B(n, p) ，那么l可加性可加性: 如果X與Y獨(dú)立, 且XB(n, p)，YB(m,p)，那么X+YB(n+m, p) 。習(xí)題習(xí)題lP128 ex2, ex5, ex65.2 泊松分布泊松分布l實(shí)例某個(gè)地區(qū)一周內(nèi)發(fā)生的交通事故數(shù)；某個(gè)網(wǎng)頁(yè)一天的訪問(wèn)量；銀行網(wǎng)點(diǎn)10分鐘的顧客數(shù)；一頁(yè)書的印刷錯(cuò)誤數(shù);.5.2 泊松分布泊松分布l稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松泊松(Poisson)分分布布，如果X只取非負(fù)整數(shù)值0,1,2，且其概

5、率質(zhì)量函數(shù)為l單調(diào)性單調(diào)性： i 時(shí)遞減。lExcel計(jì)算計(jì)算：概率質(zhì)量函數(shù)Poisson(i, , 0)分布函數(shù)Poisson(i, , 1)5.2 泊松分布泊松分布 =45.2 泊松分布泊松分布l泊松分布矩母函數(shù)l泊松分布數(shù)學(xué)期望和方差5.2 泊松分布泊松分布l二項(xiàng)分布的泊松近似二項(xiàng)分布的泊松近似：設(shè)XB(n, p) 。當(dāng)n很大p很小時(shí)，其分布近似于參數(shù)為 =np的泊松分布，即l證明：5.2 泊松分布泊松分布l例(1)某微信群有20人，每人在1小時(shí)內(nèi)發(fā)言的概率為0.1，且相互獨(dú)立。求1小時(shí)內(nèi)發(fā)言人數(shù)超過(guò)3人的概率。l解：二項(xiàng)分布l(2)某微信群有200人，每人在1小時(shí)內(nèi)發(fā)言的概率為0.01

6、，且相互獨(dú)立。求1小時(shí)內(nèi)發(fā)言人數(shù)超過(guò)3人的概率。l解：用泊松分布近似5.2 泊松分布泊松分布l例3 假設(shè)某段高速公路平均每周發(fā)生的事故數(shù)為3。計(jì)算一周至少發(fā)生一起事故的概率。5.2 泊松分布泊松分布l泊松分布的可加性泊松分布的可加性: 獨(dú)立的泊松隨機(jī)變量之和仍為泊松隨機(jī)變量. l具體地說(shuō)，設(shè)X1和X2為相互獨(dú)立的泊松隨機(jī)變量，它們的均值分別為1和2, 那么X1+X2為均值是1+2的泊松隨機(jī)變量。l證明：利用矩母函數(shù)。5.2 泊松分布泊松分布l例 4 如果保險(xiǎn)公司平均每天處理的索賠數(shù)量是5，且不同天的索賠數(shù)量是相互獨(dú)立的。問(wèn)：從長(zhǎng)期來(lái)看，索賠數(shù)量小于3件的天數(shù)所占的比例是多少？ 5天中恰好有3天

7、的索賠數(shù)量是4件的概率是多少？ 5天中索賠數(shù)量總數(shù)是12件的概率是多少？例例5設(shè)隨機(jī)變量)4(),2() 1( , )(XPXPXPPX求且習(xí)題習(xí)題lP256 ex11, ex13, ex165.3 超幾何分布超幾何分布l模型：一個(gè)盒子里有N只白球，M只黑球。隨機(jī)選取(沒(méi)有重復(fù)) n只，則取得的白球數(shù)服從超幾何分布。l稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為(N, M, n)的超幾何分超幾何分布布，如果概率質(zhì)量函數(shù)為5.2 超幾何分布超幾何分布l用Excel計(jì)算組合數(shù)Combin(N,i)概率質(zhì)量函數(shù)Hypgeomdist(i,n,N,N+M)l例 = Combin(15,4)=15141312/24=1365

8、 = Hypgeomdist(4,6,15,20)=0.352175.3 超幾何分布超幾何分布l例6 從20個(gè)有用的組件中隨機(jī)地選出6個(gè)組件，組成了一個(gè)6個(gè)組件系統(tǒng)。當(dāng)6個(gè)組件中至少有4個(gè)組件合格，則所組成的系統(tǒng)能夠運(yùn)作。如果20個(gè)組件中有15個(gè)組件合格，那么所組成的系統(tǒng)能夠運(yùn)作的概率為多少？5.3 超幾何分布超幾何分布l設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為(N, M, n)的超幾何分超幾何分布布，則l其中p=N/(N+M)l證明參照第4章習(xí)題33.5.3 超幾何分布超幾何分布l模型：一個(gè)盒子里有N只白球，M只黑球。獨(dú)立重復(fù)隨機(jī)選取n只（取一個(gè)記顏色后放回再取下一個(gè)），取得的白球數(shù)服從什么分布？l答：二項(xiàng)分

9、布B(n, N/(N+M)l超幾何分布的二項(xiàng)分布近似：當(dāng)N和M比起n大很多，參數(shù)為(N, M, n)的超幾何分布近似超幾何分布近似于于B(n, N/(N+M) 。5.3 超幾何分布超幾何分布l模型：設(shè)有兩個(gè)盒子都有大量白球和黑球，其中白球的比例都為p，現(xiàn)從兩個(gè)盒子分別取n, m只球。那么兩個(gè)盒子取出的白球數(shù)分別服從B(n,p)和B(m,p)。l問(wèn)題：若已知兩個(gè)盒子取出的白球數(shù)之和是k, 問(wèn)第一個(gè)盒子取出的白球數(shù)服從什么分布？l答：參數(shù)為(n, m, k)的超幾何分布超幾何分布例例7假設(shè)X，Y相互獨(dú)立),(),(pmBYpnBX計(jì)算)|(kYXiXP習(xí)題習(xí)題lP129 ex18, ex205.4

10、 均勻分布均勻分布定義：定義：設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間, 上等可能取值，則其密度函數(shù)稱為區(qū)間, 上的均勻均勻分布分布。均勻分布密度函數(shù)5.4 均勻分布均勻分布性質(zhì)（1）均勻分布的分布函數(shù)為xxxxxF10)(（2）的長(zhǎng)度),()(IIXP5.4 均勻分布均勻分布例8 公交車上午7點(diǎn)出發(fā)每隔15分鐘在某站停靠一次，也就是說(shuō)在該站的停靠時(shí)間為7:00,7:15,7:30,7:45等等. 如果一個(gè)乘客到達(dá)該站的時(shí)間在7:00和7:30之間并且服從均勻分布，解出他等待公交的時(shí)間的概率(a) 等待公交的時(shí)間小于5分鐘；(b) 等待公交的時(shí)間至少為12分鐘。7：007：157：305.4 均勻分布均勻分布l數(shù)學(xué)

11、期望和方差：設(shè)X服從區(qū)間, 上的均勻分布，那么5.4 均勻分布均勻分布二維均勻分布：隨機(jī)變量X, Y在二維區(qū)域R上服從均勻分布如果它們的聯(lián)合密度函數(shù)在區(qū)域R上為常數(shù)，在區(qū)域R外為0。其密度函數(shù)：其中c為區(qū)域R的面積的倒數(shù)。的面積的面積RRDDYXP),(5.4 均勻分布均勻分布l例9（第4章習(xí)題13, 三角形上的均勻分布）給定X和Y的聯(lián)合密度函數(shù)為：(a) 計(jì)算X的密度函數(shù)；(b) 計(jì)算Y的密度函數(shù)； (c) X和Y是否獨(dú)立？習(xí)題習(xí)題lP130, ex21, ex225.5 正態(tài)分布正態(tài)分布l實(shí)例學(xué)生考試成績(jī)；測(cè)量誤差；成年男性的身高和體重；上海的年平均氣溫；通訊中的噪聲干擾信號(hào)；5.5 正態(tài)

12、分布正態(tài)分布l定義：一個(gè)隨機(jī)變量稱為服從參數(shù)為和2的正態(tài)分布正態(tài)分布,記為X N(, 2), 若其密度函數(shù)為l數(shù)學(xué)期望和方差數(shù)學(xué)期望和方差 EX=, Var(X)=2l特別地，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布特別地，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)5.5 正態(tài)分布正態(tài)分布l命題1：（正態(tài)隨機(jī)變量的線性函數(shù)仍是正態(tài)分布）設(shè)X N(, 2), 那么對(duì)任意a, b0, Y=a+bXN (a+b, b22).l推論（正態(tài)隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化）設(shè)X N(, 2), 則 5.5 正態(tài)分布正態(tài)分布l正態(tài)分布的計(jì)算(查表)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表 (x), x0利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的對(duì)稱性 (-x)=1- (x). l利用Excel(

13、x)=Normsdist(x)5.5 正態(tài)分布正態(tài)分布例10 若X為一均值為3，方差為16的正態(tài)隨機(jī)變量，求：(a) PX-1;(c) P2X7.5.5 正態(tài)分布正態(tài)分布：如果數(shù)據(jù)集是近似近似正態(tài)的，且樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為約68%的數(shù)據(jù)值在 內(nèi)。約95%的數(shù)據(jù)值在 內(nèi)。約99.7%的數(shù)據(jù)值在 內(nèi)。5.5 正態(tài)分布正態(tài)分布l例11 假設(shè)有一種二進(jìn)制消息，即由0或1構(gòu)成的，需要使用電報(bào)從A傳送到B。 但是，由于存在信道噪聲的干擾，從而可能會(huì)出現(xiàn)傳輸錯(cuò)誤，拍電報(bào)時(shí)，如果消息是1，則發(fā)送2，如果消息是0，則發(fā)送-2，設(shè)在A 處發(fā)送的是x(x=2或-2)，則在B處收到R，這里R=x+N，N是信道噪

14、聲干擾。接收端B收到消息R后，按如下規(guī)則進(jìn)行譯碼：若若R 0.5，則譯為，則譯為1; 若若R0.5，則譯為，則譯為0l設(shè)N是一標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量時(shí)，求譯碼錯(cuò)誤的概率。0.0668, 0.0062l如果直接發(fā)送消息碼，錯(cuò)誤概率多大？0.3, 0.35.5 正態(tài)分布正態(tài)分布l正態(tài)分布的矩母函數(shù)l證：5.5 正態(tài)分布正態(tài)分布l命題2 （獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的和仍是正態(tài)分布）假設(shè) 相互獨(dú)立，且 ，則l推論：獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的線性函數(shù)仍是正態(tài)分布5.5 正態(tài)分布正態(tài)分布例12 根據(jù)美國(guó)國(guó)家海洋與大氣委員會(huì)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示洛杉磯的年降雨量是一個(gè)均值為12.08英寸，標(biāo)準(zhǔn)差為3.1英寸的正態(tài)隨機(jī)變量.假設(shè)每年的降雨

15、量是獨(dú)立的, 求(a) 未來(lái)2年年降雨量總和超過(guò)25英寸的概率；(b) 明年降雨量超過(guò)后年降雨量3英寸以上的概率。5.5 正態(tài)分布正態(tài)分布l例(P130ex25)某一地區(qū)年降雨量(單位：英寸)服從N(40,42)，則接下來(lái)的4年中有2年的年降雨量超過(guò)50英寸的概率為多少？(假設(shè)不同年份的年降雨量相互獨(dú)立)l答案：0.0002285.5 正態(tài)分布正態(tài)分布lN(0,1)的百分位數(shù)：對(duì)0 L=0.95，其中X表示燈泡的亮度。)l答案：1860習(xí)題習(xí)題lP130 ex23, ex30, ex26, ex35, ex365.6 指數(shù)分布指數(shù)分布l實(shí)例某地區(qū)兩次交通事故的間隔時(shí)間；某網(wǎng)頁(yè)兩次訪問(wèn)之間的間隔

16、時(shí)間；銀行網(wǎng)點(diǎn)顧客等待服務(wù)的時(shí)間；書上兩次印刷錯(cuò)誤間隔的字符數(shù)；某車險(xiǎn)兩次理賠的間隔時(shí)間；.5.6 指數(shù)分布指數(shù)分布l 5.6 指數(shù)分布指數(shù)分布l矩母函數(shù)（參看第4章習(xí)題53）l數(shù)學(xué)期望和方差l應(yīng)用背景：如果單位時(shí)間內(nèi)“事件發(fā)生”數(shù)是參數(shù)泊松分布（稱為泊松過(guò)程），那么兩次“發(fā)生”之間的間隔時(shí)間長(zhǎng)度就是參數(shù)的指數(shù)分布。5.6 指數(shù)分布指數(shù)分布l性質(zhì)1（無(wú)記憶性）指數(shù)分布元件不會(huì)記住已有的壽命，它永遠(yuǎn)像新元件一樣工作。l證明：5.6 指數(shù)分布指數(shù)分布l例13 假設(shè)一輛汽車在其電池耗盡之前行駛里程服從均值為10（千英里）的指數(shù)分布，若一人希望做一次5 （千英里）的旅行，請(qǐng)問(wèn)她不需要更換電池情況下能完

17、成她的旅行的概率為多少？5.6 指數(shù)分布指數(shù)分布l性質(zhì)2：設(shè)X1, X2, , Xn為一組獨(dú)立的指數(shù)分布隨機(jī)變量，參數(shù)分別為1, 2, , n ，則min(X1, X2, , Xn)服從參數(shù)為1+ 2+ + n的指數(shù)分布。l例14 串聯(lián)系統(tǒng)能正常工作則要求組成系統(tǒng)的各個(gè)組件都能正常工作，對(duì)一個(gè)含有n個(gè)組件的串聯(lián)系統(tǒng)，設(shè)其各個(gè)組件的正常工作時(shí)間獨(dú)立地服從指數(shù)分布，參數(shù)分別為1, 2, , n ，則該系統(tǒng)能維持工作時(shí)間為t的概率為多少？習(xí)題習(xí)題lP131 ex37, ex395.8 正態(tài)分布產(chǎn)生的分布正態(tài)分布產(chǎn)生的分布l2分布：若Z1, Z2, , Zn相互獨(dú)立, 且都服從N(0,1) ，則稱其平

18、方和服從自由度n的2（卡方）分布，表示為X n2 。l數(shù)學(xué)期望和方差 EX=n, Var(X)=2n.5.8 正態(tài)分布產(chǎn)生的分布正態(tài)分布產(chǎn)生的分布l2分布可加性：當(dāng)X1和X2分別為自由度為n1 和n2的2隨機(jī)變量且相互獨(dú)立時(shí)，則X1+X2服從自由度為n1+n2的2分布.l2分布的分位數(shù)：設(shè)X n2 ，若則稱數(shù)2,n為上分位數(shù)或100(1- )%百分位數(shù)。5.8 正態(tài)分布產(chǎn)生的分布正態(tài)分布產(chǎn)生的分布l2分布的計(jì)算：查2 ,n的表使用Excel函數(shù)l求上分位數(shù)2,n =chiinv(, n). l求尾概率P(Xx)=chidist(x ,n)l例chiinv(0.05, 2)=5.991， chi

19、dist(5.991,2)=0.05.l例5.8.1 =1-chidist(30,26)l例5.8.2 =chiinv(0.05,15)5.8 正態(tài)分布產(chǎn)生的分布正態(tài)分布產(chǎn)生的分布l例15 假設(shè)需要在3維空間定位一個(gè)目標(biāo)，3個(gè)坐標(biāo)的誤差(單位:米)獨(dú)立地服從N(0, 4)，求定位的點(diǎn)與目標(biāo)距離超過(guò)3米的概率。5.8 正態(tài)分布產(chǎn)生的分布正態(tài)分布產(chǎn)生的分布lt-分布分布：設(shè)ZN(0,1), X n2 ，且Z和X相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量服從自由度n的t-分布。學(xué)生t-分布可簡(jiǎn)稱為t分布。英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家Gosset于1908年以筆名student首先發(fā)表5.8 正態(tài)分布產(chǎn)生的分布正態(tài)分布產(chǎn)生的分布lt-分

20、布與N(0,1): 當(dāng)n，TnN(0,1)l ETn=0 Var(Tn)=n/(n-2)l厚尾性(n=12為例)5.8 正態(tài)分布產(chǎn)生的分布正態(tài)分布產(chǎn)生的分布lt-分布的上分位數(shù)及其對(duì)稱性5.8 正態(tài)分布產(chǎn)生的分布正態(tài)分布產(chǎn)生的分布lt分布的計(jì)算：查t ,n的表使用Excel函數(shù)l求雙側(cè)上分位數(shù)t,n =tinv(2, n). l求單尾概率P(Tx)=tdist(x ,n, 1)l求雙尾概率P(|T|x)=tdist(x,n, 2)l例tinv(0.1, 2)=2.92， tdist(2.92,2,1)=0.05, tdist(2.92,2,2)=0.1.5.8 正態(tài)分布產(chǎn)生的分布正態(tài)分布產(chǎn)生的分布lF-分布分布：設(shè)X和Y分別服從自由度為n和m的2分布，且相互獨(dú)立，稱服從自由度為n和m的F-