物理光學(xué)與應(yīng)用光學(xué)(第二版)課件第四章

1、第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性4.1 晶體的光學(xué)各向異性晶體的光學(xué)各向異性 4.2 理想單色平面光波在晶體中的傳播理想單色平面光波在晶體中的傳播4.3 平面光波在晶體界面上的反射和折射平面光波在晶體界面上的反射和折射4.4 晶體光學(xué)元件晶體光學(xué)元件 4.5 晶體的偏光干涉晶體的偏光干涉例題例題 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性4.1 晶體的光學(xué)各向異性晶體的光學(xué)各向異性 4.1.1 4.1.1 張量的基礎(chǔ)知識(shí)張量的基礎(chǔ)知識(shí) 1. 1. 張量的概念張量的概念 張量是使一個(gè)矢量與一個(gè)或多個(gè)其它矢量相關(guān)聯(lián)的量。例如，矢量p與矢量q有關(guān)，則其一

2、般關(guān)系應(yīng)為 (4.1 - 1) pTq第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性式中，T是關(guān)聯(lián)p和q的二階張量。在直角坐標(biāo)系O-x1x2x3中，上式可表示為矩陣形式 321333231232221131211321qqqTTTTTTTTTppp(4.1 - 2) 式中，三個(gè)矩陣分別表示矢量p、二階張量T和矢量q。二階張量有9個(gè)分量， 每個(gè)分量都與一對(duì)坐標(biāo)(按一定順序)相關(guān)。(4.1-1)式的分量表示式為 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性333232131332322212123132121111qTqTqTpqTqTqTpqTqTqTp(4.1 - 3) 其一般分量形式為 3 , 2 ,

3、 1,jiqTpjjiji(4.1 - 4) 按照愛(ài)因斯坦求和規(guī)則：若在同一項(xiàng)中下標(biāo)重復(fù)兩次，則可自動(dòng)地按該下標(biāo)求和，將上式簡(jiǎn)化為 pi=Tijqj i,j=1, 2, 3 (4.1 - 5)由上述討論可以看出，如果T是張量，則p矢量的某坐標(biāo)分量不僅與q矢量的同一坐標(biāo)分量有關(guān)， 還與其另外兩個(gè)分量有關(guān)。 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性如果矢量p與兩個(gè)矢量u和v相關(guān)，則其一般關(guān)系式為 uvp:T(4.1-6)分量表示式為 pi=Tijkujvk i, j, k=1, 2, 3 (4.1-7)式中，uv為并矢；T為三階張量，包含 27 個(gè)分量，其矩陣形式為 321312313331332

4、323333322311221212213231232223233322211121112113131132123133122111TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTijk(4.1-8) 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性 實(shí)際上，一個(gè)標(biāo)量可以看做是一個(gè)零階張量，一個(gè)矢量可以看做是一個(gè)一階張量。從分量的標(biāo)記方法看， 標(biāo)量無(wú)下標(biāo)， 矢量有一個(gè)下標(biāo)，二階張量有兩個(gè)下標(biāo)，三階張量有三個(gè)下標(biāo)。 因此， 下標(biāo)的數(shù)目等于張量的階數(shù)。 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性 2. 2. 張量的變換張量的變換 如上所述，由于張量的分量與坐標(biāo)有關(guān)，因而當(dāng)坐標(biāo)系發(fā)生變化時(shí)，張量的表示

5、式也將發(fā)生變化。假若在原坐標(biāo)系 中，某張量表示式為T(mén)i j，在新坐標(biāo)系 中，該張量的表示式為T(mén)ij, 則當(dāng)原坐標(biāo)系O-x1x2x3與新坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換矩陣為aij時(shí)，與 的關(guān)系為 321xxxO321xxxO321xxxOijTijT332313322212312111333231232221131211333231232221131211333231232221131211aaaaaaaaaTTTTTTTTTaaaaaaaaaTTTTTTTTT(4.1-9) 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性其分量表示形式為 kljlikijTaaT i, j, k, l=1, 2, 3 (4.1-1

6、0) 這就是張量變換定律。如果用張量的新坐標(biāo)分量表示原坐標(biāo)分量，可通過(guò)逆變換得到 klljkiijTaaT (4.1-11) 如果考慮的是矢量，則新坐標(biāo)系中的矢量表示式A與原坐標(biāo)系中的表示式A間的矩陣變換關(guān)系為 321333231232221131211321AAAaaaaaaaaaAAA(4.1-12) 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性其分量變換公式為 jijiAaA i, j=1, 2, 3 (4.1-13) 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性 3. 3. 對(duì)稱(chēng)張量對(duì)稱(chēng)張量 一個(gè)二階張量Tij，如果其Tij=Tji，則稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)張量，它只有六個(gè)獨(dú)立分量。與任何二次曲面一樣，二階

7、對(duì)稱(chēng)張量存在著一個(gè)主軸坐標(biāo)系，在該主軸坐標(biāo)系中，張量只有三個(gè)對(duì)角分量非零，為對(duì)角化張量。于是，當(dāng)坐標(biāo)系進(jìn)行主軸變換時(shí)， 二階對(duì)稱(chēng)張量即可對(duì)角化。例如，某一對(duì)稱(chēng)張量 333231232221131211TTTTTTTTT第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性經(jīng)上述主軸變換后， , 0,322331132112333222111TTTTTTTTTTTT可表示為 最后應(yīng)指出，張量與矩陣是有區(qū)別的，張量代表一種物理量， 因此在坐標(biāo)變換時(shí)，改變的只是表示方式，其物理量本身并不變化，而矩陣則只有數(shù)學(xué)意義。因此，有時(shí)把張量寫(xiě)在方括號(hào)內(nèi)， 把矩陣寫(xiě)在圓括號(hào)內(nèi)，以示區(qū)別。 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播

8、特性4.1.2 晶體的介電張量晶體的介電張量由電磁場(chǎng)理論已知，介電常數(shù)是表征介質(zhì)電學(xué)特性的參量。在各向同性介質(zhì)中，電位移矢量D與電場(chǎng)矢量E滿(mǎn)足如下關(guān)系： EDr0在此，介電常數(shù)=0r是標(biāo)量，電位移矢量D與電場(chǎng)矢量E的方向相同，即D矢量的每個(gè)分量只與E矢量的相應(yīng)分量線性相關(guān)。 對(duì)于各向異性介質(zhì)(例如晶體)，D和E間的關(guān)系為 EDr0(4.1 - 15) (4.1 - 14) 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性介電常數(shù) 是二階張量。 (4.1-14)式的分量形式為 r0jijiED0i, j=1, 2, 3(4.1-16) 即電位移矢量D的每個(gè)分量均與電場(chǎng)矢量E的各個(gè)分量線性相關(guān)。 在一般情

9、況下，D與E的方向不相同。又由光的電磁理論，晶體的介電張量是一個(gè)對(duì)稱(chēng)張量， 因此它有六個(gè)獨(dú)立分量。 經(jīng)主軸變換后的介電張量是對(duì)角張量， 只有三個(gè)非零的對(duì)角分量， 為 3322110000000(4.1-17) 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性11, 22, 33(或經(jīng)常表示為1、2、3) 稱(chēng)為主介電系數(shù)。由麥克斯韋關(guān)系式 rn還可以相應(yīng)地定義三個(gè)主折射率n1, n2,n3。在主軸坐標(biāo)系中，(4.1-16)式可表示為 3 , 2 , 10iEDiii(4.1-19) (4.1-18) 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性 進(jìn)一步，由固體物理學(xué)知道，不同晶體的結(jié)構(gòu)具有不同的空間對(duì)稱(chēng)性，

10、自然界中存在的晶體按其空間對(duì)稱(chēng)性的不同，分為七大晶系：立方晶系、四方晶系、六方晶系、三方晶系、 正方晶系、單斜晶系、三斜晶系。由于它們的對(duì)稱(chēng)性不同， 所以在主軸坐標(biāo)系中介電張量的獨(dú)立分量數(shù)目不同，各晶系的介電張量矩陣形式如表 4 - 1所示。由該表可見(jiàn)，三斜、單斜和正交晶系中，主相對(duì)介電系數(shù)123,這幾類(lèi)晶體在光學(xué)上稱(chēng)為雙軸晶體；三方、四方、六方晶系中，主相對(duì)介電系數(shù)1=23,這幾類(lèi)晶體在光學(xué)上稱(chēng)為單軸晶體；立方晶系在光學(xué)上是各向同性的，其主相對(duì)介電系數(shù)1=2=3。 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性表表 4 - 1 各晶系的介電張量矩陣各晶系的介電張量矩陣 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)

11、中的傳播特性4.2 理想單色平面光波在晶體中的傳播理想單色平面光波在晶體中的傳播 4.2.1 4.2.1 光在晶體中傳播特性的解析法描述光在晶體中傳播特性的解析法描述 根據(jù)光的電磁理論， 光在晶體中的傳播特性仍然由麥克斯韋方程組描述。 1. 1. 麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組 在均勻、不導(dǎo)電、非磁性的各向異性介質(zhì)(晶體)中， 若沒(méi)有自由電荷存在，麥克斯韋方程組為 tHEtDH0(4.2 - 1) (4.2 - 2) 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性00DB(4.2-3) (4.2-4) 物質(zhì)方程為 EDHB0(4.2-5) (4.2-6) 為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們只討論單色平面光波在晶體中的傳

12、播特性。 這樣處理，可不考慮介質(zhì)的色散特性，同時(shí)，對(duì)于任意復(fù)雜的光波，因?yàn)楣鈭?chǎng)可以通過(guò)傅里葉變換分解為許多不同頻率的單色平面光波的疊加， 所以也不失其普遍性。 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性2. 光波在晶體中傳播特性的一般描述光波在晶體中傳播特性的一般描述1) 單色平面光波在晶體中的傳播特性(1) 晶體中光電磁波的結(jié)構(gòu) 設(shè)晶體中傳播的單色平面光波為 )(000e )(rkcntiHDEHDE，式中， ，是真空中的光速; k是波法線方向的單位矢量；c/n=v，是介質(zhì)中單色平面光波的相速度。對(duì)于這樣一種光波，在進(jìn)行公式運(yùn)算時(shí)，可以以-i代替 ，以(in/c) k代換算符 。經(jīng)過(guò)運(yùn)算，(4

13、.2-1)(4.2-4)式變?yōu)?00/1;cnrt /(4.2-7) 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性000HkDkHnckEDnckH(4.2 - 8) (4.2 - 9) (4.2 - 10) (4.2 - 11) 由這些關(guān)系式可以看出： D垂直于H和k，H垂直于E和k，所以H垂直于E、D、k， 因此，E、D、k在垂直于H的同一平面內(nèi)。并且，在一般情況下， D和E不在同一方向上。 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性 由能流密度的定義S=EH可見(jiàn)，H垂直于E和s(能流方向上的單位矢量)，故E、D、s、k同在一個(gè)平面上，并且在一般情況下，s和k的方向不同，其間夾角與E和D之間的夾

14、角相同(圖 4-1)。由此，我們可以得到一個(gè)重要結(jié)論：在晶體中，光的能量傳播方向通常與光波法線方向不同。(2) 能量密度根據(jù)電磁能量密度公式及(4.2-8)式、(4.2-9)式， 有 kHEcnkHEcnDEwe)(2)(221(4.2-12) (4.2-13) 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性圖 4-1 平面光波的電磁結(jié)構(gòu)第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性kkEcnkEHcnHBwm)(2)(221于是， 總電磁能量密度為 ksScnwwwme|(4.2-15) 對(duì)于各向同性介質(zhì)，因s與k同方向，所以有 | Scnw (4.2-14) (4.2-16) 第 4 章 光在各向異性

15、介質(zhì)中的傳播特性(3) 相速度和光線速度相速度vp是光波等相位面的傳播速度，其表示式為 knckvvpp(4.2 - 17) 光線速度vr是單色光波能量的傳播速度，其方向?yàn)槟芰髅芏?玻印廷矢量)的方向s，大小等于單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)垂直于能流方向上的一個(gè)單位面積的能量除以能量密度，即 swSsvvrr|(4.2 - 18) 由(4.2-15)(4.2-18)式可以得到 cosrrpvksvv(4.2 - 19) 即如圖 4-2 所示，單色平面光波的相速度是其光線速度在波陣面法線方向上的投影。 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性圖 4-2vp與vr的關(guān)系 (AB表示波陣面) 第 4 章 光在各向

16、異性介質(zhì)中的傳播特性2) 光波在晶體中傳播特性的描述(1) 晶體光學(xué)的基本方程 由麥克斯韋方程組出發(fā)，將(4.2-8)和(4.2-9)式的H消去，可以得到 kkEnkkEcnD)()(20202再利用矢量恒等式 A(BC)=B(AC)-C(AB) 變換為 D=0n2E-k(kE) (4.2- 20) 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性式中，方括號(hào)E-k(kE)所表示的量實(shí)際上是E在垂直于k(即平行于D)方向上的分量，記為E(圖4-3)。由此，(4.2-20)式可以寫(xiě)成D=0n2E 我們還可以將(4.2-20)式、(4.2-21)式寫(xiě)成如下所述的另外一種形式。因?yàn)镋=E cos所以 DnD

17、nnDEE2020201)cos(1cos)cos(1coscos(4.2 - 22) (4.2 - 23) (4.2 - 21) 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性圖 4-3 E和D的定義 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性根據(jù)折射率的定義 pvcn 可以在形式上定義“光線折射率”(或射線折射率、 能流折射率)nr: coscosnvcvcnprr(4.2 - 25) 由此可將(4.2-23)式表示為 )(20DssDncErDncEr20(4.2 - 26) (4.2 - 27) (4.2 - 24) 或第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性(2) 菲涅耳方程為了考察晶體的光

18、學(xué)特性，我們選取主軸坐標(biāo)系，因而物質(zhì)方程為Di=0iEi i=1, 2, 3 波法線菲涅耳方程(波法線方程)。將基本方程(4.2-20)式寫(xiě)成分量形式Di=0n2Ei-ki(kE) i=1, 2, 3 (4.2-29)并代入Dii關(guān)系，經(jīng)過(guò)整理可得 2011)(nEkkDiii(4.2-30)(4.2-28)第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性由于Dk=0， 因而有 0332211kDkDkD將(4.2-30)式代入后， 得到 0111111322322221221nknknk(4.2-31) 該式描述了在晶體中傳播的光波法線方向k與相應(yīng)的折射率n和晶體光學(xué)參量(主介電張量) 之間的關(guān)系。

19、 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性(4.2-31)式還可表示為另外一種形式。根據(jù)vp=c/n，可以定義三個(gè)描述晶體光學(xué)性質(zhì)的主速度： 332211,cvcvcv它們實(shí)際上分別是光波場(chǎng)沿三個(gè)主軸方向x1，x2，x3的相速度。由此可將(4.2-31)式變換為 0232232222221221vvkvvkvvkppp(4.2-33) (4.2-32) 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性在由(4.2-31)、(4.2-33)式得到與每一個(gè)波法線方向k相應(yīng)的折射率或相速度后，為了確定與波法線方向k相應(yīng)的光波D和E的振動(dòng)方向，可將(4.2-30)式展開(kāi) 0)1 (0)1 (0)1 (3232

20、32232113233222222211223312221212121EknEkknEkknEkknEknEkknEkknEkknEkn(4.2-34) 將由(4.2-31)式解出的兩個(gè)折射率值n和n分別代入(4.2-34)式，即可求出相應(yīng)的兩組比值和，從而可以確定出與n和n分別對(duì)應(yīng)的E和E的方向。再由物質(zhì)方程的分量關(guān)系求出相應(yīng)的兩組比值和，從而可以確定出與n和n分別對(duì)應(yīng)的D和D的方向。由于相應(yīng)于E、E及D、D的比值均為實(shí)數(shù)，所以E和D都是線偏振的。 321:EEE321:EEE 321:DDD321:DDD 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性進(jìn)而可以證明，相應(yīng)于每一個(gè)波法線方向k的兩個(gè)

21、獨(dú)立折射率n和n的電位移矢量D和D相互垂直。證明過(guò)程如下：利用(4.2-30)式， 建立D和D的標(biāo)量積： 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性32233223222222221221122122220323223222222121221201) (11) (11) (11) (11) (11) (1) () () () )(1) (11) (11) (11) (11) (11) (1) )(nknknknknknknnnnEkEknnknnknnkEkEkDD第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性由于(n)2和(n)2都是(4.2-31)式的解，所以上式方括號(hào)中的第一、三、五項(xiàng)之和為零，

22、第二、四、六項(xiàng)之和也為零。 因此， DD=0由此，可以得到晶體光學(xué)性質(zhì)的又一重要結(jié)論：一般情況下，對(duì)應(yīng)于晶體中每一給定的波法線方向k，只允許有兩個(gè)特定振動(dòng)方向的線偏振光傳播，它們的D矢量相互垂直(因而振動(dòng)面相互垂直)，具有不同的折射率或相速度。 由于E、D、s、k四矢量共面，因而這兩個(gè)線偏振光有不同的光線方向(s和s)和光線速度(vr 和vr )。通常稱(chēng)這兩個(gè)線偏振光為相應(yīng)于給定k方向的兩個(gè)可以傳播的本征模式，其方向關(guān)系如圖 4-4 所示。 (4.2-35) 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性圖 4-4 與給定的k相應(yīng)的D、E和s 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性 光線菲涅耳方程

23、(光線方程)。上面討論的波法線菲涅耳方程確定了在給定的某個(gè)波法線方向k上，特許的兩個(gè)線偏振光(本征模式)的折射率(或相速度)和偏振態(tài)。類(lèi)似地，也可以得到確定相應(yīng)于光線方向?yàn)閟的兩個(gè)特許線偏振光的光線速度和偏振態(tài)的方程光線菲涅耳方程(射線菲涅耳方程、光線方程)。該方程是由(4.2-27)式出發(fā)推導(dǎo)出的，推導(dǎo)過(guò)程從略，下面只給出具體結(jié)果： 0322322221221rrrnsnsns(4.2-36) 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性或 0111111232232222221221vvsvvsvvsrrr(4.2-37) (4.2-36)式和(4.2-37)式描述了在晶體中傳播的光線方向s與

24、相應(yīng)的光線折射率nr、光線速度vr和晶體的光學(xué)參量 、主速度v1、 v2、v3之間的關(guān)系。類(lèi)似前面的討論可以得出如下結(jié)論：在給定的晶體中， 相應(yīng)于每一個(gè)光線方向s，只允許有兩個(gè)特定振動(dòng)方向的線偏振光(兩個(gè)本征模式)傳播，這兩個(gè)光的E矢量相互垂直(因而振動(dòng)面相互垂直)，并且，在一般情況下，有不同的光線速度、不同的波法線方向和不同的折射率。 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性最后，注意到(4.2-20)式和(4.2-27)式在形式上的相似性， 可以得到如下兩行對(duì)應(yīng)的變量： ,1,1,1,1,1,10110vncksDEvnvcskDErrp(4.2-38) 如果任何一個(gè)關(guān)系式在(4.2-38

25、)式關(guān)系中某一行的諸量成立，則將該關(guān)系式中的各量用(4.2-38)式對(duì)應(yīng)關(guān)系中的另一行相應(yīng)量代替，就可以得到相應(yīng)的另一個(gè)有效的關(guān)系式。應(yīng)用這一規(guī)則，(4.2-36)式和(4.2-37)式分別可以由(4.2-31)式和(4.2-33)式直接通過(guò)變量代換得出。 并且，無(wú)論是根據(jù)波法線方程(4.2-31)式、(4.2-33)式，還是根據(jù)光線方程(4.2-36)式、(4.2-37)式，都可以同樣地完成光在晶體中傳播規(guī)律的研究。 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性3. 光在幾類(lèi)特殊晶體中的傳播規(guī)律光在幾類(lèi)特殊晶體中的傳播規(guī)律上面從麥克斯韋方程組出發(fā)，直接推出了光波在晶體中傳播的各向異性特性，并未涉

26、及具體晶體的光學(xué)性質(zhì)。下面， 結(jié)合幾類(lèi)特殊晶體的具體光學(xué)特性，從晶體光學(xué)的基本方程出發(fā)， 討論光波在其中傳播的具體規(guī)律。1) 各向同性介質(zhì)或立方晶體各向同性介質(zhì)或立方晶體的主介電系數(shù)1=2=3=n02。根據(jù)前面討論的有關(guān)確定晶體中光波傳播特性的思路， 將波法線菲涅耳方程(4.2-31)式通分、整理, 得到 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性0)()()()(32121231323223222212122332222114kkkkkknkkkn代入1=2=3=n20，并注意到k21+k22+k23=1，該式簡(jiǎn)化為 0)(2202nn(4.2-39) 由此得到重根 n=n=n0。這就是說(shuō)，在

27、各向同性介質(zhì)或立方晶體中，沿任意方向傳播的光波折射率都等于主折射率n0 ，或者說(shuō)，光波折射率與傳播方向無(wú)關(guān)。 進(jìn)一步，把n=n=n0的結(jié)果代入(4.2-34)式，可以得到三個(gè)完全相同的關(guān)系式 k1E1+k2E2+k3E3=0 (4.2-40) 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性此式即為kE=0。它表明，光電場(chǎng)矢量E與波法線方向垂直。因此，E平行于D，s平行于k。所以，在各向同性介質(zhì)或立方晶體中傳播的光波電場(chǎng)結(jié)構(gòu)如圖 4-5所示。由于(4.2-40)式只限定了E垂直于k，而對(duì)E的方向沒(méi)有約束，因而在各向同性介質(zhì)或立方晶體中沿任意方向傳播的光波，允許有兩個(gè)傳播速度相同的線性不相關(guān)的偏振態(tài)(二

28、偏振方向正交)，相應(yīng)的振動(dòng)方向不受限制，并不局限于某一特定的方向上。 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性圖 4-5 各向同性介質(zhì)中D, E, k, s的關(guān)系 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性 2) 單軸晶體 單軸晶體的主相對(duì)介電系數(shù)為 223221,oeonn(4.2 - 41) 其中，neno的晶體，稱(chēng)為正單軸晶體；ne no 時(shí)，稱(chēng)為負(fù)單軸晶體。(1) 兩種特許線偏振光波(本征模式)為討論方便起見(jiàn)，取k在x2Ox3平面內(nèi)，并與x3軸夾角為，則 k1=0, k2=sin, k3=cos (4.2 - 42) 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性將(4.2-41)式和(4.2

29、-42)式的關(guān)系代入(4.2-31)式，得到 0)cossin()cossin(24222222222224eoeoeoeonnnnnnnnnn即 0)cossin()(222222222eoeoonnnnnnn(4.2-43) 該方程有兩個(gè)解 onn (4.2-44) 2222cossineoeonnnnn(4.2-45) 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性第一個(gè)解n與光的傳播方向無(wú)關(guān)，與之相應(yīng)的光波稱(chēng)為尋常光波(正常光波)，簡(jiǎn)稱(chēng)o光。第二個(gè)解n與光的傳播方向有關(guān)，隨變化，相應(yīng)的光波稱(chēng)為異常光波(非尋常光波、非常光波)， 簡(jiǎn)稱(chēng)e光。對(duì)于e光，當(dāng)=/2時(shí)，n=ne; 當(dāng)=0 時(shí)，n=no

30、。 可見(jiàn)，當(dāng)k與x3軸方向一致時(shí)，光的傳播特性如同在各向同性介質(zhì)中一樣，n=n=no，并因此把x3軸這個(gè)特殊方向稱(chēng)為光軸。因?yàn)樵谶@種晶體中只有x3軸一個(gè)方向是光軸，所以稱(chēng)之為單軸晶體。 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性 下面確定兩種光波的偏振態(tài)。 尋常光波。將n=n=no及k1=0, k2=sin, k3=cos代入(4.2-34)式， 得到 0)sin(cossin0cossin)(0)(32222232222122EnnEnEnEnnEnnoeoooooo(4.2-46) 第一式中，因系數(shù)為零，所以E1有非零解；第二、 三式中，因系數(shù)行列式不等于零，所以是一對(duì)不相容的齊次方程，此時(shí)

31、，只可能是E2=E3=0。因此，o光的E平行于x1軸，有E=E1i。對(duì)于一般的k方向，o光的E垂直于k與光軸(x3)所決定的平面。又由于D=on2oE，所以o光的D矢量與E矢量平行。 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性 異常光波。 將n=n及k1=0，k2=sin，k3=cos代入(4.2-34)式，得到 0)sin)(cossin)(0cossin)()cos(0)(322222322222122EnnEnEnEnnEnneoo(4.2-47) 在第一式中，因系數(shù)不為零，只可能是E1=0；在第二、三式中，因系數(shù)行列式等于零，E2和E3有非零解?？梢?jiàn)，e光的E矢量位于x2Ox3平面內(nèi)。對(duì)

32、于一般的k方向，e光的E矢量位于k矢量與光軸(x3)所確定的平面內(nèi)。同時(shí)，由于D1=01E1=0，因而D矢量也在x2Ox3平面內(nèi)，但不與E矢量平行。另外，e光的s矢量、k矢量和光軸共面，但s與k不平行。僅當(dāng)=/2時(shí)，E2=0, E矢量與光軸平行，此時(shí)，DE, ks，相應(yīng)的折射率為ne。 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性綜上所述，在單軸晶體中，存在兩種特許偏振方向的光波(本征模式)：o光和e光。對(duì)應(yīng)于某一波法線方向k有兩條光線：o光的光線so和e光的光線se，如圖 4-6 所示。這兩種光波的E矢量(和D矢量)彼此垂直。對(duì)于o光，E矢量和D矢量總是平行，并且垂直于波法線k與光軸所確定的平面

33、；折射率不依賴(lài)于k的方向；光線方向so與波法線方向重合。這種特性與光在各向同性介質(zhì)中的傳播特性一樣，所以稱(chēng)為尋常光波。對(duì)于e光，其折射率隨k矢量的方向改變；E矢量與D矢量一般不平行，并且都在波法線k與光軸所確定的平面內(nèi)，它們與光軸的夾角隨著k的方向改變；折射率隨k矢量的方向變化；光線方向se與波法線方向不重合。這種特性與光在各向同性介質(zhì)中的傳播特性不一樣，所以稱(chēng)為異常光波或非常光波。 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性圖 4-6單軸晶體中的o光和e光第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性 (2) e光的波法線方向和光線方向由上分析已知，單軸晶體中e光波法線方向與光線方向之間存在著一個(gè)夾

34、角，通常稱(chēng)為離散角。確定這個(gè)角度，對(duì)于晶體光學(xué)元件的制作和許多應(yīng)用非常重要。因此，下面對(duì)該角度問(wèn)題進(jìn)行較詳細(xì)的討論。 由光的電磁理論，相應(yīng)于同一e光光波的E, D, s, k均在垂直于H的同一平面內(nèi)。若取圖4-6中的x3軸為光軸，E, D, s, k均在主截面x2Ox3平面內(nèi)，k與x3軸的夾角為, s與z軸的夾角為j，且所取坐標(biāo)系為單軸晶體的主軸坐標(biāo)系， 則有 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性3213110321000000EEEDDD因而有 320330322002102EnEDEnEDe(4.2-49) 根據(jù)圖4-6中的幾何關(guān)系，有 2323tan,tanEEDDj(4.2-50)

35、 (4.2-48) 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性將(4.2-49)式中的兩個(gè)式子相除， 并利用(4.2-50)式， 可得 jtantan22eonn(4.2-51) 進(jìn)一步，根據(jù)離散角的定義，應(yīng)有如下關(guān)系： jjjtantan1tantan)tan(tan(4.2-52) 將(4.2-51)式代入， 整理可得 1222222sincos112sin21taneoeonnnn(4.2-53) 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性由該式可見(jiàn)： 當(dāng)=0或 90，即光波法線方向k平行或垂直于光軸時(shí)，=0。這時(shí)，s與k、E與D方向重合。 no, 0，e光的光線較其波法線靠近光軸；對(duì)于負(fù)單

36、軸晶體，ne no, 0，e光的光線較其波法線遠(yuǎn)離光軸。 可以證明，當(dāng)k與光軸間的夾角滿(mǎn)足 oenntan(4.2-54) 時(shí)，有最大離散角 eooeMnnnn2arctan22(4.2-55) 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性證明如下：將 =-j對(duì)求導(dǎo)， 可得 jdddd1由(4.2-51)式，有 )tan1 (tancos11122442222244joeeoeoeonnnnnnnndd第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性為得到最大離散角M，應(yīng)令d/d=0，即0)tan1 (tan11222422joeeonnnndddd由此得到下面的方程：0)tan1 (tan222244e

37、ooennnn求解該方程可得： oenntan將該式代入(4.2-51)式，并由(4.2-52)式求出最大離散角為 eooeMnnnn2arctan22第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性 在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常要求晶體元件工作在最大離散角的情況下，同時(shí)滿(mǎn)足正入射條件，這就應(yīng)當(dāng)如圖4 - 7 所示， 使通光面(晶面)與光軸的夾角=90 滿(mǎn)足 eonntan(4.2-56) 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性圖 4 7實(shí)際的晶體元件方向 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性 3) 雙軸晶體 雙軸晶體的三個(gè)主相對(duì)介電系數(shù)都不相等，即123, 因而n1n2n3。通常主相對(duì)介電系數(shù)按12no

38、，則稱(chēng)為正單軸晶體(如石英晶體)，折射率橢球是沿著x3軸拉長(zhǎng)了的旋轉(zhuǎn)橢球； 若ne no，則稱(chēng)為負(fù)單軸晶體(如方解石晶體)， 折射率橢球是沿著x3軸壓扁了的旋轉(zhuǎn)橢球。 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性 設(shè)晶體內(nèi)一平面光波的k與x3軸夾角為，則過(guò)橢球中心作垂直于k的平面(k)與橢球的交線必定是一個(gè)橢圓(圖4-13)。其截線方程可用下述方法得到：由于旋轉(zhuǎn)橢球的x1(x2)軸的任意性， 可以假設(shè)(k，x3)面為x2Ox3平面。若建立新的坐標(biāo)系O-x1x2x3，使x3軸與k重合， x1軸與x1軸重合，則x2軸在x2Ox3平面內(nèi)。這時(shí)，(k)截面即為x1O x2面，其方程為 03x(4.2-78

39、) 新舊坐標(biāo)系的變換關(guān)系為(圖 4 - 14) cossinsincos32332211xxxxxxxx第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性圖 4 - 13 單軸晶體折射率橢球作圖法 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性圖 4 - 14 兩個(gè)坐標(biāo)系的關(guān)系 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性將上面關(guān)系代入(4.2-77)式，再與(4.2-78)式聯(lián)立， 就有 1sincos222 2222 222 1eoonxnxnx經(jīng)過(guò)整理，可得出截線方程為 12 2 222 1eonxnx(4.2-79) 其中 2222cossineoeoennnnn(4.2-80) 第 4 章 光在各向異性

40、介質(zhì)中的傳播特性或表示為 22222sincos1eoonnn(4.2-81) 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性 下面討論兩種特殊情況： =0 時(shí)，k與x3軸重合，這時(shí)，ne=no，中心截面與橢球的截線方程為 22221onxx這是一個(gè)半徑為no的圓?？梢?jiàn)，沿x3軸方向傳播的光波折射率為no ， D矢量的振動(dòng)方向除與x3軸垂直外，沒(méi)有其它約束，即沿x3軸方向傳播的光可以允許任意偏振方向，且折射率均為no，故x3軸為光軸。因?yàn)檫@類(lèi)晶體只有一個(gè)光軸，所以稱(chēng)為單軸晶體。 (4.2-82) 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性 =/2 時(shí)，k與x3軸垂直，這時(shí)，ne=ne, e光的D與x3

41、軸平行。中心截面與橢球的截線方程為 1223221eonxnx(4.2-83) 由于折射率橢球是旋轉(zhuǎn)橢球，x1、x2坐標(biāo)軸可任意選取，所以包含x3軸的中心截面都可選作x3Ox1平面(或x3Ox2平面)。對(duì)于正單軸晶體，e光有最大折射率；而對(duì)于負(fù)單軸晶體，e光有最小折射率。 運(yùn)用圖 4-12 所示的幾何作圖法，可以得到DE, ks。 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性 (3) 雙軸晶體 雙軸晶體中的光軸。對(duì)于雙軸晶體，介電張量的三個(gè)主介電系數(shù)不相等，即123，因而n1n2n3，所以折射率橢球方程為 1232322222121nxnxnx(4.2-84) 若約定n1n2n3，則折射率橢球與x

42、1Ox3平面的交線是橢圓(圖4- 15)，它的方程為 123232121nxnx(4.2-85) 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性圖 4-15雙軸晶體折射率橢球在x1Ox3面上的截線第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性式中，n1和n3分別是最短、最長(zhǎng)的主半軸。若橢圓上任意一點(diǎn)的矢徑r與x1軸的夾角為，長(zhǎng)度為n， 則(4.2-85)式可以寫(xiě)成 1)sin()cos(232212nnnn或 2322122sincos1nnn(4.2-86) n的大小隨著在n1和n3之間變化。由于n1 n2no，球面內(nèi)切于橢球；對(duì)于負(fù)單軸晶體， neno ，球面外切于橢球。兩種情況的切點(diǎn)均在x3軸上，故

43、x3軸為光軸。當(dāng)與x3軸夾角為的波法線方向k與折射率曲面相交時(shí)， 得到長(zhǎng)度為no和ne ()的矢徑，它們分別是相應(yīng)于k方向的兩個(gè)特許線偏振光的折射率，其中ne ()可由(4.2-98)式求出： 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性圖 4-20單軸晶體折射率曲面(a) 正單軸晶體； (b) 負(fù)單軸晶體 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性2222cossin)(eoeoennnnn對(duì)于雙軸晶體，n1n2n3, (4.2-95)式所示的四次曲面在三個(gè)主軸截面上的截線都是一個(gè)圓加上一個(gè)同心橢圓，它們的方程分別是： x2Ox3面 01)(01)(01)(21222221232221232121

44、2322212322232322212322xxxxnxxxxxxnxxxxxxnxxx3Ox1面 x1Ox2面 (4.2-100) (4.2-99) 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性按約定，n1n2n3，則三個(gè)主軸截面上的截線可以表示如圖 4-21 所示。折射率曲面的兩個(gè)殼層僅有四個(gè)交點(diǎn)，就是x3Ox1截面上的四個(gè)交點(diǎn)，在三維示意圖中可以看出四個(gè)“臍窩”。 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性圖 4-21 雙軸晶體的折射率曲面在三個(gè)主軸截面上的截線 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性圖 4 - 22 雙軸晶體的折射率曲面在第一卦限中的示意圖 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的

45、傳播特性 根據(jù)光軸方向?yàn)槎卦S線偏振光折射率相等的k方向的定義， 雙軸晶體的光軸在x3Ox1面內(nèi)，如圖4-21所示，是兩個(gè)殼層的交點(diǎn)與原點(diǎn)的連線OA和OA方向。 可以證明，折射率曲面在任一矢徑末端處的法線方向，即與該矢徑所代表的波法線方向k相應(yīng)的光線方向s。 應(yīng)注意，折射率曲面雖然可以將任一給定k方向所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)折射率直接表示出來(lái)，但它表示不出相應(yīng)的兩個(gè)光的偏振方向。因此，與折射率橢球相比，折射率曲面對(duì)于光在界面上的折射、反射問(wèn)題討論比較方便，而折射率橢球用于處理偏振效應(yīng)的問(wèn)題比較方便。 對(duì)于折射率曲面，如果將其矢徑長(zhǎng)度乘以/c，則構(gòu)成一個(gè)新曲面的矢徑r=(nc) k，這個(gè)曲面稱(chēng)為波矢曲面，通

46、常記為(k,k)曲面。 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性 3. 菲涅耳橢球菲涅耳橢球 上面討論的折射率橢球和折射率曲面都是相對(duì)波法線方向k而言的。由于晶體中的k與s可能分離，而在有些應(yīng)用中給定的是s方向，因而利用相對(duì)s而言的曲面討論光的傳播規(guī)律比較方便。菲涅耳橢球就是相對(duì)光線方向s引入的幾何曲面。 由折射率橢球方程(4.2-65)出發(fā)，利用(4.2-38)式的矢量對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得 1232322222121rrrvxvxvx(4.2-101) 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性式中，vr1、vr2、vr3表示三個(gè)主軸方向上的光線主速度。這個(gè)方程就是用來(lái)描述光在晶體中傳播特性的菲涅耳

47、橢球。在描述光的傳播特性時(shí)， 它與折射率橢球的作圖方法完全相同，只是以光線方向s取代波法線方向k。對(duì)于任一給定的光線方向s，過(guò)菲涅耳橢球中心作垂直于s的平面，它與菲涅耳橢球相交，其截線為橢圓，該橢圓的長(zhǎng)、短軸方向表示與s方向相應(yīng)的二特許線偏振光電場(chǎng)強(qiáng)度E的振動(dòng)方向，半軸長(zhǎng)度表示該二光的光線速度。 如果把長(zhǎng)、短半軸矢徑記作ra(s)和rb(s)，則 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性| )(|)()(| )(|)()( | )(|)(| )(|)(srsrsesrsrsesrsvsrsvbbaabrar(4.2-102) (4.2-103) (4.2-103)式中，e表示與光線方向s相應(yīng)的

48、E矢量振動(dòng)方向上的單位矢量。 菲涅耳橢球可記為 (e,vr)曲面。 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性 4. 射線曲面射線曲面 射線曲面是和折射率曲面相對(duì)應(yīng)的幾何圖形，它描述與晶體中光線方向s相應(yīng)的兩個(gè)光線速度的分布。射線曲面上的矢徑方向平行于給定的s方向， 矢徑的長(zhǎng)度等于相應(yīng)的兩個(gè)光線速度vr，因此可簡(jiǎn)記為(s,vr)曲面。實(shí)際上，射線曲面就是在晶體中完全包住一個(gè)單色點(diǎn)光源的波面。 射線曲面在主軸坐標(biāo)系中的極坐標(biāo)方程就是(4.2-37)式，現(xiàn)重寫(xiě)如下： 0111111232232222221221vvsvvsvvsrrr(4.2-104) 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性在形式

49、上， 它與折射率曲面方程(4.2-94)式相仿， 因此曲面形狀相似， 也是一個(gè)雙殼層曲面。 不過(guò)由于波速與折射率成反比， 兩殼層的里外順序與折射率曲面正好相反。圖 4-23 表示的是單軸晶體的射線曲面， 圖4-24 表示的是雙軸晶體射線曲面在三個(gè)主軸截面上的截線， 圖 4-25 為雙軸晶體的射線曲面在第一卦限中的示意圖。 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性圖 4 - 23 單軸晶體的射線曲面(a) 正單軸晶體； (b) 負(fù)單軸晶體 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性圖 4 24 雙軸晶體射線曲面在三個(gè)主軸截面上的截線 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性圖 4 - 25 雙軸晶

50、體射線曲面在第一卦限中的示意圖 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性 至此，我們介紹了四種描述晶體光學(xué)性質(zhì)的幾何圖形： 折射率橢球(d,n)曲面；折射率曲面(k,n)曲面，菲涅耳橢球(e,vr)曲面；射線曲面(s,vr)曲面。實(shí)質(zhì)上，這幾種曲面的作用完全等效，只是某種場(chǎng)合應(yīng)用其中某一種曲面處理問(wèn)題較為方便而已。 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性4.3 平面光波在晶體界面上的反射和折射平面光波在晶體界面上的反射和折射 4.3.1 光在晶體界面上的雙反射和雙折射光在晶體界面上的雙反射和雙折射 眾所周知，一束單色光入射到各向同性介質(zhì)的界面上時(shí)， 將分別產(chǎn)生一束反射光和一束折射光， 并且遵

51、從熟知的反射定律(1.2-7)式)和折射定律(1.2-8)式)。人們?cè)趯?shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，一束單色光從空氣入射到晶體表面(例如方解石晶體)上時(shí)，會(huì)產(chǎn)生束同頻率的折射光(圖4-26)，這就是雙折射現(xiàn)象；當(dāng)一束單色光從晶體內(nèi)部(例如方解石晶體)射向界面上時(shí)，會(huì)產(chǎn)生兩束同頻率的反射光(圖 4-27)， 這就是雙反射現(xiàn)象。并且，在界面上所產(chǎn)生的兩束折射光或兩束反射光都是線偏振光，它們的振動(dòng)方向相互垂直。顯然，這種雙折射和雙反射現(xiàn)象都是晶體中光學(xué)各向異性特性的直接結(jié)果。 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性圖4-26 方解石晶體的雙折射現(xiàn)象第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性圖 4-27 方解石晶體中的

52、雙反射現(xiàn)象第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性 假設(shè)一束單色平面光波自空氣射向晶體，ki、kr、kt分別為入射光、反射光、折射光的波矢，則由光的電磁場(chǎng)理論可得 0)(0)(rkkrkkitir(4.3-1) (4.3-2) (4.3-1)式是反射定律的矢量形式，可表述為：反射光與入射光的波矢差與界面垂直。(4.3-2)式是折射定律的矢量形式，可表述為： 折射光與入射光的波矢差與界面垂直。由該二式可見(jiàn)， ki、kr、kt和界面法線共面，或者說(shuō)，反射光和折射光的波法線都在入射面內(nèi)。 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性 若設(shè)i、r、t分別為入射角、反射角、折射角，則有kisini=krsi

53、nr=ktsint (4.3-3)或 nisini=nrsinr (4.3-4)nisini=ntsint (4.3-5)(4.3-4)式和(4.3-5)式就是光在晶體界面上的反射定律和折射定律。在形式上，它們與各向同性介質(zhì)的反射、折射定律相同， 但是， 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性 式中的i、r、t都是對(duì)波法線方向而言的，盡管反射光、折射光的波法線均在入射面內(nèi)， 但它們的光線有可能不在入射面內(nèi)。 在晶體中，光的折射率因傳播方向、電場(chǎng)振動(dòng)方向而異。 如果光從空氣射至晶體，則因折射光的折射率nt不同，其折射角t也不同；如果光從晶體內(nèi)部射出，相應(yīng)的入射光和反射光的折射率ni和nr不相等

54、，所以在一般情況下入射角不等于反射角。 由于雙折射和雙反射現(xiàn)象的存在，滿(mǎn)足(4.3-4)式的nr和r以及滿(mǎn)足(4.3-5)式的nt和t都有兩個(gè)可能的值。 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性4.3.2 光在晶體界面上反射和折射方向的幾何作圖法描述光在晶體界面上反射和折射方向的幾何作圖法描述 1. 惠更斯作圖法惠更斯作圖法 惠更斯作圖法是利用射線曲面(即波面)確定反射光、折射光方向的幾何作圖法。對(duì)于各向同性介質(zhì)， 惠更斯原理曾以次波的包跡是新的波陣面的觀點(diǎn)，說(shuō)明了光波由一種介質(zhì)進(jìn)入另一種介質(zhì)時(shí)為什么會(huì)折射，并通過(guò)作圖法利用次波面的單層球面特性，確定了次波的包跡波陣面， 從而確定了折射光的傳播

55、方向。第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性 對(duì)于各向異性介質(zhì)(晶體)，情況就復(fù)雜多了。由上一節(jié)的討論已知，晶體空間對(duì)于光的傳播來(lái)說(shuō)， 是一個(gè)偏振化的空間， 一束入射光不管其偏振性質(zhì)如何，它一進(jìn)入晶體，就要按晶體所規(guī)定的方式分成取向不同的兩種特許的線偏振態(tài)，并且這兩種振動(dòng)所產(chǎn)生的次波沿任一方向都以不同的速度傳播。因此， 在晶體界面上的次波源向晶體內(nèi)發(fā)射的次波波面是雙殼層曲面， 每一殼層對(duì)應(yīng)一種振動(dòng)方式， 這就是上節(jié)介紹的射線曲面。 這樣，對(duì)于兩種不同振動(dòng)方式的次波的包跡， 就是各自的波陣面， 它們按不同的方向傳播，從而形成兩束折射光。 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性 下面以單軸晶體

56、為例，說(shuō)明惠更斯作圖法。 假設(shè)有一束平行光由各向同性介質(zhì)(n1)斜入射到正單軸晶體的表面上，晶體光軸為一般取向，即光軸與入射面不平行， 也不垂直。當(dāng)入射波波面上的B到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，A點(diǎn)發(fā)出的次波波面如圖4-28 所示，其中半徑為AR=v1的球面是在入射介質(zhì)(各向同性)中的波面，晶體中的o光波面是半徑為AR0=vo的球面， 這兩個(gè)球面與入射面的截線都是圓。由于晶體光軸為一般取向， 所以晶體中e光的波面與入射面的截線是一個(gè)如圖所示的橢圓， 但它并不以入射面(圖平面)為對(duì)稱(chēng)面，其一個(gè)半軸長(zhǎng)為vo，另一個(gè)半軸長(zhǎng)介于vo 和ve之間。 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性圖 4 - 28 惠更斯作圖法第

57、 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性 將SA延長(zhǎng)與入射光波面相交于R，過(guò)R作切平面AR，它就是入射光次波面的包跡入射光波的波陣面。由于入射介質(zhì)是各向同性介質(zhì)，所以入射光的光線方向和波法線方向均為AR方向。在晶體中，折射光的方向可以通過(guò)A向折射光波面作切平面確定：過(guò)A作o光波面的切平面A0，R0為切點(diǎn)， 該平面就是尋常折射光的波陣面，AR0方向是尋常折射光能流(光線)方向。由于o光波面是球面，所以AR0垂直于A0切平面，并且AR0在入射面內(nèi)，因此，它既是尋常折射光的光線方向，又是其波法線方向；過(guò)A作e光波面的切平面A，它就是非常折射光的波陣面。因?yàn)樵谝话闱闆r下，e光波面與A面的切點(diǎn)不在圖面內(nèi)，

58、所以非常光線一般不在入射面上，但過(guò)A作A面的法線AN卻在圖面上，AN就是非常折射光的波法線方向。 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性 由上述惠更斯原理和惠更斯作圖法說(shuō)明了單軸單體中兩個(gè)折射光的性質(zhì)：o光折射光的波法線方向與光線方向一致，并在入射面內(nèi)；e光折射光的波法線方向在入射面內(nèi)，但e光光線方向一般不在入射面內(nèi)。 在使用惠更斯原理和惠更斯作圖法說(shuō)明晶體中折射光方向時(shí)，有兩種很有實(shí)際意義的雙折射現(xiàn)象：圖 4-29(a)表示晶體表面垂直于光軸方向切割，光線沿光軸方向傳播，不發(fā)生雙折射現(xiàn)象；圖4-29(b)和(c)表示晶體表面平行于光軸方向切割，當(dāng)光線垂直表面入射時(shí)，折射光方向也只有一個(gè)，但

59、沿該方向傳播的o光和e光的速度不同，因此通過(guò)晶片后，它們之間將產(chǎn)生一定的相位差。利用這種晶片制作的光學(xué)元件，在光電子技術(shù)中有重要的用途。 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性圖 4 - 29 正入射時(shí)晶體中的折射現(xiàn)象(負(fù)單軸晶體) 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性 2. 斯涅耳作圖法斯涅耳作圖法 利用折射率曲面也可以確定與入射光相應(yīng)的反射光、折射光的傳播方向。但為了簡(jiǎn)明起見(jiàn)，通常是采用波矢曲面進(jìn)行。 斯涅耳作圖法就是利用波矢曲面確定反射光、折射光傳播方向的幾何作圖法。 圖4-30 給出了以界面上任一點(diǎn)A為原點(diǎn)，在晶體一側(cè)按同一比例畫(huà)出的入射光所在介質(zhì)中的波矢面和晶體中的波矢面(雙殼

60、層曲面)。自A點(diǎn)引一直線平行于入射光波法線方向，與入射光所在介質(zhì)的波矢面交于Ni，該ANi即為入射光波ki。以Ni點(diǎn)作面的垂線交晶體中的波矢面于Nt和Nt, ANt和ANt就是與入射光ki相應(yīng)的兩個(gè)折射光波矢kt和kt 。每一個(gè)折射光對(duì)應(yīng)著一個(gè)光線方向和一個(gè)光線速度，這就是雙折射現(xiàn)象。 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性圖 4 - 30 斯涅耳作圖 第 4 章 光在各向異性介質(zhì)中的傳播特性 對(duì)于晶體內(nèi)部的雙反射現(xiàn)象，可以類(lèi)似處理：以界面上任一點(diǎn)為原點(diǎn)，在界面兩側(cè)畫(huà)出晶體的波矢面，其中入射光的波矢面畫(huà)在晶體外側(cè)，自原點(diǎn)引出與入射光波法線方向平行的直線， 確定出入射波矢ki，過(guò)ki末端作的垂