多元函數(shù)的極值和最值學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1多元多元(du yun)函數(shù)的極值和最值函數(shù)的極值和最值第一頁，共40頁。二、多元函數(shù)二、多元函數(shù)(hnsh)的極的極值和最值值和最值的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 播放播放(b fn)第1頁/共39頁第二頁，共40頁。 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)異于有定義，對于該鄰域內(nèi)異于),(00yx的點(diǎn)的點(diǎn)),(yx：若滿足不等式若滿足不等式),(),(00yxfyxf ，則稱函數(shù)，則稱函數(shù)在在),(00yx有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式),(),(00yx

2、fyxf ，則稱函數(shù)在，則稱函數(shù)在),(00yx有極有極小值；小值；1 1、二元函數(shù)極值、二元函數(shù)極值(j zh)(j zh)的定義的定義極大值、極小值統(tǒng)稱為極值極大值、極小值統(tǒng)稱為極值. .使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn). .第2頁/共39頁第三頁，共40頁。(1)(2)(3)例例1 1處有極小值處有極小值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(4322yxz 例例處有極大值處有極大值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(22yxz 例例處無極值處無極值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(xyz 第3頁/共39頁第四頁，共40頁。定理定理 1 1（必要條件）（必要條件）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)

3、在點(diǎn)),(00yx具有偏導(dǎo)數(shù)，且具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：然為零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .2 2、多元、多元(du yun)(du yun)函數(shù)取得極函數(shù)取得極值的條件值的條件不妨設(shè)不妨設(shè)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處有極大值處有極大值,則則對對于于),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(yxf),(00yxf,證證第4頁/共39頁第五頁，共40頁。故故當(dāng)當(dāng)0yy ，0 xx 時(shí)時(shí)，有有 ),(0yxf),(00yxf,說明一元函數(shù)

4、說明一元函數(shù)),(0yxf在在0 xx 處有極大值處有極大值,必必有有 0),(00 yxfx;類類似似地地可可證證 0),(00 yxfy.推廣推廣 如果三元函數(shù)如果三元函數(shù)),(zyxfu 在點(diǎn)在點(diǎn)),(000zyxP具有偏導(dǎo)數(shù)，則它在具有偏導(dǎo)數(shù)，則它在),(000zyxP有極值的必要條有極值的必要條件為件為 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz.第5頁/共39頁第六頁，共40頁。例如例如, 點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(是函數(shù)是函數(shù)xyz 的駐點(diǎn)，的駐點(diǎn)，但但不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn). 仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)

5、(tngsh)為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn)為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn).駐點(diǎn)駐點(diǎn)(zh din)極值極值(j zh)點(diǎn)點(diǎn)問題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？問題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？定理定理 2 2（充分條件）（充分條件）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某鄰域內(nèi)連續(xù)，的某鄰域內(nèi)連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，注意：注意：第6頁/共39頁第七頁，共40頁。又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00， Cyxfyy ),(00，則則),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處是否取

6、得極值的條件如下：處是否取得極值的條件如下：（1 1）02 BAC時(shí)具有極值，時(shí)具有極值， 當(dāng)當(dāng)0 A時(shí)有極大值，時(shí)有極大值， 當(dāng)當(dāng)0 A時(shí)有極小值；時(shí)有極小值；（2 2）02 BAC時(shí)沒有極值；時(shí)沒有極值；（3 3）02 BAC時(shí)可能有極值時(shí)可能有極值, ,也可能沒有極值，也可能沒有極值，還需另作討論還需另作討論第7頁/共39頁第八頁，共40頁。例例 4 4 求求由由方方程程yxzyx22222 0104 z確確定定的的函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的極極值值將方程兩邊分別對將方程兩邊分別對yx,求偏導(dǎo)求偏導(dǎo) 0422204222yyxxzzzyzzzx由由函函數(shù)數(shù)取取極極值值的的必必要要條條件

7、件知知,駐駐點(diǎn)點(diǎn)為為)1, 1( P,將將上上方方程程組組再再分分別別對對yx,求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù),解解第8頁/共39頁第九頁，共40頁。,21|, 0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx 故故 )2(0)2(122 zzACB,函函數(shù)數(shù)在在P有有極極值值.將將)1, 1( P代代入入原原方方程程,有有6, 221 zz,當(dāng)當(dāng)21 z時(shí)時(shí)，041 A,所所以以2)1, 1( fz為為極極小小值值；當(dāng)當(dāng)62 z時(shí)時(shí)，041 A,所以所以6)1, 1( fz為極大值為極大值.第9頁/共39頁第十頁，共40頁。求函數(shù)求函數(shù)),(yxfz 極值的一般步驟：極值的一般步驟：第第一一步步 解解方方程

8、程組組, 0),( yxfx0),( yxfy求出實(shí)數(shù)解，得駐點(diǎn)求出實(shí)數(shù)解，得駐點(diǎn).第二步第二步 對于每一個(gè)駐點(diǎn)對于每一個(gè)駐點(diǎn)),(00yx，求求出出二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的值值 A、B、C. 第三步第三步 定出定出2BAC 的符號(hào)，再判定是否是極值的符號(hào)，再判定是否是極值.第10頁/共39頁第十一頁，共40頁。函數(shù)(hnsh) f 在閉域上連續(xù)函數(shù)(hnsh) f 在閉域上可達(dá)到最值 最值可疑點(diǎn) 駐點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個(gè)只有一個(gè)極值點(diǎn)P 時(shí), )(Pf為極小 值)(Pf為最小 值( (大大) )( (大大) )依據(jù)第11頁/共39頁第十二頁，共40頁。解

9、解: 設(shè)水箱設(shè)水箱(shuxing)長長,寬分別為寬分別為 x , y m ,則高為則高為則水箱所用材料(cilio)的面積為令得駐點(diǎn)(zh din)某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí), 才能使用料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).即當(dāng)長、寬均為高為時(shí), 水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233第12頁/共39頁第十三頁，共40頁。把它折起來做成解解: 設(shè)折起來的邊長為 x cm,則斷面(dun min)

10、面積x24一個(gè)斷面(dun min)為等腰梯形的水槽,傾角為 ,Acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x積最大. )0,120:(2 xD為問怎樣折法才能使斷面面第13頁/共39頁第十四頁，共40頁。cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得:由題意(t y)知,最大值在定義域D 內(nèi)達(dá)到,而在域D 內(nèi)只有(zhyu)一個(gè)(y )駐點(diǎn),故此點(diǎn)即為所求.,0sin0 xsincossin2sin2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos

11、2422xx(cm)8,603x第14頁/共39頁第十五頁，共40頁。實(shí)例：實(shí)例： 小王有小王有200元錢，他決定用來購買兩元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤和錄音磁帶，設(shè)他種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤和錄音磁帶，設(shè)他購買購買 張磁盤，張磁盤， 盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)為效果函數(shù)為 設(shè)每張?jiān)O(shè)每張磁盤磁盤8元，每盒磁帶元，每盒磁帶10元，問他如何分配這元，問他如何分配這200元以達(dá)到最佳效果元以達(dá)到最佳效果xyyxyxUlnln),( 問題的實(shí)質(zhì)：求問題的實(shí)質(zhì)：求 在條件在條件 下的極值點(diǎn)下的極值點(diǎn)yxyxUlnln),( 200108 yx第15頁/共39頁

12、第十六頁，共40頁。極值(j zh)問題無條件極值:條 件 極 值 :條件極值的求法: 方法方法(fngf)1 代入代入法法.求一元函數(shù)的無條件極值問題(wnt)對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如 ,轉(zhuǎn)化,0),(下在條件yx的極值求函數(shù)),(yxfz )(0),(xyyx 中解出從條件)(,(xxfz第16頁/共39頁第十七頁，共40頁。拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法 要找函數(shù)要找函數(shù)),(yxfz 在條件在條件0),( yx 下的下的可能極值點(diǎn)，可能極值點(diǎn)，先構(gòu)造函數(shù)先構(gòu)造函數(shù)),(),(),(yxyxfyxF ，其中其中 為某一常數(shù)，可由為某一常數(shù)，可由 .

13、 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解出解出 , yx，其中，其中yx,就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo)就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo).條件極值條件極值(j zh)：對自變量有附加條件的極：對自變量有附加條件的極值值(j zh)第17頁/共39頁第十八頁，共40頁。,0),(下在條件yx如方法(fngf) 1 所述 ,則問題(wnt)等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題,極值點(diǎn)必滿足設(shè) 記.),(的極值求函數(shù)yxfz 0),(yx, )(xy)(,(xxfz例如例如,故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有第18頁/共39頁第十九頁

14、，共40頁。引入輔助(fzh)函數(shù)輔助函數(shù)(hnsh)F 稱為拉格朗日( Lagrange )函數(shù)(hnsh).0 xxxfF0yyyfF0F利用(lyng)拉格極值點(diǎn)必滿足0 xxf0yyf0),(yx則極值點(diǎn)滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.),(),(yxyxfF第19頁/共39頁第二十頁，共40頁。拉格朗日乘數(shù)(chn sh)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形. 設(shè)解方程組可得到(d do)條件極值的可疑點(diǎn) . 例如例如, 求函數(shù)下的極值.在條件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyy

15、fF021zzzzfF01F01F第20頁/共39頁第二十一頁，共40頁。要設(shè)計(jì)一個(gè)(y )容量為0V則問題(wnt)為求x , y ,令解方程組解解: 設(shè)設(shè) x , y , z 分別分別(fnbi)表示長、表示長、寬、高寬、高,下水箱表面積最小.z 使在條件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyxF00Vzyx水箱長、寬、高等于多少時(shí)所用材料最省？的長方體開口水箱, 試問 0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz第21頁/共39頁第二十二頁，共40頁。得唯一(wi y)駐點(diǎn),2230Vzyx3024V由題意可知合理的設(shè)計(jì)(shj)是存在的,長、寬為高

16、的 2 倍時(shí)，所用(su yn)材料最省.因此 , 當(dāng)高為,340Vxyz思考思考:1) 當(dāng)水箱封閉時(shí), 長、寬、高的尺寸如何?提示提示: 利用對稱性可知,30Vzyx2) 當(dāng)開口水箱底部的造價(jià)為側(cè)面的二倍時(shí), 欲使造價(jià)最省, 應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)? 長、寬、高尺寸如何? 提示提示:)()(20VzyxyxzyzxF2長、寬、高尺寸相等 .第22頁/共39頁第二十三頁，共40頁。解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxF , 120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 解解得得唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn))2 , 4 , 6(，.691224623max u則則故最大值為故最大值為

17、第23頁/共39頁第二十四頁，共40頁。多元函數(shù)多元函數(shù)(hnsh)的極值的極值拉格朗日乘數(shù)拉格朗日乘數(shù)(chn sh)法法（取得極值的必要條件（取得極值的必要條件(b yo tio jin)、充分條件）充分條件）多元函數(shù)的最值多元函數(shù)的最值第24頁/共39頁第二十五頁，共40頁。思考題思考題 若若),(0yxf及及),(0yxf在在),(00yx點(diǎn)均取得點(diǎn)均取得極值， 則極值， 則),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx是否也取得極值？是否也取得極值？第25頁/共39頁第二十六頁，共40頁。思考題解答思考題解答(jid)不是不是.例例如如 22),(yxyxf ,當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí)，2), 0(yyf

18、 在在)0 , 0(取取極極大大值值;當(dāng)當(dāng)0 y時(shí)，時(shí)，2)0 ,(xxf 在在)0 , 0(取極小值取極小值;但但22),(yxyxf 在在)0 , 0(不取極值不取極值.第26頁/共39頁第二十七頁，共40頁。一、一、 填空題填空題: :1 1、 函數(shù)函數(shù))4)(6(),(22yyxxyxf 在在_點(diǎn)取點(diǎn)取得極得極_值為值為_._.2 2、 函數(shù)函數(shù)xyz 在附加條件在附加條件1 yx下的極下的極_值值為為_._.3 3、 方程方程02642222 zyxzyx所確定的所確定的函數(shù)函數(shù)),(yxfz 的極大值是的極大值是_,_,極小值極小值是是_._.二二、 在在 平平 面面xoy上上 求

19、求 一一 點(diǎn)點(diǎn) , , 使使 它它 到到0, 0 yx及及0162 yx三三直直線線的的距距離離平平方方之之和和為為最最小小. .三三、 求求內(nèi)內(nèi)接接于于半半徑徑為為a的的球球且且有有最最大大體體積積的的長長方方體體. .練練 習(xí)習(xí) 題題第27頁/共39頁第二十八頁，共40頁。四、四、 在第一卦限內(nèi)作球面在第一卦限內(nèi)作球面1222 zyx的切平面的切平面, ,使使得切平面與三坐標(biāo)面所圍的四面體的體積最小得切平面與三坐標(biāo)面所圍的四面體的體積最小, ,求求切點(diǎn)的坐標(biāo)切點(diǎn)的坐標(biāo). .第28頁/共39頁第二十九頁，共40頁。一一、1 1、( (3 3, ,2 2) ), ,大大, ,3 36 6； 2

20、 2、大大, ,41； 3 3、7 7, ,- -1 1. .二二、)516,58(. .三三、當(dāng)當(dāng)長長, ,寬寬, ,高高都都是是32a時(shí)時(shí), ,可可得得最最大大的的體體積積. .四四、).31,31,31(練習(xí)題答練習(xí)題答案案第29頁/共39頁第三十頁，共40頁。的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 二、多元二、多元(du yun)函數(shù)的極函數(shù)的極值和最值值和最值第30頁/共39頁第三十一頁，共40頁。的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 二、多元函數(shù)二、多元函數(shù)(hnsh)的極值的極值和最值和最值第31頁/共39頁第三十二頁，共40頁。的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 二、多元函數(shù)二、多元函數(shù)(hnsh)的極的極值和最值值和最值第32頁/共39頁第三十三頁，共40頁。的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 二、多元函數(shù)二、多元函數(shù)(hnsh)