固體物理 03-08晶體熱容的量子理論

1、固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué) 3.8 晶體熱容的量子理論晶體熱容的量子理論 第三章第三章 晶格振動(dòng)晶格振動(dòng)固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)晶體的熱容晶體的熱容固體的定容熱容固體的定容熱容VVTEC)(E 固體的平均內(nèi)能固體的平均內(nèi)能固體內(nèi)能固體內(nèi)能 晶格振動(dòng)的能量和電子熱運(yùn)動(dòng)的能量晶格振動(dòng)的能量和電子熱運(yùn)動(dòng)的能量實(shí)驗(yàn)結(jié)果實(shí)驗(yàn)結(jié)果 低溫下金屬的熱容低溫下金屬的熱容3ATTCV 溫度不是太低的情況，忽略電子對(duì)比熱的貢獻(xiàn)溫度不是太低的情況，忽略電子對(duì)比熱的貢獻(xiàn)T 電子對(duì)比熱的貢獻(xiàn)電子對(duì)比熱的貢獻(xiàn)3AT 晶格振動(dòng)對(duì)比熱的貢獻(xiàn)晶格振動(dòng)對(duì)比熱的貢

2、獻(xiàn)固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)晶格振動(dòng)對(duì)熱容的貢獻(xiàn)晶格振動(dòng)對(duì)熱容的貢獻(xiàn) 經(jīng)典理論經(jīng)典理論 一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)平均能量一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)平均能量TkBN個(gè)原子，總的平均能量個(gè)原子，總的平均能量TNkEB3摩爾固體熱容摩爾固體熱容VVTEC)(RkNCBAV33 杜隆珀替定律杜隆珀替定律實(shí)驗(yàn)表明實(shí)驗(yàn)表明 在低溫時(shí)熱容量隨溫度迅速趨于零在低溫時(shí)熱容量隨溫度迅速趨于零 ! 能量均分定律能量均分定律固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué) 一個(gè)頻率為一個(gè)頻率為 j的的振動(dòng)模對(duì)熱容的貢獻(xiàn)振動(dòng)模對(duì)熱容的貢獻(xiàn)/jBjBjjnk Tnk TnnPee1()2jjjEn頻率

3、為頻率為 j的的振動(dòng)模由一系列量子能級(jí)振動(dòng)模由一系列量子能級(jí) 組成組成 子體系子體系/jBjEk TnPCe子體系處于量子態(tài)子體系處于量子態(tài) 的的概率概率1()2jjjEn/(1)jjBjBjnk Tk TnPee1)1 (xxnn晶格振動(dòng)對(duì)熱容的貢獻(xiàn)晶格振動(dòng)對(duì)熱容的貢獻(xiàn) 量子理論量子理論固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué) 與晶格振動(dòng)頻率和溫度有關(guān)與晶格振動(dòng)頻率和溫度有關(guān) VjVdTEdC)( 一個(gè)振動(dòng)模對(duì)熱容貢獻(xiàn)一個(gè)振動(dòng)模對(duì)熱容貢獻(xiàn)/121jBjjk TejjjnjnEP E一個(gè)振動(dòng)模的平均能量一個(gè)振動(dòng)模的平均能量/(1)jjBjBjnk Tk TnPee1()2j

4、jjEn2(1)nnxnxx零點(diǎn)能零點(diǎn)能平均熱能平均熱能/2/2()(1)jBjBk TjVBk TBeCkk Te固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)jBTkBVkC p高溫極限高溫極限/2/2()(1)jBjBk TjVBk TBeCkk Te/211()2jBk TjjBBek Tk T 一個(gè)振動(dòng)模對(duì)熱容貢獻(xiàn)一個(gè)振動(dòng)模對(duì)熱容貢獻(xiàn) 忽略不計(jì)忽略不計(jì)222(1)()1()2jjBVBjjBBBk TCkk Tk Tk T固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)jBTkBVkC 高溫極限高溫極限 與杜隆珀替定律相符與杜隆珀替定律相符222(1)()1

5、()2jjBVBjjBBBk TCkk Tk Tk T 這一結(jié)果在量子理論的基礎(chǔ)上說(shuō)明了在較高溫度時(shí)這一結(jié)果在量子理論的基礎(chǔ)上說(shuō)明了在較高溫度時(shí)杜隆珀替定律成立（杜隆珀替定律成立（CV與經(jīng)典值與經(jīng)典值kB一致）的原因一致）的原因 （當(dāng)振子的能量當(dāng)振子的能量kBT遠(yuǎn)大于能量的量子遠(yuǎn)大于能量的量子 時(shí)，量時(shí)，量子化的效應(yīng)就可以忽略子化的效應(yīng)就可以忽略）j固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)jBTk2/1()jBjVBk TBCkk Te0T0VCp低溫極限低溫極限1/TkBje 與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符/2/2()(1)jBjBk TjVBk TBeCkk Te 一個(gè)振

6、動(dòng)模對(duì)熱容貢獻(xiàn)一個(gè)振動(dòng)模對(duì)熱容貢獻(xiàn)固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)低溫極限低溫極限 從物理意義上看：由于振動(dòng)能量是量從物理意義上看：由于振動(dòng)能量是量子化的，在子化的，在 時(shí)，振動(dòng)被時(shí)，振動(dòng)被“凍結(jié)凍結(jié)”在基態(tài)，很難被熱激發(fā)，因而對(duì)熱容的貢獻(xiàn)在基態(tài)，很難被熱激發(fā)，因而對(duì)熱容的貢獻(xiàn)趨向于趨向于0。jBTk2/1()jBjVBk TBCkk Te0T0VC可知：當(dāng)可知：當(dāng)T時(shí)，時(shí)，CV，且當(dāng)，且當(dāng) 時(shí)，時(shí)，固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué) 晶體中有晶體中有3N個(gè)振動(dòng)模，總的能量個(gè)振動(dòng)模，總的能量NjjTETE31)()(NjjVVCC3131(

7、 )NjjdE TdT晶體總的熱容晶體總的熱容/32/21()(1)jBjBk TNjVBk TjBeCkk Te( )VdE TCdT固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)1、根據(jù)以上的分析與討論可以看出，溫度、根據(jù)以上的分析與討論可以看出，溫度T由由0高溫時(shí)，高溫時(shí)，CV由由03NkB，這與試驗(yàn)結(jié)，這與試驗(yàn)結(jié)果符合，這說(shuō)明晶格振動(dòng)的量子理論是成果符合，這說(shuō)明晶格振動(dòng)的量子理論是成功的。功的。結(jié)論：結(jié)論：2、由經(jīng)典理論只能證明、由經(jīng)典理論只能證明CV=3NkB（常數(shù)），（常數(shù)），這只與高溫實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符合，而與低溫的結(jié)這只與高溫實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符合，而與低溫的結(jié)果不符合。果不符

8、合。固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué) 上面我們討論了頻率為上面我們討論了頻率為 的振子對(duì)熱容的貢的振子對(duì)熱容的貢獻(xiàn)，晶體中包含獻(xiàn)，晶體中包含3N個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)。個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)。NjjTETE31)()(31( )NjjdE TdT總的熱容：總的熱容：/32/21()(1)jBjBk TNjBk TjBekk Te總的能量：總的能量：jNjjVVCC31固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué))(30TkfNkCBBBV1 愛(ài)因斯坦模型愛(ài)因斯坦模型 N個(gè)原子構(gòu)成的晶體，所有原子以相同的頻率個(gè)原子構(gòu)成的晶體，所有原子以相同的頻率 0振動(dòng)振動(dòng) VVTEC)(0

9、00/3321Bk TNNe3/11()21jBNjjk TjEe2/20) 1()(300TkTkBBBBeeTkNk熱容熱容總能量總能量固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)愛(ài)因斯坦溫度愛(ài)因斯坦溫度EBk0BEk02/2) 1()(3TTEBVEEeeTNkC 選取合適的選取合適的 E值，在較大溫度變化的范圍內(nèi)，理值，在較大溫度變化的范圍內(nèi)，理論計(jì)算的結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果相當(dāng)好地符合論計(jì)算的結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果相當(dāng)好地符合 大多數(shù)固體大多數(shù)固體KKE3001002/200) 1()()(00TkTkBBBBBeeTkTkf 愛(ài)因斯坦熱容函數(shù)愛(ài)因斯坦熱容函數(shù)固體物理 Solid S

10、tate Physics西南科技大學(xué)金剛石金剛石KE1320理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較 10/20固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)22/2/2/)(1) 1(TTTTEEEEeeee22)()22(1EEETTTBVNkC3溫度較高時(shí)溫度較高時(shí) 10TkB/2/23()(1)EETEVBTeCNkTeTE 與杜隆與杜隆 珀替定律相符珀替定律相符0BEk 晶體熱容晶體熱容/212ETEeT 固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)溫度非常低時(shí)溫度非常低時(shí)10TkBTETkBBVBeTkNkC020)(31/TEeT0時(shí)，時(shí)，0VC

11、0BEk 2/2) 1()(3TTEBVEEeeTNkC晶體熱容晶體熱容與實(shí)驗(yàn)符合與實(shí)驗(yàn)符合固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)在極低溫時(shí)，實(shí)驗(yàn)測(cè)得在極低溫時(shí)，實(shí)驗(yàn)測(cè)得3ATCV 愛(ài)因斯坦模型在低溫時(shí)，愛(ài)因斯坦模型在低溫時(shí)，CV值比值比T3更更快地趨于快地趨于0，即：溫度，即：溫度0時(shí)，時(shí)，CV減小的速減小的速度快于實(shí)驗(yàn)值，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果有較大差別，度快于實(shí)驗(yàn)值，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果有較大差別，如下圖所示。如下圖所示。 愛(ài)因斯坦模型的缺陷愛(ài)因斯坦模型的缺陷固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)1）和經(jīng)典

12、理論相比，愛(ài)因斯坦模型（理論）和經(jīng)典理論相比，愛(ài)因斯坦模型（理論）的改進(jìn)是十分明顯的，理論能夠反映出在低溫的改進(jìn)是十分明顯的，理論能夠反映出在低溫下降的基本趨勢(shì)。但是在低溫時(shí)，愛(ài)因斯坦理下降的基本趨勢(shì)。但是在低溫時(shí)，愛(ài)因斯坦理論值下降很陡，與實(shí)驗(yàn)不符。論值下降很陡，與實(shí)驗(yàn)不符。結(jié)論：結(jié)論：固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)a.愛(ài)因斯坦把晶體中的各原子看作具有相同的振愛(ài)因斯坦把晶體中的各原子看作具有相同的振動(dòng)頻率動(dòng)頻率 的諧振子，顯然是一種過(guò)于簡(jiǎn)化的假的諧振子，顯然是一種過(guò)于簡(jiǎn)化的假設(shè)。設(shè)。b.在愛(ài)因斯坦模型中，在愛(ài)因斯坦模型中， 是這樣選取的：使得是這樣選取的：使得比

13、熱在較大的溫度范圍內(nèi)，理論曲線與實(shí)驗(yàn)曲線比熱在較大的溫度范圍內(nèi)，理論曲線與實(shí)驗(yàn)曲線盡可能的符合，這樣的頻率一般在紅外線范圍。盡可能的符合，這樣的頻率一般在紅外線范圍。因此，這樣的頻率是較高，由于忽略了低頻的作因此，這樣的頻率是較高，由于忽略了低頻的作用，從而使用，從而使CV下降得較快。下降得較快。2）產(chǎn)生偏離的原因：）產(chǎn)生偏離的原因：00固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué) 主要在于證明了機(jī)械諧振子也必須主要在于證明了機(jī)械諧振子也必須量子化，就如普朗克把輻射諧振子量子量子化，就如普朗克把輻射諧振子量子化一樣，從而使他得到的理論結(jié)果與實(shí)化一樣，從而使他得到的理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)

14、基本符合一致，證明了引入聲子概念驗(yàn)基本符合一致，證明了引入聲子概念的正確性。的正確性。3） 愛(ài)因斯坦模型的意義：愛(ài)因斯坦模型的意義：固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)2 德拜模型德拜模型 1912年德拜提出以連續(xù)介質(zhì)的彈性波來(lái)代表格波年德拜提出以連續(xù)介質(zhì)的彈性波來(lái)代表格波 將布喇菲晶格看作是各向同性的連續(xù)介質(zhì)將布喇菲晶格看作是各向同性的連續(xù)介質(zhì) 有有1個(gè)縱波和個(gè)縱波和2個(gè)獨(dú)立的橫波個(gè)獨(dú)立的橫波ltC qFor LongitudinalWaveC qFor TransverseWave 不同不同q的縱波和橫波，構(gòu)成了晶格的全部振動(dòng)模的縱波和橫波，構(gòu)成了晶格的全部振動(dòng)模

15、不同的振動(dòng)模，能量不同不同的振動(dòng)模，能量不同色散關(guān)系色散關(guān)系固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)頻率在頻率在 之間振動(dòng)模式的數(shù)目之間振動(dòng)模式的數(shù)目 ddgdn)( 頻率也近似于連續(xù)取值頻率也近似于連續(xù)取值 振動(dòng)頻率分布函數(shù)振動(dòng)頻率分布函數(shù)，或者振動(dòng)模的，或者振動(dòng)模的態(tài)密度態(tài)密度函數(shù)函數(shù) )(g一個(gè)振動(dòng)模的熱容一個(gè)振動(dòng)模的熱容 /2/2()(1)jBjBk TjjBk TBeCkk TeltC q andC q振動(dòng)頻率分布函數(shù)振動(dòng)頻率分布函數(shù)固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)晶體總的熱容晶體總的熱容 /2/20()( )(1)mBBk TVBk

16、TBeCkgdk Te 振動(dòng)頻率分布函數(shù)振動(dòng)頻率分布函數(shù) 和和 m的計(jì)算的計(jì)算)(g一個(gè)振動(dòng)模的熱容一個(gè)振動(dòng)模的熱容 /2/2()(1)jBjBk TjjBk TBeCkk Te固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)三維晶格，態(tài)密度三維晶格，態(tài)密度 V: 晶體體積晶體體積3)2(V 波矢波矢q允許的取值在允許的取值在q空間形成了均勻分布的點(diǎn)子空間形成了均勻分布的點(diǎn)子體積元態(tài)的數(shù)目體積元態(tài)的數(shù)目qdV3)2( q是準(zhǔn)連續(xù)變化的是準(zhǔn)連續(xù)變化的dqqV234)2(狀態(tài)數(shù)目狀態(tài)數(shù)目dqqq球?qū)忧驅(qū)庸腆w物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)頻率在頻率在 之間，之間

17、，縱波數(shù)目縱波數(shù)目ddqqV234)2(lCqdCVl2322頻率在頻率在 之間，之間，格波數(shù)目格波數(shù)目d22322tVdC頻率在頻率在 之間，之間，橫波數(shù)目橫波數(shù)目d波矢的數(shù)值在波矢的數(shù)值在 之間的振動(dòng)方式的數(shù)目之間的振動(dòng)方式的數(shù)目dqqqlCddqdVCCtl22332)21(固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)頻率分布函數(shù)頻率分布函數(shù)2233( )2VgC333213tlCCC格波總的數(shù)目格波總的數(shù)目dVCCtl22332)21(頻率在頻率在 間，格波數(shù)目間，格波數(shù)目dmdgN0)(321/36()mNCV固體物理 Solid State Physics西南科技大

18、學(xué)deeTkkCVTkTkBBBBm22/2032) 1()(23晶體總的熱容晶體總的熱容 /2/20()( )(1)mBBk TVBk TBeCkgdk Te21/36()mNCV固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)deeTkkCVCTkTkBBVBBm22/2032) 1()(23德拜溫度德拜溫度BmDk/4320()3 3()(1)DTVDDTTeCRde晶體總的熱容晶體總的熱容 TkB令令mDmBk TT21/36()mNCV)(3)/(TRfTCDDDV固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)DT1TkB1eTDDDDdTTf/023) 1

19、()( 3)(1RCV3（1）在高溫）在高溫極限下：極限下： 與杜隆珀替定律一致與杜隆珀替定律一致TDDDDdeeTTf/0243) 1()( 3)(德拜熱容函數(shù)德拜熱容函數(shù)BDmk )(3)/(TRfTCDDDV晶體總的熱容晶體總的熱容 固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)（2）低溫）低溫極限：極限：DT TDDVDdeeTRTC/0243) 1()(9)/(4312(/)()15VDDTCTR T3成正比成正比 德拜定律德拜定律 溫度愈低時(shí)，德拜模型近似計(jì)算結(jié)果愈好溫度愈低時(shí)，德拜模型近似計(jì)算結(jié)果愈好 溫度很低時(shí)，主要的只有長(zhǎng)波格波的激發(fā)溫度很低時(shí)，主要的只有長(zhǎng)波格波的激發(fā)0243) 1()(9deeTRD1Bk TBDmk 晶體熱容晶體熱容 晶體熱容晶體熱容 固體