醫(yī)用物理學(xué)：剛體運動 2（15）

1、2015-3-4Ren R西安交通大學(xué)西安交通大學(xué)P2052241.2 力矩力矩 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程一一. 力對軸的矩力對軸的矩 力力 F 對對z 軸的力矩軸的力矩zzFrFM)()(rF/FnFFhFAz rFsinrFzFFr)(/zFrhF二二. 剛體對定軸的轉(zhuǎn)動定律剛體對定軸的轉(zhuǎn)動定律JMz三三. 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量2iirmJ定義式定義式質(zhì)量離散分布質(zhì)量離散分布連續(xù)分布連續(xù)分布mrJd21.3 繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能 動能定理動能定理一一. 轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能z Oirivim設(shè)系統(tǒng)包括有設(shè)系統(tǒng)包括有 N 個質(zhì)量元個質(zhì)量元Nimmmm,.,.,

2、21Nirrrr.,.,21Nivvvv,.,.,21, ,其動能為其動能為im221iikimEv2221iirm各質(zhì)量元速度不同，各質(zhì)量元速度不同，但角速度相同但角速度相同2221iikikrmEE剛體的總動能剛體的總動能2221iirm221JP結(jié)論結(jié)論取取二二. 力矩的功力矩的功力的累積過程力的累積過程力矩的空間累積效應(yīng)力矩的空間累積效應(yīng)rF/FnFFFAzrdrFddAsFdcosrFFd)(/rFdrFdcosddrFdM 功的定義功的定義對一有限過程對一有限過程21dMA若若 M = C)(12 MA( ( 積分形式積分形式 ）討論討論 iiiiiiAMMA2121ddsF d三

3、三. 轉(zhuǎn)動動能定理轉(zhuǎn)動動能定理 力矩功的效果力矩功的效果)21d(2JddMA d)ddd(JtJ對于一有限過程對于一有限過程2121)21d(d2JAA21222121JJkE繞定軸轉(zhuǎn)動剛體在任一過程中動能的增量，等于在該過程繞定軸轉(zhuǎn)動剛體在任一過程中動能的增量，等于在該過程中作用在剛體上所有外力所作功的總和。這就是繞定軸轉(zhuǎn)中作用在剛體上所有外力所作功的總和。這就是繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動剛體的動能定理動能定理剛體重力勢能剛體重力勢能iipghmECiimghmhmmg質(zhì)心的勢能質(zhì)心的勢能ch0PECimih四四. 剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能原理剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能原理 剛體的機械能剛體的機械能 Mecha

4、nical Energy of rigid body PKEEE 剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能原理剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能原理KPEMMMAd)(d重力矩的功重力矩的功dPM d pkEEM除重力以外的其除重力以外的其它外力的合力矩它外力的合力矩 Conservation of Mechanical energyCJmghMC2210 重力場中剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理重力場中剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理221JCmghPE)21()21(211222JmghJmghCC中美撞機事件十二周年中美撞機事件十二周年2001年4月3日，海南陵水機場，受損迫降的美軍EP-3E偵察機。1088頂頂日期：2013-4-1例例2 2

5、 一剛體系統(tǒng)，如圖所示。一剛體系統(tǒng)，如圖所示。已知，兩輪半徑為已知，兩輪半徑為 R R、r r，對軸的，對軸的轉(zhuǎn)動慣量為轉(zhuǎn)動慣量為21J ,J，繩子與滑輪間無相對滑動，繩子與滑輪間無相對滑動，速度、繩子的張力速度、繩子的張力? ?求：兩物的加求：兩物的加1 12 2R R r r O O 解：解：111maTgm222magmTgm1gm21T2TT1T2)JJ(rTRT2121Rm1rm2grmRmJJrmRm22212121raRa21gmrmRmJJrRmrmJJT1222121222211?T 2確定確定討論討論 充分利用角量與線量的關(guān)系充分利用角量與線量的關(guān)系 轉(zhuǎn)動定律與牛頓第二定律

6、聯(lián)用轉(zhuǎn)動定律與牛頓第二定律聯(lián)用例例3 3 一個系統(tǒng)，如圖示，一個系統(tǒng)，如圖示， 已知已知32/mlJ 現(xiàn)有一水平力作用于棒，距軸為現(xiàn)有一水平力作用于棒，距軸為 l處，求軸處，求軸對棒的作用力（也稱軸反力）？對棒的作用力（也稱軸反力）？解解 設(shè)軸對棒的作用力為設(shè)軸對棒的作用力為 N N , ,yxN,NxNyNOCmg lFJFl 質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理cxxmaNFcyymamgN)l l(FFJFlmlNx1232mgNy質(zhì)點系質(zhì)點系l l320 xN打擊打擊中心中心 質(zhì)心運動定理與轉(zhuǎn)動定律聯(lián)用。質(zhì)心運動定理與轉(zhuǎn)動定律聯(lián)用。分析分析2lm22lm0例例4 一根長為一根長為 l ，質(zhì)量為質(zhì)量

7、為 m 的均勻細直棒，可繞軸的均勻細直棒，可繞軸 O 在豎直平在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。面內(nèi)轉(zhuǎn)動。 初始時它在水平位置，求它由此下擺初始時它在水平位置，求它由此下擺 角時的角時的 ， 以及棒受軸的力。以及棒受軸的力。 Olm Cx解：解：2lmgM 下擺過程中，下擺過程中，？xdmggxdmM取質(zhì)元取質(zhì)元Cmxxdm CmgxM 重力對整棒的合力矩等于重力重力對整棒的合力矩等于重力 全部集中于質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩。全部集中于質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩。dmcosmglM21lcosgmlcosmglJM233212 由轉(zhuǎn)動定律：由轉(zhuǎn)動定律：dtddd1F2Fmg2013-4-2Ren R西安交通大學(xué)西安交通大學(xué)P2

8、052240023dlcosgdlsing32 法向加速度法向加速度 （ natural acceleration )： 切向加速度切向加速度 ( tangential acceleration )：2322singlan432cosgla231sinmgmasinmgFncosmgmaFcosmg4321994122221sinmgFFF)FF(arctg12Olm Cxdm1F2Fmg例例 一根長為一根長為 l ，質(zhì)量為，質(zhì)量為 m 的均勻細直棒，可繞軸的均勻細直棒，可繞軸 O 在豎直平在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，初始時它在水平位置面內(nèi)轉(zhuǎn)動，初始時它在水平位置解解cos21mglM 0dcos2mg

9、l由動能定理由動能定理0212J0sin2lmglgsin32231mlJ 2/1)sin3(lg求求 它由此下擺它由此下擺 角時的角時的 此題也可用機械能守恒定律方便求解此題也可用機械能守恒定律方便求解OlmCxmg00221J)sin2(lmgd dMA A恒量pkEEEC221mghJE剛體的機械能守恒剛體的機械能守恒C212CmghJkEAA21dZAO例例?守恒L關(guān)于關(guān)于 O 點？點？關(guān)于關(guān)于 A 點？點？關(guān)于關(guān)于 Z 軸軸？6.3 剛體定軸轉(zhuǎn)動的剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩和動量矩守恒定律動量矩和動量矩守恒定律一一. 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動量矩定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動量矩定理iioiPrL任意質(zhì)

10、元對定點動量矩任意質(zhì)元對定點動量矩對定軸動量矩對定軸動量矩zoiziLL)(2iirm對定軸轉(zhuǎn)動的剛體對定軸轉(zhuǎn)動的剛體2iizrmL動量矩質(zhì)元動量矩之和動量矩質(zhì)元動量矩之和zJ1. 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩 imirivOZ2. 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩定理tJMzdd由轉(zhuǎn)動定律由轉(zhuǎn)動定律JJtMzddd微分形式微分形式122121ddJJJtMttz積分形式積分形式定軸轉(zhuǎn)動剛體所受合外力矩的沖量矩等于其動量矩的增量定軸轉(zhuǎn)動剛體所受合外力矩的沖量矩等于其動量矩的增量iiimrviiirmv0zM0L常量J tJrmkk2說明說明3. 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩守恒

11、定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩守恒定律對對定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體 常量tJ tJ tJ 如：花樣滑冰如：花樣滑冰 跳水跳水 芭蕾舞等芭蕾舞等（2 2）貓習(xí)慣于在陽臺上睡覺，因而從陽臺上掉下來的事情時有發(fā)生。長期）貓習(xí)慣于在陽臺上睡覺，因而從陽臺上掉下來的事情時有發(fā)生。長期的觀察表明貓從高層樓房的陽臺掉到樓外的人行道上時，受傷的程度將隨的觀察表明貓從高層樓房的陽臺掉到樓外的人行道上時，受傷的程度將隨高度的增加而減少，據(jù)報導(dǎo)有只貓從高度的增加而減少，據(jù)報導(dǎo)有只貓從3232層樓掉下來也僅僅只有胸腔和一顆層樓掉下來也僅僅只有胸腔和一顆牙齒有輕微的損傷。為什么會這樣呢？牙齒有輕微的損傷。為什么會這樣呢？例例

12、 用沖擊擺測定子彈的速度。用沖擊擺測定子彈的速度。 已知擺的質(zhì)量為已知擺的質(zhì)量為 M ，擺對固定軸，擺對固定軸 的轉(zhuǎn)動慣量為的轉(zhuǎn)動慣量為 J，子彈的質(zhì)量為，子彈的質(zhì)量為 m， 子彈射入后，擺的最大子彈射入后，擺的最大角度為角度為 ， 求求子彈的速度？子彈的速度？ 解：解： dLCvm 系統(tǒng)的機械能守恒：系統(tǒng)的機械能守恒： 系統(tǒng)的動量矩守恒：系統(tǒng)的動量矩守恒： 0Lmv) ( J)(2mLJLmv22)(21mLJ)cos(0dLMg重力勢重力勢能零點能零點 gmLMdmLJmL)cos1)()(212v系統(tǒng)總動系統(tǒng)總動量不守恒量不守恒 Caution: O2mL)(dLMg)cos(LLmg例

13、例 質(zhì)量為質(zhì)量為 M，半徑為，半徑為 R 的水平均勻圓盤可繞通過中心的光滑豎的水平均勻圓盤可繞通過中心的光滑豎直軸自由轉(zhuǎn)動。直軸自由轉(zhuǎn)動。在盤邊緣上站有一質(zhì)量為在盤邊緣上站有一質(zhì)量為 m 的人，的人，都相對地面靜止。都相對地面靜止。 當(dāng)人沿盤邊走了一周時，盤對地面轉(zhuǎn)過角度？當(dāng)人沿盤邊走了一周時，盤對地面轉(zhuǎn)過角度？MROmx 解解 盤與人構(gòu)成系統(tǒng)，盤與人構(gòu)成系統(tǒng)， 人走動時，人走動時， 系統(tǒng)對豎直軸的外力矩為零系統(tǒng)對豎直軸的外力矩為零系統(tǒng)動量矩守恒系統(tǒng)動量矩守恒210JJ222121MRJ ,mRJt ddt ddtMRtmRdd21dd220202d21dMRmRMm21 2222Mmm人行走

14、一周人行走一周二者最初二者最初二二. 進動進動OLgmMLd高速自轉(zhuǎn)的陀螺在陀螺重力對高速自轉(zhuǎn)的陀螺在陀螺重力對支點支點O 的力矩作用下發(fā)生進動的力矩作用下發(fā)生進動陀螺的動量矩近似為陀螺的動量矩近似為JL 動量矩定理動量矩定理tLMddtMLddML/d當(dāng)當(dāng)LM時時則則只改變方向，不改變大小只改變方向，不改變大小( (進動進動) )L 進動角速度進動角速度OLsinLdLdtddtLLd1sindtLtMdsind1sinJM以上只是近似討論，以上只是近似討論，只適用高速自轉(zhuǎn)，即只適用高速自轉(zhuǎn)，即CCMrviiiCiim r rm vviiiCCm rMr vviiiCCOm rMrL vv(

15、1)(1) 質(zhì)點系的動量矩質(zhì)點系的動量矩( (角動量角動量) )可分為兩項可分為兩項第一項：第一項：只包含系統(tǒng)的總質(zhì)量只包含系統(tǒng)的總質(zhì)量、質(zhì)心的位矢和質(zhì)心的速度質(zhì)心的位矢和質(zhì)心的速度 軌道角動量軌道角動量第二項：第二項：是質(zhì)點系各質(zhì)點相對于質(zhì)心的角動量的矢量和是質(zhì)點系各質(zhì)點相對于質(zhì)心的角動量的矢量和自旋角動量自旋角動量自旋軌道LLLOCCMrLv軌道iiim rL v自旋說明說明Oivmii rCriiCmrviCiim r vvCCJJLz00 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動剛體繞定軸轉(zhuǎn)動 動量矩守恒定律動量矩守恒定律 質(zhì)點繞定點轉(zhuǎn)動質(zhì)點繞定點轉(zhuǎn)動 動量矩守恒定律動量矩守恒定律CmrPrLiiiiiiv例例

16、 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 m 的小球，以速度的小球，以速度 u 豎直落到直棒的端點，與棒作完全彈性豎直落到直棒的端點，與棒作完全彈性碰撞，碰撞，求求小球小球回跳速度回跳速度和棒繞軸轉(zhuǎn)動的和棒繞軸轉(zhuǎn)動的角速度角速度？muM2lO解：解：vmmuuv?mul碰前、碰后角動量守恒：碰前、碰后角動量守恒：Jlmv碰前碰后的動能守恒碰前碰后的動能守恒222212121Jmmuv3/2MlJ 系統(tǒng)動量不守恒系統(tǒng)動量不守恒 明明確確mMumM3)3(v回跳速度回跳速度l )mM/(mu36細棒的旋轉(zhuǎn)角速度：細棒的旋轉(zhuǎn)角速度：)(ddddJttLJtJtLdddd)(ddJtM )d(dJtM)d(d2121JtM

17、JJtt12JJ）為沖量矩 d(21tttM0zM0zL常量J 3. 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩守恒定律對對定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體當(dāng)當(dāng)變形體所受合外力矩為零時，變形體的動量矩也守恒變形體所受合外力矩為零時，變形體的動量矩也守恒 常量tJ tJ tJ 如：花樣滑冰如：花樣滑冰 跳水跳水 芭蕾舞等芭蕾舞等繞定軸轉(zhuǎn)動的物體系繞定軸轉(zhuǎn)動的物體系當(dāng)當(dāng)0zMCJLz如：人站在轉(zhuǎn)臺上，用手撥動輪子，則轉(zhuǎn)臺會向相反的如：人站在轉(zhuǎn)臺上，用手撥動輪子，則轉(zhuǎn)臺會向相反的 方向轉(zhuǎn)動方向轉(zhuǎn)動因為：內(nèi)力矩只能改變物體系內(nèi)各物體的動量矩，但不能因為：內(nèi)力矩只能改變物體系內(nèi)各物體的動量矩，但不能 改變

18、物體的總動量矩改變物體的總動量矩22201210)2()2(mrJmrJ12202102)2()2(mrJmrJ2121022220k)2(21)2(21mrJmrJE) 122()2(2122021021210mrJmrJmrJ2r1rmzRv0R / 2v = ?GMz角動量守恒角動量守恒mv0 Rmv R / 2v = 2v0例例有一轉(zhuǎn)臺，有一轉(zhuǎn)臺，MR初始的角速度為初始的角速度為0有一個人站在轉(zhuǎn)臺的中心，有一個人站在轉(zhuǎn)臺的中心，mu以相對于轉(zhuǎn)臺的恒定速度以相對于轉(zhuǎn)臺的恒定速度u沿半徑向邊緣走去，沿半徑向邊緣走去，人走了人走了t 時間后，轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)過的角度時間后，轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)過的角度例例解解求求人

19、和轉(zhuǎn)臺組成的系統(tǒng)對人和轉(zhuǎn)臺組成的系統(tǒng)對豎直軸豎直軸不受外力矩不受外力矩選選( (人和轉(zhuǎn)臺人和轉(zhuǎn)臺) )為系統(tǒng)為系統(tǒng)因此，系統(tǒng)對因此，系統(tǒng)對豎直軸豎直軸的角動量守恒的角動量守恒在時間在時間 t 內(nèi)，內(nèi)， 人走到距轉(zhuǎn)臺中心的距離為人走到距轉(zhuǎn)臺中心的距離為utr )()(22210221mrMRMR222021MRtmu t ddtt00d d)2arctg(20RMmutMmuR 如圖，兩個質(zhì)量均為如圖，兩個質(zhì)量均為m的小孩，各抓住跨過滑輪繩子的兩端。的小孩，各抓住跨過滑輪繩子的兩端。一個用力向上爬，另一個則抓住繩子不動。若一個用力向上爬，另一個則抓住繩子不動。若滑輪的質(zhì)量滑輪的質(zhì)量和和軸上的摩擦

20、力軸上的摩擦力都可忽略，開始時兩小孩都不動都可忽略，開始時兩小孩都不動 哪一個小孩先到達滑輪哪一個小孩先到達滑輪例例解解求求RO 以小孩、滑輪作為系統(tǒng)以小孩、滑輪作為系統(tǒng)則系統(tǒng)對則系統(tǒng)對O點的總角動量為點的總角動量為)(21vv mRLo+1v2v而系統(tǒng)所受的外力矩只有兩個小孩的重力矩，而系統(tǒng)所受的外力矩只有兩個小孩的重力矩，且合力矩為零且合力矩為零所以系統(tǒng)對所以系統(tǒng)對O點的總角動量守恒點的總角動量守恒開始時兩小孩都不動開始時兩小孩都不動所以所以021vv0oL隨后隨后0021vv0oL但但21vv 思考思考： 若兩個小孩質(zhì)量不等時情況如何？若兩個小孩質(zhì)量不等時情況如何？例例 一均質(zhì)棒，長度為

21、一均質(zhì)棒，長度為 L，質(zhì)量為，質(zhì)量為M，現(xiàn)有，現(xiàn)有一子彈在距軸為一子彈在距軸為 y 處水平射入細棒，子處水平射入細棒，子彈的質(zhì)量為彈的質(zhì)量為 m ,速度為速度為 v0 。求求 子彈細棒共同的角速度子彈細棒共同的角速度 。解解ym0v其中其中xNy0vm2231myMLJJJ子棒22031myMLymv討論討論 水平方向動量守恒水平方向動量守恒子彈、細棒系統(tǒng)的動量矩守恒子彈、細棒系統(tǒng)的動量矩守恒xN0 J質(zhì)點與剛體的碰撞過程滿足角動量守恒定律，而不是動量守恒定律質(zhì)點與剛體的碰撞過程滿足角動量守恒定律，而不是動量守恒定律l陀螺儀：陀螺儀：能夠繞其對稱軸高速能夠繞其對稱軸高速 旋轉(zhuǎn)的厚重的對稱剛體。

22、旋轉(zhuǎn)的厚重的對稱剛體。l陀螺儀的特點：陀螺儀的特點：具有軸對稱性和具有軸對稱性和繞對稱軸有較大的轉(zhuǎn)動慣量。繞對稱軸有較大的轉(zhuǎn)動慣量。 l陀螺儀的定向特性：陀螺儀的定向特性：由于不受外由于不受外力矩作用，陀螺角動量的大小和力矩作用，陀螺角動量的大小和方向都保持不變；無論怎樣改變方向都保持不變；無論怎樣改變框架的方向，都不能使陀螺儀轉(zhuǎn)框架的方向，都不能使陀螺儀轉(zhuǎn)軸在空間的取向發(fā)生變化。軸在空間的取向發(fā)生變化。l尾槳的設(shè)置：尾槳的設(shè)置：直升機發(fā)動后機身要在旋翼旋轉(zhuǎn)相反方向旋直升機發(fā)動后機身要在旋翼旋轉(zhuǎn)相反方向旋轉(zhuǎn)，產(chǎn)生一個向下的角動量。為了不讓機身作這樣的反向轉(zhuǎn)，產(chǎn)生一個向下的角動量。為了不讓機身作

23、這樣的反向旋轉(zhuǎn)，在機身尾部安裝一個尾槳，尾槳的旋轉(zhuǎn)在水平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，在機身尾部安裝一個尾槳，尾槳的旋轉(zhuǎn)在水平面內(nèi)產(chǎn)生了一個推力，以平衡單旋翼所產(chǎn)生的機身扭轉(zhuǎn)作用。產(chǎn)生了一個推力，以平衡單旋翼所產(chǎn)生的機身扭轉(zhuǎn)作用。l對轉(zhuǎn)螺旋槳的設(shè)置：對轉(zhuǎn)螺旋槳的設(shè)置：雙旋翼直升機則無需尾槳，它在直立雙旋翼直升機則無需尾槳，它在直立軸上安裝了一對對轉(zhuǎn)螺旋槳，即在同軸心的內(nèi)外兩軸上安軸上安裝了一對對轉(zhuǎn)螺旋槳，即在同軸心的內(nèi)外兩軸上安裝了一對轉(zhuǎn)向相反的螺旋槳。工作時它們轉(zhuǎn)向相反，保持裝了一對轉(zhuǎn)向相反的螺旋槳。工作時它們轉(zhuǎn)向相反，保持系統(tǒng)的總角動量仍然為零。系統(tǒng)的總角動量仍然為零。 動力學(xué)規(guī)律：動力學(xué)規(guī)律：C2C2imd

24、tdmarFCCJM 質(zhì)心運動定理：質(zhì)心運動定理： 剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動規(guī)律：剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動規(guī)律： 222121CCKmvJE 剛體的動能：剛體的動能： 平面運動的平面運動的基本方程組基本方程組 思考題：思考題： 如圖示，將一質(zhì)量為如圖示，將一質(zhì)量為 m m 的長桿用細繩從兩端水平地掛起，其的長桿用細繩從兩端水平地掛起，其中一根繩子突然斷了，中一根繩子突然斷了，另一根繩子內(nèi)的張力是多少？另一根繩子內(nèi)的張力是多少？ Tm ml lCmaTmg質(zhì)心運動定律質(zhì)心運動定律轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律Jlmg2Calml232mgTmg43mgT41mgmg五五. 進動進動高速自轉(zhuǎn)的陀螺在高速自轉(zhuǎn)的陀螺在陀螺重力對支點陀螺重力對支點O 的力矩作用下發(fā)生進動的力矩作用下發(fā)生進動l現(xiàn)象：現(xiàn)象：陀螺儀在外力矩的作用下，在繞陀螺儀在外力矩的作用下，在繞其對稱軸高速轉(zhuǎn)動的同時，橫桿也會在其對稱軸高速轉(zhuǎn)動的同時，橫桿也會在水平面內(nèi)繞豎直軸緩慢地轉(zhuǎn)動。水平面內(nèi)繞豎直軸緩慢地轉(zhuǎn)動。l進動：進動：高速轉(zhuǎn)動物體的自轉(zhuǎn)軸繞另一高速轉(zhuǎn)動物體的自轉(zhuǎn)軸繞另一軸線的旋轉(zhuǎn)運動形式。軸線的旋轉(zhuǎn)運動形式。 OOLgm 自轉(zhuǎn)角速度越大，進動角速度越小，反之依然；自轉(zhuǎn)角速度越大，進動角速度越小，反之依然； 進動角速度與傾角無關(guān)。進動角速度與傾角無關(guān)。 章動章動（Nutation） 當(dāng)剛體自轉(zhuǎn)角速度較小時，它的當(dāng)剛體自轉(zhuǎn)角速度較小時，