圖像的DFT和DCT變換

1、圖像的DFT和DCT變換報告人報告人：胡青：胡青1智能信息處理研究所智能信息處理研究所主要內(nèi)容uDFT變換lDFT變換定義lDFT變換的性質(zhì)lDFT在頻域濾波中的應用uDCT變換l一維、二維定義l性質(zhì)l實例(JPEG壓縮)2智能信息處理研究所智能信息處理研究所參考書目 數(shù)字圖像處理（第二版）岡薩雷斯 數(shù)字圖像處理（matlab版）岡薩雷斯3智能信息處理研究所智能信息處理研究所傅里葉變換 為什么要在頻率域研究圖像1. 可以利用頻率成分和圖像外表之間的對應關系。一些在空間域表述困難的增強任務，在頻率域中變得非常普通;2. 濾波在頻率域更為直觀，它可以解釋空間域濾波的某些性質(zhì);3. 可以在頻率域指定

2、濾波器，做反變換，然后在空間域使用結(jié)果濾波器作為空間域濾波器的指導;4智能信息處理研究所智能信息處理研究所傅里葉變換5智能信息處理研究所智能信息處理研究所傅里葉變換 二維連續(xù)傅里葉變換及反變換 連續(xù)函數(shù)f(x,y)的傅里葉變換F(u,v)定義為 反變換為：6智能信息處理研究所智能信息處理研究所傅里葉變換 一維離散傅里葉變換(DFT)及反變換 離散函數(shù)f(x)(x=0,1,2,.,N-1)的傅里葉變換F(u)定義為傅里葉反變換為：7智能信息處理研究所智能信息處理研究所傅里葉變換8F=UfF=Uf正交正交變換變換智能信息處理研究所智能信息處理研究所傅里葉變換 從歐拉公式9智能信息處理研究所智能信息

3、處理研究所傅里葉變換傅里葉變換的極坐標表示功率譜為幅度或頻率譜為相角或相位譜為10智能信息處理研究所智能信息處理研究所傅里葉變換 二維離散傅里葉變換及反變換 圖像尺寸為MN的函數(shù)f(x,y)的DFT為 反DFT為：11智能信息處理研究所智能信息處理研究所傅里葉變換 二維DFT的極坐標表示 幅度或頻率譜為 R(u,v)和I(u,v)分別是F(u,v)的實部和虛部相角或相位譜為相角或相位譜為功率譜功率譜12智能信息處理研究所智能信息處理研究所圖像DFT變換性質(zhì)1. 傅里葉變換對的平移性質(zhì) 以表示函數(shù)和其傅里葉變換的對應性13智能信息處理研究所智能信息處理研究所圖像DFT變換性質(zhì) 2. 尺度變換（縮

4、放） 給定2個標量a和b，可以證明對傅里葉變換下列2個公式成立14智能信息處理研究所智能信息處理研究所圖像DFT變換性質(zhì) 3. 旋轉(zhuǎn)性 引入極坐標將f(x,y)和F(u,v)轉(zhuǎn)換為。將它們帶入傅里葉變換對得到15智能信息處理研究所智能信息處理研究所圖像DFT變換性質(zhì)16智能信息處理研究所智能信息處理研究所圖像DFT變換性質(zhì) 4. 周期性和共軛對稱性 上述公式表明a) 盡管F(u,v)對無窮多個u和v的值重復出現(xiàn)，但只需根據(jù)在任一個周期里的N個值就可以從F(u,v)得到f(x,y)b) 只需一個周期里的變換就可將F(u,v)在頻域里完全確定c) 同樣的結(jié)論對f(x,y)在空域也成立17智能信息處

5、理研究所智能信息處理研究所圖像DFT變換性質(zhì)18智能信息處理研究所智能信息處理研究所圖像DFT變換性質(zhì)19智能信息處理研究所智能信息處理研究所周期性和共軛對稱性舉例20智能信息處理研究所智能信息處理研究所圖像DFT變換性質(zhì) 5. 分離性 F(x,v)是沿著f(x,y)的一行所進行的傅里葉變換。當x=0,1,M-1，沿著f(x,y)的所有行計算傅里葉變換。21智能信息處理研究所智能信息處理研究所圖像DFT變換性質(zhì) 6. 平均值說明：如果f(x,y)是一幅圖像，在原點的傅里葉變換即等于圖像的平均灰度級22智能信息處理研究所智能信息處理研究所圖像DFT變換性質(zhì) 7. 卷積理論 大小為MN的兩個函數(shù)f

6、(x,y)和h(x,y)的離散卷積23智能信息處理研究所智能信息處理研究所圖像DFT變換性質(zhì) 8. 相關性理論 大小為MN的兩個函數(shù)f(x,y)和h(x,y)的相關性定義為24相關定理相關定理智能信息處理研究所智能信息處理研究所圖像DFT變換性質(zhì) 自相關理論注：復數(shù)和它的復共軛的乘積是復數(shù)模的平方25智能信息處理研究所智能信息處理研究所圖像DFT變換性質(zhì)26智能信息處理研究所智能信息處理研究所圖像DFT變換性質(zhì)卷積和相關性理論總結(jié)u卷積是空間域過濾和頻率域過濾之間的紐帶u相關的重要應用在于匹配：確定是否有感興趣的物體區(qū)域uf(x,y)是原始圖像,h(x,y)作為感興趣的物體或區(qū)域（模板）如果匹

7、配，兩個函數(shù)的相關值會在h找到f中相應點的位置上達到最大27智能信息處理研究所智能信息處理研究所圖像DFT變換頻域濾波28智能信息處理研究所智能信息處理研究所圖像DFT變換頻域濾波 頻率域濾波的基本步驟思想：通過濾波器函數(shù)以某種方式來修改圖像變換，然后通過取結(jié)果的反變換來獲得處理后的輸出圖像29智能信息處理研究所智能信息處理研究所圖像DFT變換頻域濾波 一些基本的濾波器：如何作用于圖像？ 陷波濾波器30智能信息處理研究所智能信息處理研究所圖像DFT變換頻域濾波 陷波濾波器l 設置F(0,0)=0(結(jié)果圖像的平均值為零),而保留其它傅里葉變換的頻率成分不變l 除了原點處有凹陷外，其它均是常量函數(shù)

8、l 由于圖像平均值為0而產(chǎn)生整體平均灰度級的降低l 用于識別由特定的、局部化頻域成分引起的空間圖像效果31智能信息處理研究所智能信息處理研究所圖像DFT變換頻域濾波32智能信息處理研究所智能信息處理研究所任何問題任何問題？33離散余弦變換離散余弦變換（DCT） 問題問題的提出的提出：DFT一個最大問題是：它它的參數(shù)都是復數(shù)，在數(shù)據(jù)的的參數(shù)都是復數(shù)，在數(shù)據(jù)的描述上描述上相當于實數(shù)相當于實數(shù)的兩倍。為此，我們的兩倍。為此，我們希望有希望有一一種能夠達到種能夠達到相同相同功能但數(shù)據(jù)量功能但數(shù)據(jù)量又不大又不大的變的變換。換。34離散余弦變換離散余弦變換（DCT） 由傅里葉變換性質(zhì)當f(x)或f(x,y

9、)為實的偶函數(shù)時，傅里葉變換域中得到實的偶函數(shù)考察一維離散傅立葉變換當f(x)或f(x,y)為偶函數(shù)時，傅里葉變換的計算公式虛部為零，只有余弦項余弦變換是簡化傅立葉變換的一種方法35離散余弦變換離散余弦變換（DCT） 一維離散余弦變換定義通常歸一化表示為：36離散余弦變換離散余弦變換（DCT） 一維離散余弦反變換定義37離散余弦變換離散余弦變換（DCT） 二維離散余弦變換定義38離散余弦變換離散余弦變換（DCT） 離散余弦變換離散余弦變換的矩陣算法的矩陣算法一維離散余弦變換：CfF 正變換：FCfT反變換：二維離散余弦變換：TCfCF 正變換：FCCfT反變換：C為離散余弦變換矩陣，CT為C的

10、轉(zhuǎn)置矩陣39NNNNNNNNNNNNNNC2) 12)(12(cos2) 1(3cos2) 1(cos2) 12(cos23cos2cos2121212離散余弦變換離散余弦變換（DCT） NNNNNNNNNNNNNNC2) 12)(12(cos2) 1(3cos2) 1(cos2) 12(cos23cos2cos2121212變換矩陣C為：43cos4cos2121C當N=2時，變換矩陣C為：821cos815cos89cos83cos47cos45cos43cos4cos87cos85cos83cos8cos2121212121C當N=4時，變換矩陣C為：40離散余弦變換離散余弦變換（DCT） (3). 舉例圖像經(jīng)DCT后, 能量集中于頻率平面的左上角。DCT用于圖像數(shù)據(jù)壓縮。41離散余弦變換離散余弦變換（DCT） 離散余弦變換的矩陣算法舉例：已知：0000011001100000),(yxf用矩陣算法求其DCT。fCCvuFT),(02. 012. 003. 017. 012. 059. 018. 088. 003. 018. 005. 026. 017. 088. 026. 032. 1由此例可看出：DCT將能量集中于頻率平面的左上角。27. 065. 065. 027. 05 . 05 . 05 . 05 . 065. 027. 027. 065. 05 .