大學(xué)物理 上冊(cè)

1、第第 5 章章 剛體力學(xué)基礎(chǔ)剛體力學(xué)基礎(chǔ)5.1 剛體的運(yùn)動(dòng)及描述剛體的運(yùn)動(dòng)及描述 剛體是特殊的質(zhì)點(diǎn)系剛體是特殊的質(zhì)點(diǎn)系，其上各質(zhì)元間的相對(duì)位置保持不變。，其上各質(zhì)元間的相對(duì)位置保持不變。完全描述運(yùn)動(dòng)所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)完全描述運(yùn)動(dòng)所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)剛體（剛體（rigid body）自由度自由度（或任意兩點(diǎn)之間的距離始終保持不變）（或任意兩點(diǎn)之間的距離始終保持不變）任何情況下形狀和體積都不改變的物體（任何情況下形狀和體積都不改變的物體（理想化的模型理想化的模型 ）。）。（確定物體的空間位置）如：如：(a)質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)，只需一個(gè)變數(shù)。質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)，只需一個(gè)變數(shù)。 自由度自由度=1。(b)質(zhì)點(diǎn)的一般運(yùn)

2、動(dòng)，需三個(gè)坐標(biāo)描述。質(zhì)點(diǎn)的一般運(yùn)動(dòng)，需三個(gè)坐標(biāo)描述。 自由度自由度=3。(c) 對(duì)剛體：只要確定其三個(gè)點(diǎn)，即可確定其位置。對(duì)剛體：只要確定其三個(gè)點(diǎn)，即可確定其位置。 需需9個(gè)變量。個(gè)變量。但三個(gè)點(diǎn)的間距確定，實(shí)際上只需但三個(gè)點(diǎn)的間距確定，實(shí)際上只需6個(gè)變量。個(gè)變量。剛體最大自由度剛體最大自由度6。（確定物體的空間位置）完全描述運(yùn)動(dòng)所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)完全描述運(yùn)動(dòng)所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)自由度自由度平動(dòng)時(shí)，剛體上所有平動(dòng)時(shí)，剛體上所有點(diǎn)運(yùn)動(dòng)都相同。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)都相同。oooo一、剛體的運(yùn)動(dòng)形式一、剛體的運(yùn)動(dòng)形式在運(yùn)動(dòng)中，如果連接剛體在運(yùn)動(dòng)中，如果連接剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)的直線在任意時(shí)內(nèi)任意兩點(diǎn)的直線在任意時(shí)刻的位置都彼

3、此平行，則這刻的位置都彼此平行，則這樣的運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為剛體的平動(dòng)。樣的運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為剛體的平動(dòng)。1.平動(dòng)（平動(dòng)（translation）可用質(zhì)心或其上任何一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來(lái)可用質(zhì)心或其上任何一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來(lái)代表整體的運(yùn)動(dòng)。代表整體的運(yùn)動(dòng)。自由度：自由度：) ( 3cccmaxzyxi如：門(mén)窗、電機(jī)轉(zhuǎn)子如：門(mén)窗、電機(jī)轉(zhuǎn)子etc .轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)2.轉(zhuǎn)動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng)（rotation）可分為兩種基本形式：可分為兩種基本形式： OvPrr定軸定軸剛體剛體 參考方向參考方向z（本章重點(diǎn)討論定軸轉(zhuǎn)動(dòng)）（本章重點(diǎn)討論定軸轉(zhuǎn)動(dòng)）)1( i定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：運(yùn)動(dòng)中各質(zhì)元均做圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)中各質(zhì)元均做圓周運(yùn)動(dòng)，且各圓心都在同一條固定的直且各圓

4、心都在同一條固定的直線（轉(zhuǎn)軸）上。線（轉(zhuǎn)軸）上。 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)：運(yùn)動(dòng)中剛體上只有定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)：運(yùn)動(dòng)中剛體上只有一點(diǎn)固定不動(dòng)，整個(gè)剛體繞過(guò)該一點(diǎn)固定不動(dòng)，整個(gè)剛體繞過(guò)該固定點(diǎn)的某一瞬時(shí)軸線轉(zhuǎn)動(dòng)固定點(diǎn)的某一瞬時(shí)軸線轉(zhuǎn)動(dòng).（如陀螺的運(yùn)動(dòng)等）（如陀螺的運(yùn)動(dòng)等）i 3（轉(zhuǎn)軸方向（轉(zhuǎn)軸方向（2 2），繞軸轉(zhuǎn)），繞軸轉(zhuǎn)角（角（1 1）剛體上各點(diǎn)都平行于某一固定平面的運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為剛體上各點(diǎn)都平行于某一固定平面的運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為剛體的平面運(yùn)動(dòng)，又稱(chēng)為剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)。剛體的平面運(yùn)動(dòng)，又稱(chēng)為剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)。3.平面平行運(yùn)動(dòng)平面平行運(yùn)動(dòng)可以分解為：可以分解為：剛體隨質(zhì)心的平動(dòng)（剛體隨質(zhì)心的平動(dòng)（2 2）和繞質(zhì)心垂直于運(yùn)動(dòng)平和繞質(zhì)

5、心垂直于運(yùn)動(dòng)平面的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（面的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（1 1）312i如：車(chē)輪直線滾動(dòng)如：車(chē)輪直線滾動(dòng)4.一般運(yùn)動(dòng)一般運(yùn)動(dòng)剛體不受任何限制的的任意運(yùn)動(dòng)剛體不受任何限制的的任意運(yùn)動(dòng), 稱(chēng)為剛體的一般運(yùn)動(dòng)。稱(chēng)為剛體的一般運(yùn)動(dòng)。它可視為以下兩種剛體的基本運(yùn)動(dòng)的疊加：它可視為以下兩種剛體的基本運(yùn)動(dòng)的疊加：o ooo 繞通過(guò)基點(diǎn)繞通過(guò)基點(diǎn)O的瞬時(shí)軸的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的瞬時(shí)軸的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng) 隨基點(diǎn)隨基點(diǎn)O（可任選）的平動(dòng)（可任選）的平動(dòng)基點(diǎn)（基點(diǎn)（O和和O ）選取不同，選取不同，平動(dòng)不同，轉(zhuǎn)動(dòng)也可以不平動(dòng)不同，轉(zhuǎn)動(dòng)也可以不同，與基點(diǎn)的選取有關(guān)同，與基點(diǎn)的選取有關(guān)i 33如圖示的兩種運(yùn)動(dòng)分解：如圖示的兩種運(yùn)動(dòng)分解：t dd剛體繞剛

6、體繞 oz 軸，為了反映軸，為了反映剛體繞瞬時(shí)軸的方向及轉(zhuǎn)剛體繞瞬時(shí)軸的方向及轉(zhuǎn)動(dòng)快慢等，引入角速度矢動(dòng)快慢等，引入角速度矢量量 和角加速度矢量和角加速度矢量 二、二、 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述tdd OvP,rr定軸定軸剛體剛體 參考方向參考方向z定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上任意點(diǎn)都繞同定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上任意點(diǎn)都繞同一軸在各自的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)一軸在各自的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)。很顯然：剛體各個(gè)部分在相同時(shí)間很顯然：剛體各個(gè)部分在相同時(shí)間內(nèi)繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度（角位移）都內(nèi)繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度（角位移）都相同。相同。引入角量描述將非常方便。引入角量描述將非常方便。如：角坐標(biāo)如：角坐標(biāo)（ ）、）、角位移（角位

7、移（ ）等。）等。P點(diǎn)線速度點(diǎn)線速度P點(diǎn)線加速度點(diǎn)線加速度 OvP,rr定軸定軸剛體剛體 參考方向參考方向z定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上任意點(diǎn)的剛體上任意點(diǎn)的 ， 都相同。都相同。 rv2n rartvaddt當(dāng)剛體作當(dāng)剛體作勻角加速轉(zhuǎn)動(dòng)勻角加速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，時(shí)，有運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：有運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系： rv矢量形式矢量形式ra2neratrat或：或： )()(0202221002 ttt END一、外力矩及對(duì)轉(zhuǎn)軸的分量一、外力矩及對(duì)轉(zhuǎn)軸的分量設(shè)第設(shè)第i個(gè)質(zhì)元受外力個(gè)質(zhì)元受外力 ，F(xiàn)i假定假定Fi垂直于轉(zhuǎn)軸。垂直于轉(zhuǎn)軸。iiiFRMiirooR iiiFrooM iFoo軸z軸z/5.2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)

8、動(dòng) xyz ooRiiFrimiooi對(duì)對(duì)O點(diǎn)的力矩點(diǎn)的力矩：iiFriFoo 在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中， 不可能引起剛體運(yùn)動(dòng)。不可能引起剛體運(yùn)動(dòng)。因此可以丟棄！因此可以丟棄！iiiziiizFrFrMsin)(相對(duì)于相對(duì)于 z 軸的合外力矩為：軸的合外力矩為：iizzMM即作用在各質(zhì)元的外力矩的即作用在各質(zhì)元的外力矩的 z 分量之和分量之和. .xyz ooRiiFirmiooi只考慮只考慮 z 方向的分量：方向的分量：軸z/iiFr對(duì)參考點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)o 的力矩在的力矩在z軸上的分量軸上的分量就等于力就等于力iF對(duì)對(duì) z 軸的垂足軸的垂足oo（轉(zhuǎn)心）（轉(zhuǎn)心）的力矩（簡(jiǎn)稱(chēng)力的力矩（簡(jiǎn)稱(chēng)力iF

9、對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩）對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩）iFiiiivmRLivoo 垂直于垂直于z軸。軸。iiiizvmrLvi O, ,riRi定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體剛體zim O iiivmroo 二、二、 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量2iirmiizzLLiiirm)(2式中式中Jmri ii2稱(chēng)為剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸稱(chēng)為剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸 z 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量( (rotational inertia)i th 個(gè)質(zhì)元對(duì)個(gè)質(zhì)元對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量：點(diǎn)的角動(dòng)量：剛體剛體imJLz我們只對(duì)我們只對(duì)z方向的分量感興趣：方向的分量感興趣：iivmoo iiivmr 由于剛體只能繞由于剛體只能繞 z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng), ,引起轉(zhuǎn)動(dòng)的引

10、起轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩只有力矩只有 ，因此轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程因此轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程MztLMzzddtJMzdd)(JLz時(shí)，當(dāng) 0ddtJ 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，可不寫(xiě)角標(biāo)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，可不寫(xiě)角標(biāo)z，記作：，記作：與牛與牛II比較：比較：MFJma J 反映剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性反映剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性vi OriRi定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體剛體zim O zzML ,Jt=JMzdd JM 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律三、三、 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律JtMdd JJttJtM000ddtttM0d稱(chēng)為在t0到t時(shí)間內(nèi)作用在剛體上的沖量矩。四、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理四、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律tJM

11、dd由轉(zhuǎn)動(dòng)定律由轉(zhuǎn)動(dòng)定律在在 t0 到到 t 時(shí)間內(nèi)：時(shí)間內(nèi)：00JJ 角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理當(dāng)合外力矩當(dāng)合外力矩 時(shí)，時(shí)，0zM即：即：.constJ0 , 0 )ii(0 , 0 ) i (iizzziiizzziiizMMFrMMFrM即：即：0 , 0 )ii(0 , 0 ) i (iizzziiizzziiizMMFrMMFrM1F2F(ii)F(i)角動(dòng)量守恒情況分如下幾種：角動(dòng)量守恒情況分如下幾種：.constJ(a)const.JL,J都不變，所以都不變，所以(b).constJL,J都變化，都變化， 但是但是(c)剛體組角動(dòng)量守恒！剛體組角動(dòng)量守恒！.constiiiiiJL如

12、：花樣滑冰、芭蕾舞、體操、跳水如：花樣滑冰、芭蕾舞、體操、跳水 等運(yùn)動(dòng)中的動(dòng)作。等運(yùn)動(dòng)中的動(dòng)作。 若剛體由幾部分組成，且都繞同一軸轉(zhuǎn)動(dòng)若剛體由幾部分組成，且都繞同一軸轉(zhuǎn)動(dòng). . 這時(shí)角動(dòng)量可在剛體組內(nèi)部傳遞。這時(shí)角動(dòng)量可在剛體組內(nèi)部傳遞。RETURNRETURNgrJmmmmraBABAA)/()(2 例例5-1研究對(duì)象：研究對(duì)象：A A、B B、圓柱、圓柱BamBmBgNBTfAamAmAgATA:A:B:B:AAAAamTgm BBBamfT 0 gmNB附加方程附加方程N(yùn)fraaTTTTBABBAA 解：解：mBmArATBT圓柱：圓柱：JrTrTBA 例例5-2研究對(duì)象：研究對(duì)象：A

13、A、B B、C、圓柱。圓柱。mCmCgNCT f解：解：mBmArmCmAmAgATATBTmBmBgNBTfCT設(shè)設(shè)A、B運(yùn)動(dòng)距離運(yùn)動(dòng)距離S后，細(xì)繩后，細(xì)繩伸展，求伸展，求“碰撞碰撞”后后C的速度。的速度。A:A:B:B:0vmVmtTtgmAAAAA 0 tgmtNB圓柱：圓柱：0JJtrTtrTBA 利用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理和剛體角動(dòng)量定理利用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理和剛體角動(dòng)量定理(設(shè)碰撞時(shí)間為設(shè)碰撞時(shí)間為 t)：0vmVmtftTtTBBBCB C: :0 tgmtNC0 CCCVmtftTaSv20 a為加速度為加速度（上題求得）（上題求得）附加方程附加方程/00NfNfrvrVVVVTTTTCBAB

14、BAA A:A:B:B:0vmVmtTtgmAAAAA 0 tgmtNB圓柱：圓柱：0JJtrTtrTBA 0vmVmtftTtTBBBCB C: :0 tgmtNC0 CCCVmtftT與與“碰撞碰撞”時(shí)時(shí)細(xì)繩內(nèi)的張力細(xì)繩內(nèi)的張力相比，重力等相比，重力等產(chǎn)生的沖量產(chǎn)生的沖量（矩）可以忽（矩）可以忽略！考慮到約略！考慮到約束條件后，上束條件后，上述方程可簡(jiǎn)化述方程可簡(jiǎn)化為：為：0vmVmtTAAA 202rvJrVJtTtTBA 0vmVmtTtTBBCB 0 VmtTCC四個(gè)方程相加得：四個(gè)方程相加得：022)( )(0vrJMMVrJMMMBACBA022)()(vrJMMMrJMMVCB

15、ABA注意注意（1）上述討論關(guān)鍵是對(duì)）上述討論關(guān)鍵是對(duì)“碰撞碰撞”過(guò)程中，與沖擊力過(guò)程中，與沖擊力 相比可以忽略一些常規(guī)力！相比可以忽略一些常規(guī)力！ （2）上述結(jié)果在）上述結(jié)果在J0時(shí)，好象與時(shí)，好象與A、B、C三個(gè)物體三個(gè)物體 的動(dòng)量守恒相似？但情況決不是如此！這是同的動(dòng)量守恒相似？但情況決不是如此！這是同 學(xué)常常出現(xiàn)的錯(cuò)誤。學(xué)常常出現(xiàn)的錯(cuò)誤。0vmVmtTAAA202rvJrVJtTtTBA0vmVmtTtTBBCB0VmtTCC（3）如果忽略一些常規(guī)力，并考慮對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量）如果忽略一些常規(guī)力，并考慮對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量 守恒，也可以得到相同結(jié)果！守恒，也可以得到相同結(jié)果！例例5-3 “打擊中

16、心打擊中心”問(wèn)題問(wèn)題細(xì)桿：細(xì)桿：m, l ，軸軸O，在豎直位置在豎直位置靜止靜止. .若在某若在某時(shí)刻有力作用在時(shí)刻有力作用在A處，求軸對(duì)桿的作用力。處，求軸對(duì)桿的作用力。解：解：如圖示，除力如圖示，除力F外，系統(tǒng)還受重力、外，系統(tǒng)還受重力、軸的支反力等。軸的支反力等。 但這兩個(gè)力對(duì)軸的力矩但這兩個(gè)力對(duì)軸的力矩0。Fl0O.C . FxFyA.gm只有只有F對(duì)細(xì)桿的運(yùn)動(dòng)有影響，對(duì)轉(zhuǎn)軸對(duì)細(xì)桿的運(yùn)動(dòng)有影響，對(duì)轉(zhuǎn)軸O的力矩為：的力矩為：可通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)定律求細(xì)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)，再求可通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)定律求細(xì)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)，再求質(zhì)心加速度。利用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求支反力。質(zhì)心加速度。利用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求支反力。FlM0JM c(am)

17、jFiFgmFyx細(xì)桿遵從如下動(dòng)力學(xué)方程：細(xì)桿遵從如下動(dòng)力學(xué)方程：JFlJM0 203mlFl 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律分量式：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律分量式：cttmaFFFxcnnmamgFFy)2(lm)2(2lmmgFyFllFx 1230Fll230Fl0OC . FxFyA.gm.JM c(am) jFiFgmFyxJFlJM0 203mlFl 0質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律分量式：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律分量式：cttmaFFFxcnnmamgFFy)2(lm)2(2lmmgFyFllFx 1230Fll2300討論討論320/ll 由于由于“沖擊沖擊”過(guò)程中的過(guò)程中的沖擊力在短時(shí)間內(nèi)有相沖擊力在短時(shí)間內(nèi)有相當(dāng)大的數(shù)值，只要當(dāng)大的

18、數(shù)值，只要xF將很大！將很大！320/ll 但但 時(shí)，時(shí)，xF為零！為零！llFx32010 ,)(llFx32020 ,)(llFx32030 ,)(Fl0O.C . FxFyA.gm則：如圖所示的則：如圖所示的沖擊沖擊A點(diǎn)點(diǎn) 就稱(chēng)為就稱(chēng)為“打擊中心打擊中心”。不同的剛體不同的剛體“打擊中心打擊中心”與剛體的形狀及質(zhì)量分布有關(guān)。與剛體的形狀及質(zhì)量分布有關(guān)。在使用工具敲打東西時(shí)，在使用工具敲打東西時(shí)，要注意用打擊中心擊打，以免有較大的反作用力。要注意用打擊中心擊打，以免有較大的反作用力。討論討論320/ll 由于由于“沖擊沖擊”過(guò)程中的過(guò)程中的沖擊力在短時(shí)間內(nèi)有相沖擊力在短時(shí)間內(nèi)有相當(dāng)大的數(shù)值

19、，只要當(dāng)大的數(shù)值，只要xF將很大！將很大！320/ll 但但 時(shí)，時(shí)，xF為零！為零！例例5-4 半徑為半徑為 R1 和和 R2、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J1 和和 J2 的兩個(gè)圓的兩個(gè)圓柱體，可繞垂直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，最初大圓柱體的角速度為柱體，可繞垂直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，最初大圓柱體的角速度為 0，現(xiàn)，現(xiàn)將小圓柱體靠近碰到大圓柱體。由于摩擦，小圓柱體被帶將小圓柱體靠近碰到大圓柱體。由于摩擦，小圓柱體被帶著轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)相對(duì)滑動(dòng)停止時(shí)，兩圓柱體各以恒定角速度沿著轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)相對(duì)滑動(dòng)停止時(shí)，兩圓柱體各以恒定角速度沿相反方向轉(zhuǎn)動(dòng)。求小圓柱的最終角速度多大？相反方向轉(zhuǎn)動(dòng)。求小圓柱的最終角速度多大？11, RJ22, RJ011,

20、 RJ22, RJ0設(shè)垂直于紙面向里為正向：設(shè)垂直于紙面向里為正向：01111JJtfR無(wú)相對(duì)滑動(dòng)：無(wú)相對(duì)滑動(dòng)： 2211RR21222102112RJRJRRJ分別對(duì)分別對(duì) o1 軸和軸和 o2 軸運(yùn)用角動(dòng)量定理。軸運(yùn)用角動(dòng)量定理。解：解：ffo11Nf1Fo22F2f NEND222JtRf一、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及計(jì)算一、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及計(jì)算定義式：定義式：Jmri ii21、 剛體為分立結(jié)構(gòu)剛體為分立結(jié)構(gòu)Jmri ii22 、剛體為連續(xù)體、剛體為連續(xù)體mrJd2單位：?jiǎn)挝唬?mkg :SI很明顯：很明顯：J與質(zhì)量及其分布有關(guān)，與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。與質(zhì)量及其分布有關(guān)，與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。5.3 轉(zhuǎn)

21、動(dòng)慣量的計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算 式中式中 ri 為為“質(zhì)量元質(zhì)量元” mi 到轉(zhuǎn)軸的距離。到轉(zhuǎn)軸的距離。式中式中,ddVm,ddSmlmddor 幾個(gè)常用幾個(gè)常用 J 的計(jì)算舉例：的計(jì)算舉例：（1 1）均勻圓環(huán)：）均勻圓環(huán)：（2 2）均勻圓盤(pán)：）均勻圓盤(pán)：mrJd2c424cRJRmC CRmCRrrr02d2Rrr03d2221mRmrJd2mR d22mR（3 3）均勻桿：）均勻桿：oxdxdmmxJd222d2llxlmx如果將軸移到棒的一端如果將軸移到棒的一端lxlmxJ02d2121ml 231ml二、二、 平行軸定理平行軸定理 剛體對(duì)任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J 等于對(duì)

22、等于對(duì)通過(guò)質(zhì)心的平行轉(zhuǎn)軸的通過(guò)質(zhì)心的平行轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jc 加上剛加上剛體質(zhì)量體質(zhì)量 m 乘以兩平行轉(zhuǎn)軸間距離乘以兩平行轉(zhuǎn)軸間距離d 的平方的平方. .2cmdJJOcdoririmiiiiOrmJ2 iiiidrdrmiiiiiiiirmddmrm222iiimdrm22iiirrm平行軸定理平行軸定理應(yīng)用舉例：應(yīng)用舉例： 掛鐘擺錘的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量掛鐘擺錘的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量RlJJJ2131lmJlm l1 om R2 222221RlmRmJR2222212131RlmRmlmJ三、三、對(duì)薄平板剛體的垂直軸定理對(duì)薄平板剛體的垂直軸定理Jm rzii 2m xm yiiii 22 例：已知圓盤(pán)例：

23、已知圓盤(pán)JmRz 122求對(duì)圓盤(pán)的一條直徑的求對(duì)圓盤(pán)的一條直徑的Jx （或（或 Jy ）由由JJJJJzyxxy JJmRxy 142即即 JzJJyx yx z 圓盤(pán)圓盤(pán) R C m y rix z yi xi mi O例例5-5 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m ，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為 l 的均質(zhì)細(xì)桿，轉(zhuǎn)軸在的均質(zhì)細(xì)桿，轉(zhuǎn)軸在O點(diǎn)，點(diǎn)，距距A端端 l/3 。今使棒從靜止開(kāi)始由水平位置繞。今使棒從靜止開(kāi)始由水平位置繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，求求(1)水平位置的角速度和角加速度。水平位置的角速度和角加速度。(2)垂直位置時(shí)的角垂直位置時(shí)的角速度和角加速度。速度和角加速度。解：解：2cmdJJ222916121mllmmlJ

24、00lgmlmglJM23962方向：方向： cOBAgmcOBA(2)tJMddtmllmgdd91cos62dcos23dlgdcos23d200lglglg23sin2321202lg30 gmdd912ml例例5-6 一半徑為一半徑為R，質(zhì)量為，質(zhì)量為m的均勻圓盤(pán)平放在粗糙的的均勻圓盤(pán)平放在粗糙的水平面上。若它的初角速度為水平面上。若它的初角速度為 0 0，繞中心，繞中心o o旋轉(zhuǎn)，問(wèn)經(jīng)旋轉(zhuǎn)，問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間圓盤(pán)才停止？（設(shè)摩擦系數(shù)為過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間圓盤(pán)才停止？（設(shè)摩擦系數(shù)為 ）drr解：解：rmgFrMdddrrRmmd2d222d2dRrgrmMmgRRrmgrMMR32d2d022Ro2

25、d2RrmrtJMddtmRmgRdd21322000d43dgRttgRt430tmRmgRdd21322000d43dgR2083gR為其轉(zhuǎn)過(guò)的角度。為其轉(zhuǎn)過(guò)的角度。mgRM32ENDtmRdddd212一、一、 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能iiirvmE2k212cmdJJ22ck 21mdJEr2c2c2121Jmv 可分解為剛體攜總質(zhì)量可分解為剛體攜總質(zhì)量(質(zhì)心質(zhì)心)繞定軸作圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能繞定軸作圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能 和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能。和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能。5.4 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功能關(guān)系定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功能關(guān)系 利用平行軸定理：利用平行軸定理：222c2121mdJiiirm222122

26、1J 二、力矩作功二、力矩作功外力外力F 角位移角位移d力力F 位移的大小位移的大小ds=rd作功為作功為 sin2cosFrdFrdFdsdW MddW 0 MdW說(shuō)明：說(shuō)明：力矩作功的實(shí)質(zhì)仍然是力作功。對(duì)力矩作功的實(shí)質(zhì)仍然是力作功。對(duì)于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的情況，用力矩的角位于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的情況，用力矩的角位移來(lái)表示。移來(lái)表示。三、三、 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理tJMdd2022121JJ tJdddd0dMA利用轉(zhuǎn)動(dòng)定律：利用轉(zhuǎn)動(dòng)定律：ddJ剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理0dJ四、四、 剛體的重力勢(shì)能剛體的重力勢(shì)能剛體和地球系統(tǒng)的重力勢(shì)能：剛體和地球系統(tǒng)的重力勢(shì)能：ii

27、igzmEpiiigzmEp mzmmgiiigmicrOirz iiizmgcmgz以地面為零勢(shì)能點(diǎn)，對(duì)質(zhì)元以地面為零勢(shì)能點(diǎn)，對(duì)質(zhì)元 mi五、五、 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理與機(jī)械能守恒剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理與機(jī)械能守恒若把重力作功用勢(shì)能差表示：若把重力作功用勢(shì)能差表示：0dggMA)21()21(d200c2c0JmgzJmgzM式中式中M為除重力以外的其它外力矩。為除重力以外的其它外力矩。若若M=0, const.212cJmgz剛體的機(jī)械能守恒定律剛體的機(jī)械能守恒定律)(c0cmgzmgz 2022121JJ 0d)(gMM由動(dòng)能定理由動(dòng)能定理例例5-7如圖示已知：如圖示已知： M=2m，

28、h， =60求：碰撞后瞬間盤(pán)的求：碰撞后瞬間盤(pán)的 0 ？ P 轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到 x 軸時(shí)盤(pán)的軸時(shí)盤(pán)的 =? 解：解： m下落：下落：mghmv 122vgh 2(1)（水平）（水平）m(黏土塊黏土塊) yxhPOM光滑軸光滑軸均質(zhì)圓盤(pán)均質(zhì)圓盤(pán)RmPhv（水平水平）m(黏土塊黏土塊) yxhPOM光滑軸光滑軸均質(zhì)圓盤(pán)均質(zhì)圓盤(pán)R碰撞碰撞 t 極小，對(duì)極小，對(duì) m +盤(pán)系統(tǒng)盤(pán)系統(tǒng)，沖擊力遠(yuǎn)大于重力，故重力，沖擊力遠(yuǎn)大于重力，故重力對(duì)對(duì)O力矩可忽略，角動(dòng)量守恒：力矩可忽略，角動(dòng)量守恒：mvRJocos (2)JMRmRmR 122222 (3)由由 (1)(2)(3) 得：得： oghR 22cos (4)對(duì)

29、對(duì) m + M +地球系統(tǒng)地球系統(tǒng)，只有重力做功，只有重力做功，E 守恒守恒. .則：則：P、 x 重合時(shí)重合時(shí) EP=0 。令令1mgRJJosin 12222(5)由由 (3)(4)(5)得：得： ghRgR222cossin ghRgR222cossin 12243RghR.()() 60o o由由 (3)(4)(5)得：得： ghRgR222cossin（水平水平）m(黏土塊黏土塊) yxhPOM光滑軸光滑軸均質(zhì)圓盤(pán)均質(zhì)圓盤(pán)Ru0人與轉(zhuǎn)臺(tái)組成的系統(tǒng)對(duì)豎直人與轉(zhuǎn)臺(tái)組成的系統(tǒng)對(duì)豎直軸的角動(dòng)量守恒：軸的角動(dòng)量守恒：JJ00)21(2122221021tumRmRm22122021tRmum例

30、例5-8 水平轉(zhuǎn)臺(tái)水平轉(zhuǎn)臺(tái)(m1 、 R ) 可繞豎直的中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，初角可繞豎直的中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，初角速度速度 0 0，一人，一人( (m2 )立在臺(tái)中心，相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)以恒定速度立在臺(tái)中心，相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)以恒定速度u沿沿半徑向邊緣走去，計(jì)算經(jīng)時(shí)間半徑向邊緣走去，計(jì)算經(jīng)時(shí)間 t，臺(tái)轉(zhuǎn)過(guò)了多少角度。，臺(tái)轉(zhuǎn)過(guò)了多少角度。解：解：tt0dd臺(tái)轉(zhuǎn)過(guò)的角度：臺(tái)轉(zhuǎn)過(guò)的角度：RmmutmmuR2/1122/1120)2(arctan)2(例例5-9均質(zhì)細(xì)棒均質(zhì)細(xì)棒 m,l, 水平軸水平軸O, ,開(kāi)始棒處于水平壯態(tài)，開(kāi)始棒處于水平壯態(tài)， 由靜止釋放，求，（由靜止釋放，求，（1 1）水平位置放手時(shí)，棒的質(zhì)心加速度）水平位置放手

31、時(shí)，棒的質(zhì)心加速度; ;（2 2）擺到豎直位置時(shí)，棒的角速度）擺到豎直位置時(shí)，棒的角速度; ;（3 3）擺到豎直位置時(shí)，軸的支反力。）擺到豎直位置時(shí)，軸的支反力。解:（1）FxFy.OzzMMd2clmgmgx 因軸的支反力未知，不可能通過(guò)質(zhì)心因軸的支反力未知，不可能通過(guò)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律求棒的質(zhì)心加速度。運(yùn)動(dòng)定律求棒的質(zhì)心加速度。支反力對(duì)轉(zhuǎn)軸支反力對(duì)轉(zhuǎn)軸O 的力矩為零，則可通過(guò)的力矩為零，則可通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)定律求棒的轉(zhuǎn)動(dòng)，再求質(zhì)心加速度。轉(zhuǎn)動(dòng)定律求棒的轉(zhuǎn)動(dòng)，再求質(zhì)心加速度。JMz 質(zhì)心加速度：質(zhì)心加速度：2ctla20cn2lamgxd3/2/2mllmglgl232 g43 lg230mxgd0 22

32、12lmgJ3gl（2）依機(jī)械能守恒，選）依機(jī)械能守恒，選O點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)：點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)：（3）豎直位置時(shí)：）豎直位置時(shí)：2ctla 豎直位置時(shí)豎直位置時(shí)棒的機(jī)械能棒的機(jī)械能水平水平位置位置2cn2la應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律：應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律：c amFictmaFxcnmamgFymgmgFy230 xFFxFy.Omg250 23g例例5-10 質(zhì)點(diǎn)與直竿碰撞質(zhì)點(diǎn)與直竿碰撞細(xì)桿：細(xì)桿：M, L ，軸，軸O，在豎直位置在豎直位置靜止靜止. .m 與棒與棒發(fā)生彈性碰撞（如圖所示）。發(fā)生彈性碰撞（如圖所示）。m 碰后失速下落。求碰后：棒的碰后失速下落。求碰后：棒的最大偏轉(zhuǎn)角？最大偏轉(zhuǎn)角？m0vaO.max解：解：利用角動(dòng)量守恒：利用角動(dòng)量守恒：系統(tǒng)受重力、軸的支反力等。系統(tǒng)受重力、軸的支反力等。但這些力對(duì)軸的力矩但這些力對(duì)軸的力矩0。碰前：碰前：碰后：碰后：Jalmv)(00 )(0mvalLJL 0m細(xì)桿細(xì)桿LL 在碰后的運(yùn)動(dòng)中，在