線性代數(shù)-行列式

1、第1章 行列式 行列式是線性代數(shù)的一個重要行列式是線性代數(shù)的一個重要組成部分組成部分. .它是研究矩陣、線性方它是研究矩陣、線性方程組、特征多項(xiàng)式的重要工具程組、特征多項(xiàng)式的重要工具. .本本章介紹了章介紹了n n階行列式的定義、性質(zhì)階行列式的定義、性質(zhì)及計算方法，最后給出了它的一個及計算方法，最后給出了它的一個簡單應(yīng)用簡單應(yīng)用克萊姆法則克萊姆法則. .2第第1 1章章 行列式行列式nn n階行列式的定義階行列式的定義n行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)n行列式按行（列）展開行列式按行（列）展開n克萊姆法則克萊姆法則行列式的一個簡單應(yīng)用行列式的一個簡單應(yīng)用3第第1.1節(jié)節(jié) n階行列式的定義階行列式的定義

2、返回教學(xué)目的：掌握二、三階、教學(xué)目的：掌握二、三階、 n n階行列式定義，排列及其階行列式定義，排列及其 逆序數(shù)概念，轉(zhuǎn)置行列式定義。逆序數(shù)概念，轉(zhuǎn)置行列式定義。教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：n n階行列式定義，排列及其逆序數(shù)概念。階行列式定義，排列及其逆序數(shù)概念。教學(xué)難點(diǎn)：教學(xué)難點(diǎn)：n n階行列式定義，排列的逆序數(shù)求法。階行列式定義，排列的逆序數(shù)求法。4 1.1.二階與三階行列式二階與三階行列式(1)(1)二階行列式二階行列式 22221211212111bxaxabxaxa的線性方程組的線性方程組考慮含有兩個未知量考慮含有兩個未知量21, xx 為求得上述方程組的解，可利用為求得上述方程組的解，可利

3、用加減消元加減消元得到：得到： 211112221122211122221121122211)()(ababxaaaaababxaaaa時，時，當(dāng)當(dāng)021122211 aaaa方程組有惟一解方程組有惟一解5.,211222112111122211222111222211aaaaababxaaaaababx 上式中的分子、分母都是上式中的分子、分母都是四個數(shù)分兩對相乘四個數(shù)分兩對相乘再相減再相減而得。而得。為便于記憶，引進(jìn)如下記號為便于記憶，引進(jìn)如下記號：2112221122211211aaaaaaaa 稱其為稱其為二階行列式二階行列式 .DDxDDx2211 ， 據(jù)此，解中的分子可分別記為：據(jù)

4、此，解中的分子可分別記為：22111122221211,babaDababD 方方程程組組的的解解可可表表為為時時當(dāng)當(dāng),022211211 aaaaD6例例1 1 解二元線性方程組解二元線性方程組解解: 方程組未知量的系數(shù)所構(gòu)成的二階行列式方程組未知量的系數(shù)所構(gòu)成的二階行列式 534532121xxxx0154)3(33431 D155451,30353521 DD方程組有惟一解方程組有惟一解.又又于是方程組的解為于是方程組的解為. 11515215302211 DDxDDx，7(2)三階行列式三階行列式322311332112312213322113312312332211333231232

5、221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 稱為稱為三階行列式三階行列式.稱稱為為它它的的元元素素。（數(shù)數(shù))3 , 2 , 1, jiaij 三元素乘積取三元素乘積取“+”號；號； 三元素乘積取三元素乘積取“- -”號。號。主對角線法主對角線法8例例2 計算三階行列式計算三階行列式解解:由主對角線法，有由主對角線法，有14 243122421 D411)2()2(2)3(2)4(4)2()4()3(12)2(21 D48243264 9例例3 解線性方程組解線性方程組解：解：系數(shù)行列式系數(shù)行列式 162942263321321321xxxxxxxxx1516219

6、422613,2011611921263,5512161491126321 DDD方程組有惟一解方程組有惟一解.又又于是方程組的解為于是方程組的解為. 3515, 452011555332211 DDxDDxDDx，05121142113 D10思考與練習(xí)思考與練習(xí)（三階行列式）三階行列式） 1.方程化簡為方程化簡為 (x-1)2 =4, 其解為其解為x=3或或x=- -1； 94553532. 216121111. 1321321321xxxxxxxxxxx解線性方程組解線性方程組解方程解方程06126114513312. 2321 DDDD0, 1, 2321 xxx答答案案112.排列及

7、其逆序數(shù)排列及其逆序數(shù)(1)排列排列 由自然數(shù)由自然數(shù)1,2,n組成的一個有序數(shù)組組成的一個有序數(shù)組i1i2in稱為一個稱為一個n級排列級排列.如：由如：由1,2,3可組成的三級排列有可組成的三級排列有3！=6個：個：123 132 213 231 312 321（總數(shù)為總數(shù)為 n!個個）注意注意:上述排列中只有第一個為上述排列中只有第一個為自然順序自然順序(小小大大),其其他則或多或少地破壞了自然順序他則或多或少地破壞了自然順序(元素大小與位置相元素大小與位置相反反)構(gòu)成構(gòu)成逆序逆序.12(2)排列的逆序數(shù)排列的逆序數(shù)n定義：定義： 在一個在一個n 級排列級排列i1i2in中，若某兩數(shù)的前中

8、，若某兩數(shù)的前 后位置與大小順序相反，即后位置與大小順序相反，即isit(ts)，則稱這兩，則稱這兩數(shù)構(gòu)成一個數(shù)構(gòu)成一個逆序。逆序。排列中逆序的總數(shù)，稱為它的排列中逆序的總數(shù)，稱為它的逆序數(shù)，記為逆序數(shù)，記為 (i1i2in)。n奇偶排列奇偶排列: 若排列若排列i1i2in的逆序數(shù)為奇（偶）數(shù)，的逆序數(shù)為奇（偶）數(shù)， 稱它為奇（偶）排列。稱它為奇（偶）排列。=3 =2例例4 (2413) (312)例例5 (n(n-1)321) (135(2n-1)(2n)(2n-2) 42) =0+1+2+(n-1)=n(n-1)/2=2+4+(2n-2)=n(n-1)13n對換：對換： 在一個排列在一個排

9、列i1isit in中，若其中某兩中，若其中某兩數(shù)數(shù)is和和it互換位置互換位置, 其余各數(shù)位置不變得到另一排列其余各數(shù)位置不變得到另一排列i1itis in,這種變換稱為一個對換這種變換稱為一個對換, 記為記為( isit).例例6)43(12430125)31(3421)42(14231234結(jié)論：結(jié)論：對換改變排列的奇偶性對換改變排列的奇偶性. 任意一個任意一個n級排列與標(biāo)準(zhǔn)排列級排列與標(biāo)準(zhǔn)排列12n都可以經(jīng)過一都可以經(jīng)過一 系列對換互變系列對換互變.14的證明的證明n對換在相鄰兩數(shù)間發(fā)生對換在相鄰兩數(shù)間發(fā)生，即，即設(shè)排列設(shè)排列 jk (1) 經(jīng)經(jīng)j,k對換變成對換變成 kj (2) 此

10、時，排列此時，排列(1)、(2)中中j,k與其他數(shù)與其他數(shù)是否構(gòu)成逆序的情形未是否構(gòu)成逆序的情形未發(fā)生變化；而發(fā)生變化；而j與與k兩數(shù)兩數(shù)構(gòu)成逆序的情形有變化：構(gòu)成逆序的情形有變化： 若若(1)中中jk構(gòu)成逆序構(gòu)成逆序,則則(2)中不構(gòu)成逆序中不構(gòu)成逆序(逆序數(shù)減少逆序數(shù)減少1) 若若(1)中中jk不構(gòu)成逆序不構(gòu)成逆序,則則(2)中構(gòu)成逆序中構(gòu)成逆序(逆序數(shù)增加逆序數(shù)增加1)n一般情形一般情形設(shè)排列設(shè)排列 ji1isk (3) 經(jīng)經(jīng)j,k對換變成對換變成 k i1is j (4) 易知，易知，(4)可由可由(3)經(jīng)一系列相鄰對換得到：經(jīng)一系列相鄰對換得到： k經(jīng)經(jīng)s+1次相鄰對換成為次相鄰對換

11、成為 kj i1is j經(jīng)經(jīng)s次相鄰對換成為次相鄰對換成為 ki1is j 即經(jīng)即經(jīng)2s+1次相鄰對換后次相鄰對換后(3) 成為成為 (4). 相鄰對換改變排列的奇偶相鄰對換改變排列的奇偶性，奇數(shù)次這樣的對換后排列的奇偶性改變性，奇數(shù)次這樣的對換后排列的奇偶性改變. |15思考練習(xí)思考練習(xí)（排列的逆序數(shù)）（排列的逆序數(shù)）1. (542163) 2. (24(2n-2)(2n)(2n-1)(2n-3)31）答答案案1.92.1+3+.+(2n-1)=n216思考練習(xí)思考練習(xí)（排列的逆序數(shù)）（排列的逆序數(shù)）1. (542163) (24(2n-2)(2n)(2n-1)(2n-3)31）2. 若排列

12、的若排列的x1x2xn逆序數(shù)為逆序數(shù)為I，求排列，求排列xn xn-1x1的逆序數(shù)的逆序數(shù).I2)1()(. 2)12(31 )2(9)1(. 1112 nnxxxnnnn 答答案案詳解繼續(xù)繼續(xù)17思考練習(xí)思考練習(xí)（排列的逆序數(shù)詳解）（排列的逆序數(shù)詳解）方法方法1 在排列在排列x1x2xn中，任取兩數(shù)中，任取兩數(shù)xs和和xt(st),則它們必在排列則它們必在排列x1x2xn或或xnxn-1x1中構(gòu)成逆序，中構(gòu)成逆序，且只能在其中的一個排列中構(gòu)成逆序且只能在其中的一個排列中構(gòu)成逆序.又在排列又在排列x1x2xn中取兩數(shù)的方法共有中取兩數(shù)的方法共有 依題意，有依題意，有2)1()!2( ! 2!2

13、 nnnnCn故排列故排列 x1x2xn 與與 xnxn-1x1 中逆序之和為中逆序之和為2)1( nn.I2)1()(11 nnxxxnn 此即此即 18方法方法2 n個數(shù)中比個數(shù)中比i大的數(shù)有大的數(shù)有n- - i個個(i=1,2,n),若在排列若在排列x1x2xn中對中對i構(gòu)成的逆序?yàn)闃?gòu)成的逆序?yàn)閘i個個,則在則在xnxn-1x1中對中對i構(gòu)構(gòu)成的逆序?yàn)槌傻哪嫘驗(yàn)?n- - i)- -li,于是兩排列中對于是兩排列中對i構(gòu)成的逆序之和構(gòu)成的逆序之和為為li+(n-in-i)- -li= n- -i (i=1,2,n)2)1(12)2()1()()(1121 nnnnxxxxxxnnn 從而

14、從而此即此即 .I2)1()(11 nnxxxnn 193. n階行列式定義階行列式定義n分析：分析：(i)每一項(xiàng)均是由取自不同行、不同列的三個元素的每一項(xiàng)均是由取自不同行、不同列的三個元素的乘積構(gòu)成，除符號外可寫為乘積構(gòu)成，除符號外可寫為(ii)符號為符號為322311332112312213322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 321321jjjaaa“+” 123 231 312 （偶排列）（偶排列） “- -” 321 213 132 （奇排列）（奇排列）)(321)1(jjj (iii)項(xiàng)數(shù)為項(xiàng)

15、數(shù)為 3！=6 321321321)()1(jjjjjjaaa 20推廣之，有如下推廣之，有如下n 階行列式定義階行列式定義n定義：定義： n階行列式階行列式是所有取自不同行、不同列是所有取自不同行、不同列n個元素的乘積個元素的乘積nnjjjaaa2121并冠以符號并冠以符號 的項(xiàng)的和的項(xiàng)的和. )(21)1(njjj nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 nnnjjjjjjaaa212121)() 1( )(ijaDet記記 (i) 是是取自不同行、不同列的取自不同行、不同列的n個元素的乘積；個元素的乘積；(ii)行標(biāo)按自然順序排列，列標(biāo)排列的奇偶性行標(biāo)按自然順序排列，列

16、標(biāo)排列的奇偶性 決定決定每一項(xiàng)的符號；每一項(xiàng)的符號；(iii) 表示對所有的表示對所有的 構(gòu)成的構(gòu)成的 n! 個排列求和個排列求和.nnjjjaaa2121njjj21)(21njjj 21例例4 證明證明上三角行列式上三角行列式證：證： 由定義由定義nnnnnnaaaaaaaaaD221122211211000 時時，1, 2, 1,121 jjnjnjnn和式中和式中,只有當(dāng)只有當(dāng) nnnjjjjjjaaaD212121)()1( 02121 nnjjjaaannnnnaaaaaaD22112211)123() 1( 所以所以上三角行列式的值等于其主對角線上各元素的乘積上三角行列式的值等于

17、其主對角線上各元素的乘積 .22例例5 計算計算000000000000121nnD 解解11,21)321)1()1(nnnnnaaaD nnn 212)1()1( 由行列式定義由行列式定義,時時，1, 2, 1,121 nnjjnjnj02121 nnjjjaaa和式中僅當(dāng)和式中僅當(dāng) nnnjjjjjjaaaD212121)()1( 23 由于數(shù)的乘法滿足交換律，故而行列式各項(xiàng)中由于數(shù)的乘法滿足交換律，故而行列式各項(xiàng)中n 個元素的順序可以任意交換個元素的順序可以任意交換.一般，可以證明一般，可以證明n定理定理:n階行列式階行列式D=Det (aij) 的項(xiàng)可以寫為的項(xiàng)可以寫為nnnnjij

18、ijijjjiiiaaa22112121)()()1( niiiiiinnaaaD21)(2121)1( 其中其中i1i2in和和j1 j2 jn都是都是n級排列級排列 . nnnnjijijijjjiiiaaaD22112121)()()1( 或或另一定義形式另一定義形式另一定義形式另一定義形式n推論推論:n階行列式階行列式D=Det (aij) 的值為的值為244.轉(zhuǎn)置行列式轉(zhuǎn)置行列式則則,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD .212221212111nnnnnnTaaaaaaaaaD n定義：定義：如果將行列式如果將行列式D的行換為同序數(shù)的列，得的行換為同序數(shù)的列，

19、得到的新行列式稱為到的新行列式稱為D的的轉(zhuǎn)置行列式轉(zhuǎn)置行列式，記為，記為DT. .即若即若25 1. 用定義計算用定義計算000000000. 2000100002000010. 15544332222211111bababaedcbaedcbann 0. 2!)1(21)1(. 11)123( DnnDnn 思考練習(xí)思考練習(xí) （n階行列式定義）階行列式定義）答答案案26 2. 寫出四階行列式中含有因子寫出四階行列式中含有因子a11a23的項(xiàng)。的項(xiàng)。 3. 在六階行列式在六階行列式|aij|中，下列各元素乘積應(yīng)取什么符號？中，下列各元素乘積應(yīng)取什么符號？ (1)a15a23a32a44a51a

20、66 (2)a11a26a32a44a53a65 (3)a21a53a16a42a65a34思考練習(xí)思考練習(xí) （n階行列式定義）階行列式定義）27第第1.2節(jié)節(jié) n階行列式的性質(zhì)階行列式的性質(zhì)教學(xué)目的：掌握行列式的性質(zhì)并用之求解行列式習(xí)題。教學(xué)目的：掌握行列式的性質(zhì)并用之求解行列式習(xí)題。教學(xué)重點(diǎn)：行列式性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)：行列式性質(zhì)2 2，3 3，4 4，5 5。教學(xué)難點(diǎn)：行列式性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)：行列式性質(zhì)3 3，4 4，5 5 及怎么樣利用性質(zhì)求解習(xí)題。及怎么樣利用性質(zhì)求解習(xí)題。返回返回28性質(zhì)性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.（D=DT）證：證：事實(shí)上事實(shí)上,若記若記 D

21、T=Det(bij),則則), 2 , 1,(njiabjiij nnnjjjjjjTbbbD212121)()1( Daaaniiiiiinn 21)(2121)1( .00021222111nnnnaaaaaaD nnnnnnTaaaaaaaaaDD221122212111000 解解例例1 計算行列式計算行列式29性質(zhì)性質(zhì)2 互換行列式的兩行互換行列式的兩行(rirj)或列或列(cicj)， 行列式的值變號行列式的值變號 .n推論推論 若行列式若行列式D的兩行（列）完全相同的兩行（列）完全相同,則則D=0 .性質(zhì)性質(zhì)3 行列式某一行（列）的所有元素的公因子可行列式某一行（列）的所有元素的

22、公因子可以提到行列式符號的外面，即以提到行列式符號的外面，即nnnniniinnnnniniinaaaaaaaaakaaakakakaaaa212111211212111211 n推論推論 (1) D中一行中一行(列列)所有元素為零，則所有元素為零，則D=0； (2) D的兩行的兩行(列列)對應(yīng)元素成比例，則對應(yīng)元素成比例，則D=0.30性質(zhì)性質(zhì)4 若行列式若行列式 某一行某一行(列列)的所有元素都是兩個數(shù)的所有元素都是兩個數(shù)的和的和,則此行列式等于兩個行列式的和則此行列式等于兩個行列式的和. 這兩個行列這兩個行列式的這一行式的這一行(列列)的元素分別為對應(yīng)的兩個加數(shù)之一，的元素分別為對應(yīng)的兩

23、個加數(shù)之一，其余各行其余各行(列列)的元素與原行列式相同的元素與原行列式相同 .即即證證nnnniniinnnnniniinnnnnininiiiinaaabbbaaaaaaaaaaaaaaabababaaaa21211121121211121121221111211 niinnjijijjjjjjabaaaD)()1(212121)( ninninnjijjjjjjnjijjjjjjabaaaaaa2121212121)(21)()1()1( 21DD 31性質(zhì)性質(zhì)5 行列式行列式D的某一行的某一行(列列)的所有元素都乘以數(shù)的所有元素都乘以數(shù) k加到另一行加到另一行(列列)的相應(yīng)元素上的相應(yīng)

24、元素上,行列式的值不變行列式的值不變,即即nnnnjninjijinkrrnnnniniinaaakaakaakaaaaaaaaaaaaaaji21221111211212111211 )(DDjikrr 32例例2 計算行列式計算行列式3111131111311113)3(5240432323214232)2(415132321)1( DD解解 415132321)1( D1190510321121325 rrrr3400510321239 rr3434) 1(1 33解解5240432323214232)2( D37300062580088102321232484 rrrr52404323

25、4232232121 rr5240268088102321121323 rrrr2914300062580088102321345830 rr2862914358)1(1 34解解3111131111311113)3( D3111131111316666421 iirr31111311113111116 2000020000201111614,3,2rrii 48)2221 (6 35例例3 3 計算計算n n階行列式階行列式), 2 , 1, 0(111111111)3()2() 1 (21212121niaaaaDxaaaaxaaaaxaDxaaaxaaaxDinnnnnnn 解(2)解(

26、3)解(1)36解解(1) 注意到行列式各行注意到行列式各行(列列)元素之和等于元素之和等于x+(n-1)a,有有1)()1( naxanxxaanxaxanxaaanxDiccnin) 1() 1() 1(1, 3 , 2 axaxaaanxrrnii 00001)1(1, 3, 2xaaxaaanx111)1( 返回37解解(2)(2) 注意到行列式各行元素之和等于注意到行列式各行元素之和等于11)( nniixaxnniinniinniiccninaxaaxaaxaxaaaxDi 212121, 3 , 21xxaaaxnniirrnii00001)(21,3,21 nnnniiaxaa

27、axaaax 2221111)(,1 niiax有有返回38nrrninaaaaaaaDi0000001111131211,3,21 nniicaacniaaaaaii00001112211,3,211 nniiaaaaa2211)1 ( niinaaaa121)11 (解解 (3)(3)返回箭形行列式箭形行列式39例例4 證明證明證證 0)3()2() 1()3()2() 1()3()2() 1()3()2() 1()2(4) 1(2222222222222222 ddddccccbbbbaaaaabcdefefcfbfdecdbdaeacab111111111)1( abcdef左邊左邊2

28、0002011132 abcdefrr0202001111213 abcdefrrrr右邊右邊 abcdef440證證964412964412964412964412)2(22224,3,21 ddddccccbbbbaaaaccii左邊左邊右邊右邊 062126212621262122222232324 ddccbbaacccc411.計算行列式計算行列式)2(212121)2(2164729541732152) 1 (222111 nnaaanaaanaaaDDnnnn思考練習(xí)思考練習(xí) （行列式的性質(zhì)）（行列式的性質(zhì)）4293)3(11300003003110225133000300311

29、02251021061203110225102103110612022512461759243712251) 1.(1342324321312143122,4 rrrrrrrrrrrrrrccD 2, 02,111111111)2(2121,3,21nnaanananaDnccnini當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)思考練習(xí)（行列式性質(zhì)答案）思考練習(xí)（行列式性質(zhì)答案） 43第第1.3 節(jié)節(jié) 行列式按行（列）展開行列式按行（列）展開教學(xué)目的：掌握行列式余子式及代數(shù)余子式概念，教學(xué)目的：掌握行列式余子式及代數(shù)余子式概念， 行列式按行（列）展開定理。行列式按行（列）展開定理。教學(xué)重點(diǎn)：行列式按一行（列）展開定理。教學(xué)重點(diǎn)：

30、行列式按一行（列）展開定理。教學(xué)難點(diǎn)：拉普拉斯展開定理。教學(xué)難點(diǎn)：拉普拉斯展開定理。44觀察三階觀察三階行列式定義行列式定義322311332112312213322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa =a11(a22a33-a23a32)+a12(a23a31-a21a33)+a13(a21a32-a22a31)a33a32 a23a22a1111 a31a33 a21a23-a1212a32a331 a22a21+a1313451.行列式按一行（列）展開行列式按一行（列）展開余子式與代數(shù)余子式余子式與代數(shù)

31、余子式在在n階行列式階行列式 中，劃去元素中，劃去元素aij所在的第所在的第i行和第行和第j列，余下的元素按原來列，余下的元素按原來的順序構(gòu)成的的順序構(gòu)成的n-1階行列式，稱為元素階行列式，稱為元素aij的的余子式，記作余子式，記作Mij；nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 而而Aij=(-1)i+jMij稱為元素稱為元素aij的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式.返回返回返回46例例1 求出行列式求出行列式解解.65131022323的的值值的的余余子子式式及及代代數(shù)數(shù)余余子子式式中中，元元素素 aD 13)1(,13215512323322323 MAM47行列式按一行（列）展開

32、定理行列式按一行（列）展開定理n階行列式階行列式nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即子式的乘積之和，即), 2 , 1(), 2 , 1(22112211njAaAaAaDniAaAaAaDnjnjjjjjininiiii 或或48證證 (i)D的第一行只有元素的第一行只有元素a11 0，其余元素均為零其余元素均為零,即即nnnnnaaaaaaaD21222211100 上上式式中中第第二二項(xiàng)項(xiàng)得得零零）由由定定義義() 1() 1() 1()(2)(11121)

33、(121)(32221212112121 nnnnnnnjjjnjjjjjnjjjjjjjnjjjjjjaaaaaaaaa 1111Ma 而而 A11=(-1)1+1M11=M11 ,故故D= a11A11 ; 49(ii)當(dāng)當(dāng)D的第的第i行只有元素行只有元素aij 0時，即時，即 nnnjnijnjaaaaaaaD1111100 將將D中第中第i行依次與前行依次與前i-1行對調(diào)行對調(diào),調(diào)換調(diào)換i-1次后位于第次后位于第1行行 D中第中第j列依次與前列依次與前j-1列對調(diào)列對調(diào),調(diào)換調(diào)換j-1次后位于第次后位于第1列列經(jīng)經(jīng)(i-1)+(j-1)= i+j-2次對調(diào)后次對調(diào)后, aij 位于第位

34、于第1行、第行、第1列列,即即(iii) 一般地一般地ijijijijjiijijjiAaMaMaD )1()1(2由由 (i)50nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 nnnninnnnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa21112112121121121111211000000 ininiiiiAaAaAa 2211由由(ii)njnjjjjjAaAaAaD 2211同理有同理有51推論推論 n階行列式階行列式nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 的任意一行（列）的各元素與另一行（列）對應(yīng)的的任意一行（列）的各元

35、素與另一行（列）對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和為零，即代數(shù)余子式的乘積之和為零，即)(0)(022112211tjAaAaAasiAaAaAantnjtjtjsninsisi 或或52證證考慮輔助行列式考慮輔助行列式).2211tjAaAaAantnjtjtjt （列展開列展開按第按第0= nnjnjnnjjnjjaaaaaaaaaaaaD2122221111111 t列j列53例例2 2 計算行列式計算行列式132020321 D解解132020321 D1312111321AAA 行行展展開開按按第第)4(30221 132020321 D2322212020AAA 行行展展開開按按第第322

36、0)1(31200)1(21302)1(1312111 1231)1(222 法法1法法2選取選取“0”多多的行或列的行或列)5(2 1010 54例例3 計算行列式計算行列式6427811694143211111D481840126203210111112, 3 , 4iirriD解解36100620321121324rrrr481841262321126072361062計算時，性質(zhì)與按行（列）展開定理結(jié)合使用計算時，性質(zhì)與按行（列）展開定理結(jié)合使用.55例例4 計算計算n階行列式階行列式000100002000010)2(000000000000)1(nnDxyyxyxyxDnn 解解1

37、1212111111)1(nnnAaAaAaD 列列展展開開按按第第yxyyxyyxyxyxyxxn00000000000000)1(0000000000000)1(111 nnnyx1)1( 56!)1(1000020000200001)1(11nnnnnn 11212111111nnAaAaAa 列展開列展開按第按第000100002000010)2(nnDn 解解57例例5 證明范得蒙行列式（證明范得蒙行列式（Vandermonde).)()()2()(111111121121的乘積的乘積（表示所有可能的表示所有可能的其中其中ijxxxxnxxxxxxxxDjinijjinijjinnn

38、nnn 證證 結(jié)論正確；結(jié)論正確；時時,11,212212xxxxDn 用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法58 假設(shè)對假設(shè)對n-1階范德蒙行列式結(jié)論成立，以下考階范德蒙行列式結(jié)論成立，以下考慮慮 n 階情形階情形.12112313122121213231222113122,.,1,000111111xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnnnnnnnrxrnniii 1121121111 nnnnnnxxxxxxD59niixx211)(列展按第提取公因子2232232111 nnnnnxxxxxx nijjixx1)()()()(0)()()(00111112132312221133

39、12211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnnnn 60例例6 已知已知4階行列式階行列式.32.521534120813171113121144342414的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式為為其中其中的值的值及及求求ijijaAAAAAAAAD 解解法法1.,)4 , 3 , 2 , 1(4然后相加（略）然后相加（略）的值的值直接計算直接計算 iAi法2利用行列式的按列展開定理，簡化計算利用行列式的按列展開定理，簡化計算.0121514121813171111114434241444342414 AAAAAAAA61.49331325565151313025560511

40、13900155139310501551390310500150032152153412081303213213122131211 rrrrAAA62思考練習(xí)思考練習(xí) （按行展開定理）按行展開定理）計算行列式計算行列式1000010001000100010000. 2001000000100. 11322111nnnnnaaaaaaaaDaaaaD 63思考練習(xí)思考練習(xí)（按行展開定理詳解（按行展開定理詳解1）00000000000010000) 1(10000000000000000) 1(. 11111aaaaaaaaDnn 列列展展按按第第aaaaannn0000000000000000)

41、1()1()1(11 2212)1( nnnnnaaaa64思考練習(xí)思考練習(xí)（按行展開定理詳解（按行展開定理詳解2）10000100010001000100000. 2132211121nnnrrnaaaaaaanDnii nnnnnnaaanaaaaaaan2113221)1(11)1()1(0000000000000)1()1( 行行展展按按第第652.2.拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）定理）定理nk階子式階子式 在在n階行列式中，任意選定階行列式中，任意選定k行、行、k列列 （1kn）位于這些行列交叉處的）位于這些行列交叉處的k2個元素按原來個元素按原來順序構(gòu)成的一個順序構(gòu)成的一個

42、k階行列式階行列式N，稱為行列式，稱為行列式D的一個的一個k階子式階子式.nk階子式階子式N的余子式及代數(shù)余子式的余子式及代數(shù)余子式 在在D中劃去中劃去k行、行、k列后，余下的元素按原來順序構(gòu)成的一個列后，余下的元素按原來順序構(gòu)成的一個n-k階行階行列式列式M，稱為，稱為k階子式階子式N的余子式的余子式;而而 MAkkjjjiii)()(2121) 1( 為其代數(shù)余子式為其代數(shù)余子式.這里這里i1,i2,ik, j1, j2, jk分別為分別為 k階子階子式式N的行標(biāo)和列標(biāo)的行標(biāo)和列標(biāo).66在在n階行列式階行列式 中，中，nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 拉普拉斯（拉普

43、拉斯（Laplace）定理）定理任意取定任意取定k行行(1 k n),由這由這k行元素組成的行元素組成的k階子式階子式N1, N2 ,V t 與它們的代數(shù)余子式與它們的代數(shù)余子式 的乘積之和的乘積之和等于等于D，即，即)(knCt ttANANAND 2211.的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式是是其中其中iiNA671500310000430021 D解解例例7 7 計算行列式計算行列式66554433221121ANANANANANAND 行行展展、按按第第.3215164000001531432103000)1(00005310)1(04021030)1(04025010)1(03011030)1

44、(03011531)1(4321)43()21()42()21()32()21()41()21()31()21()21()21( ）（）（68第第1.4節(jié)節(jié) 克萊姆法則克萊姆法則教學(xué)目的：掌握克萊姆法則教學(xué)目的：掌握克萊姆法則教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：克萊姆法則克萊姆法則教學(xué)難點(diǎn)：教學(xué)難點(diǎn)：克萊姆法則克萊姆法則69 下面以行列式為工具下面以行列式為工具,研究含有研究含有n個未知量、個未知量、n個個方程的方程的n元線性方程組的問題元線性方程組的問題.定理定理（克萊姆法則）（克萊姆法則） 如果如果n元線性方程組元線性方程組) 1 (22112222212111212111 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa, 0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaD則方程組有惟一解則方程組有惟一解.的的系數(shù)行列系數(shù)行列式式返回返回返回70)2(,2211DDxDDxDDxnn 其中其中Dj