第9章 靜電場[修正版]

1、第第4 4篇篇 電磁學電磁學 電磁場是一個統(tǒng)一的整體電磁場是一個統(tǒng)一的整體 , ,電、磁是一對孿生兄弟電、磁是一對孿生兄弟 。電磁現(xiàn)象是自然界中極為普遍的現(xiàn)象電磁現(xiàn)象是自然界中極為普遍的現(xiàn)象公元前公元前600600年年 古希臘哲學家泰利斯就知道一塊琥珀用木頭摩擦之后古希臘哲學家泰利斯就知道一塊琥珀用木頭摩擦之后 會吸引草屑等輕小物體；會吸引草屑等輕小物體； 春秋戰(zhàn)國時期春秋戰(zhàn)國時期 韓非子韓非子和和呂氏春秋呂氏春秋都有天然磁石都有天然磁石(Fe3O4) 的記載；的記載；17851785年年 庫侖定律提出，電磁學進入科學行列；庫侖定律提出，電磁學進入科學行列； 18201820年年 奧斯特發(fā)現(xiàn)電

2、流的磁效應（電產(chǎn)生磁）；奧斯特發(fā)現(xiàn)電流的磁效應（電產(chǎn)生磁）； 18311831年年 法拉第發(fā)現(xiàn)電磁感應現(xiàn)象法拉第發(fā)現(xiàn)電磁感應現(xiàn)象 （磁產(chǎn)生電）；（磁產(chǎn)生電）；18651865年年 麥克斯韋建立了以麥克斯韋方程組為基礎的完整麥克斯韋建立了以麥克斯韋方程組為基礎的完整 的電磁場理論；的電磁場理論；18871887年年 赫茲利用振蕩器在實驗上證實了電磁波的存在；赫茲利用振蕩器在實驗上證實了電磁波的存在； 19051905年年 愛因斯坦創(chuàng)立了相對論，解決了經(jīng)典力學時空觀與電磁愛因斯坦創(chuàng)立了相對論，解決了經(jīng)典力學時空觀與電磁 現(xiàn)象新的實驗事實的矛盾?，F(xiàn)象新的實驗事實的矛盾。 本章內(nèi)容本章內(nèi)容9.1 電荷

3、電荷 庫侖定律庫侖定律9.2 電場電場 電場強度電場強度9.3 靜電場中的高斯定律靜電場中的高斯定律9.4 靜電場中的環(huán)路定律靜電場中的環(huán)路定律 電勢電勢 9.5 靜電場中的導體靜電場中的導體 電容電容 9.6 靜電場中的介質(zhì)靜電場中的介質(zhì) 9.7 靜電場的能量靜電場的能量 9.1 電荷電荷 庫侖定律庫侖定律9.1.1 電荷及其性質(zhì)電荷及其性質(zhì)1. 正負性正負性: 同種電荷相斥；異種電荷相吸。同種電荷相斥；異種電荷相吸。 3. 量子性量子性C10)63(462176602. 119eneQ 2. 守恒性守恒性在一個在一個孤立系統(tǒng)孤立系統(tǒng)中總電荷量不變。中總電荷量不變。 等量的正、負電荷相遇后，

4、出現(xiàn)等量的正、負電荷相遇后，出現(xiàn)電中和電中和。4. 相對論不變性相對論不變性 一個電荷的電量與它的運動狀態(tài)無關(guān)。一個電荷的電量與它的運動狀態(tài)無關(guān)。在不同的參考系觀察，同一帶電粒子的電量保持不變在不同的參考系觀察，同一帶電粒子的電量保持不變9.1.2 庫侖定律庫侖定律u 點電荷點電荷 把帶電體視為一個帶電的幾何點把帶電體視為一個帶電的幾何點(一種理想模型一種理想模型)u 庫侖定律庫侖定律(1785) 在真空中兩個靜止點電荷之間的靜電作用力與這兩個在真空中兩個靜止點電荷之間的靜電作用力與這兩個點電荷所帶電量的乘積成正比，與它們之間距離的平方成點電荷所帶電量的乘積成正比，與它們之間距離的平方成反比，

5、作用力的方向沿著兩個點電荷的連線。反比，作用力的方向沿著兩個點電荷的連線。1q2qr210r21F1q2qr120r12F02122121rrqqkF電荷電荷q1 對對q2 的作用力的作用力F21電荷電荷q2對對q1的作用力的作用力F12 01222112rrqqkF (Coulomb)真空中的介電常數(shù)真空中的介電常數(shù) 0）或或（121120mFmNC1085418782. 82041k0221rrqqkF(2) 庫侖定律適用于真空中的點電荷；庫侖定律適用于真空中的點電荷；(3) 庫侖力滿足牛頓第三定律；庫侖力滿足牛頓第三定律；(4) 電荷之間距離小于電荷之間距離小于10-10m時時, 庫侖定

6、律仍保持有效庫侖定律仍保持有效.至于至于 大距離方面大距離方面,雖然未作過實驗驗證雖然未作過實驗驗證,但也并沒有特殊的理由但也并沒有特殊的理由 預料在大距離情況下庫侖定律將失效預料在大距離情況下庫侖定律將失效.r 討論討論(1) 庫侖定律中比率系數(shù)庫侖定律中比率系數(shù) k 為為氫原子中電子和質(zhì)子的距離為氫原子中電子和質(zhì)子的距離為 解解N101 . 8)103 . 5 ()106 . 1 (100 . 94182112199220reFe例例此兩粒子間的靜電力和萬有引力。此兩粒子間的靜電力和萬有引力。求求m103 . 511兩粒子間的靜電力大小為兩粒子間的靜電力大小為兩粒子間的萬有引力為兩粒子間的

7、萬有引力為2112731112)103 . 5(107 . 1101 . 9107 . 6rmmGFpegN107 . 347萬電FF r 討論討論(1) (1) 庫侖力和萬有引力都是有心力和長程力庫侖力和萬有引力都是有心力和長程力 (2) (2) 靜電力既有引力也有斥力，而萬有引力只是引力；兩靜電力既有引力也有斥力，而萬有引力只是引力；兩種力的作用強度不同種力的作用強度不同 9.2 電場電場 電場強度電場強度9.2.1 電場電場場場的作用的作用超距超距作用作用電荷電荷電荷電荷電荷電荷電荷電荷電場電場場場的存在的客觀依據(jù)的存在的客觀依據(jù)(1) (1) 對位于其中的帶電體有力的作用對位于其中的帶

8、電體有力的作用(2) (2) 帶電體在電場中運動帶電體在電場中運動, , 電場力要作功電場力要作功 場是物質(zhì)存在的一種形態(tài)場是物質(zhì)存在的一種形態(tài)。一方面，它和實物有共性。一方面，它和實物有共性的一面，即能量、質(zhì)量和動量等物質(zhì)的基本屬性另一方的一面，即能量、質(zhì)量和動量等物質(zhì)的基本屬性另一方面，電場又有其特殊性，它是無形的，彌漫在整個空間。面，電場又有其特殊性，它是無形的，彌漫在整個空間。歷史上的兩種觀點：歷史上的兩種觀點：9.2.2 電場強度電場強度對給定電場中的確定點來說：對給定電場中的確定點來說：場源電荷場源電荷Q：試驗電荷：試驗電荷： 帶電量足夠小帶電量足夠小點電荷點電荷= 1F2F2q1

9、qE0qFE 電場中某點的電場強度等于電場中某點的電場強度等于單位正電荷單位正電荷在該點的受力。在該點的受力。 u 定義：定義：rPQ帶電量為帶電量為Q 的帶電體。它所在的位置稱為的帶電體。它所在的位置稱為源點源點，把電場中待求場性質(zhì)的點（例如把電場中待求場性質(zhì)的點（例如p點）叫做點）叫做場場點點 是由源點到場點位矢的單位矢量。是由源點到場點位矢的單位矢量。0r電場強度矢量是位置函數(shù)電場強度矢量是位置函數(shù) ),(zyxEE9.2.3 場強疊加原理場強疊加原理u 點電荷產(chǎn)生的場強點電荷產(chǎn)生的場強020041rrqqF020041rrqqFEkkkkkkkrrqEqFqFE0200041kkku

10、點電荷系的場強點電荷系的場強 點電荷系在某點點電荷系在某點P產(chǎn)生的電場強度等于各點電荷單獨在產(chǎn)生的電場強度等于各點電荷單獨在該點產(chǎn)生的電場強度的矢量和。這稱為該點產(chǎn)生的電場強度的矢量和。這稱為電場強度疊加原理電場強度疊加原理。u 連續(xù)分布帶電體的場強連續(xù)分布帶電體的場強020d41drrqEVEEdqdrEdP0204drrqEkEjEiEEZyxqd : 電荷電荷線密度線密度 : 電荷電荷面密度面密度 : 電荷電荷體密度體密度（線分布）l d（面分布）Sd（體分布）VdqqlBrEEE) 4(4220lrqEEcos2 EEBx304rpE42cos22lrl232230)41 (4/rlr

11、qlElr求求電偶極子電偶極子在中垂線上一點產(chǎn)生的電場強度。在中垂線上一點產(chǎn)生的電場強度。例例解解電偶極矩電偶極矩（電矩）（電矩）電偶極矩定義電偶極矩定義lqp方向從負電荷方向從負電荷指向正電荷指向正電荷。EEEBaPxyO它在空間一點它在空間一點 P P 產(chǎn)生的電場強度。產(chǎn)生的電場強度。( (P點到桿的垂直距離為點到桿的垂直距離為a ) )解解dqxqdd20d41drxErsinddEEycosddEEx由圖上的幾何關(guān)系由圖上的幾何關(guān)系 21ctanaxdcscd2ax 22222cscaxarEdxEdyEd例例 長為長為 L 的均勻帶電直桿，電荷線密度為的均勻帶電直桿，電荷線密度為 求

12、求dsin4d0aEydcos4d0aExyyEEdxxEEd)sin(sin4120a21dcos40a)cos(cos4210a21dsin40a無限長直導線無限長直導線012aEy020 xEr 討論討論aPxyOdqr21EdxEdyEdP點位于中垂線時點位于中垂線時12aEy012cos0 xE解：解：xqdd2)ddxaxE（0412LL2LLxaxEE2202)d4d（）（22022044LaqLaL例例 長為長為 L 的均勻帶電直桿，電荷線密度為的均勻帶電直桿，電荷線密度為 ，求求 它在其延長上它在其延長上 P P 點的電場強度。（點的電場強度。（P 點到桿的中心距離為點到桿的

13、中心距離為 a ）aPxOdqOx圓環(huán)軸線上任一點圓環(huán)軸線上任一點P 的電場強度的電場強度RP解解dqlqdd020d41drrqE020d41drrqEEcosddEExsinddEE r EdxEdEd例例半徑為半徑為R 的均勻帶電細圓環(huán)，帶電量為的均勻帶電細圓環(huán)，帶電量為 q 求求0E由于圓環(huán)上電荷分布關(guān)于由于圓環(huán)上電荷分布關(guān)于x 軸對稱軸對稱 cosd4120rqExcos4120rqqrdcos4120rxcos2/122)(xRr2/3220)(41xRqxE(1) 當當 x = 0（即（即P點在圓環(huán)中心處）時，點在圓環(huán)中心處）時， 0E(2) 當當 xR 時時 2041xqE可以

14、把帶電圓環(huán)視為一個點電荷可以把帶電圓環(huán)視為一個點電荷 討論討論RPdqOxr EdxEdEd(3) 當當 時時 Rx22E 可取最大值?？扇∽畲笾?。 求面密度為求面密度為 的的圓板軸線上任一點的電場強度圓板軸線上任一點的電場強度 解解rrqd2d2/3220)(d41dxrqxEEEdixRxE)(1 22/ 1220PrxOEd2/3220)(d2xrrrx)(1 22/ 1220 xRxRxrrrx02/3220)(d2例例R 已知帶電系統(tǒng)的電荷分布時，根據(jù)電場強度的定義已知帶電系統(tǒng)的電荷分布時，根據(jù)電場強度的定義求電場中任一點求電場中任一點P的電場強度，其方法和步驟是：的電場強度，其方法

15、和步驟是：應用點電荷電場強度的計算公式，在選定的坐標系中應用點電荷電場強度的計算公式，在選定的坐標系中寫出某一電荷元寫出某一電荷元dq在在P點電場強度點電場強度 ；Ed 根據(jù)給定的電荷分布，恰當?shù)倪x擇電荷元和坐標系；根據(jù)給定的電荷分布，恰當?shù)倪x擇電荷元和坐標系；再應用電場強度疊加原理將每個電荷元產(chǎn)生的電場強度再應用電場強度疊加原理將每個電荷元產(chǎn)生的電場強度相加，即可得到該點的電場強度；相加，即可得到該點的電場強度；注意：注意：要把要把 向各坐標軸上投影，化矢量相加或矢量積分向各坐標軸上投影，化矢量相加或矢量積分為標量相加或標量積分，同時還要重視對稱性的分析，為標量相加或標量積分，同時還要重視對

16、稱性的分析，這樣可省略一些不必要的計算；這樣可省略一些不必要的計算；Ed圓環(huán)對桿的作用力圓環(huán)對桿的作用力qL解解Oxxqdd2/3220)(41xRqxExxEqEFxxdddLxRxxqF023220)(4dqdxER例例已知圓環(huán)帶電量為已知圓環(huán)帶電量為 q ，桿的電荷線密度為，桿的電荷線密度為 ，長為，長為 L 求求220114LRRq例例解解EqFEqF相對于相對于O點的力矩：點的力矩：sin21sin21lFlFMsinqlEEpEl qM(1)力偶矩最大力偶矩最大 2力偶矩為零力偶矩為零 (電偶極子處于穩(wěn)定平衡）電偶極子處于穩(wěn)定平衡）0(2)(3)力偶矩為零力偶矩為零 （電偶極子處于

17、非穩(wěn)定平衡）（電偶極子處于非穩(wěn)定平衡）EqqlFFp求電偶極子在均勻電場中受到的力偶矩。求電偶極子在均勻電場中受到的力偶矩。 討論討論o（相對于（相對于O點的力矩）點的力矩）9.3 靜電場中的高斯定律靜電場中的高斯定律9.3.1 電通量電通量u 電場線電場線( (幾個典型帶電體周圍電場線的分布幾個典型帶電體周圍電場線的分布) )SNEdd 場強方向沿電場線場強方向沿電場線切線方向切線方向， 場強大小取決于電場線的場強大小取決于電場線的疏密疏密 SdE(2)(2)任何兩條電場線不相交任何兩條電場線不相交. .(1)(1)不形成閉合回線也不中斷，而是起自正電荷不形成閉合回線也不中斷，而是起自正電荷

18、( (或無窮遠或無窮遠處處) )、止于負電荷、止于負電荷( (或無窮遠處或無窮遠處).).u 電通量電通量穿過任意曲面的電穿過任意曲面的電場場線條數(shù)稱線條數(shù)稱為電通量。為電通量。 1.1.均勻場中均勻場中dS 面元的電通量面元的電通量NeddnSS dd矢量面元矢量面元SEedd2.2.非均勻場中曲面的電通量非均勻場中曲面的電通量SEd cosS eSEdeSdSdn ESEsdnESEed dS3. 3. 閉合曲面電通量閉合曲面電通量SSEeeddnEnnnnSEedd 以曲面的以曲面的外法線方向為正方向外法線方向為正方向Sd與曲面相切或未穿過曲面的電場線，對通量無貢獻。與曲面相切或未穿過曲

19、面的電場線，對通量無貢獻。 , ,從曲面穿出的電場線，從曲面穿出的電場線，電通量為正值；電通量為正值； , ,穿入曲面的電場線，穿入曲面的電場線，電通量為負值；電通量為負值；總的通量總的通量e 等于穿出、穿入閉合面電場線條數(shù)之差等于穿出、穿入閉合面電場線條數(shù)之差220 9.3.2 高斯定理高斯定理 SSEedSSE d2204 4rrq(2) q 在在任意閉合面內(nèi)任意閉合面內(nèi)SSEed0q e 與曲面的與曲面的形狀形狀和和 q 的的位置位置無關(guān)，只無關(guān)，只與與閉合閉合曲面曲面包包圍的電荷圍的電荷電量電量 q 有有關(guān)。關(guān)。0qqSSEd穿過球面的電場線條數(shù)為穿過球面的電場線條數(shù)為 q/ 0穿過閉

20、合面的電場線穿過閉合面的電場線條數(shù)仍為條數(shù)仍為 q/ 0SdE(1) q 在球心處在球心處r球面電通量為球面電通量為電通量為電通量為1. 1. 點電荷電場點電荷電場0e+ q(3) q 在閉合面外在閉合面外2. 點電荷系的電場點電荷系的電場521.EEEESEed030201qqqq1q2q3q4q5內(nèi)qSE01d穿出、穿入的電場線條數(shù)相等穿出、穿入的電場線條數(shù)相等任意閉合面電通量為任意閉合面電通量為SEEEd).(521 內(nèi)qSEe01dS真空中的任何靜電場中，穿過任一閉合曲面的電通量，等真空中的任何靜電場中，穿過任一閉合曲面的電通量，等于該曲面所包圍的電荷電量的代數(shù)和乘以于該曲面所包圍的電

21、荷電量的代數(shù)和乘以 01VeVSEd1d0S(不連續(xù)分布的源電荷不連續(xù)分布的源電荷)(連續(xù)分布的源電荷連續(xù)分布的源電荷) 是所有電荷產(chǎn)生的是所有電荷產(chǎn)生的; ; e 只與內(nèi)部電荷有關(guān)。只與內(nèi)部電荷有關(guān)。E高斯定理高斯定理3. 3. 任意帶電系統(tǒng)的電場任意帶電系統(tǒng)的電場結(jié)論結(jié)論 sSEdE(3)(3) 說明說明u 高斯定律的應用高斯定律的應用分析電荷對稱性；分析電荷對稱性； 根據(jù)對稱性取高斯面；根據(jù)對稱性取高斯面； 根據(jù)高斯定理求電場強度根據(jù)高斯定理求電場強度。均勻帶電球面，總電量為均勻帶電球面，總電量為Q，半徑為，半徑為R電場強度分布電場強度分布例例求求解解內(nèi)部場強為零內(nèi)部場強為零1. 1.

22、球面內(nèi)球面內(nèi)任一點的場強一定為零。任一點的場強一定為零。2. 2. 球面外球面外一點的場強一點的場強 均勻帶電球面在球面外的電場分布具有球?qū)ΨQ性均勻帶電球面在球面外的電場分布具有球?qū)ΨQ性因此，過因此，過P點作一與帶電球面同心的高斯球面，則由對稱性可作一與帶電球面同心的高斯球面，則由對稱性可知，球面上各點的知，球面上各點的E E值相同，于是有值相同，于是有 sSEd sSEd sSE d24 rE 根據(jù)高斯定理根據(jù)高斯定理024 iiqrE 204rqEii 204rQE Ed dq P /dq O R R P 例例已知球體半徑為已知球體半徑為R，帶電量為，帶電量為q（電荷體密度為（電荷體密度為

23、 ）解解球內(nèi)球內(nèi)Rr 均勻帶電球體的電場強度分布均勻帶電球體的電場強度分布求求11ddsssEsE030134rqrE031RQrE24 rE303431RQrRqorE EEorR2041RqorrQE球外球外Rr 解解 電場強度分布具有面對稱性電場強度分布具有面對稱性 選取一個圓柱形高斯面選取一個圓柱形高斯面 SeSEd已知已知“無限大無限大”均勻帶電平面上電荷面密度為均勻帶電平面上電荷面密度為 電場強度分布電場強度分布求求例例右底左底側(cè)SESESEdddESESES20根據(jù)高斯定理有根據(jù)高斯定理有 SES012nEEnn02E 帶等量異號電荷的兩塊無限大均勻帶電平面的電場分布：帶等量異號

24、電荷的兩塊無限大均勻帶電平面的電場分布：0外EEEE內(nèi)根據(jù)場強疊加原理，由圖可知：根據(jù)場強疊加原理，由圖可知：0外E0外EE內(nèi)EE已知已知“無限長無限長”均勻帶電直線的電荷線密度為均勻帶電直線的電荷線密度為+ 解解 電場分布具有軸對稱性電場分布具有軸對稱性 過過P點作高斯面點作高斯面 下底上底側(cè)SESESEdddSeSEdlrESESE2dd側(cè)側(cè)n例例距直線距直線r 處一點處一點P 的電場強度的電場強度求求根據(jù)高斯定理得根據(jù)高斯定理得 ErlPllrE012rE02nn當電場分布不具備對稱性時，難以用高斯定理求解電當電場分布不具備對稱性時，難以用高斯定理求解電場分布，并不是說在這種情況下高斯定

25、理不正確，而是電場分布，并不是說在這種情況下高斯定理不正確，而是電場強度場強度 E 不能作為常量從積分號內(nèi)分離出來，使得計算相不能作為常量從積分號內(nèi)分離出來，使得計算相當困難。當困難。 這時，應該用點電荷的場強公式和場強疊加原理這一這時，應該用點電荷的場強公式和場強疊加原理這一基本方法求解電場分布。基本方法求解電場分布。9.4 靜電場的環(huán)路定律靜電場的環(huán)路定律 電勢電勢 9.4.1. 靜電場的環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理 u 靜電場力的功靜電場力的功 單個點電荷產(chǎn)生的電場單個點電荷產(chǎn)生的電場rrqqbarrd14200bLaablFA)(dcosd )(0bLalEq與路徑無關(guān)與路徑無關(guān)rrqqb

26、Lad )14()(200 )11(400barrqq baLbrrarldrd qEOq0rrdbLaablFA)(dnibLailEq1)(0dibii airrqq)11(400 電場力做功只與始末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)電場力做功只與始末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)，所以所以靜電力靜電力是保守力，是保守力，靜電場是保守場。靜電場是保守場。 任意帶電體系產(chǎn)生的電場任意帶電體系產(chǎn)生的電場在電荷系在電荷系q1、q2、的電場中，移動的電場中，移動q0，靜電力所作功，靜電力所作功為為: bLanlEEEq)(210d)(bLalEq)(0d結(jié)論結(jié)論q0abLnq1nqiq2q1qq0在靜電場中，沿閉合路徑移

27、動在靜電場中，沿閉合路徑移動q0，電場力作功，電場力作功LLablEqlFAdd0bLabLalEqlEq)(0)(021ddL1L2bLalEq)(01d0u 靜電場的環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理aLblEq)(02dabq00d LlE(1) 環(huán)路定理要求電場線不能閉合，環(huán)路定理要求電場線不能閉合，是是無旋場無旋場。(2) 靜電場是靜電場是有源有源、無旋場無旋場，可引進電勢能。，可引進電勢能。討論討論靜電場中電場強度沿閉合路徑的線積分等于零。靜電場中電場強度沿閉合路徑的線積分等于零。環(huán)路定律環(huán)路定律u 電勢能電勢能9.4.2. 電勢電勢 電勢差電勢差1p2pq0q0 電荷電荷q0自自p1 點移

28、至點移至 p2 點過程點過程中電場力所做的功定義為中電場力所做的功定義為電荷電荷q0在在 p1 、p2 兩點的兩點的電勢能之差電勢能之差，即，即2211d012ppppWWlEqA取電勢能零點取電勢能零點 Wp2 = 0 000d11applEqAWq0 在電場中某點在電場中某點 p1的的電勢能電勢能： 電荷在電場中某點所具有的電荷在電場中某點所具有的電勢能，電勢能，等于將電荷從該等于將電荷從該處移至電勢能為零的參考點的過程中電場力作的功。處移至電勢能為零的參考點的過程中電場力作的功。 (1) 電勢能應屬于電勢能應屬于 q0 和產(chǎn)生電場的源電荷系統(tǒng)所共有。和產(chǎn)生電場的源電荷系統(tǒng)所共有。(3)

29、選電勢能零點原則：選電勢能零點原則：(2) 電荷在某點電勢能的值與電勢能電荷在某點電勢能的值與電勢能零點有關(guān)零點有關(guān), ,而兩點的差值而兩點的差值與電勢能與電勢能零點無關(guān)零點無關(guān)實際應用中取大地、儀器外殼等為勢能零點。實際應用中取大地、儀器外殼等為勢能零點。當當( (源源) )電荷分布在電荷分布在有限范圍內(nèi)有限范圍內(nèi)時，一般選時，一般選無窮遠無窮遠處。處。無限大帶電體，無限大帶電體，勢能零點一般勢能零點一般選在有限遠處一點。選在有限遠處一點。說明說明u 電勢電勢 電勢定義電勢定義0dpplEu01qWp01qWp 與與q0 0無關(guān)無關(guān)移動移動單位正電荷單位正電荷自該點自該點“勢能零點勢能零點”

30、過程中電場力作的功過程中電場力作的功 。 電勢差電勢差00qWqWbabaabuuu0qAabbalEd移動移動單位正電荷單位正電荷自自 ab過程中電場力作的功。過程中電場力作的功。說明說明（1）電勢能是電場和電荷整個系統(tǒng)共有的，電勢卻可直接描）電勢能是電場和電荷整個系統(tǒng)共有的，電勢卻可直接描述電場中某一點的性質(zhì)。所以述電場中某一點的性質(zhì)。所以電勢和場強一樣是反映電場本身電勢和場強一樣是反映電場本身客觀性質(zhì)的物理量?？陀^性質(zhì)的物理量。（2）電勢是）電勢是標量標量，比場強更易計算、測量。，比場強更易計算、測量。（3）電勢只有）電勢只有相對意義相對意義，而電勢差才有絕對意義。，而電勢差才有絕對意義

31、。一般地，如果場源電荷分布在有限空間，則可選取無一般地，如果場源電荷分布在有限空間，則可選取無窮遠處為零電勢點。窮遠處為零電勢點。 如果場源電荷分布在無限空間，則只有在選取空間某一如果場源電荷分布在無限空間，則只有在選取空間某一確定點為零電勢點才有意義。確定點為零電勢點才有意義。u 電勢疊加原理電勢疊加原理arldq 點電荷電場的電勢點電荷電場的電勢aalEud02014rrqE0 ddrrlrrrqd1420 rq04 Erqua041 1q2q1E2E1r2rP 點電荷系電場的電勢點電荷系電場的電勢PlEEd)(21PPlEud PPlEudPlEEd)(211d4201rrrq 2201

32、104141rqrq 對對n 個點電荷個點電荷:niiiarqu104 在點電荷系產(chǎn)生的電場中，某點的電勢是各個點電荷單獨存在點電荷系產(chǎn)生的電場中，某點的電勢是各個點電荷單獨存在時，在該點產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和。在時，在該點產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和。2d4202rrrq PPlElEdd21對連續(xù)分布的帶電體：對連續(xù)分布的帶電體：rqua04d結(jié)論結(jié)論電勢疊加原理電勢疊加原理1q2q1E2E1r2rP半徑為半徑為R均勻帶電球面，所帶電量為均勻帶電球面，所帶電量為q。例例求求 帶電球面產(chǎn)生的電勢分布帶電球面產(chǎn)生的電勢分布OR解解 由電荷分布的球?qū)ΨQ性，用高斯定理由電荷分布的球?qū)ΨQ性，用高斯定理很容易求出電

33、場強度的分布為：很容易求出電場強度的分布為： )41020RrrqRrE（）（ 對球面外一點對球面外一點P：rEuPd 外外 rrrq204d rq041 對球面上一點對球面上一點P：面u對球面內(nèi)一點對球面內(nèi)一點P：rEuPd 內(nèi)內(nèi) RRrrErEdd Rrrqd41020 Rq041 均勻帶電球面產(chǎn)生的均勻帶電球面產(chǎn)生的電勢分布為：電勢分布為： RrrqRrRqu004141 Rrrq204dRq041OROR半徑為半徑為R，帶電量為，帶電量為q 的均勻帶電球體的均勻帶電球體解解根據(jù)高斯定根據(jù)高斯定律可得：律可得：求求 帶電球體的電勢分布帶電球體的電勢分布例例+RrPRr 3014RqrE

34、Rr 2024rqE 對球外一點對球外一點P：對球內(nèi)一點對球內(nèi)一點P1：rEuPd1 內(nèi)內(nèi) RRrrErEdd21)3(82230rRRq rEuPd2 外外 rrrq204d rq04 +RP1求電荷線密度為求電荷線密度為 的無限長帶電直線空間中的電勢分布的無限長帶電直線空間中的電勢分布解解 取無窮遠為勢能零點取無窮遠為勢能零點例例xE02 PuxxPxd 20 )ln(ln20Px 取取a 點為電勢零點，點為電勢零點，a 點距離直線為點距離直線為xa )()(daPPlEuxxaPxxd 20 )ln(ln20paxx 0ln , 1 aaxx(場中任意一點場中任意一點P 的電勢表達式最簡

35、捷的電勢表達式最簡捷)xuPln20 XO P離帶電直線的距離離帶電直線的距離xp axa取取均勻帶電圓環(huán)半徑為均勻帶電圓環(huán)半徑為R，電荷線密度為，電荷線密度為 。解解建立如圖坐標系，選取電荷元建立如圖坐標系，選取電荷元 dq例例圓環(huán)軸線上一點的電勢圓環(huán)軸線上一點的電勢求求lqdd RPOxdqrrqu04dd 2204dxRl RPxRlu202204d 22042xRR 當當x=0 時，即圓環(huán)中心時，即圓環(huán)中心O 處的電勢為：處的電勢為：RQuRQp0412 ，此此時時令令當當xR 時，時，xQup041 RPOx（另解（另解 ）由電荷分布，先求出來電場強度的分布由電荷分布，先求出來電場強

36、度的分布ixRQx2/3220)(41 E取無窮遠處為電勢零參考點取無窮遠處為電勢零參考點 pplEud xxRQxpd412/3220 pxRxxQ2/3220d4 2/122041xRQ 9.4.3. 場強與電勢的關(guān)系場強與電勢的關(guān)系u 等勢面等勢面 電場中電勢相等的點連成的面稱為等勢面。電場中電勢相等的點連成的面稱為等勢面。(1)E(2) 電場線指向電勢下降的方向電場線指向電勢下降的方向(3) 等勢面的疏密反映了電場強度的大小等勢面的疏密反映了電場強度的大小等勢面等勢面u 電勢與電場強度的微分關(guān)系電勢與電場強度的微分關(guān)系取兩個相鄰的等勢面，把點電荷從取兩個相鄰的等勢面，把點電荷從P移到移

37、到Q，電場力做功為：，電場力做功為：nqEdlqElEqAdcosdduquuuqAd-)d(dnuEddEnd電場強度的大小等于沿過該點等電場強度的大小等于沿過該點等勢面法線方向上電勢的變化率勢面法線方向上電勢的變化率某點的某點的電場強度電場強度等于該點等于該點電勢梯度的負值電勢梯度的負值，這就是電勢與電，這就是電勢與電場強度的微分關(guān)系。場強度的微分關(guān)系。 )grad()(ukzujyuixuE在直角坐標系中：在直角坐標系中：QoRr x qd求半徑為求半徑為R，帶電量為，帶電量為Q (電荷無規(guī)則分布電荷無規(guī)則分布)的細圓環(huán)軸線上任的細圓環(huán)軸線上任意一點的電勢和電場強度按軸線的分量意一點的電

38、勢和電場強度按軸線的分量xrqu04dd2204dxRqQqxRud41220 xuEx23220)(4xRQx例例解解P2204xRQ9.5 靜電場中的導體靜電場中的導體 電容電容 9.5.1. 靜電場中的導體靜電場中的導體 導體內(nèi)存在大量的自由電荷導體內(nèi)存在大量的自由電荷. .無外場無外場時時，電子只是作無規(guī)則的熱運動。，電子只是作無規(guī)則的熱運動。u 金屬導體的金屬導體的電結(jié)構(gòu)電結(jié)構(gòu) 當把導體引入場強為當把導體引入場強為E0的外場后，的外場后，導體中的自由電子沿著與場強方向相反導體中的自由電子沿著與場強方向相反的方向運動，從而引起導體內(nèi)部電荷的的方向運動，從而引起導體內(nèi)部電荷的重新分布現(xiàn)象

39、，這就是重新分布現(xiàn)象，這就是靜電感應靜電感應。0 內(nèi)內(nèi)Eu 靜電平衡靜電平衡0內(nèi)E導體是等勢體導體是等勢體表面是等勢面表面是等勢面表面表面導體表面導體表面u 處于靜電平衡狀態(tài)的導體的性質(zhì)處于靜電平衡狀態(tài)的導體的性質(zhì)(1) (1) 導體的內(nèi)部處處不帶電，電荷只導體的內(nèi)部處處不帶電，電荷只能分布在導體的表面上。能分布在導體的表面上。0d sSE0d ViiVq 證明：在導體內(nèi)任取體積元證明：在導體內(nèi)任取體積元Vd由高斯定理由高斯定理體積元任取體積元任取0 導體內(nèi)各處導體內(nèi)各處F如果有空腔如果有空腔,且空腔中無電荷且空腔中無電荷,則則F如果有空腔如果有空腔,且空腔中有電荷且空腔中有電荷,則則電荷只能

40、分布在外表面！電荷只能分布在外表面！0EVdS+q-在內(nèi)外表面都分布有電荷！在內(nèi)外表面都分布有電荷！設設 P 是導體外緊靠導體表面的一點是導體外緊靠導體表面的一點,相應相應的電場強度為的電場強度為),(zyx ),(zyxE表表 sSEd SSSSESEdddd表表0dd SSE 表表0 表表E設導體表面電荷面密度為設導體表面電荷面密度為nE0 表表確定電場強度確定電場強度E 和電荷密度和電荷密度 的關(guān)系的關(guān)系:+dsE0EPsdn+E( 為導體外法線方向為導體外法線方向)n孤立孤立導體導體+c尖尖端端放放電電CBAAC導體球?qū)w球孤立帶電孤立帶電Bu 靜電屏蔽靜電屏蔽 (腔內(nèi)、腔外的場互不影

41、響腔內(nèi)、腔外的場互不影響)+如圖所示如圖所示, ,導體球附近有一點電荷導體球附近有一點電荷q 。解解接地接地 即即04400lqRQqlRQ0UqRol由導體是個等勢體由導體是個等勢體O點的電勢為點的電勢為0 則則接地后導體上感應電荷的電量。接地后導體上感應電荷的電量。設感應電量為設感應電量為Q Qq0？例例求求兩球半徑分別為兩球半徑分別為R1、R2，帶電量帶電量q1、q2，設兩球相距很遠，設兩球相距很遠， 當用導線將彼此連接時，電荷將如何分布？當用導線將彼此連接時，電荷將如何分布？解解 設用導線連接后，兩球帶設用導線連接后，兩球帶電量為電量為21qq10114Rqu20224Rqu2121q

42、qqq2122221144RRRR1221RR1q2qR2R1例例21uu 例例帶電量帶電量q、半徑、半徑R1 的導體球的導體球 A 外，有一內(nèi)半徑外，有一內(nèi)半徑R2、外半徑外半徑R3的同心導體球殼的同心導體球殼 B，求，求:(1) 外球殼外球殼 B 的電荷分布及電勢的電荷分布及電勢(2) 將將 B 接地再重新絕緣，結(jié)果如何？接地再重新絕緣，結(jié)果如何？(3) 再將再將 A 球接地，球接地，B 的電荷分布及電勢如何變化？的電荷分布及電勢如何變化？ BA1R2R3RqqqqqBB外內(nèi) ; ) 1 (解：解：3030004 44)(4RqRqrqrqUUPBpr0 0 ) 2(外內(nèi)地接地BqqBqU

43、BUBBA1R2R3Rq(3) A球電荷入地球電荷入地B球殼球殼-q分布于表面，對嗎？分布于表面，對嗎？設設A 帶電帶電 q 則則 , qqqqqBB外內(nèi)04 44302010RqqRqRqUA由：由：BA1R2R3RqqRRRRRRqRRq21313221即 所帶部分電荷入地。A0)(213132321RRRRRRqRRRqqqB外 0)(4)(421313202130RRRRRRqRRRqUBB外BU BA1R2R3Rq已知導體球殼已知導體球殼A帶電量為帶電量為Q ，導體球，導體球B帶電量為帶電量為q (1) 將將A接地后再斷開，電荷和電勢的分布；接地后再斷開，電荷和電勢的分布；解解041

44、20RQUAQ0QA與地斷開后與地斷開后, qQA10044RqrqUBArR1R2B-q電荷守恒電荷守恒(2) 再再將將B接地，電荷和電勢的分布。接地，電荷和電勢的分布。A接地時，內(nèi)表面電荷為接地時，內(nèi)表面電荷為-q外表面電荷設為外表面電荷設為Q例例求求(1)0AUqQQ 外外內(nèi)內(nèi)qqQ 外外20100444RqqRqrqUB 0 21211RRrRrRqrRq 204RqqUAB 球的電勢球的電勢:QArR1R2B-q設設B上的電量為上的電量為q 0 內(nèi)內(nèi)EqQ 內(nèi)內(nèi)根據(jù)孤立導體電荷守恒根據(jù)孤立導體電荷守恒(2)導體附近沒有其他導體或帶電體導體附近沒有其他導體或帶電體 電容只與導體的幾何因

45、素和介質(zhì)有關(guān)，與導體是否帶電無關(guān)。電容只與導體的幾何因素和介質(zhì)有關(guān)，與導體是否帶電無關(guān)。9.5.2. 孤立導體的電容孤立導體的電容 單位單位: 法拉法拉( F )Qu “孤立孤立”導體導體uQ孤立導體的電容孤立導體的電容 C + +QuE 物理意義物理意義：使孤立導體每升高單位電勢所需的電量。：使孤立導體每升高單位電勢所需的電量。 電勢為電勢為RQu04 RC04 電容為電容為R 舉例：舉例：求求半徑為半徑為R 的孤立導體球的電容。的孤立導體球的電容。pF10F10F11269.5.3. 電容器的電容電容器的電容u 電容器電容器BCDAqA導體導體B外無帶電體：外無帶電體： UA，UB與外界導

46、體有關(guān)，但與外界導體有關(guān)，但UAUB任不受外界影響，且任不受外界影響，且 腔內(nèi)電場僅由導體腔內(nèi)電場僅由導體A所帶電量所帶電量qA以及以及A表表面和面和B內(nèi)表面形狀決定，與外界情況無關(guān)內(nèi)表面形狀決定，與外界情況無關(guān)導體導體B外有其他帶電體：外有其他帶電體：ABAqUUA、B兩導體構(gòu)成的整體稱為兩導體構(gòu)成的整體稱為電容器電容器。電容器的電容電容器的電容BAAUUqC（電容器電容的大小取決于極板的幾（電容器電容的大小取決于極板的幾何因素以及極板間介質(zhì)）。何因素以及極板間介質(zhì)）。d uS+Q-Q00 SQddEdu dSuQC0 (1) 平行板電容器平行板電容器u 電容器電容的計算電容器電容的計算(2

47、) 球形電容器球形電容器R1+Q-Q024 QEr R2204rQE )11(4d210RRQlEuba122104RRRRuQC ab(3) 柱形電容器柱形電容器R1R2lh)(2210RrRlQhrhE )(2210RrRrlQE 21d20RRrlrQu )ln(2120RRluQC 120ln2RRlQ u 電容器的串連和并聯(lián)電容器的串連和并聯(lián)(1) 電容器的串聯(lián)電容器的串聯(lián)niqqqq21niUUUUU21nnnUqCUqCUqCUqC ，222111根據(jù)電容的定義根據(jù)電容的定義121111nCCCC總的電容和每一個電容的關(guān)系為總的電容和每一個電容的關(guān)系為 電容器電容器串聯(lián)串聯(lián)時的時

48、的電容的倒數(shù)等于分電容的倒數(shù)和電容的倒數(shù)等于分電容的倒數(shù)和。串聯(lián)。串聯(lián)后的電容器的總電容小于原來任一分電容，即容電能力減小后的電容器的總電容小于原來任一分電容，即容電能力減小了，但是它的耐壓能力提高了了，但是它的耐壓能力提高了。(2) 電容器的并聯(lián)電容器的并聯(lián)niqqqqq21niUUUUU21nnnUqCUqCUqCUqC ，222111根據(jù)電容的定義根據(jù)電容的定義總的電容和每一個電容的關(guān)系為總的電容和每一個電容的關(guān)系為12nCCCC 電容器電容器并聯(lián)并聯(lián)時，時，總電容等于各分電容之和總電容等于各分電容之和雖然總電容雖然總電容增大了，但整個電容器的耐壓能力降低了，為了避免被擊穿增大了，但整個

49、電容器的耐壓能力降低了，為了避免被擊穿的危險，連接外電源時，只能選擇電容器中最低的耐壓值來的危險，連接外電源時，只能選擇電容器中最低的耐壓值來確定外加電壓確定外加電壓 電容器的應用：電容器的應用：儲能、振蕩、濾波、移相、旁路、耦合等。儲能、振蕩、濾波、移相、旁路、耦合等。 電容器的分類電容器的分類形狀：形狀：平行板、柱形、球形電容器等平行板、柱形、球形電容器等介質(zhì)：介質(zhì)：空氣、陶瓷、滌綸、云母、電解電容器等空氣、陶瓷、滌綸、云母、電解電容器等用途：用途：儲能、振蕩、濾波、移相、旁路、耦合電容器等。儲能、振蕩、濾波、移相、旁路、耦合電容器等。2.5厘米厘米高壓電容器高壓電容器(20kV 521

50、F)(提高功率因數(shù)提高功率因數(shù))聚丙烯電容器聚丙烯電容器(單相電機起動和連續(xù)運轉(zhuǎn)單相電機起動和連續(xù)運轉(zhuǎn))陶瓷電容器陶瓷電容器(20000V1000pF)滌綸電容滌綸電容(250V0.47F)電解電容器電解電容器(160V470 F)12厘米厘米2.5厘米厘米70厘米厘米9.6 靜電場中的介質(zhì)靜電場中的介質(zhì) 9.6.1.電介質(zhì)的極化電介質(zhì)的極化u 電介質(zhì)電介質(zhì):絕緣體絕緣體-+OH+H+H2OH+-+H+H+NNH3（氨）（氨）+-eP+-eP1.1.有極分子電介質(zhì)有極分子電介質(zhì) 分子的等效正、負電荷中心分子的等效正、負電荷中心不重合不重合的電介質(zhì)稱為有極的電介質(zhì)稱為有極分子電介質(zhì)，如分子電介質(zhì)

51、，如 HCl 、 H2O、CO、SO2、NH3. 等。等。其分子可視為其分子可視為電偶極子電偶極子、它們的電矩稱作分子的固有電、它們的電矩稱作分子的固有電矩，記作矩，記作Pe。 分子的等效正、負電荷中心分子的等效正、負電荷中心重合重合的電介質(zhì)稱為無極分子電的電介質(zhì)稱為無極分子電介質(zhì)。其分子的固有電矩介質(zhì)。其分子的固有電矩 Pe= 0 ，如所有的惰性氣體及，如所有的惰性氣體及CHCH4 4等。等。 -+HeH+-+H+H+H+CH4（甲烷）（甲烷）CHe+-2.2.無極分子電介質(zhì)無極分子電介質(zhì)u 電介質(zhì)的極化電介質(zhì)的極化 在外電場作用下，介質(zhì)中出現(xiàn)電荷集聚的現(xiàn)象在外電場作用下，介質(zhì)中出現(xiàn)電荷集聚

52、的現(xiàn)象極極化現(xiàn)象化現(xiàn)象。聚集起來的電荷稱為。聚集起來的電荷稱為極化電荷極化電荷。(無極分子電介質(zhì)無極分子電介質(zhì))(有極分子電介質(zhì)有極分子電介質(zhì))整體對外不顯電性整體對外不顯電性（熱運動）（熱運動）v 無外場時無外場時v 有外場時有外場時0Ep位位移移極極化化0Ep取取向向極極化化 有極分子電介質(zhì)有極分子電介質(zhì) 無極分子電介質(zhì)無極分子電介質(zhì)束束縛縛電電荷荷束束縛縛電電荷荷出現(xiàn)極化電荷；極化電場與外電場方向相反出現(xiàn)極化電荷；極化電場與外電場方向相反9.6.2.電介質(zhì)中的電場電介質(zhì)中的電場在外電場作用下，介質(zhì)中總場在外電場作用下，介質(zhì)中總場EEE0外電場外電場0E束縛電荷產(chǎn)生束縛電荷產(chǎn)生的附加場的附

53、加場E 極化電荷產(chǎn)生的電場在電介質(zhì)內(nèi)部總是起著極化電荷產(chǎn)生的電場在電介質(zhì)內(nèi)部總是起著削弱削弱外電場的作用外電場的作用電電極化強度極化強度PP每個分子的電每個分子的電偶極矩偶極矩VpPii 定義定義V /q/q/E0E 電偶極子排列的有序程度反映了介質(zhì)被電偶極子排列的有序程度反映了介質(zhì)被極化的程度極化的程度, , 排列愈有序，說明極化愈強烈。排列愈有序，說明極化愈強烈。EPe0 實驗表明：對于大多數(shù)常見的各向同性的電介質(zhì)，有實驗表明：對于大多數(shù)常見的各向同性的電介質(zhì)，有e - 電極化率電極化率說明說明可以證明，均勻介質(zhì)極化時，其表面上某點的可以證明，均勻介質(zhì)極化時，其表面上某點的極化電荷極化電荷

54、面密度面密度，等于該處電極化強度在外法線上的分量即，等于該處電極化強度在外法線上的分量即nP P n可以證明，在外場中，穿過任意閉合曲面的可以證明，在外場中，穿過任意閉合曲面的極化強度矢極化強度矢量的通量量的通量等于該閉合曲面內(nèi)極化電荷總量的負值即等于該閉合曲面內(nèi)極化電荷總量的負值即SqSPdSq：S面內(nèi)包含的極化電荷總和面內(nèi)包含的極化電荷總和 E與與E0的關(guān)系的關(guān)系 (以平行板電容器為例以平行板電容器為例 ) 00 0EEE000 E0 E外電場強度：外電場強度： 附加電場強度：附加電場強度： EEpn000介質(zhì)中總的場強：介質(zhì)中總的場強： EEEEE00011EE則則01EEr電介質(zhì)電介質(zhì)

55、內(nèi)部的場強等于真空內(nèi)部的場強等于真空中場強的中場強的 1/r 倍，這一結(jié)論倍，這一結(jié)論也也適用于任何其它形狀的帶適用于任何其它形狀的帶電體電體情形情形 令令 ，1r即相對介電常數(shù)即相對介電常數(shù)9.6.3.電位移矢量電位移矢量 電介質(zhì)中的高斯定律電介質(zhì)中的高斯定律)(1d00qqSES平行板電容器加入電介質(zhì)平行板電容器加入電介質(zhì)(r )，取高斯面，取高斯面S0dqSDS令：令：電位移矢量電位移矢量 通過高斯面的電位移通量等于高斯面所包圍的自由電通過高斯面的電位移通量等于高斯面所包圍的自由電荷的代數(shù)和，與極化電荷及高斯面外電荷無關(guān)。荷的代數(shù)和，與極化電荷及高斯面外電荷無關(guān)。這一結(jié)論這一結(jié)論稱為稱為

56、電介質(zhì)中的高斯定理電介質(zhì)中的高斯定理。 00 S其中其中 ，帶入上式，帶入上式SPqd00d)(qSPESPED0討論討論+- - - - - - - - -+- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -DE r(1) 電位移線電位移線 由于閉合面的電位移通由于閉合面的電位移通量等于被包圍的量等于被包圍的自由電自由電荷荷，所以，所以 D 線發(fā)自線發(fā)自正自正自由電荷由電荷 止于止于負自由電荷負自由電荷。(2) 電位移矢量電位移矢量 D 只是一個只是一個輔助物理量輔助物理量，描寫電場性質(zhì)，描寫電場性質(zhì)的物理量仍是電場強度與電勢。不難得出，電位移矢量的物理量仍是電場

57、強度與電勢。不難得出，電位移矢量 D與電場強度與電場強度 E 間的關(guān)系為間的關(guān)系為 EEEDr00)1 (介電常數(shù)介電常數(shù), ,為決定于電介質(zhì)種類的常數(shù)為決定于電介質(zhì)種類的常數(shù)r0R1R2例例 導體球置于均勻各向同性介質(zhì)導體球置于均勻各向同性介質(zhì) 中中, ,如圖示。如圖示。求求 (1)電電場的分布場的分布 (2)緊貼導體球表面處的極化電荷緊貼導體球表面處的極化電荷1r2rR0+Q0解解 (1) iiSqSD內(nèi)內(nèi),0dr024QDr DE 1)(00Rr )(4102001RrRrQr)(4212002RrRrQr)( 42200rRrQ )(0rR R1R21r2rR0+Q0r) (1d00QQSES ) (14002QQEr ) (41020QQrE 0)11 (1QQr(2)DE1)(4212002RrRrQr例例 平行板電容器，其中充有兩種均勻電介質(zhì)。平行板電容器，其中充有兩種均勻電介