寧夏--平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義(馬海軍)

1、平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義教案授課教師:寧夏銀川唐徠回民中學(xué)馬海軍教材:普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書(人教A版數(shù)學(xué)必修4一、教學(xué)目標(biāo)1、了解平面向量數(shù)量積的物理背景,理解數(shù)量積的含義及其物理意義;2、體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系,理解掌握數(shù)量積的性質(zhì)和運算律,并能運用性質(zhì)和運算律進行相關(guān)的判斷和運算;3、體會類比的數(shù)學(xué)思想和方法,進一步培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、推理論證的能力。二、教學(xué)重、難點教學(xué)重點:1、平面向量數(shù)量積的含義與物理意義2、性質(zhì)與運算律及其應(yīng)用教學(xué)難點:1、平面向量數(shù)量積的概念2、平面向量數(shù)量積的運算律(2、(3的證明三、教學(xué)過程活動一:創(chuàng)設(shè)問題情景,引出新課1、提出問題1

2、:請同學(xué)們回顧一下,我們已經(jīng)研究了向量的哪些運算?這些運算的結(jié)果是什么?期望學(xué)生回答:向量的加法、減法及數(shù)乘運算。2、提出問題2:請同學(xué)們繼續(xù)回憶,我們是怎么引入向量的加法運算的?我們又是按照怎樣的順序研究了這種運算的?期望學(xué)生回答:物理模型概念性質(zhì)運算律應(yīng)用3、新課引入:本節(jié)課我們?nèi)匀话凑者@種研究思路來研究向量的另外一種運算:平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義活動二:探究數(shù)量積的概念1、給出有關(guān)材料并提出問題3:(1如圖所示,一物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S,那么力F所做的功:W= |F| |S| cos。(2這個公式的有什么特點?請完成下列填空:SF W(功是量,F(力是量,S(位移是量,是。

3、(3你能用文字語言表述“功的計算公式”嗎?期望學(xué)生回答:功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積2、明晰數(shù)量積的定義(1數(shù)量積的定義:已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為,我們把數(shù)量ab bcos叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積,記作:ab,即:ab=abcos(2定義說明:記法“ab”中間的“”不可以省略,也不可以用“”代替?！耙?guī)定”:零向量與任何向量的數(shù)量積為零。3、提出問題4:向量的數(shù)量積運算與線性運算的結(jié)果有什么不同?影響數(shù)量積大小的因素有哪些?期望學(xué)生回答:線性運算的結(jié)果是向量,而數(shù)量積的結(jié)果則是數(shù),這個數(shù)值的大小不僅和向量a與b的模有關(guān),還和它們的夾角有關(guān)。4、學(xué)生討論,并完成下表:的范圍0

4、°<90°=90°0°<180°ab的符號5、研究數(shù)量積的幾何意義(1給出向量投影的概念: 如圖,我們把bcos(acos叫做向量b在a方向上(a在b方向上的投影,記做:OB1=bcos(2提出問題5:數(shù)量積的幾何意義是什么?期望學(xué)生回答:數(shù)量積ab等于a的長度a與b在a的方向上的投影bcos的乘積。6、研究數(shù)量積的物理意義(1 請同學(xué)們用一句話來概括功的數(shù)學(xué)本質(zhì):功是力與位移的數(shù)量積 。(2嘗試練習(xí):一物體質(zhì)量是10千克,分別做以下運動:、豎直下降10米;、豎直向上提升10米;、在水平面上位移為10米; 、沿傾角為30度的斜面向上

5、運動10米;分別求重力做功的大小?；顒尤?探究數(shù)量積的運算性質(zhì)1、提出問題6:(1將嘗試練習(xí)中的 的結(jié)論推廣到一般向量,你能得到哪些結(jié)論?(2比較a b 與a ×b 的大小,你有什么結(jié)論?2、請證明上述結(jié)論。3、明晰:數(shù)量積的性質(zhì)活動四:探究數(shù)量積的運算律1、提出問題7:我們學(xué)過了實數(shù)乘法的哪些運算律?這些運算律對向量是否也適用?預(yù)測:學(xué)生可能會提出以下猜想: a b = b a (a b c =a (b c (a + b c =a c +b c2、分析猜想:猜想的正確性是顯而易見的。設(shè)a 和b 都是非零向量,則1、a b a ·b =02、當(dāng)a 與b 同向時,a 

6、3;b =a b ;當(dāng)a 與b 反向時,a ·b = -a b , 特別地,a ·a =a 2或a =a a3、a ·b a ×b 關(guān)于猜想的正確性,請同學(xué)們先來討論:猜測的左右兩邊的結(jié)果各是什么?它們一定相等嗎?期望學(xué)生回答:左邊是與向量c共線的向量,而右邊則是與向量a共線的向量,顯然在向量c與向量a不共線的情況下猜測是不正確的。3、明晰:數(shù)量積的運算律:已知向量a、b、c和實數(shù),則:(1a·b= b·a(2(a·b=(a·b=a·(b(3(a+ b·c=a·c+b·c4、

7、學(xué)生活動:證明運算律2在證明時,學(xué)生可能只考慮到>0的情況,為了幫助學(xué)生完善證明,提出以下問題:當(dāng)<0時,向量a與a,b與b的方向的關(guān)系如何?此時,向量a與b及a與b 的夾角與向量a與b的夾角相等嗎?5、師生活動:證明運算律(3活動五:應(yīng)用與提高1、學(xué)生獨立完成:已知a=5,b=4, a與b的夾角=120°,求ab2、師生共同完成:已知a=6,b=4, a與b的夾角為60°,求(a+2b(a-3b,并思考此運算過程類似于哪種實數(shù)運算?3、學(xué)生獨立完成:對任意向量a,b是否有以下結(jié)論:(1(a+b2=a2+2ab+b2(2(a+b (a-b=a2b24、師生共同完

8、成:已知a=3,b=4, 且a與b不共線,k為何值時,向量a+k b與a-k b互相垂直?并討論:通過本題,你有什么體會?5、反饋練習(xí)1、判斷下列各題正確與否:、若a0,則對任一非零向量b,有ab0.、若a0,ab=ac,則b=c.2、已知ABC中,AB=a, AC=b,當(dāng)ab<0或ab=0時,試判斷ABC 的形狀?；顒恿?小結(jié)1、本節(jié)課我們學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是什么?2、平面向量的數(shù)量積有哪些應(yīng)用?3、本節(jié)課主要采用了什么研究方法?4、類比向量的線性運算,我們還應(yīng)該怎樣研究數(shù)量積?布置作業(yè):1、課本P121習(xí)題2.4A組1、2、3。2、拓展與提高:已知a與b都是非零向量,且a+3b與7a -

9、5b垂直,a-4b與 7a-2b垂直,求a與b的夾角。(本題供學(xué)有余力的同學(xué)選做教學(xué)設(shè)計說明平面向量的數(shù)量積是一種非常重要的運算,同其線性運算一樣,既有其深刻的數(shù)學(xué)背景,也有其現(xiàn)實的物理背景。本節(jié)課從總體上說是一節(jié)概念教學(xué),依據(jù)數(shù)學(xué)課程改革應(yīng)關(guān)注知識的發(fā)生和發(fā)展過程的理念,在數(shù)量積概念的引入過程中,我從數(shù)學(xué)和物理兩個角度創(chuàng)設(shè)問題情景,使學(xué)生明白研究這種運算不僅是數(shù)學(xué)本身發(fā)展的必然,更是研究客觀世界的需要,從而產(chǎn)生強烈的求知欲望。相對于線性運算而言,數(shù)量積的結(jié)果發(fā)生了本質(zhì)的變化,為了讓學(xué)生理解這一點,我首先安排讓學(xué)生討論影響數(shù)量積結(jié)果的因素并完成表格,其次將數(shù)量積的幾何意義提前,這樣使學(xué)生從代數(shù)

10、和幾何兩個方面對數(shù)量積的“質(zhì)變”特征有了更加充分的認(rèn)識。通過嘗試練習(xí),一方面使學(xué)生嘗試計算數(shù)量積,另一方面使學(xué)生理解數(shù)量積的物理意義,同時也為數(shù)量積的性質(zhì)埋下伏筆。數(shù)量積的性質(zhì)和運算律是數(shù)量積概念的延伸,教材中這兩方面的內(nèi)容都是以探究的形式出現(xiàn)，為了讓學(xué)生很好的完成這兩個探究活動，我始終按照先創(chuàng)設(shè)一 定的情景，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)結(jié)論，教師明晰后，再由學(xué)生或師生共同完成證明。比 如數(shù)量積的運算性質(zhì)是將嘗試練習(xí)的結(jié)論推廣得到，數(shù)量積的運算律則是通過和 實數(shù)乘法相類比得到，這樣不僅使學(xué)生感到親切自然，同時也培養(yǎng)了學(xué)生由特殊 到一般的思維品質(zhì)和類比創(chuàng)新的意識。在應(yīng)用這個環(huán)節(jié)中，對教材中提供的四個 例題，我重點講解例 2 和例 4，例 1 和例 3 則由學(xué)生獨