高等數(shù)學隨堂講義函數(shù)的冪級數(shù)展開

1、一、泰勒級數(shù)一、泰勒級數(shù)二、二、初等函數(shù)的冪級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù) 展開式展開式 由泰勒公式知道由泰勒公式知道, , 可可以將滿足一定條件的函數(shù)以將滿足一定條件的函數(shù)表示為一個多項式與一個表示為一個多項式與一個余項的和余項的和. . 如果能將一個滿如果能將一個滿足適當條件的函數(shù)在某個足適當條件的函數(shù)在某個區(qū)間上表示成一個冪級數(shù)區(qū)間上表示成一個冪級數(shù), , 就為函數(shù)的研究提供了一就為函數(shù)的研究提供了一種新的方法種新的方法. . 2 函數(shù)的冪級數(shù)展開數(shù)學分析 第十四章冪級數(shù)*點擊以上標題可直接前往對應內(nèi)容在第六章在第六章3的泰勒定理中曾指出的泰勒定理中曾指出, 若函數(shù)若函數(shù) f 在點在點x0 的某鄰

2、域內(nèi)存在直至的某鄰域內(nèi)存在直至n+1階的連續(xù)導數(shù)階的連續(xù)導數(shù), 200000()( )()()()()2!fxf xf xfxxxxx這里為這里為( )nRx拉格朗日型余項拉格朗日型余項(1)10( )( )(),(2)(1)!nnnfRxxxn ( )00()()( ),(1)!nnnfxxxRxn其中其中 在在x與與x0之間之間, 稱稱(1)式為式為 f 在點在點0 x的泰勒公式的泰勒公式. 2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式泰勒級數(shù)則則后退 前進 目錄 退出( )nRx0()nxx由于余項由于余項是關(guān)于是關(guān)于 的高階無窮小的高階無窮小, 在點在點 0 x附近附近 f 可用

3、可用(1)式右邊的多項式來近似代替式右邊的多項式來近似代替, 這是泰勒公式帶來的重要結(jié)論這是泰勒公式帶來的重要結(jié)論. 再進一步再進一步, 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f 在在 0 xx處存在任意階導數(shù)處存在任意階導數(shù), 就可以由函數(shù)就可以由函數(shù) f 得到一個冪級數(shù)得到一個冪級數(shù) 200000()()()()()2!fxf xfxxxxx( )00()(),(3)!nnfxxxn 通常稱通常稱 (3) 式為式為 f 在在 0 xx處的處的泰勒級數(shù)泰勒級數(shù). 2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式因此因此例例1 由于函數(shù)由于函數(shù)21e,0,( )0,0 xxf xx在在0 x 處的任意階導數(shù)都等于處

4、的任意階導數(shù)都等于0 (見第六章見第六章4 第第 二段末尾二段末尾), ( )(0)0 ,1,2,nfn2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式對于級數(shù)對于級數(shù)(3)是否能在點是否能在點 0 x附近確切地表達附近確切地表達 f , 0 x說級數(shù)說級數(shù)(3)在點在點 附近的和函數(shù)是否就是附近的和函數(shù)是否就是 f 本身本身,就是本節(jié)所要著重討論的問題就是本節(jié)所要著重討論的問題. 這這即即或者或者請先看一個例子請先看一個例子. 因此因此 f 在在 0 x 的泰勒級數(shù)為的泰勒級數(shù)為 20000.2!nxxxn(,) ( )0S x 顯然它在顯然它在 上收斂上收斂, 且其和函數(shù)且其和函數(shù) .

5、0 x ( )( )f xS x由由此看到此看到, 對一切對一切 都有都有 .上例說明上例說明, 具有任意階導數(shù)的函數(shù)具有任意階導數(shù)的函數(shù), 都能收斂于該函數(shù)本身都能收斂于該函數(shù)本身, 那么怎樣的函數(shù)那么怎樣的函數(shù), 其泰勒級數(shù)才能收斂于它本身呢其泰勒級數(shù)才能收斂于它本身呢?2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式泰勒級數(shù)并不泰勒級數(shù)并不 哪怕在很小的一個鄰域內(nèi)哪怕在很小的一個鄰域內(nèi). 定理14.11上等于它的泰勒級數(shù)的和函數(shù)的充上等于它的泰勒級數(shù)的和函數(shù)的充 0|xxr對一切滿足不等式對一切滿足不等式 的的x, 有有 lim( )0,nnRx( )nRx0 x是是f 在點在點 這里

6、這里 泰勒公式的余項泰勒公式的余項.設(shè)設(shè) f 在點在點 0 x具有任意階導數(shù)具有任意階導數(shù), 00(,)xr xr那么那么 f 在區(qū)間在區(qū)間分條件是分條件是: 如果如果 f 能在點能在點 0 x的某鄰域上等于其泰勒級數(shù)的和函數(shù)的某鄰域上等于其泰勒級數(shù)的和函數(shù),2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式0 x的這一鄰域內(nèi)可展開成泰勒級數(shù)的這一鄰域內(nèi)可展開成泰勒級數(shù), 則稱函則稱函數(shù)數(shù) f 在點在點200000()( )()()()()2!fxf xf xfxxxxx( )00()()(4)!nnfxxxn并稱等式并稱等式的右邊為的右邊為 f 在在 0 xx處的處的泰勒展開式泰勒展開式,

7、或或冪級數(shù)展開式冪級數(shù)展開式. ( )2(0)(0)(0)(0),1!2!nnffffxxxn稱為稱為麥克勞林級數(shù)麥克勞林級數(shù).2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式由級數(shù)的逐項求導性質(zhì)可得由級數(shù)的逐項求導性質(zhì)可得: 即冪級數(shù)展開式是唯一的即冪級數(shù)展開式是唯一的.收斂區(qū)間收斂區(qū)間(,)R R上的和函數(shù)上的和函數(shù), (,)R R上的泰勒展開式上的泰勒展開式,0nnna x 就是就是 f 在在 則則0nnna x若若 f 為冪級數(shù)為冪級數(shù)在在在實際應用上在實際應用上, 主要討論函數(shù)在主要討論函數(shù)在 00 x 處的展開式處的展開式:(1)01( )( )() d ,!xnnnRxftxt

8、tn(1)11( )( ),0,(1)!nnnRxfxxn在與之間在與之間(1)11( )()(1),01.!nnnnRxfxxn 2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式從定理從定理14.11知道知道, 下面列出當下面列出當 00 x 時的積分型余項、時的積分型余項、拉格朗日型余項和柯西型余項拉格朗日型余項和柯西型余項, 余項對確定函數(shù)能否展開為冪級數(shù)余項對確定函數(shù)能否展開為冪級數(shù)是極為重要的是極為重要的, 以便于后面的討論以便于后面的討論. 例例2 求下面求下面k次多項式函數(shù)的冪級數(shù)展開式次多項式函數(shù)的冪級數(shù)展開式.2012( ).kkf xcc xc xc x解解 由于由于(

9、)!,(0)0,nnn cnkfnklim( )0,nnRx總總有有( )2(0)(0)( )(0)(0)2!kkfff xffxxxk即多項式函數(shù)的冪級數(shù)展開式就是它本身即多項式函數(shù)的冪級數(shù)展開式就是它本身.2012,kkcc xc xc x2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式因而因而例例3 求函數(shù)求函數(shù) f (x) = ex 的冪級數(shù)展開式的冪級數(shù)展開式. 解解 ( )( )( )e ,(0)1(1,2,),nxnfxfn由由于于1e( )(01).(1)!xnnRxxn 顯見顯見 | |1e|( )|.(1)!xnnRxxn| |1elim|0,(1)

10、!xnnxn于是對任何實數(shù)于是對任何實數(shù) x, lim( )0.nnRx因因而而2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式f因因此此的拉格朗日余項為的拉格朗日余項為都有都有14.11由由定定理理得得到到2111e1,(,).1!2!xnxxxxn exy ()3n ()0n x11 O22462 y()2n 2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式例例4 ( )sin ,f xx對對于于正正弦弦函函數(shù)數(shù)( )( )sin,1,2,.2nnfxxn1sin+(1)2( )(1)!nnnRxxn ( )sinf xx(,) 所以所以在在上可以展開為麥克勞上可以展開為麥克勞 ( )

11、.nfRx現(xiàn)現(xiàn)在在考考察察的的拉拉格格朗朗日日型型余余項項林級數(shù)林級數(shù):35211sin( 1).3!5!(21)!nnxxxxxn 2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式有有 ,n因因為為時時1|0,(1)!nxn0123456-1-0.500.51xysin(x)n = 1n = 2n = 3n = 4n = 5y = sin x同樣可證同樣可證(或用逐項求導或用逐項求導), 在在(,) 上有上有242cos1( 1).2!4!(2 )!nnxxxxn 2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式例例5 ( )ln(1)f xx函函數(shù)數(shù)的的各各階階導導數(shù)數(shù)是是( )1(1

12、)!( )( 1),(1)nnnnfxx ( )1(0)( 1)(1)!,nnfn 所以所以ln(1)x的麥克勞林級數(shù)是的麥克勞林級數(shù)是2341( 1).(5)234nnxxxxxn 用比式判別法容易求得級數(shù)用比式判別法容易求得級數(shù)(5)的收斂半徑的收斂半徑1R , 且且 1x 1x 當當時收斂時收斂, 時發(fā)散時發(fā)散, 2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式故級數(shù)故級數(shù)(5)的收斂域的收斂域 ( 1,1 是是 . 下面討論在下面討論在( 1,1 上它的余項的極限上它的余項的極限.當當01x 時時, 11( 1)!|( )|(1)!(1)nnnnnRxxn 10().1nn 當當10

13、 x 時時, 因拉格朗日型余項不易估計因拉格朗日型余項不易估計, 故改故改用柯西型余項用柯西型余項. 111!|( )|( 1)(1)!(1)nnnnnnRxxnx 111|, 01.11nnxxx 2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式對拉格朗日型余項對拉格朗日型余項, 有有 此時有此時有11(1) 1nxn 10,11,xx 因因故故1|( )0 ().1 |nnxRxnx 所所以以( 1,1 ln(1)x這就證得在這就證得在上上 的冪級數(shù)展開式就是的冪級數(shù)展開式就是(5). 1x ，將將(5)式中式中 x 換成換成 ( )lnf xx 就得到函數(shù)就得到函數(shù) 1x 在在處的泰勒

14、展開式處的泰勒展開式:21(1)(1)ln(1)( 1),2nnxxxxn 其收斂域為其收斂域為 (0, 2.2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式101.1x 即即例例6 討論二項式函數(shù)討論二項式函數(shù)( )(1)f xx 的展開式的展開式. 解解 當當 為正整數(shù)時為正整數(shù)時, 就是例就是例2.下面討論下面討論 不等于正整數(shù)時的情形不等于正整數(shù)時的情形, ( )( )(1)(1)(1),1,2,nnfxnxn ( )(0)(1)(1),1,2,nfnn 于是于是( )f x 的麥克勞林級數(shù)是的麥克勞林級數(shù)是2(1)12!xx (1)(1).(6)!nnxn 2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒

15、級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式這時這時1R 運用比式法運用比式法, 可得可得(6)的收斂半徑的收斂半徑. 11(1)()1( )(1),!1nnnnRxxxnx 01. 由比式判別法由比式判別法, 10(1)()| 1,!nnnxxn 級級數(shù)數(shù)當當時時收收斂斂1(1)()lim0.!nnnxn 2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式在在 內(nèi)考察它的柯西型余項內(nèi)考察它的柯西型余項 ( 1,1) 故有故有 11,11,01,1xxx 又又有有且且11.1nx 從而有從而有111| 1,0(1)(1 |)2.xxx 再再當當時時 有有11(1);xn 于于是是當當時時是是與與無無關(guān)關(guān)的的有有

16、界界量量1 當當時時， 也也有有同同樣樣結(jié)結(jié)論論. .所以在所以在 ( 1,1)( )(1)f xx 上上的的展展開開式式為為2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式lim( )0.nnRx,| 1,x 綜綜上上所所述述 當當時時2(1)(1)12!xxx (1)(1)(7)!nnxn 對于收斂區(qū)間端點的情形對于收斂區(qū)間端點的情形, 與與 的取值有關(guān)的取值有關(guān): 11x12 當當時時得得到到11x2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式(7)1 當當式式中中時時就就得得到到1,( 1,1); 當當時時 收收斂斂域域為為10,( 1,1; 當當時時 收收斂斂域域為為0, 1,

17、1. 當當時時 收收斂斂域域為為21( 1),( 1,1).(8)nnxxxx 2311 31 3 51,( 1,1.(9)22 42 4 6xxxx 一般來說一般來說, 只有比較簡單的函數(shù)只有比較簡單的函數(shù), 根據(jù)冪級數(shù)展開式的唯一性根據(jù)冪級數(shù)展開式的唯一性, 2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式間接地求得函數(shù)的冪級數(shù)展開式間接地求得函數(shù)的冪級數(shù)展開式. 其冪級數(shù)展開式能其冪級數(shù)展開式能在更多情況下可以從已知的展開在更多情況下可以從已知的展開通過變量代換、四則運算或逐項求導、逐項通過變量代換、四則運算或逐項求導、逐項前面的展開冪級數(shù)的方法前面的展開冪級數(shù)的方法, 稱為稱為直接展

18、開法直接展開法. 用直接展開法求得用直接展開法求得.式出發(fā)式出發(fā),求積等方法，求積等方法，這就是間接展開的根據(jù)這就是間接展開的根據(jù).不管用什么方法得到的不管用什么方法得到的冪級數(shù)的系數(shù)都是一樣的冪級數(shù)的系數(shù)都是一樣的.2x2x 例例7 以以與與分別代入分別代入(8)與與(9)式式, 可得可得211x211x對對 (10)、(11)分別逐項求積可得分別逐項求積可得2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式201arctand1xxttxxx3535 nnxn21( 1), 1,1,21 221( 1),( 1,1),(10)nnxx2411 31, ( 1,1).(11)22 4xx20

19、1arcsind1xxtt35711 31 3 5, 1,1.2 32 452 4 67xxxx 11ln(1)( 1)(1,1,nnnxxxn 利利用用，得得111nnnnxxnn 221nnnnxxxnn 2 1,1).(1nnxxxn n ，）(1)ln(1)xx 0 x 例例8 求求 在在處的冪級數(shù)展開式處的冪級數(shù)展開式. 1ln(1)1,1)nnxxxn ，1(1)ln(1)(1)()nxnnxxx因此因此2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式解解 熟練掌握某些初等函數(shù)的展開式，熟練掌握某些初等函數(shù)的展開式，對于今后用間接方法求冪級數(shù)展開十分方便對于今后用間接方法求冪級數(shù)

20、展開十分方便. 特別是例特別是例3 例例7的結(jié)果的結(jié)果,2(1)nnxxn n 由由于于的的收收斂斂域域為為 -1,1-1,1 ，(1)ln(1) 1,1).xx 嚴嚴格格地地講講只只是是它它在在上上的的和和函函數(shù)數(shù)2(1)ln(1), 1,1),(10,1.nnxxxxxn nx ）210,(1)nnxxxn n 而而當當時時，的的和和是是用類似方法可得用類似方法可得2111ln2,( 1,1)121nnxxxxn . (13)2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式所以所以ln20.0001.例例9 計算計算 的近似值的近似值, 精確到精確到 11ln(1)( 1)nnnxxn

21、1x 解解 可以在展開式可以在展開式 中令中令 , 得得 11( 1)ln2nnn . 1|( )|1nRxn . 級數(shù)前級數(shù)前10000項的和項的和, 2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式13x 得得，121xx ，令令代入代入(13)式式, 32111111ln22.33 321 3nn 有有這是一個交錯級數(shù)這是一個交錯級數(shù), 故有故有為了誤差小于為了誤差小于0.0001, 就必須計算就必須計算 為此在為此在(13)式中式中收斂得太慢收斂得太慢. 估計余項估計余項:212311110221 323 3nnnRnn21242111(21) 333nn 2121213211,(21) 314(21) 3nnnn2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式471100.00014 9 378732R