固體物理1 晶體的結構

1、第一章第一章 晶體的結構晶體的結構主要內容主要內容: :v 晶體的共性晶體的共性v 晶體結構及其描述晶體結構及其描述v 晶體的對稱性晶體的對稱性v 倒格倒格v 晶體晶體X射線衍射射線衍射一 固體的分類固體固體晶體晶體: :非晶體非晶體: :長程有序長程有序不具有長程序的特點不具有長程序的特點, ,短程有序。短程有序。單晶體單晶體多晶體多晶體至少在微米量級范圍內原子排列具有周期性。至少在微米量級范圍內原子排列具有周期性。長程有序長程有序: :固體分類(按結構)第一節(jié)第一節(jié) 晶體的共性晶體的共性準晶體：有序但不具有平移對稱性準晶體：有序但不具有平移對稱性晶體的分類晶晶 體體按晶胞分立方晶系立方晶系

2、六方晶系六方晶系四方晶系四方晶系三方晶系三方晶系正交晶系正交晶系單斜晶系單斜晶系三斜晶系三斜晶系按對稱性分立方體立方體六方體六方體按功能分導體導體 半導體半導體絕緣體絕緣體磁介質磁介質電介質電介質超導體超導體按結合方式分分子晶體分子晶體離子晶體離子晶體共價晶體共價晶體金屬晶體金屬晶體氫鍵晶體氫鍵晶體 晶體所具有的自發(fā)地形晶體所具有的自發(fā)地形成封閉凸多面體的能力稱為成封閉凸多面體的能力稱為自限性。自限性。1abcd2二 晶體的共性2.自限性(自范性)： 至少在微米量級范圍內至少在微米量級范圍內原子排列具有周期性。原子排列具有周期性。1.長程有序:晶面角守恒定律：屬于同一品種的晶體，兩個對應晶面間

3、的夾角恒定不變。屬于同一品種的晶體，兩個對應晶面間的夾角恒定不變。石英晶體：石英晶體： a、b 間夾角總是間夾角總是14147 ； a、c 間夾角總是間夾角總是11308 ； b、c 間夾角總是間夾角總是12000 。3.晶體的各向異性在不同方向上，晶體的物理性質不同。在不同方向上，晶體的物理性質不同。OO1O ClAC1A*AB）面示意圖晶體結構（100NaCl 由右圖可以看出，在不同的方向上晶由右圖可以看出，在不同的方向上晶體中原子排列情況不同，故其性質不同。體中原子排列情況不同，故其性質不同。晶體的均勻性晶體的均勻性:在晶體內部平行方向上質點的物理性質相同。在晶體內部平行方向上質點的物理

4、性質相同。晶體的解理性晶體的解理性: :晶體沿某些確定方位的晶面劈裂的性質，這樣的晶面晶體沿某些確定方位的晶面劈裂的性質，這樣的晶面稱為稱為解理面解理面。4.固定的熔點: 給某種晶體加熱，當加熱到某一特定溫度時，晶體開給某種晶體加熱，當加熱到某一特定溫度時，晶體開始熔化，且在熔化過程中保持不變，直到晶體全部熔化，始熔化，且在熔化過程中保持不變，直到晶體全部熔化，溫度才開始上升，即晶體有固定的熔點。溫度才開始上升，即晶體有固定的熔點。 熔解熱用來破壞長程有序。熔解熱用來破壞長程有序。晶體的宏觀特性是由晶體內部結構的周期性決晶體的宏觀特性是由晶體內部結構的周期性決定的定的, ,即晶體的宏觀特性是微

5、觀特性的反映。即晶體的宏觀特性是微觀特性的反映。1.密堆積 把原子視為剛性小球，在一個平面內最簡把原子視為剛性小球，在一個平面內最簡單堆積形成正方排列，把他們層層重合堆積就單堆積形成正方排列，把他們層層重合堆積就構成構成簡單立方結構簡單立方結構。1.2 1.2 密堆積 若簡單立方結構空隙內放入同樣的原子球與最近鄰若簡單立方結構空隙內放入同樣的原子球與最近鄰的八球相切，就構成的八球相切，就構成體心立方結構單元體心立方結構單元。 以上兩種堆積不是最緊密的，最緊密的堆積原子球以上兩種堆積不是最緊密的，最緊密的堆積原子球必須與同一平面內相鄰的必須與同一平面內相鄰的6 6個原子球相切。這樣的原子面?zhèn)€原子

6、球相切。這樣的原子面稱為稱為密排面密排面。 如果晶體由如果晶體由完全相同的一種粒子組成，而粒子被看作小的一種粒子組成，而粒子被看作小圓球，則這些全同的小圓球圓球，則這些全同的小圓球最最緊密的堆積稱為稱為密堆積密堆積。密堆積中，原子球必須與同一平面內相鄰的密堆積中，原子球必須與同一平面內相鄰的6個原個原子球相切構成密排面，相鄰原子層也必須是密排面，原子子球相切構成密排面，相鄰原子層也必須是密排面，原子球心必須與相鄰原子層空隙重合。球心必須與相鄰原子層空隙重合。(1)(1)六角密積六角密積 第三層原子球心落在第二層第三層原子球心落在第二層的空隙上，且與第一層球平行對的空隙上，且與第一層球平行對應，

7、形成應，形成ABABAB排列方式排列方式。AB(1)(1)六角密積六角密積AB(2)(2)立方密積立方密積 第三層原子球心落在第二層空隙上，第三層原子球心落在第二層空隙上，且該空隙也與第一層空隙重合，而第四且該空隙也與第一層空隙重合，而第四層又恢復成第一層的排列，即按層又恢復成第一層的排列，即按ABCABCABC方式排列，形成面方式排列，形成面心立方結構，稱為心立方結構，稱為立方密積立方密積。BAC 第一層：每個球與第一層：每個球與6個球相切，個球相切，有有6個空隙，如編號為個空隙，如編號為1,1,2, ,3, ,4, ,5, ,6。 第二層：占據(jù)第二層：占據(jù)1，3，5空位中空位中心。心。 第

8、三層：占據(jù)第三層：占據(jù)2，4，6空位中空位中心，按心，按ABCABCABC方式排方式排列。列。BAC立方密積立方密積2.配位數(shù)一個粒子周圍一個粒子周圍最近鄰的粒子數(shù)稱為稱為配位數(shù)配位數(shù). . 可以描述晶體中粒子排列的緊密程度，粒子排列越緊密，可以描述晶體中粒子排列的緊密程度，粒子排列越緊密，配位數(shù)越大。配位數(shù)越大。密堆積的配位數(shù)最大最大12同平面內與同平面內與6個原子球相切，相鄰平面內各與三個原子個原子球相切，相鄰平面內各與三個原子球相切，這樣一個原子的最近鄰原子共有球相切，這樣一個原子的最近鄰原子共有6+3+3=12(b)(c)(a)( (a) )、( (b) )、( (c) )為二維晶體結

9、構示意圖，它們有何異同為二維晶體結構示意圖，它們有何異同?1.3 1.3 布喇菲空間點陣布喇菲空間點陣 原胞原胞 晶胞晶胞一 晶體結構的周期性 所有晶體的結構可以用所有晶體的結構可以用空間點陣空間點陣來描述，這種晶格的每個來描述，這種晶格的每個陣點上附有一群原子，這樣的一個原子群稱為陣點上附有一群原子，這樣的一個原子群稱為基元基元，基元在空，基元在空間周期性重復排列就形成間周期性重復排列就形成晶體結構晶體結構。 一個一個理想的晶體是由是由完全相同的的結構單元在空間在空間周期性重重復排列而成的。復排列而成的。(b)(c)(a)1.基元、格點和晶格 在晶體中適當選取某些原子作為一個在晶體中適當選取

10、某些原子作為一個基本結構單元，這個，這個基本結構單元稱為基本結構單元稱為基元基元，基元是晶體結構中，基元是晶體結構中最小的重復單元，的重復單元，基元在空間周期性重復排列就形成晶體結構?；诳臻g周期性重復排列就形成晶體結構。(1)(1)基元基元( (b) )( (c) )( (a) ) 任何兩個基元中相應原子周圍的情況是相同的，而每一任何兩個基元中相應原子周圍的情況是相同的，而每一個基元中不同原子周圍情況則不相同。個基元中不同原子周圍情況則不相同。(2)(2)晶格晶格 晶體的內部結構可以概括為是由一些相同的點子在空間有晶體的內部結構可以概括為是由一些相同的點子在空間有規(guī)則地做規(guī)則地做周期性無限

11、分布，通過這些點做三組不共面的平行直分布，通過這些點做三組不共面的平行直線族，形成一些網(wǎng)格，這些點子的總體稱為線族，形成一些網(wǎng)格，這些點子的總體稱為空間點陣（布喇菲空間點陣（布喇菲點陣），點陣），這種三維網(wǎng)絡也稱為這種三維網(wǎng)絡也稱為晶格晶格( (或者說這些點在空間周期或者說這些點在空間周期性排列形成的骨架稱為性排列形成的骨架稱為晶格晶格) )。(b)(b)(c)(c)(a)(a) 晶格（空間點陣）是晶體結構周期性的數(shù)學抽象，它忽略了晶體結構的具體內容，保留了晶體結構的周期性。),(321332211取取整整數(shù)數(shù)nnnanananR 用矢量表示用矢量表示格點的排列。格點的排列。 (3)(3)格點

12、格點 晶格中的點子代表著晶體結構中相同的位置，稱為晶格中的點子代表著晶體結構中相同的位置，稱為格點格點（結點）（結點）。 一個格點代表一個基元，它可以代表基元重心的位置，它可以代表基元重心的位置，也可以代表基元中任意的點子。也可以代表基元中任意的點子。晶格（空間點陣）晶格（空間點陣）+ +基元基元= =晶體結構晶體結構(b)(a)2.布喇菲格子格子、簡單晶格和復式晶格(1)(1)布拉維格子（布喇菲點陣）布拉維格子（布喇菲點陣） 結點的總體稱為結點的總體稱為布喇菲格子布喇菲格子，這種格子的特點是，這種格子的特點是每點周圍的情況完全相同。(2)(2)簡單晶格和復式晶格簡單晶格和復式晶格 簡單晶格：

13、如果晶體由完全相同的一種原子組成，且簡單晶格：如果晶體由完全相同的一種原子組成，且每個原子周圍的情況完全相同，則這種原子所組成的網(wǎng)格稱為則這種原子所組成的網(wǎng)格稱為簡單晶格。簡單晶格。 復式晶格：如果晶體由兩種或兩種以上原子組成，同種原復式晶格：如果晶體由兩種或兩種以上原子組成，同種原子各構成和格點相同的網(wǎng)格，稱為子各構成和格點相同的網(wǎng)格，稱為子晶格子晶格，它們相對位移而，它們相對位移而形成形成復式晶格復式晶格。簡單晶格簡單晶格復式晶格復式晶格 某一方向相鄰兩點的距離稱為該方向上的某一方向相鄰兩點的距離稱為該方向上的周期周期。在晶格中。在晶格中取取一個格點為頂點，以三個不共面的方向上的周期為邊長

14、形成的平行六面體作為重復單元，這個平行六面體沿三個不同的方作為重復單元，這個平行六面體沿三個不同的方向進行周期性平移，就可以充滿整個晶格，形成晶體，這個平向進行周期性平移，就可以充滿整個晶格，形成晶體，這個平行六面體即為行六面體即為原胞原胞，代表原胞三個邊的矢量稱為，代表原胞三個邊的矢量稱為原胞的基本平移矢量，簡稱，簡稱基矢基矢。二 原胞 在晶格中取在晶格中取一個格點為頂點，以三個不共面的方向上的周期為邊長形成的平行六面體作為重復單元，這個平行六面體沿作為重復單元，這個平行六面體沿三個不同的方向進行周期性平移，就可以充滿整個晶格，形成三個不同的方向進行周期性平移，就可以充滿整個晶格，形成晶體，

15、這個平行六面體即為晶體，這個平行六面體即為原胞原胞，代表原胞三個邊的矢量稱為，代表原胞三個邊的矢量稱為原胞的基本平移矢量，簡稱，簡稱基矢基矢。 特點：特點：格點格點只在平行六面體的頂角上，只在平行六面體的頂角上，面上和內部均無格點，平均每個，平均每個固體物理學原胞包含1個格點。它反映了晶體結構。它反映了晶體結構的周期性。的周期性。 構造：取一格點為頂點，由此點向構造：取一格點為頂點，由此點向近鄰的三個格點作三個的三個格點作三個不共面的矢量，以此三個矢量為邊作平行六面體即為不共面的矢量，以此三個矢量為邊作平行六面體即為固體物理固體物理學原胞學原胞。(1)(1)固體物理學原胞固體物理學原胞( (簡

16、稱簡稱原胞原胞) )1.原胞的分類基矢：固體物理學原胞基矢通常用基矢：固體物理學原胞基矢通常用 表示。表示。321,aaa 321aaa 體積為：體積為：原胞內任一點的位矢表示為：原胞內任一點的位矢表示為： 1,0321332211 xxxaxaxaxr 在任意兩個原胞的相對應點上，晶體的物理性質相同。在任意兩個原胞的相對應點上，晶體的物理性質相同。 ,點點的的位位矢矢格格為為某某一一其其中中RRrr 為為整整數(shù)數(shù)321332211,nnnanananRl (2)(2)結晶學原胞結晶學原胞（布喇菲原胞，布喇菲原胞，簡稱簡稱晶胞晶胞 ） 構造：使三個基矢的方向盡可能地沿著空間對稱軸的方向，構造：

17、使三個基矢的方向盡可能地沿著空間對稱軸的方向，它具有明顯的對稱性和周期性。它具有明顯的對稱性和周期性?；福航Y晶學原胞的基矢一般用基矢：結晶學原胞的基矢一般用 表示。表示。cba, ncbav 特點：結晶學原胞不僅在平行六面體頂角上有格點，面上特點：結晶學原胞不僅在平行六面體頂角上有格點，面上及內部亦可有格點。其體積是固體物理學原胞體積的整數(shù)倍。及內部亦可有格點。其體積是固體物理學原胞體積的整數(shù)倍。體積為：體積為：(3)(3)維格納維格納-塞茨原胞塞茨原胞 構造：以一個格點為原點，作原點與其它格點連接的中垂構造：以一個格點為原點，作原點與其它格點連接的中垂面面( (或中垂線或中垂線) )，由這

18、些中垂面，由這些中垂面( (或中垂線或中垂線) )所圍成的最小體積所圍成的最小體積( (或或面積面積) )即為即為W-S原胞。原胞。 特點：它是晶體體積的最小重復單元，每個原胞只包含特點：它是晶體體積的最小重復單元，每個原胞只包含1個格點。其體積與固體物理學原胞體積相同。個格點。其體積與固體物理學原胞體積相同。8a7a6a5a4a3a1a2a固體物理學原胞固體物理學原胞維格納維格納-塞茨單胞塞茨單胞立方晶系立方晶系accbba cba kac , jab, iaa 晶胞的體積晶胞的體積: :3aV 設設晶格常量晶格常量( (晶胞棱邊的長度) )為為a, ,k, j,i取取 為坐標軸的單位矢量為

19、坐標軸的單位矢量, , 即立方體邊長為即立方體邊長為a, ,2.2.幾種晶格的實例幾種晶格的實例(a)(a)簡立方簡立方( (simple cubic, 簡稱簡稱sc) )kaajaaiaa 321每個晶胞包含每個晶胞包含1個格點。固體物理學原胞的體積固體物理學原胞的體積3a 布喇菲晶格(簡單格)abciakaj a平均每個晶胞包含平均每個晶胞包含4個個格點格點。 332141aaaa (b)(b)面心立方面心立方( (face-centered cubic, fcc) ) jiaakiaakjaa 222321固體物理學原胞的體積固體物理學原胞的體積1a3a2aiajaka(c)(c)體心立

20、方體心立方( (body-centered cubic, bcc) ) kjiaakjiaakjiaa 222321平均每個晶胞包含平均每個晶胞包含2個個格點格點。 332121aaaa iajaka1a3a2a固體物理學原胞的體積固體物理學原胞的體積(1)(1)氯化銫結構氯化銫結構 Cl Cs 氯化銫結構是由兩個簡立方子晶格沿體對角線位移氯化銫結構是由兩個簡立方子晶格沿體對角線位移1/2的長的長度套構而成。度套構而成。 Cl- -和和Cs+ +分別組成簡立方格子，其布喇菲晶格為分別組成簡立方格子，其布喇菲晶格為簡立方簡立方，氯化銫結構屬簡立方。 每個原胞包含每個原胞包含1個格點，每個晶胞包含

21、個格點，每個晶胞包含1個個格點格點?；梢??；梢粋€個Cl- -和一個和一個Cs+ +組成。組成。( (000) ) 212121Cl- -的坐標為的坐標為 ，Cs+ +的坐標為的坐標為 。 復式格(2)(2)氯化鈉結構氯化鈉結構 氯化鈉結構由兩個氯化鈉結構由兩個面心立方面心立方子晶格沿體對角線位移子晶格沿體對角線位移1/21/2的的長度套構而成。長度套構而成。Cl- -和和Na+ +分別組成面心立方子晶格。分別組成面心立方子晶格。其布喇菲晶格為其布喇菲晶格為面心立方面心立方。氯化鈉結構屬面心立方。 每個原胞包含每個原胞包含1個格點，每個晶胞包含個格點，每個晶胞包含4個個格點格點。 氯化鈉

22、的原胞選取方法與面心立氯化鈉的原胞選取方法與面心立方簡單格子的選取方法相同。方簡單格子的選取方法相同?；梢粋€基元由一個Cl- -和一個和一個Na+ +組成。組成。( (000) ) 212121Cl- -的坐標為的坐標為 ，Na+ +的坐標為的坐標為 。 (3)(3)金剛石結構金剛石結構 （閃鋅礦結構）（閃鋅礦結構）金剛石結構屬面心立方，每個晶胞包含每個晶胞包含8個個碳原子碳原子。 金剛石結構是由兩個面心立方子晶格沿體對角線位移金剛石結構是由兩個面心立方子晶格沿體對角線位移1/41/4的長度套構而成的長度套構而成, ,其布喇菲晶格為其布喇菲晶格為面心立方面心立方。c cc cc cc c

23、金剛石結構每個固體物理學原胞金剛石結構每個固體物理學原胞包含包含1個格點個格點, ,基元由兩個碳原子組成基元由兩個碳原子組成, ,位于（位于（000）和）和 處。處。 414141金剛石結構：金剛石結構： 單晶硅、單晶鍺結構單晶硅、單晶鍺結構閃鋅礦結構：閃鋅礦結構： ZnS(頂角和面心上頂角和面心上S，晶胞內是，晶胞內是Zn) 銻化銦、砷化鎵、磷化銦銻化銦、砷化鎵、磷化銦典型的晶體結構fcc( (Cu) )4(000) (000) )02121()21210()21021(22abcc( (Na) )2(000) (000) )212121(23aCsClCs+ + 1Cl- - 1)2121

24、21(000) (000) 23a1288 結構型結構型晶胞中的晶胞中的 原子個數(shù)原子個數(shù)原子在單胞原子在單胞中的位置中的位置最近鄰最近鄰距離距離配位數(shù)配位數(shù)典型的晶體結構結構型結構型晶胞中的晶胞中的 原子個數(shù)原子個數(shù)原子在單胞原子在單胞中的位置中的位置最近鄰最近鄰距離距離配位數(shù)配位數(shù)8( (000) ) )02121()21210()21021(43a)212121(2a4金剛石金剛石)414141()414343()434143()434341(NaClNa+ + 4Cl- - 4( (000) ) )02121()21210()21021()0021()0210()2100(6三.致密度

25、 如果把等體積的硬球防置在晶體結構的如果把等體積的硬球防置在晶體結構的原子位置上，球的體積盡可能大，使最近鄰原子位置上，球的體積盡可能大，使最近鄰的球相切。一個晶胞中硬球占據(jù)的體積和晶的球相切。一個晶胞中硬球占據(jù)的體積和晶胞體積之比稱為胞體積之比稱為致密度致密度. . 例如，晶格常數(shù)為例如，晶格常數(shù)為a a的面心立方，設原子半徑為的面心立方，設原子半徑為R R，則，則 晶胞體積為晶胞體積為V=aV=a3 3，晶胞中，晶胞中4 4個原子所占的體積為個原子所占的體積為 所以致密度所以致密度aR24 3362344aRv 62 Vviajaka一一 晶列及晶列指數(shù)晶列及晶列指數(shù)1.晶列晶列 通過晶格

26、中任意兩個格通過晶格中任意兩個格點連一條直線稱為點連一條直線稱為晶列晶列，晶，晶列的取向稱為列的取向稱為晶向晶向，描寫晶，描寫晶向的一組數(shù)稱為向的一組數(shù)稱為晶列指數(shù)晶列指數(shù)( (或或晶向指數(shù)晶向指數(shù)) )。過一格點可以有無數(shù)過一格點可以有無數(shù)晶列晶列。1.4 1.4 晶列、晶面指數(shù)晶列、晶面指數(shù) (3) (3)晶列族中的每一晶列上，晶列族中的每一晶列上， 格點分布都是相同的；格點分布都是相同的； (4) (4)在同一平面內，相鄰晶列間的在同一平面內，相鄰晶列間的距離相等。距離相等。 (1) (1)平行晶列組成晶列族，晶列平行晶列組成晶列族，晶列族包含所有的格點；族包含所有的格點；(2)(2)晶

27、列上格點分布是周期性的；晶列上格點分布是周期性的；晶列的特點晶列的特點2.晶列指數(shù)如果從晶列上一個格點沿晶向到任一格點的位矢為如果從晶列上一個格點沿晶向到任一格點的位矢為332211alalalR (1)(1) 用原胞基矢表示用原胞基矢表示 321ll l晶列上格點的周期晶列上格點的周期= =如如121121表示表示1, 2, 1321 lll321aaa, , ,為原胞基矢為原胞基矢如遇到負數(shù)，將該數(shù)的上面加一橫線。 其中其中 為整數(shù)，將為整數(shù)，將 化為互質的整數(shù)化為互質的整數(shù) ， 記為記為 ， 即為該晶列的即為該晶列的晶列指數(shù)晶列指數(shù)。 321,lll 321,lll321,lll 321

28、lll321lll?3212aaa (2)(2)以晶胞基矢表示以晶胞基矢表示如果從晶列上一個格點沿晶向到任一格點的位矢為如果從晶列上一個格點沿晶向到任一格點的位矢為為晶胞基矢cbacpbnamR, 其中其中 為有理數(shù)為有理數(shù), ,將將 化為化為互質的整數(shù) m, ,n, ,p, , 記為記為 mnp ， mnp 即為該即為該晶列晶列的的晶列指數(shù)晶列指數(shù). . pnm ,pnm ,abcOABCDE 例例1 1：如圖在立方體中，如圖在立方體中，D是是BC的中點，求的中點，求BE, ,AD的晶列指數(shù)。的晶列指數(shù)。kcjbia , iOB ,kjiOE kjOBOEBE 解：解：晶列晶列BE的晶列指數(shù)

29、為：的晶列指數(shù)為： 011 ,kOA , jiOD21 kjiOAODAD 21AD的晶列指數(shù)為的晶列指數(shù)為: :abcOABCDE221求求AD的晶列指數(shù)。的晶列指數(shù)。注意:(1)(1)晶列指數(shù)一定是一組互質的整數(shù)；晶列指數(shù)一定是一組互質的整數(shù)；(2)(2)晶列指數(shù)用方括號表示晶列指數(shù)用方括號表示 ；(3)(3)遇到負數(shù)在該數(shù)遇到負數(shù)在該數(shù)上方加一橫線。加一橫線。晶列晶列(11-1)(11-1)晶列晶列11-111-1晶列晶列(111)(111)晶列晶列111111 (4)(4)等效晶向等效晶向。 在立方體中有，沿立方邊的在立方體中有，沿立方邊的晶列一共有晶列一共有6個不同的晶向，由于個不同

30、的晶向，由于晶格的對稱性，這晶格的對稱性，這6個晶向并沒有個晶向并沒有什么區(qū)別，晶體在這些方向上的什么區(qū)別，晶體在這些方向上的性質是完全相同的，統(tǒng)稱這些方性質是完全相同的，統(tǒng)稱這些方向為向為等效晶向等效晶向，寫成寫成 。 100 001 010 100 010 001 二 晶面及密勒指數(shù) 在晶格中，通過任意三個不在同一直線上的格點作一平面，在晶格中，通過任意三個不在同一直線上的格點作一平面，稱為晶面，描寫晶面方位的一組數(shù)稱為稱為晶面，描寫晶面方位的一組數(shù)稱為晶面指數(shù)晶面指數(shù)。1.晶面 (1) (1)平行的晶面組成晶面族，晶面族包含所有格點；平行的晶面組成晶面族，晶面族包含所有格點；(3)(3)

31、同一晶面族中的每一晶面上，格點分布同一晶面族中的每一晶面上，格點分布( (情況情況) )相同；相同；(4)(4)同一晶面族中相鄰晶面間距相等。同一晶面族中相鄰晶面間距相等。(2)(2)晶面上格點分布具有周期性；晶面上格點分布具有周期性；2.晶面指數(shù)晶面方位晶面方位晶面的法線方向晶面的法線方向( (法線方向與三個坐標軸夾角法線方向與三個坐標軸夾角) )晶面在三個坐標軸上的截距晶面在三個坐標軸上的截距 設設 的末端上的格點分別在離原點距離的末端上的格點分別在離原點距離h1d、h2d、h3d的晶面上，這里的晶面上，這里 h1、h2、h3為整數(shù)，為整數(shù)，d為晶面間距。為晶面間距。321,aaa(1)(

32、1)以原胞基矢表示以原胞基矢表示dhnadhnadhna332211 dhnaadhnaadhnaa333222111,cos,cos,cos 332211321:,cos:,cos:,cosahahahnanana 晶體結構已知，晶體結構已知，a1，a2和和a3為已知，這樣知道為已知，這樣知道h1，h2和和h3就可以確定晶面的法線方向的余弦，因就可以確定晶面的法線方向的余弦，因此可用此可用h1、h2、h3表征晶面的方位。稱表征晶面的方位。稱h1、h2、h3為晶面指數(shù)，記作為晶面指數(shù)，記作(h1h2h3 )?？梢宰C明?？梢宰C明h1，h2，h3是互質的。是互質的。 332211321:,cos:

33、,cos:,cosahahahnanana 同一晶面族中的晶面平行且相鄰晶面間距相等, ,故故在原點與基矢的末端間一定只有整數(shù)個晶面。在原點與基矢的末端間一定只有整數(shù)個晶面。 所有格點都包容在一族晶面上；因此給定晶面族；因此給定晶面族中必有一個晶面通過坐標系的原點；在基矢中必有一個晶面通過坐標系的原點；在基矢 末末端上的格點也一定落在該晶面族的晶面上；端上的格點也一定落在該晶面族的晶面上； 321,aaa怎么求得怎么求得h1、h2、h3的數(shù)值？的數(shù)值？ 設晶面族設晶面族（ h1h2h3 ）中離開原點的距離等于）中離開原點的距離等于 d的的晶面在三個基矢坐標軸上的截距分別為晶面在三個基矢坐標軸上

34、的截距分別為ra1, sa2, ta3，設晶面族設晶面族（ h1h2h3 ）中離開原點的距）中離開原點的距離等于離等于 d的晶面在三個基矢坐標軸上的晶面在三個基矢坐標軸上的截距分別為的截距分別為ra1, sa2, ta3，則有，則有A2A3O O2a3a1aA1N dn dnaatdnaasdnaar ,cos,cos,cos3 33 32 22 21 11 1dnatdnasdnar 321 3 32 21 13 32 21 11 11 11 1tasarananana:,cos:,cos:,cos 又又 332211321:,cos:,cos:,cosahahahnanana tsrhhh

35、1:1:1:321 任一晶面族的面指數(shù)，可以由其任一晶面族的面指數(shù)，可以由其任一晶面任一晶面在坐在坐標軸上的截距的系數(shù)標軸上的截距的系數(shù)r，s，t求出。求出。綜上所述，晶面指數(shù)(h1h2h3 )表示的意義是；(3)(3)晶面的法線與基矢坐標系方向余弦的比值。晶面的法線與基矢坐標系方向余弦的比值。 (2) (2)以以 為各軸的長度單位所求得的晶面在坐標軸為各軸的長度單位所求得的晶面在坐標軸上的截距倒數(shù)的互質比；上的截距倒數(shù)的互質比；321a,a,a (1) (1)基矢基矢 被平行的晶面等間距的分割成被平行的晶面等間距的分割成h1、h2、h3 等份；等份；321,aaa 以晶胞基矢以晶胞基矢 為坐

36、標軸來表示為坐標軸來表示的晶面指數(shù)稱為的晶面指數(shù)稱為密勒指數(shù)密勒指數(shù)，用，用( (hkl) )表示。表示。cba, 例例2：如圖所示如圖所示 ，I和和H分別為分別為BC，EF之中點，試求晶面之中點，試求晶面AEG，ABCD，DIHG的密勒指數(shù)。的密勒指數(shù)。cba AEG ABCD DIHG111 121 hkl在三個坐標在三個坐標軸上的截距軸上的截距abcOABCDEFGHI AEG ABCD DIHG111 121 hkl在三個坐標在三個坐標軸上的截距軸上的截距l(xiāng)khlkh 1:1:1:1:1:1(hkl)(111)11:1:1 (001) 1:11:21(120)AEG 的密勒指數(shù)是的密勒

37、指數(shù)是(111)；OEFG的密勒指數(shù)是的密勒指數(shù)是(001)；DIHG的密勒指數(shù)是的密勒指數(shù)是(120)。abcOABCDEFGHIABCDcbaEFG例例3: 在立方晶系中畫出在立方晶系中畫出(210)、 晶面。晶面。)121(晶面在三個坐標軸上的截距分別為：晶面在三個坐標軸上的截距分別為：abc211 (210)121(121 1密勒指數(shù)是密勒指數(shù)是(210) 的晶面是的晶面是ABCD面面；(121)密勒指數(shù)是密勒指數(shù)是 的晶面是的晶面是EFG面面；晶面族 同一晶體中面間距相同的晶面族，由于在垂直方同一晶體中面間距相同的晶面族，由于在垂直方向上，晶體的性質是完全相同的，統(tǒng)稱他們?yōu)橄蛏?，晶體

38、的性質是完全相同的，統(tǒng)稱他們?yōu)橥寰寰孀迕孀?，如立方晶系中的晶面族，如立方晶系中的晶面?111 包括包括 、 、 、 、 、 、 。 )111()111()111()111()111()111()111()111(1.5 1.5 倒格空間倒格空間 X光波長小于晶體中的原子間距，周期性的晶格可作為光波長小于晶體中的原子間距，周期性的晶格可作為衍射光柵。衍射光柵。 P：332211alalalRl 光程差：光程差：)(00SSRSRSROBAOlll 衍射加強：衍射加強： )(0SSRl引入：引入： )(200SSkk 再令：再令： 0hKkk 則衍射極大條件變成：則衍射極大條件變成：2

39、hlKR稱為倒格矢。稱為倒格矢。稱為正格矢，稱為正格矢，hlKR一 倒格的引入倒格倒格正格（點位）矢：正格（點位）矢：332211alalalRl 321,bbb倒格基矢倒格基矢倒格（點位）矢：倒格（點位）矢：332211bhbhbhKh 晶體結構晶體結構=晶格晶格+基元基元正格基矢正格基矢正格正格 一個晶體結構有兩個格子，一個是正格，另一個為一個晶體結構有兩個格子，一個是正格，另一個為倒格倒格。321,aaa ijjiba 2)ji( 2 ji 02 hlKR倒格基矢可以由正格基矢來構造：倒格基矢可以由正格基矢來構造： 213132321222aabaabaab 其中其中 是正格基矢，是正格

40、基矢，321,aaa ),(321為為整整數(shù)數(shù)hhh 332211bhbhbhKh 與與 所聯(lián)系的各點所聯(lián)系的各點的列陣即為的列陣即為倒格倒格。 321aaa 是固體物理學原胞體積是固體物理學原胞體積倒格原胞體積倒格原胞體積 321*bbb 倒格基矢的方向和長度如何呢？倒格基矢的方向和長度如何呢？132122daab 222db 3b1b2b332db 一個倒格基矢是和正格原胞中一組晶面相對應的，它一個倒格基矢是和正格原胞中一組晶面相對應的，它的方向是該晶面的法線方向，它的大小則為該晶面族面間的方向是該晶面的法線方向，它的大小則為該晶面族面間距倒數(shù)的距倒數(shù)的2 倍。倍。 21313232122

41、2aabaabaab 1a2a3a1. ijjiba 2)ji( 2 ji 0 aaaba321112 2 aaaba131212 0 二 倒格與正格的關系332211alalalRl 332211bhbhbhKh 2. 2 hlKR( ( 為整數(shù)為整數(shù)) )3.3. 23* (其中其中 和和 *分別為正、倒格原胞體積分別為正、倒格原胞體積) 321bbb* 21133232aaaaaa CBABCACBA 2113aaaa 1a 21131213aaaaaaaa 13232aaa * 23 4. 4.倒格矢倒格矢 與正格中晶面族與正格中晶面族( (h1h2h3) )正交正交. .332211

42、hbhbhbhK 設設ABC為晶面族為晶面族(h1h2h3)中離原點最近的晶面，中離原點最近的晶面，即即 32胞體積之積等于胞體積之積等于正格原胞體積與倒格原正格原胞體積與倒格原 由于基矢由于基矢 被被晶面族晶面族(h1h2h3)等間距的分割成等間距的分割成h1、h2、h3 等份；等份；321,aaaBCO2a3a1aAhK ABC在基矢在基矢 上的上的 截距分別為截距分別為 。321,aaa332211,hahaha由圖可知：由圖可知：3311hahaOCOACA 3322hahaOCOBCB CAKh3311332211)(hahabhbhbh 22 CBKh 3322332211)(ha

43、habhbhbh所以所以332211bhbhbhKh 與晶面族與晶面族(h1h2h3)正交。正交。0 0 22 3212hhhd5. 倒格矢倒格矢 的模等于的模等于 。332211hbhbhbhK hhhhhKKhad 11321hKbhbhbhha33221111 hK2 bacacbcba 222在晶胞坐標系在晶胞坐標系 中，中，cba,c)ba( clbkahKlkhBCO2a3a1aAhK晶體結構晶體結構 正格正格 倒格倒格332211alalalRl 1.1.332211bhbhbhKh 1.2.與晶體中原子位置與晶體中原子位置 相對應；相對應；2.與晶體中一族晶面相與晶體中一族晶面

44、相對應；對應；3.是與真實空間相聯(lián)系的是與真實空間相聯(lián)系的傅里葉空間中點的周期性傅里葉空間中點的周期性排列；排列；3.是真實空間中點的周是真實空間中點的周期性排列；期性排列；4.線度量綱為線度量綱為長度長度4.線度量綱為線度量綱為長度長度-1已知晶體結構如何求其倒格呢？已知晶體結構如何求其倒格呢？晶體晶體結構結構正格正格332211bhbhbhKh 正格正格基矢基矢321,aaa倒格倒格基矢基矢321,bbb倒格倒格 213132321aabaabaab 222 ijjiba 2)ji ( 2 ji 0aaaaiaa 1jaa 2jaaiaa 21 ijjiba 2)ji ( 2)(0ji 例

45、例1 1：下圖是一個二維晶體結構圖，試畫出其倒格點的排列。：下圖是一個二維晶體結構圖，試畫出其倒格點的排列。022111 baba202212 babajabiab2221 ijjiba 2)ji ( 2)(0ji jaaiaa 21a2a22211bhbhKh 倒格是邊長為的正方形格子。倒格是邊長為的正方形格子。a2例例2 2：證明體心立方的倒格是面心立方。：證明體心立方的倒格是面心立方。解：解： 體心立方的原胞基矢：體心立方的原胞基矢： kjiaakjiaakjiaa 222321 332121aaaa 22222232aaaaaakjiaa 222222222222aaaakaaaaja

46、aaai kaja2222 213132321222aabaabaab 3212aabkajaaa222232 332121aaaa kjakjaa 222223 jiab 23 kiab 22倒格基矢：倒格基矢： jiab 23 kjab 21 kiab 22同理得：同理得：邊長為邊長為a的的體心立方的倒格是邊長為體心立方的倒格是邊長為4 4 / /a的的面心立方面心立方 。例例3 3：證明簡立方晶面：證明簡立方晶面( (h1 1h2 2h3 3) )的面間距為的面間距為232221321hhhadhhh 證明：證明：3212hhhhdK 由由得：得：3213212hhhhhhKd 簡立方：

47、簡立方：,321kaajaaiaa iaaab22321 jaaab22132 kaaab22213 法一：法一：iab21 jab22 kab23 3 33 32 21 1a aa aa aa a 232221hhha 3213212hhhhhhKd 2322212321hhhaKhhh 332211321bhbhbhKhhh khjhiha3212 iab21 jab22 kab23 法二：法二：設設ABC為晶面族為晶面族(h1h2h3)中離原點最近的晶面，中離原點最近的晶面，ABC在基矢在基矢 上的截距分別為上的截距分別為 ，321,aaa332211,hahahadnX 由平面方程由平

48、面方程 得：得： dnhadnhadnha3 33 32 22 21 11 1 dhnaadhnaadhnaa333222111,cos,cos,cos dahnadahnadahna333222111,cos,cos,cos 對于簡單立方：對于簡單立方：aaaa 321321aaa 且：且： dhnaadhnaadhnaa333222111,cos,cos,cos 1,cos,cos,cos322212 nanana12232222212 ahahahd232221321hhhadhhh 第一次第一次 作作 業(yè)業(yè) 習題習題1：(1)(2)(4)(5) 習題習題5：證明在立方晶系中晶列：證明在

49、立方晶系中晶列hkl與晶面與晶面(hkl)正交正交。 習題習題7：面心立方的倒格是體心立方。：面心立方的倒格是體心立方。一 對稱性與對稱操作對稱操作所依賴的對稱操作所依賴的幾何要素。1.對稱操作與線性變換),(321xxxX 經過某一對稱操作，把晶體中任一點經過某一對稱操作，把晶體中任一點 變?yōu)樽優(yōu)?可以用線性變換來表示?？梢杂镁€性變換來表示。 ),(321xxxX1.6 晶體的對稱性對稱性：對稱性：經過某種動作后，晶體能夠自身重合的特性。經過某種動作后，晶體能夠自身重合的特性。對稱操作：對稱操作：使晶體自身重合的動作。使晶體自身重合的動作。對稱素：對稱素： 321xxxX 321xxxX 3

50、33231232221131211aaaaaaaaaA),(321xxxX),(321xxxX Ox1 1x3 3x2 2AXX 2.簡單對稱操作(旋轉對稱、中心反映、鏡象、旋轉反演對稱)(1)(1)轉動轉動( (Cn, ,對稱素為線對稱素為線) ) 若晶體繞某一固定軸轉若晶體繞某一固定軸轉 以后自身重合，則此軸稱為以后自身重合，則此軸稱為n次次( (度度) )旋轉對稱軸。旋轉對稱軸。n2下面我們計算與轉動對應的變換矩陣。下面我們計算與轉動對應的變換矩陣。 當當OX繞繞Ox1轉動角度轉動角度 時，圖中時，圖中),(321xxxX),(321xxxX 若若OX在在Ox2x3平面上投影的長度為平面

51、上投影的長度為R，則則11xx cos2Rx sinsincoscosRR sincos32xx sin3Rx sincoscossinRR cossin32xx ),(321xxxX),(321xxxX Ox1x3x2 321321cossin0sincos0001xxxxxx cossin0sincos0001A1 A 晶體中允許有幾度旋轉對稱軸呢晶體中允許有幾度旋轉對稱軸呢? 設設AB為晶體中某一晶列上為晶體中某一晶列上O點最近鄰的兩個格點。繞過點最近鄰的兩個格點。繞過O點點垂直紙面的軸逆時針轉動垂直紙面的軸逆時針轉動 角，角，B格點轉到格點轉到B，若此時晶格自身重，若此時晶格自身重合，

52、則合，則B除原來必有一格點。除原來必有一格點。 AB ABO 若再繞若再繞O點的轉軸順時針轉點的轉軸順時針轉 角角后，晶格又回復到非轉動的狀態(tài)，后，晶格又回復到非轉動的狀態(tài)， 但但A格點轉到格點轉到A,因此因此A處原來必有處原來必有一個點。由圖可知，一個點。由圖可知，AB/AB，平，平行的晶列具有相同的周期，設為行的晶列具有相同的周期，設為a,則則為為整整數(shù)數(shù)。其其中中mcos2BA, ,maa 12cos m AB ABO1,21, 0cos .2 ,;35,34,32,323,2 ;2 ,32,2,3 12,22,32,42,62 643212, , , , ,n,n晶體中允許的旋轉對稱軸

53、只能是晶體中允許的旋轉對稱軸只能是1，2，3，4，6度軸。度軸。綜合上述證明得：綜合上述證明得：12346 正五邊形沿豎直軸每旋轉正五邊形沿豎直軸每旋轉720恢恢復原狀，但它不能重復排列充滿一個復原狀，但它不能重復排列充滿一個平面而不出現(xiàn)空隙。因此晶體的旋轉平面而不出現(xiàn)空隙。因此晶體的旋轉對稱軸中不存在五次軸，只有對稱軸中不存在五次軸，只有1，2，3，4，6度度旋轉對稱軸旋轉對稱軸。(2)(2)中心反演中心反演( (i，對稱素為點，對稱素為點) ) 取中心為原點，經過中心反映后，圖形中任一點取中心為原點，經過中心反映后，圖形中任一點),(321xxx),(321xxx 變?yōu)樽優(yōu)?321321x

54、xxxxx 100010001A1 A(3)鏡象鏡象(m，對稱素為面，對稱素為面)如以如以x1= =0面作為對稱面，鏡象是將圖形的任何一點面作為對稱面，鏡象是將圖形的任何一點),(321xxx),(321xxx 變?yōu)樽優(yōu)?100010001A1 A 321321xxxxxx(4)(4)旋轉旋轉-反演對稱反演對稱 若晶體繞某一固定軸轉若晶體繞某一固定軸轉 以后，以后，再經過中心反演, ,晶體自晶體自身重合，則此軸稱為身重合，則此軸稱為n次(度)旋轉-反演對稱軸。n2 旋轉-反演對稱軸只能有1，2，3，4，6度軸。6, 4, 3, 2, 1旋轉旋轉-反演對稱軸用反演對稱軸用 表示。表示。旋轉旋轉-

55、反演對稱軸并反演對稱軸并不都是獨立的基本對稱素。如：獨立的基本對稱素。如：12i1123456i 3312m21 ABDCEFGH正四面體既無四正四面體既無四度軸也無對稱心度軸也無對稱心6=3+m12345661 2 3 4 5 123443 1 4 2 CADGFHEB1 1，2 2，3 3，4 4，6 6 度旋轉對稱操作。度旋轉對稱操作。 1 1，2 2，3 3，4 4，6 6度旋轉反演對稱操作。度旋轉反演對稱操作。(3)(3)中心反映：中心反映：i。(4)(4)鏡象反映：鏡象反映：m。 C1，C2，C3，C4，C6 （用熊夫利符號表示）（用熊夫利符號表示）S1，S2，S3，S4，S6（用

56、熊夫利符號表示）（用熊夫利符號表示）對稱操作：對稱操作：(2)(2)旋轉反演對稱操作：旋轉反演對稱操作：(1)(1)旋轉對稱操作：旋轉對稱操作： 獨立的對稱操作有8種, ,即即1 1，2 2，3 3，4 4，6 6，i i，m m， 。 或或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。 4 所有點對稱操作都可由這所有點對稱操作都可由這8種操作或它們的組合來完成。種操作或它們的組合來完成。一個晶體的全部對稱操作構成一個群，每個操作都是群的一個，每個操作都是群的一個元素。對稱性不同的晶體屬于不同的群。由旋轉、中心反演、元素。對稱性不同的晶體屬于不同的群。由旋轉、中心反演、鏡象和旋轉鏡象和旋轉

57、-反演點對稱操作構成的群，稱作點群。反演點對稱操作構成的群，稱作點群。 理論證明，所有理論證明，所有晶體只有32種點群，即只有，即只有32種不同的點對種不同的點對稱操作類型。這種對稱性在宏觀上表現(xiàn)為晶體外形的對稱及物理稱操作類型。這種對稱性在宏觀上表現(xiàn)為晶體外形的對稱及物理性質在不同方向上的對稱性。所以又稱宏觀對稱性。性質在不同方向上的對稱性。所以又稱宏觀對稱性。 點對稱操作加上平移操作構成空間群。全部晶體共有點對稱操作加上平移操作構成空間群。全部晶體共有230種空間群，即有種空間群，即有230種對稱類型。種對稱類型。立方體對稱性立方體對稱性 Oh點群點群(1)(1)立方軸立方軸C4：3 3個

58、立方軸；個立方軸；4個個3度軸；度軸；(2)體對角線體對角線C3：(3)面對角線面對角線C2：6個個2度軸；度軸；,23,2933 34,32824 1度軸度軸 4821689 對稱心，中心反演對稱心，中心反演 與與4 4度軸正交的對稱面度軸正交的對稱面與與2 2度軸正交的對稱面度軸正交的對稱面 根據(jù)不同的根據(jù)不同的點對稱性，將晶體分為，將晶體分為7大晶系，14種布喇菲格子。abc 晶胞基矢的模晶胞基矢的模晶格常數(shù)：晶格常數(shù)：a，b，c1.7 晶體結構的分類baaccb與與與與與與,cba,為晶胞三個基矢，為晶胞三個基矢， 分別為分別為取取間的夾角。間的夾角。 ,7大晶系的特征及布喇菲格子如下

59、所述：大晶系的特征及布喇菲格子如下所述：1.1.三斜晶系：三斜晶系： , cba 090cba2.2.單斜晶系：單斜晶系：3.3.三角晶系：三角晶系：0012090 cba簡單三斜簡單三斜( (1) )簡單單斜簡單單斜( (2) ) 底心單斜底心單斜( (3) )三角三角( (4) )4.4.正交晶系：正交晶系：090 cba簡單正交簡單正交( (5) )，底心正交，底心正交( (6) )體心正交體心正交( (7) )，面心正交，面心正交( (8) )5.5.四方系：四方系：090 cba簡單四方簡單四方( (9) )，體心四方，體心四方( (10) )6.6.六角晶系：六角晶系：001209

60、0 cba六角六角( (11) )7.7.立方晶系：立方晶系：090 cba簡立方簡立方( (12) )，體心立方，體心立方( (13) )，面心立方面心立方( (14) )簡單三斜簡單三斜( (1) ) 090, cba簡單單斜簡單單斜( (2) )底心單斜底心單斜(3)1.1.三斜晶系：三斜晶系： 2.2.單斜晶系：單斜晶系： ,cba3.3.三角晶系：三角晶系：三角三角( (4) )0012090 cba4.4.正交晶系：正交晶系：090 ,cba簡單正交簡單正交( (5) )底心正交底心正交( (6) )體心正交體心正交( (7) )面心正交面心正交( (8) )5.5.四方系：四方系