第三講--多變量最優(yōu)化

1、多多 變變 量量 最最 優(yōu)優(yōu) 化化例：競(jìng)爭(zhēng)性產(chǎn)品生產(chǎn)中的利潤(rùn)最大化例：競(jìng)爭(zhēng)性產(chǎn)品生產(chǎn)中的利潤(rùn)最大化一家彩電制造商計(jì)劃推出兩種新產(chǎn)品：一種一家彩電制造商計(jì)劃推出兩種新產(chǎn)品：一種1919英寸液晶平板英寸液晶平板電視機(jī)，制造商建議零售價(jià)為電視機(jī)，制造商建議零售價(jià)為339339美元；另一種美元；另一種2121英寸液晶英寸液晶平板電視機(jī)，零售價(jià)為平板電視機(jī)，零售價(jià)為399399美元。公司付出的成本為美元。公司付出的成本為1919英寸英寸彩電每臺(tái)彩電每臺(tái)195195美元，美元，2121英寸彩電每臺(tái)英寸彩電每臺(tái)225225美元，還要加上美元，還要加上400000400000美元的固定成本。美元的固定成本。在

2、競(jìng)爭(zhēng)的銷售市場(chǎng)中，每年售出的彩電數(shù)量會(huì)影響彩電的平在競(jìng)爭(zhēng)的銷售市場(chǎng)中，每年售出的彩電數(shù)量會(huì)影響彩電的平均售價(jià)。據(jù)估計(jì)，對(duì)每種類型的彩電，每多售出一臺(tái)，平均均售價(jià)。據(jù)估計(jì)，對(duì)每種類型的彩電，每多售出一臺(tái)，平均銷售價(jià)格會(huì)下降銷售價(jià)格會(huì)下降1 1美分。而且美分。而且1919英寸彩電的銷售會(huì)影響英寸彩電的銷售會(huì)影響2121英英寸彩電的銷售，反之亦然。據(jù)估計(jì)，每售出一臺(tái)寸彩電的銷售，反之亦然。據(jù)估計(jì)，每售出一臺(tái)2121英寸彩電，英寸彩電，1919英寸彩電的平均售價(jià)會(huì)下降英寸彩電的平均售價(jià)會(huì)下降0.30.3美分，而每售出一臺(tái)美分，而每售出一臺(tái)1919英英寸彩電，寸彩電，2121英寸彩電的平均售價(jià)會(huì)下降英寸

3、彩電的平均售價(jià)會(huì)下降0.40.4美分。美分。問題是：每種彩電應(yīng)該各生產(chǎn)多少臺(tái)？問題是：每種彩電應(yīng)該各生產(chǎn)多少臺(tái)？變量：變量：x=19x=19英寸彩電的售出數(shù)量（每年）英寸彩電的售出數(shù)量（每年）y=21y=21英寸彩電的售出數(shù)量（每年）英寸彩電的售出數(shù)量（每年）p=19p=19英寸彩電的銷售價(jià)格（美元）英寸彩電的銷售價(jià)格（美元）q=21q=21英寸彩電的銷售價(jià)格（美元）英寸彩電的銷售價(jià)格（美元）R=R=彩電銷售的收入（美元彩電銷售的收入（美元/ /年）年）C=C=生產(chǎn)彩電的成本（美元）生產(chǎn)彩電的成本（美元）P=P=彩電銷售的利潤(rùn)（美元彩電銷售的利潤(rùn)（美元/ /年）年）提出問題：提出問題：假設(shè)：假

4、設(shè)：3390.010.003pxy3990.0040.01qxyRpxqy400000195225CxyPRC,0 x y 目標(biāo)：最大化利潤(rùn)函數(shù)目標(biāo)：最大化利潤(rùn)函數(shù)P P解得全局極大值點(diǎn)解得全局極大值點(diǎn)PRC4735,7043.xy建立模型：建立模型：求解模型：求解模型：選擇建模方法選擇建模方法無約束多變量最優(yōu)化問題無約束多變量最優(yōu)化問題22(3390.010.003 )(3990.0040.01 )(400000195225 )1440.011740.010.007400000 xy xxy yxyxxyyxy1440.020.00701740.0070.020PxyxPxyy2159200

5、0553641.39f 回答問題：回答問題：這家公司可以通過生成這家公司可以通過生成47354735臺(tái)臺(tái)1919英寸彩電和英寸彩電和70437043臺(tái)臺(tái)2121英寸彩電來獲得最大利潤(rùn)，每年獲得英寸彩電來獲得最大利潤(rùn)，每年獲得的凈利潤(rùn)為的凈利潤(rùn)為553641553641美元，每臺(tái)美元，每臺(tái)1919英寸彩電的平英寸彩電的平均售價(jià)為均售價(jià)為270.52270.52美元，每臺(tái)美元，每臺(tái)2121英寸彩電的平均英寸彩電的平均售價(jià)為售價(jià)為309.63309.63美元。生產(chǎn)的總支出為美元。生產(chǎn)的總支出為29080002908000美元，相應(yīng)的利潤(rùn)率為美元，相應(yīng)的利潤(rùn)率為19%19%。因此建議這家公。因此建議這

6、家公司應(yīng)該實(shí)行推出新產(chǎn)品的計(jì)劃。司應(yīng)該實(shí)行推出新產(chǎn)品的計(jì)劃。計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)-matlab x, y = meshgrid(0:400:10000, 0:400:10000); z = (339 - 0.01*x - 0.003*y).*x + (399 - 0.004*x - 0.01*y).*y - (400000 + 195*x + 225*y); mesh(x, y, z) syms x y z = (339 - 0.01*x - 0.003*y).*x + (399 - 0.004*x - 0.01*y).*y - (400000 + 195*x + 225*y); dzdx = di

7、ff(z, x) dzdy = diff(z, y) s = solve(-1/50*x + 144 - 7/1000*y = 0,-7/1000*x - 1/50*y + 174 = 0, x, y) subs(z, x, y, s.x, s.y)靈敏性分析在向公司報(bào)告結(jié)論之前，應(yīng)對(duì)我們關(guān)于彩電市場(chǎng)在向公司報(bào)告結(jié)論之前，應(yīng)對(duì)我們關(guān)于彩電市場(chǎng)和生產(chǎn)過程所做的假設(shè)進(jìn)行靈敏性分析，以保證和生產(chǎn)過程所做的假設(shè)進(jìn)行靈敏性分析，以保證結(jié)果具有穩(wěn)健性。結(jié)果具有穩(wěn)健性。對(duì)對(duì)1919英寸彩電的價(jià)格彈性系數(shù)英寸彩電的價(jià)格彈性系數(shù)a a的靈敏性進(jìn)行分析的靈敏性進(jìn)行分析. .22(3390.003 )(3990.0

8、040.01 )(400000195225 )1440.011740.010.007400000Paxy xxy yxyxxyyxy我們主要關(guān)心的是決策變量我們主要關(guān)心的是決策變量x x和和y y的值，因?yàn)楣镜闹?，因?yàn)楣疽獡?jù)此來確定生產(chǎn)量。要據(jù)此來確定生產(chǎn)量。求偏導(dǎo)數(shù)并令其為零，可解得求偏導(dǎo)數(shù)并令其為零，可解得16620004000004958170087004000049xaya可畫出可畫出x x和和y y關(guān)于關(guān)于a a的曲線圖的曲線圖. .1919英寸彩電的價(jià)格彈性系數(shù)英寸彩電的價(jià)格彈性系數(shù)a a的提高，會(huì)導(dǎo)致的提高，會(huì)導(dǎo)致1919英寸彩電的最優(yōu)生產(chǎn)量英寸彩電的最優(yōu)生產(chǎn)量x x的下降，

9、及的下降，及2121英寸英寸彩電的最優(yōu)生產(chǎn)量彩電的最優(yōu)生產(chǎn)量y y的提高。而且，圖中顯示的提高。而且，圖中顯示x x比比y y對(duì)于對(duì)于a a更敏感。更敏感。計(jì)算可得，在計(jì)算可得，在a=0.01a=0.01時(shí)，有時(shí)，有26648000000022160000000(4000049)41067dxdaa如果將如果將1919英寸彩電的價(jià)格彈性系數(shù)提高英寸彩電的價(jià)格彈性系數(shù)提高10%10%，則，則我們應(yīng)將我們應(yīng)將1919英寸彩電的生產(chǎn)量縮小英寸彩電的生產(chǎn)量縮小11%11%，2121英寸英寸彩電的生產(chǎn)量擴(kuò)大彩電的生產(chǎn)量擴(kuò)大2.7%.2.7%.221600000000.01400( , )()()1.14

10、1067554000/117351S x a 9695( , )0.2736153S y a 計(jì)算可得，在計(jì)算可得，在a=0.01a=0.01時(shí)，有時(shí)，有dPP dxP dyPdax day daa考慮考慮y y對(duì)于對(duì)于a a的靈敏性。的靈敏性。25540000.01( , )0.40117(21592000/ 39)S y a 因此，因此，1919英寸彩電的價(jià)格彈性系數(shù)提高英寸彩電的價(jià)格彈性系數(shù)提高10%10%，會(huì)使利潤(rùn)下降會(huì)使利潤(rùn)下降4%.4%.21Pxa syms a z = (339 - a*x - 0.003*y).*x + (399 - 0.004*x - 0.01*y).*y-

11、(400000 + 195*x + 225*y) dzdx = diff(z, x) dzdy = diff(z, y) s = solve(-2*a*x + 144 - 7/1000*y = 0,-7/1000*x - 1/50*y + 174 = 0, x, y) dxda = diff(s.x, a) sxa = dxda * a / s.x a = 0.01 eval(sxa)Matlab 優(yōu)化函數(shù)function y = tvsell(x)y = -(339 - 0.01*x(1) - 0.003*x(2) * x(1) - (399 - 0.004*x(1) - 0.01*x(2)

12、 * x(2) + (400000 + 195*x(1) + 225*x(2);1） 建立目標(biāo)函數(shù)的m-文件2）求解 x0 = 0, 0; x, yval = fminunc(tvsell, x0)無約束多變量函數(shù)極小fminunc如果在求極值時(shí)使用函數(shù)的梯度，則在目標(biāo)函數(shù)的m-文件中應(yīng)有兩個(gè)輸出，第二個(gè)輸出為目標(biāo)函數(shù)的梯度向量. x0 = 0, 0; options = optimset(gradobj, on); x, yval = fminunc(tvsell, x0, options)function y, g = tvsell_b(x)y = -(339 - 0.01*x(1) -

13、0.003*x(2) * x(1) - (399 - 0.004*x(1) - 0.01*x(2) * x(2) + (400000 + 195*x(1) + 225*x(2);g = 144 - 0.02*x(1) - 0.007*x(2),174 0.007*x(1) 0.02*x(2);例：?jiǎn)巫兞孔顑?yōu)化 options = optimset(tolx, 1e-004); x, yval = fminbnd(myfun, -2, 1, options, 1)function y = myfun(x, a)y = x/(a+x2);2( , )xf x aax求求a=1時(shí)時(shí) f 在區(qū)間在區(qū)間

14、-2,1上的極小值點(diǎn)及極小值上的極小值點(diǎn)及極小值.連續(xù)約束優(yōu)化連續(xù)約束優(yōu)化拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法例：考慮航天飛機(jī)上固定在飛機(jī)例：考慮航天飛機(jī)上固定在飛機(jī)墻上供宇航員使用的水箱。水箱墻上供宇航員使用的水箱。水箱的形狀類似于谷倉(cāng)，即在圓柱體的形狀類似于谷倉(cāng)，即在圓柱體頂部接一個(gè)圓錐體。如果其半徑頂部接一個(gè)圓錐體。如果其半徑為為6m6m，而總的表面積限定為，而總的表面積限定為450m2450m2，請(qǐng)確定圓柱體和圓錐體，請(qǐng)確定圓柱體和圓錐體的高度，使谷倉(cāng)的容積最大。的高度，使谷倉(cāng)的容積最大。1h2h假設(shè)：影響水箱設(shè)計(jì)的因素很多。在我們的模型中，假設(shè)：影響水箱設(shè)計(jì)的因素很多。在我們的模型中，考慮水

15、箱的形狀和尺寸、體積、表面積，以及圓柱體考慮水箱的形狀和尺寸、體積、表面積，以及圓柱體和圓錐體的半徑。和圓錐體的半徑。在滿足設(shè)計(jì)限制的前提下，為宇航員最大化在滿足設(shè)計(jì)限制的前提下，為宇航員最大化水箱容積。水箱容積。提出問題：提出問題：模型建立：模型建立：圓柱體的體積圓柱體的體積211VR h 圓錐體的體積圓錐體的體積22213VR h 水箱的容積水箱的容積12VVV我們希望最大化水箱的容積我們希望最大化水箱的容積V V，而總表面積，而總表面積S S限制限制了水箱的容積，所以問題是了水箱的容積，所以問題是圓柱體的表面積圓柱體的表面積112SRh 圓錐體的表面積圓錐體的表面積2222SR Rh 總

16、表面積總表面積12SSS2212121(,)3Max f h hR hR h2212. .2450.s tRhR Rh 模型求解：模型求解：定義函數(shù)定義函數(shù)將將 代入，化簡(jiǎn)得代入，化簡(jiǎn)得6,3.14R 將將L L對(duì)變量對(duì)變量 分別求偏導(dǎo)，并令其為分別求偏導(dǎo)，并令其為0 0，即，即12,h h 12222212113.0437.68018.8437.6803637.6818.84 364500LhhLhhLhh 22221212121(, )24503L h hR hR hRhR Rh21212113.0437.68(37.6818.84 36450)Lhhhh 模型的敏感性：模型的敏感性：利用

17、計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)，求得三位小數(shù)的解：利用計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)，求得三位小數(shù)的解：212(,)1097.11()f h hm拉格朗日乘子的值拉格朗日乘子的值3.000, 127.918,5.367,3.000hh 意思是如果總表面積增加意思是如果總表面積增加1 1個(gè)單位，水箱的個(gè)單位，水箱的容積大約增加容積大約增加3m2.3m2.111min( ). .( )0( )0.xf xs t AxbA xbC xCxLBxUBMatlab 的優(yōu)化函數(shù)約束極小x, fval, exitflag, ouput, lambda, grad, hessian= fmincon(objfun, x0, A, b, A1

18、, b1, LB, UB, nonlcon, options, p1, p2,)例：求解極值問題122121221212121212min( )(42421). .1,1.50,100,0,0.xf xexxx xxs txxx xxxx xxx x0 = 1, 1; A = 1, -1; b = 1; LB = 0, 0; UB = inf, inf; x,f = fmincon(funobj, x0, A, b, , , LB, UB, nonlcon)function c1, c2 = nonlcon(x)c1 = 1.5 + x(1)*x(2) - x(1) - x(2); -x(1)*x(2) - 10;c2 = 0;function y = funobj(x)y = exp(x(1) * (4*x(1)2 + 2*x(2)2 + 4*x(1)*x(2) + 2*x(2) + 1);一般，首先用全局方法（隨機(jī)搜索、格點(diǎn)搜索、一般，首先用全局方法（隨機(jī)搜索、格點(diǎn)搜索、或其他類型方法）估計(jì)最優(yōu)解的