大學(xué)物理第三章剛體和流體運(yùn)動(dòng)ppt課件

1、3-1 剛體模型及其運(yùn)動(dòng)剛體模型及其運(yùn)動(dòng)3-2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律3-3 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功能關(guān)系定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功能關(guān)系3-4 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律3-5 進(jìn)動(dòng)進(jìn)動(dòng)3-6 理想流體模型理想流體模型 定常流動(dòng)定常流動(dòng) 伯努利方程伯努利方程3-7 牛頓力學(xué)的內(nèi)在隨機(jī)性牛頓力學(xué)的內(nèi)在隨機(jī)性 混沌混沌第三章第三章 剛體和流體的運(yùn)動(dòng)剛體和流體的運(yùn)動(dòng) 既考慮物體的質(zhì)量，既考慮物體的質(zhì)量， 又考又考慮形狀和大小，但忽略其形變的物體模型。慮形狀和大小，但忽略其形變的物體模型。一、剛體一、剛體剛體剛體rigid body）：

2、）：剛體可看作是質(zhì)量連續(xù)分布的且任意兩質(zhì)量元之剛體可看作是質(zhì)量連續(xù)分布的且任意兩質(zhì)量元之間相對(duì)距離保持不變的質(zhì)點(diǎn)系。間相對(duì)距離保持不變的質(zhì)點(diǎn)系。3-1 剛體模型及其運(yùn)動(dòng)剛體模型及其運(yùn)動(dòng)二、平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)二、平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng) 當(dāng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果剛體內(nèi)任何一條給定的直當(dāng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果剛體內(nèi)任何一條給定的直線，在運(yùn)動(dòng)中始終保持它的方向不變，這種運(yùn)動(dòng)叫線，在運(yùn)動(dòng)中始終保持它的方向不變，這種運(yùn)動(dòng)叫平動(dòng)平動(dòng)translation）。）。 可以用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的方法來(lái)處理剛體的平動(dòng)問(wèn)題?？梢杂觅|(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的方法來(lái)處理剛體的平動(dòng)問(wèn)題。平動(dòng)時(shí)，剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)平動(dòng)時(shí)，剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻具有相同的速度和加速度?？叹哂邢?/p>

3、同的速度和加速度。剛體內(nèi)任何一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，都可代表整個(gè)剛體的剛體內(nèi)任何一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，都可代表整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)，如質(zhì)心。運(yùn)動(dòng)，如質(zhì)心。1、平動(dòng)、平動(dòng) 如果剛體的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中都繞同一直線作如果剛體的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)就叫做轉(zhuǎn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)就叫做轉(zhuǎn)動(dòng)rotation），這一），這一直線就叫做轉(zhuǎn)軸。直線就叫做轉(zhuǎn)軸。 如果轉(zhuǎn)軸是固定不動(dòng)的，就叫做如果轉(zhuǎn)軸是固定不動(dòng)的，就叫做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)fixed-axis rotation） 。 可以證明，剛體的一般運(yùn)動(dòng)可看作是平動(dòng)和轉(zhuǎn)可以證明，剛體的一般運(yùn)動(dòng)可看作是平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的疊加動(dòng)的疊加 。如：門(mén)、如：門(mén)、 窗的轉(zhuǎn)動(dòng)等。

4、窗的轉(zhuǎn)動(dòng)等。如：車(chē)輪的滾動(dòng)。如：車(chē)輪的滾動(dòng)。2、轉(zhuǎn)動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)3、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體上各點(diǎn)都繞同一固定轉(zhuǎn)軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體上各點(diǎn)都繞同一固定轉(zhuǎn)軸作不同半徑的圓周運(yùn)動(dòng)。不同半徑的圓周運(yùn)動(dòng)。 在同一時(shí)間內(nèi)，各點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的圓弧長(zhǎng)度不同，但在同一時(shí)間內(nèi)，各點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的圓弧長(zhǎng)度不同，但在相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度相同，稱為角位移，它可在相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度相同，稱為角位移，它可以用來(lái)描述整個(gè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)。以用來(lái)描述整個(gè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)。 作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體內(nèi)各點(diǎn)具作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體內(nèi)各點(diǎn)具有相同的角量，包括角位移、角速有相同的角量，包括角位移、角速度和角加速度。但不同位置的質(zhì)點(diǎn)度和角加速度。但不同

5、位置的質(zhì)點(diǎn)具有不同的線量，包括位移、速度具有不同的線量，包括位移、速度和加速度。和加速度。 線量與角量的關(guān)系：線量與角量的關(guān)系：tvatddrv rtrdd角位移角位移角速度角速度角加速度角加速度tddtdd角量：角量：對(duì)于勻角加速轉(zhuǎn)動(dòng)，則有：對(duì)于勻角加速轉(zhuǎn)動(dòng)，則有：t022100tt)(20202勻加速直線運(yùn)動(dòng)：勻加速直線運(yùn)動(dòng)：)(22102022000 xxavvattvxxatvv作直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)：作直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)：1個(gè)自由度個(gè)自由度作平面運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)：作平面運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)：2個(gè)自由度個(gè)自由度作空間運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)：作空間運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)： 3個(gè)自由度個(gè)自由度質(zhì)點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)：(x, y, z) i = 3 三

6、、自由度三、自由度 所謂自由度就是決定系統(tǒng)在空間的位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目。C(x,y,z)物體有幾個(gè)自由度，他的運(yùn)動(dòng)定律就歸結(jié)為幾個(gè)獨(dú)物體有幾個(gè)自由度，他的運(yùn)動(dòng)定律就歸結(jié)為幾個(gè)獨(dú)立的方程。立的方程。i = 3個(gè)平動(dòng)自由度個(gè)平動(dòng)自由度 + 2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度= 5個(gè)自由個(gè)自由度度剛性細(xì)棒：剛性細(xì)棒：運(yùn)動(dòng)剛體：運(yùn)動(dòng)剛體：自由剛體有自由剛體有 6個(gè)自由度：個(gè)自由度：隨質(zhì)心的平動(dòng)隨質(zhì)心的平動(dòng) + 繞過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)繞過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)確定質(zhì)心位置確定質(zhì)心位置 3個(gè)平動(dòng)自由度個(gè)平動(dòng)自由度 (x, y, z)確定過(guò)質(zhì)心軸位置確定過(guò)質(zhì)心軸位置 2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度由度 ( ， )確定定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角位置確

7、定定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角位置 1個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度自由度 ( )1、只有垂直轉(zhuǎn)軸的外力分量才產(chǎn)生、只有垂直轉(zhuǎn)軸的外力分量才產(chǎn)生沿轉(zhuǎn)軸方向的力矩沿轉(zhuǎn)軸方向的力矩Mz ，而平行于轉(zhuǎn)，而平行于轉(zhuǎn)軸的外力分量產(chǎn)生的力矩軸的外力分量產(chǎn)生的力矩 Mxy 則被則被軸承上支承力的力矩所抵消。軸承上支承力的力矩所抵消。 sinrFM FrM對(duì)對(duì)O O點(diǎn)的力矩：點(diǎn)的力矩：F一、力矩一、力矩大?。捍笮。宏U明闡明3-2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律rFM 是轉(zhuǎn)軸到力作用線的距離，稱為力臂。sinrd dFrFMZ22sin 2、3、在轉(zhuǎn)軸方向確定后，力對(duì)轉(zhuǎn)、在轉(zhuǎn)軸方向確定后，力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩方向可用正負(fù)號(hào)表

8、示軸的力矩方向可用正負(fù)號(hào)表示。剛體所受的關(guān)于定軸的合力矩：剛體所受的關(guān)于定軸的合力矩：223311dFdFdFMMiizz二、角速度矢量二、角速度矢量角速度的方向：與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的方向：與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)方向呈右手螺旋關(guān)系。方向呈右手螺旋關(guān)系。 在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，角速度的方向沿轉(zhuǎn)軸方向。因在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，角速度的方向沿轉(zhuǎn)軸方向。因此，計(jì)算中可用正負(fù)表示角速度的方向。此，計(jì)算中可用正負(fù)表示角速度的方向。 線速度和角速度之間的矢量關(guān)系線速度和角速度之間的矢量關(guān)系 ：rv三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律應(yīng)用牛頓第二定律，可得：應(yīng)用牛頓第二定律，可得：對(duì)剛體中任一質(zhì)量元對(duì)剛體中任一質(zhì)量元im受外力受外力iF和內(nèi)力

9、和內(nèi)力ifiiiiamfF采用自然坐標(biāo)系，上式切向分量式為：采用自然坐標(biāo)系，上式切向分量式為：iiiiiiiirmamfFtsinsin2sinsiniiiiiiiirmrfrF對(duì)剛體內(nèi)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的相應(yīng)式子，相加得：對(duì)剛體內(nèi)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的相應(yīng)式子，相加得：iiiiiiiiiiirmrfrF)(sinsin20siniiiirf對(duì)于成對(duì)的內(nèi)力，對(duì)同一轉(zhuǎn)軸的力矩之和為零，那么：對(duì)于成對(duì)的內(nèi)力，對(duì)同一轉(zhuǎn)軸的力矩之和為零，那么：iiiiiiirmrF)(sin2稱為剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。稱為剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。2iiirmJ 剛體在作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體的角剛體在作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體的角加速度與它所受到的合外力

10、矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)加速度與它所受到的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比。慣量成反比。tJJMzdd剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：與平動(dòng)定律比較：與平動(dòng)定律比較：tvmmaFdd四、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量四、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義：定義：iiirmJ2 剛體為質(zhì)量連續(xù)體時(shí)：剛體為質(zhì)量連續(xù)體時(shí)：mrJd2單位單位( SI )：2mkg 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量取決于剛體本身的性質(zhì)，即剛體的形狀、大小、質(zhì)取決于剛體本身的性質(zhì)，即剛體的形狀、大小、質(zhì)量分布以及轉(zhuǎn)軸的位置。量分布以及轉(zhuǎn)軸的位置。（ r 為質(zhì)元為質(zhì)元dm到轉(zhuǎn)軸的距離）到轉(zhuǎn)軸的距離）例例3-

11、1 求均質(zhì)細(xì)棒求均質(zhì)細(xì)棒( m ，l ) 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： (1) 轉(zhuǎn)軸通過(guò)中心轉(zhuǎn)軸通過(guò)中心C與棒垂直，與棒垂直， (2) 轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的一端轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的一端O與棒垂直。與棒垂直。解：解：xlmmddmxJCd222121d22mlxxlmlllmlxxlmJ02231d(1)(2)CxOxdxdmdxdm 可見(jiàn)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量因轉(zhuǎn)軸位置而變，故必須指明是可見(jiàn)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量因轉(zhuǎn)軸位置而變，故必須指明是關(guān)于某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。關(guān)于某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。平行軸定理平行軸定理parallel axis theorem）2mhJJC通過(guò)任一轉(zhuǎn)軸通過(guò)任一轉(zhuǎn)軸A的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：mhxJd)(2CxdxdmAhm

12、xhmhmxd2dd22（?。ㄈ為坐標(biāo)原點(diǎn)）為坐標(biāo)原點(diǎn)）0Cmx2mhJC 剛體對(duì)任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J 等于對(duì)通過(guò)質(zhì)心等于對(duì)通過(guò)質(zhì)心的平行轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 JC 加上剛體質(zhì)量加上剛體質(zhì)量 m 乘以兩乘以兩平行轉(zhuǎn)軸間距離平行轉(zhuǎn)軸間距離 h 的平方。的平方。例例3-2 求質(zhì)量求質(zhì)量 m 半徑半徑 R 的的 (1) 均質(zhì)圓環(huán)，均質(zhì)圓環(huán)， (2) 均質(zhì)圓盤(pán)均質(zhì)圓盤(pán)對(duì)通過(guò)直徑的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。對(duì)通過(guò)直徑的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：解：d2dRRmm mrJd2202d2)sin(RRmR221mR(1) 圓環(huán)：圓環(huán)：dsin22022mR dm241mRo dm(

13、2) 圓盤(pán)：圓盤(pán)：d2d2Rmm mJJd21d2RRm022d221 可見(jiàn)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體的質(zhì)量分布有關(guān)?？梢?jiàn)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體的質(zhì)量分布有關(guān)。例例3-3 物體：物體：m1， m2(m1)， 定滑輪：定滑輪：m， r，受摩，受摩擦阻力矩為擦阻力矩為Mr。輕繩不能伸長(zhǎng)，無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。求物體。輕繩不能伸長(zhǎng)，無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。求物體的加速度和繩的張力。的加速度和繩的張力。解：解：由于考慮滑輪的質(zhì)量和所受由于考慮滑輪的質(zhì)量和所受的摩擦阻力矩，的摩擦阻力矩，21TT 問(wèn)題中包括平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。問(wèn)題中包括平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。輪不打滑：輪不打滑： ra 聯(lián)立方程，可解得聯(lián)立方程，可解得 T1 ，T2，a， 。 此裝置稱阿特伍德

14、機(jī)此裝置稱阿特伍德機(jī)可用于測(cè)量重力加速度可用于測(cè)量重力加速度 g gm2gm12T2T1T1TaarJMrTrTamTgmamgmTr12222111例例3-4 一半徑為一半徑為R，質(zhì)量為，質(zhì)量為m勻質(zhì)圓盤(pán)，平放在粗糙的勻質(zhì)圓盤(pán)，平放在粗糙的水平桌面上。設(shè)盤(pán)與桌面間摩擦系數(shù)為水平桌面上。設(shè)盤(pán)與桌面間摩擦系數(shù)為，令圓盤(pán)最，令圓盤(pán)最初以角速度初以角速度 0 繞通過(guò)中心且垂直盤(pán)面的軸旋轉(zhuǎn)，問(wèn)它繞通過(guò)中心且垂直盤(pán)面的軸旋轉(zhuǎn)，問(wèn)它經(jīng)過(guò)多少時(shí)間才停止轉(zhuǎn)動(dòng)？經(jīng)過(guò)多少時(shí)間才停止轉(zhuǎn)動(dòng)？rRdr de 把圓盤(pán)分成許多環(huán)形把圓盤(pán)分成許多環(huán)形質(zhì)元，每個(gè)質(zhì)元的質(zhì)量質(zhì)元，每個(gè)質(zhì)元的質(zhì)量 dm=rddre，e是盤(pán)的是盤(pán)的厚

15、度，質(zhì)元所受到的阻力厚度，質(zhì)元所受到的阻力矩為矩為 rdmg 。解：解： 圓盤(pán)所受阻力矩為：圓盤(pán)所受阻力矩為：rrergmgrMrdddmgRMr323200232ddRegrregRrrergmgrMrdddm=eR2由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：tmRJmgRdd21322000d21d32Rtgt043gRt 一、力矩的功一、力矩的功1. 平行于定軸的外力對(duì)質(zhì)元不做功。平行于定軸的外力對(duì)質(zhì)元不做功。2. 由于剛體內(nèi)兩質(zhì)元的相對(duì)距離不變，內(nèi)力做由于剛體內(nèi)兩質(zhì)元的相對(duì)距離不變，內(nèi)力做功之和為零。功之和為零。 iiAAiijijiirfFAd)(闡明闡明3-3 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功能關(guān)系定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中

16、的功能關(guān)系iiiiisFrFAdcosdddiM合外力對(duì)剛體做的元功：合外力對(duì)剛體做的元功：iiiiMAAddd力矩的功：力矩的功：0dMA設(shè)作用在質(zhì)元設(shè)作用在質(zhì)元Dmi上的外力上的外力 位于轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)。位于轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)。iFdsin iiirFdM二、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能二、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能iiiiiirmvmE222k21212k21JE 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能21222121dd2121JJJMA剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理：總外力矩對(duì)剛體所做的功剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理：總外力矩對(duì)剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律

17、，若由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律，若J 不變，不變，JttJMdddddddddddddJtJJtMA則物體在則物體在 dt 時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)角位移時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)角位移 d 時(shí)，外力矩所時(shí)，外力矩所做元功為：做元功為：四、剛體的重力勢(shì)能四、剛體的重力勢(shì)能以地面為勢(shì)能零點(diǎn)，剛體和地以地面為勢(shì)能零點(diǎn)，剛體和地球系統(tǒng)的重力勢(shì)能：球系統(tǒng)的重力勢(shì)能：iiigzmEpgmi zOicriiimzmmgCmgz例例3-5 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m ，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為 l 的均質(zhì)細(xì)桿，轉(zhuǎn)軸在的均質(zhì)細(xì)桿，轉(zhuǎn)軸在O點(diǎn)，點(diǎn)，距距A端端 l/3 。今使棒從靜止開(kāi)始由水平位置繞。今使棒從靜止開(kāi)始由水平位置繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，求求(1)水平位置的角速度和角

18、加速度。水平位置的角速度和角加速度。(2)垂直位置時(shí)垂直位置時(shí)的角速度和角加速度。的角速度和角加速度。解：解：2cmdJJ222916121mllmmlJ(1)水平位置水平位置00lgmlmglJM23962方向：方向： cOBAgmcOBA(2)垂直位置垂直位置tJMddtmllmgdd91cos62dcos23dlgdcos23d200lglglg23sin2321202lg30 gmdd912ml一、剛體的角動(dòng)量一、剛體的角動(dòng)量iiiivmRL因因iiRv，所以 的大小為iLiiiivRmL質(zhì)元質(zhì)元 對(duì)對(duì)O 點(diǎn)的角動(dòng)量為：點(diǎn)的角動(dòng)量為：im剛體關(guān)于剛體關(guān)于O 的角動(dòng)量：的角動(dòng)量：)(ii

19、iiiivmRLL3-4 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律JLz對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)， 對(duì)沿定軸的分量對(duì)沿定軸的分量 為：為：zLL2coscosiiiiiiiiizrmvrmvRmLL稱剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量。稱剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量。剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：2iirmJ剛體繞定軸的角動(dòng)量：剛體繞定軸的角動(dòng)量：tLtJtJMzddddddz稱為角動(dòng)量定理的微分形式。稱為角動(dòng)量定理的微分形式。二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律，若由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律，若J 不變，不變，0)(d0JJtMttzttztM0d

20、為為 時(shí)間內(nèi)力矩時(shí)間內(nèi)力矩M 對(duì)給定軸的沖量矩對(duì)給定軸的沖量矩。0ttt角動(dòng)量定理的積分形式：角動(dòng)量定理的積分形式：iiiZZJttLMdddd且系統(tǒng)滿足角動(dòng)量定理且系統(tǒng)滿足角動(dòng)量定理 角動(dòng)量定理比轉(zhuǎn)動(dòng)定律的適用范圍更廣，適用于角動(dòng)量定理比轉(zhuǎn)動(dòng)定律的適用范圍更廣，適用于剛體，非剛體和物體系。剛體，非剛體和物體系。 對(duì)幾個(gè)物體組成的系統(tǒng)，如果它們對(duì)同一給對(duì)幾個(gè)物體組成的系統(tǒng)，如果它們對(duì)同一給定軸的角動(dòng)量分別為定軸的角動(dòng)量分別為 、 、，11J22J系統(tǒng)對(duì)該軸的角動(dòng)量為：系統(tǒng)對(duì)該軸的角動(dòng)量為：iiizJL三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量定理：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角

21、動(dòng)量定理：tJMzdd定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量守恒定律：物體在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，當(dāng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量守恒定律：物體在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，當(dāng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零時(shí)，物體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量保對(duì)轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零時(shí)，物體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量保持不變。持不變。 0=zM.0dd tJ當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，有有00JJ即即(常量常量)適用于剛體，非剛體和物體系。適用于剛體，非剛體和物體系。1、 剛體剛體( J 不變不變)的角動(dòng)量守恒的角動(dòng)量守恒假設(shè)假設(shè) M=0，那么，那么 J =常量，而剛體的常量，而剛體的 J 不變，不變，故故 的大小，方向保持不變。的大小，方向保持不變。此時(shí)，即使撤去軸承的支撐作用，此時(shí)，即使撤去軸承的支撐作用， 剛體仍將作剛體仍

22、將作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定向回轉(zhuǎn)儀定向回轉(zhuǎn)儀 可以作定向裝置?？梢宰鞫ㄏ蜓b置。如：直立旋轉(zhuǎn)陀螺不倒。如：直立旋轉(zhuǎn)陀螺不倒。o 2、非剛體、非剛體( J 可變可變)的角動(dòng)量守恒的角動(dòng)量守恒當(dāng)當(dāng) J 增大，增大，w 就減小，當(dāng)就減小，當(dāng) J 減小，減小，w 就增大。就增大。常量常量00JJ如：芭蕾舞、花樣滑冰、跳水中的轉(zhuǎn)動(dòng)，如：芭蕾舞、花樣滑冰、跳水中的轉(zhuǎn)動(dòng)， 恒星恒星塌縮塌縮 (R0， 0) (R， ) 中子星的形成等。中子星的形成等。3、物體系的角動(dòng)量守恒、物體系的角動(dòng)量守恒 若系統(tǒng)由幾個(gè)物體組成，當(dāng)系統(tǒng)受到的外力對(duì)若系統(tǒng)由幾個(gè)物體組成，當(dāng)系統(tǒng)受到的外力對(duì)軸的力矩的矢量和為零，則系統(tǒng)的總角動(dòng)量守恒

23、：軸的力矩的矢量和為零，則系統(tǒng)的總角動(dòng)量守恒：常量常量iiiJ如：直升機(jī)機(jī)尾加側(cè)向旋葉，是為防止機(jī)身的反轉(zhuǎn)。如：直升機(jī)機(jī)尾加側(cè)向旋葉，是為防止機(jī)身的反轉(zhuǎn)。例例3-6 摩擦離合器摩擦離合器 飛輪飛輪1：J1、 w1 摩擦輪摩擦輪2： J2、 靜止，兩輪沿軸向結(jié)合，求結(jié)合后兩輪達(dá)到的共同角靜止，兩輪沿軸向結(jié)合，求結(jié)合后兩輪達(dá)到的共同角速度。速度。兩輪對(duì)共同轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒兩輪對(duì)共同轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒2111JJJ2111JJJ解：解：在嚙合過(guò)程中，摩擦力矩作功，所以機(jī)械能不守恒，在嚙合過(guò)程中，摩擦力矩作功，所以機(jī)械能不守恒，部分機(jī)械能將轉(zhuǎn)化為熱能。部分機(jī)械能將轉(zhuǎn)化為熱能。21121例例3-7 勻質(zhì)細(xì)

24、棒：勻質(zhì)細(xì)棒：l 、m，可繞通過(guò)端點(diǎn)，可繞通過(guò)端點(diǎn)O的水平軸轉(zhuǎn)的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。棒從水平位置自由釋放后，在豎直位置與放在地動(dòng)。棒從水平位置自由釋放后，在豎直位置與放在地面的物體面的物體m相撞。該物體與地面的摩擦系數(shù)為相撞。該物體與地面的摩擦系數(shù)為 ，撞，撞后物體沿地面滑行一距離后物體沿地面滑行一距離 s 而停止。求撞后棒的質(zhì)心而停止。求撞后棒的質(zhì)心C 離地面的最大高度離地面的最大高度 h ，并說(shuō)明棒在碰撞后將向左擺，并說(shuō)明棒在碰撞后將向左擺或向右擺的條件。或向右擺的條件。分三個(gè)階段進(jìn)行分析。分三個(gè)階段進(jìn)行分析。解：解：第一階段：棒自由擺落的過(guò)程，第一階段：棒自由擺落的過(guò)程，機(jī)械能守恒。機(jī)械能守恒。

25、2223121212mlJlmg第二階段：碰撞過(guò)程。系統(tǒng)的對(duì)第二階段：碰撞過(guò)程。系統(tǒng)的對(duì)O軸的角動(dòng)量守恒。軸的角動(dòng)量守恒。223131mlmvlml第三階段：碰撞后物體的滑行過(guò)程與棒的上升過(guò)程。第三階段：碰撞后物體的滑行過(guò)程與棒的上升過(guò)程。物體作勻減速直線運(yùn)動(dòng)。物體作勻減速直線運(yùn)動(dòng)。mamg asv202聯(lián)合求解，即得碰撞后棒的角速度：聯(lián)合求解，即得碰撞后棒的角速度：lgsgl233 取正值，表示碰后棒向左擺；反之，表示向右擺。取正值，表示碰后棒向左擺；反之，表示向右擺。0233gsgl棒向左擺的條件為：棒向左擺的條件為：0233gsgl棒向右擺的條件為：棒向右擺的條件為：棒的質(zhì)心棒的質(zhì)心C上

26、升的最大高度，也可由機(jī)械能守恒定上升的最大高度，也可由機(jī)械能守恒定律求得：律求得：lgsgl233223121mlmghslslh632 例例3-8 恒星晚期在一定條件下，會(huì)發(fā)生超新星爆發(fā)，恒星晚期在一定條件下，會(huì)發(fā)生超新星爆發(fā)，這時(shí)星體中有大量物質(zhì)噴入星際空間，同時(shí)星的內(nèi)核這時(shí)星體中有大量物質(zhì)噴入星際空間，同時(shí)星的內(nèi)核卻向內(nèi)坍縮，成為體積很小的中子星。設(shè)某恒星繞自卻向內(nèi)坍縮，成為體積很小的中子星。設(shè)某恒星繞自轉(zhuǎn)軸每轉(zhuǎn)軸每45天轉(zhuǎn)一周，它的內(nèi)核半徑天轉(zhuǎn)一周，它的內(nèi)核半徑R02107m，坍，坍縮成半徑縮成半徑R6103m的中子星。試求中子星的角速度的中子星。試求中子星的角速度。坍縮前后的星體內(nèi)核

27、均看作是勻質(zhì)圓球。坍縮前后的星體內(nèi)核均看作是勻質(zhì)圓球。內(nèi)核在坍縮前后的角動(dòng)量守恒。內(nèi)核在坍縮前后的角動(dòng)量守恒。解：解： 22052520mRJmRJ，00JJ200RRs/rad3進(jìn)動(dòng)進(jìn)動(dòng)preccesion）：物體繞自轉(zhuǎn)軸高速旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，）：物體繞自轉(zhuǎn)軸高速旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，其自轉(zhuǎn)軸還繞另一個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的現(xiàn)象。又稱回轉(zhuǎn)效應(yīng)。其自轉(zhuǎn)軸還繞另一個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的現(xiàn)象。又稱回轉(zhuǎn)效應(yīng)。 如：傾倒陀螺的進(jìn)動(dòng)如：傾倒陀螺的進(jìn)動(dòng)3-5 進(jìn)動(dòng)進(jìn)動(dòng)設(shè)陀螺質(zhì)量為設(shè)陀螺質(zhì)量為m m，以角速度，以角速度 自轉(zhuǎn)。自轉(zhuǎn)。重力對(duì)固定點(diǎn)重力對(duì)固定點(diǎn)o o的力矩：的力矩：gmrMsinmgrM 繞自身軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量：繞自身軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量：JL

28、 由角動(dòng)量定理的微分式：由角動(dòng)量定理的微分式：tMLdd顯然，顯然，,LML時(shí)刻改變方向而大小不變時(shí)刻改變方向而大小不變進(jìn)動(dòng)。進(jìn)動(dòng)。陀螺的進(jìn)動(dòng)陀螺的進(jìn)動(dòng)Lp mgorLddLL dtMLdddsindsindJLLtMJddsinsinddpJMt進(jìn)動(dòng)角速度：進(jìn)動(dòng)角速度：p LLLdLddo由圖可知：由圖可知：由角動(dòng)量定理：由角動(dòng)量定理：sinmgrM 陀螺陀螺Jmgrtddp陀螺的進(jìn)動(dòng)角速度：陀螺的進(jìn)動(dòng)角速度：2. 進(jìn)動(dòng)軸通過(guò)定點(diǎn)且與外力平行。進(jìn)動(dòng)軸通過(guò)定點(diǎn)且與外力平行。1. p 與與 有關(guān)，與有關(guān)，與無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。3. 進(jìn)動(dòng)方向決定于外力矩和自轉(zhuǎn)角速度的方向。進(jìn)動(dòng)方向決定于外力矩和自轉(zhuǎn)角速度

29、的方向。4. 較小時(shí)，較小時(shí)， 有周期性變化，稱為章動(dòng)。有周期性變化，稱為章動(dòng)。闡明闡明p LLLdLddo 回轉(zhuǎn)效應(yīng)的應(yīng)用：炮筒內(nèi)的旋轉(zhuǎn)式來(lái)復(fù)線等。回轉(zhuǎn)效應(yīng)的應(yīng)用：炮筒內(nèi)的旋轉(zhuǎn)式來(lái)復(fù)線等。 改變方向，情況如何？改變方向，情況如何？pL mgorLdLLdpL一、理想流體模型一、理想流體模型 理想流體理想流體(ideal fluid)：絕對(duì)不可壓縮且完全沒(méi)有：絕對(duì)不可壓縮且完全沒(méi)有黏性的流體。也叫無(wú)粘流體。黏性的流體。也叫無(wú)粘流體。 理想流體動(dòng)壓強(qiáng)的特性與靜水壓強(qiáng)的特性完全一樣，理想流體動(dòng)壓強(qiáng)的特性與靜水壓強(qiáng)的特性完全一樣，即壓力總是垂直于作用面的。即壓力總是垂直于作用面的。 流體在流動(dòng)時(shí)內(nèi)部

30、的壓強(qiáng)，稱為流體動(dòng)壓強(qiáng)。流體在流動(dòng)時(shí)內(nèi)部的壓強(qiáng)，稱為流體動(dòng)壓強(qiáng)。液體和氣體都具有流動(dòng)性，統(tǒng)稱為流體液體和氣體都具有流動(dòng)性，統(tǒng)稱為流體fluid）。）。還具有另外兩種性質(zhì)：還具有另外兩種性質(zhì)： 一是可壓縮性，一是可壓縮性， 二是黏性。二是黏性。3-6 理想流體模型理想流體模型 定常流動(dòng)定常流動(dòng) 伯努利方程伯努利方程二、定常流動(dòng)二、定常流動(dòng) 定常流動(dòng)定常流動(dòng)steady flow）：）： 即流場(chǎng)中速度與壓力只是即流場(chǎng)中速度與壓力只是空間點(diǎn)的位置的函數(shù)，而與時(shí)間無(wú)關(guān)，則稱流場(chǎng)中的空間點(diǎn)的位置的函數(shù)，而與時(shí)間無(wú)關(guān)，則稱流場(chǎng)中的流動(dòng)為定常流動(dòng)。流動(dòng)為定常流動(dòng)。 在流體中作一系列曲線，使曲線上任一點(diǎn)的切線

31、方向在流體中作一系列曲線，使曲線上任一點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)處流體質(zhì)元的流速方向一致，與該點(diǎn)處流體質(zhì)元的流速方向一致， 這類曲線稱為流這類曲線稱為流線線 。 由流線圍成的管狀區(qū)域，稱為流管。由流線圍成的管狀區(qū)域，稱為流管。流管內(nèi)的流體不能流出管外，管外的流體也不能流流管內(nèi)的流體不能流出管外，管外的流體也不能流入管內(nèi)，入管內(nèi)， 流管的作用與形狀相同的管道一樣，流管流管的作用與形狀相同的管道一樣，流管就是一種無(wú)形的管道。就是一種無(wú)形的管道。 在定常流動(dòng)中，空間各點(diǎn)的流速雖然不同，在定常流動(dòng)中，空間各點(diǎn)的流速雖然不同， 但它們但它們都不隨時(shí)間變化，都不隨時(shí)間變化， 所以流體中流線和流管的形狀也所以流體中

32、流線和流管的形狀也不隨時(shí)間變化。不隨時(shí)間變化。 在定常流動(dòng)中，在定常流動(dòng)中， 任何兩條流線都不能相交。任何兩條流線都不能相交。三、伯努利方程三、伯努利方程 伯努利伯努利D. Bernoulli方程是流體動(dòng)力學(xué)的基方程是流體動(dòng)力學(xué)的基本定律，它說(shuō)明了理想流體在管道中作穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)，本定律，它說(shuō)明了理想流體在管道中作穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)，流體中某點(diǎn)的壓強(qiáng)流體中某點(diǎn)的壓強(qiáng) p 、流速、流速 v 和高度和高度 h 三個(gè)量之間三個(gè)量之間的關(guān)系。的關(guān)系。 在流體中取一流管，研在流體中取一流管，研究流管中一段流體的運(yùn)動(dòng)。究流管中一段流體的運(yùn)動(dòng)。設(shè)在某一時(shí)刻，這段流體在設(shè)在某一時(shí)刻，這段流體在a1a2位置，經(jīng)過(guò)極短時(shí)間位

33、置，經(jīng)過(guò)極短時(shí)間 t后，這段流體達(dá)到后，這段流體達(dá)到b1b2位置。位置。假設(shè)為理想流體，流動(dòng)過(guò)程中，假設(shè)為理想流體，流動(dòng)過(guò)程中，除了重力之外，只有在它前后除了重力之外，只有在它前后的流體對(duì)它作功。的流體對(duì)它作功。后面的流體推它前進(jìn)，作正功；前面的流體阻礙它前后面的流體推它前進(jìn)，作正功；前面的流體阻礙它前進(jìn)，作負(fù)功。進(jìn)，作負(fù)功。 設(shè)設(shè)p1、S1、v1和和p2、S2、v2分別是分別是a1b1與與a2b2處流體的壓強(qiáng)、截面積和流速。處流體的壓強(qiáng)、截面積和流速。后面流體的作用力是后面流體的作用力是p1S1，位移是位移是v1 t，所作的正功，所作的正功是是 p1S1v1 t ，前面流體作用力作的負(fù)前面流

34、體作用力作的負(fù)功是功是 -p2S2v2 t ，外力的總功是：外力的總功是： tvSpvSpA222111tvStvSV2211流體不可壓縮：流體不可壓縮：VppA21由功能原理：由功能原理：)21()21(122212mghmvmghmvA)21()21()(12122212ghvghvVVpp222121122121ghvpghvp這就是伯努利方程這就是伯努利方程Bernoulli equation），它表明），它表明在同一管道中任何一點(diǎn)處，流體每單位體積的動(dòng)在同一管道中任何一點(diǎn)處，流體每單位體積的動(dòng)能和勢(shì)能以及該處壓強(qiáng)之和是個(gè)常量。能和勢(shì)能以及該處壓強(qiáng)之和是個(gè)常量。常量常量hgvgp22一

35、、線性科學(xué)和非線性科學(xué)一、線性科學(xué)和非線性科學(xué) 線性是指量與量之間成正比關(guān)系。在線性系統(tǒng)線性是指量與量之間成正比關(guān)系。在線性系統(tǒng)中，部分之和等于整體，描述線性系統(tǒng)的方程遵從疊中，部分之和等于整體，描述線性系統(tǒng)的方程遵從疊加原理，即方程的不同解相加仍然是個(gè)解。非線性則加原理，即方程的不同解相加仍然是個(gè)解。非線性則指整體不等于部分之和，疊加原理失效，非線性方程指整體不等于部分之和，疊加原理失效，非線性方程兩個(gè)解之和不再是方程的解。兩個(gè)解之和不再是方程的解。 牛頓的經(jīng)典力學(xué)屬于線性科學(xué)范疇。牛頓的經(jīng)典力學(xué)屬于線性科學(xué)范疇。 自然界大量存在的相互作用是非線性的，線性作自然界大量存在的相互作用是非線性的

36、，線性作用只不過(guò)是非線性作用在一定條件下的近似。用只不過(guò)是非線性作用在一定條件下的近似。 混沌是非線性科學(xué)中最引人注目的一類現(xiàn)象。混沌是非線性科學(xué)中最引人注目的一類現(xiàn)象。3-7 牛頓力學(xué)的內(nèi)在隨機(jī)性牛頓力學(xué)的內(nèi)在隨機(jī)性 混沌混沌第二，線性系統(tǒng)往往表現(xiàn)為對(duì)外界的影響成比例地變第二，線性系統(tǒng)往往表現(xiàn)為對(duì)外界的影響成比例地變化；而非線性系統(tǒng)中參量的極微小變化，在一些關(guān)節(jié)化；而非線性系統(tǒng)中參量的極微小變化，在一些關(guān)節(jié)點(diǎn)上，可引起系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)形式的決定性改變。點(diǎn)上，可引起系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)形式的決定性改變。 第三，反映在連續(xù)介質(zhì)中的波動(dòng)上，線性行為表現(xiàn)為第三，反映在連續(xù)介質(zhì)中的波動(dòng)上，線性行為表現(xiàn)為色散引起波包的彌散

37、，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的消失，而非線性作色散引起波包的彌散，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的消失，而非線性作用卻可促使空間規(guī)整性結(jié)構(gòu)的形成和維持。用卻可促使空間規(guī)整性結(jié)構(gòu)的形成和維持。 線性和非線性物理現(xiàn)象的區(qū)分一般有三個(gè)特征：線性和非線性物理現(xiàn)象的區(qū)分一般有三個(gè)特征： 第一，線性現(xiàn)象一般表現(xiàn)為時(shí)空中的平滑運(yùn)動(dòng)，并可第一，線性現(xiàn)象一般表現(xiàn)為時(shí)空中的平滑運(yùn)動(dòng)，并可用性能良好的函數(shù)表示；而非線性現(xiàn)象則表現(xiàn)為從規(guī)用性能良好的函數(shù)表示；而非線性現(xiàn)象則表現(xiàn)為從規(guī)則運(yùn)動(dòng)向不規(guī)則運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)化和躍變。則運(yùn)動(dòng)向不規(guī)則運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)化和躍變。 二、混沌和牛頓力學(xué)的內(nèi)在隨機(jī)性二、混沌和牛頓力學(xué)的內(nèi)在隨機(jī)性 對(duì)于同一個(gè)自然界，物理科學(xué)中有決定性和概率對(duì)于同一個(gè)自然界，物理科學(xué)中有決定性和概率性兩種