數(shù)學(xué)隨機(jī)變量及其分布學(xué)習(xí)教案

1、數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布第一頁(yè)，共84頁(yè)。一、隨機(jī)變量一、隨機(jī)變量二、離散型隨機(jī)變量及其分布二、離散型隨機(jī)變量及其分布(fnb)律律三、隨機(jī)變量的分布三、隨機(jī)變量的分布(fnb)函數(shù)函數(shù)四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度五、隨機(jī)變量的函數(shù)的分布五、隨機(jī)變量的函數(shù)的分布(fnb)主要主要(zhyo)內(nèi)內(nèi)容容第1頁(yè)/共84頁(yè)第二頁(yè)，共84頁(yè)。第一節(jié)第一節(jié) 隨機(jī)變量隨機(jī)變量(su j bin lin)第2頁(yè)/共84頁(yè)第三頁(yè)，共84頁(yè)。 為了全面研究隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為了全面研究隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果, 揭示揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性, 將隨

2、機(jī)試驗(yàn)的結(jié)將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)果與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)(q li), 即將隨機(jī)試驗(yàn)即將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化的結(jié)果數(shù)量化, 引入隨機(jī)變量的概念引入隨機(jī)變量的概念.第3頁(yè)/共84頁(yè)第四頁(yè)，共84頁(yè)。 在隨機(jī)試驗(yàn)完成時(shí)在隨機(jī)試驗(yàn)完成時(shí), 人們常常不是關(guān)心試驗(yàn)結(jié)果本身人們常常不是關(guān)心試驗(yàn)結(jié)果本身, 而是對(duì)于試驗(yàn)結(jié)果聯(lián)系著的某個(gè)數(shù)感興趣而是對(duì)于試驗(yàn)結(jié)果聯(lián)系著的某個(gè)數(shù)感興趣.這樣，我們可以引進(jìn)一個(gè)變量這樣，我們可以引進(jìn)一個(gè)變量(binling)來(lái)表示它的各種結(jié)果來(lái)表示它的各種結(jié)果.也就是說(shuō)，把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化也就是說(shuō)，把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化. 第4頁(yè)/共84頁(yè)第五頁(yè)，共84頁(yè)。例例1 在一袋中裝有編號(hào)分別在一袋

3、中裝有編號(hào)分別(fnbi)為為1,2,3的的3只球只球. 在袋中在袋中任取一只球任取一只球, 放回放回. 再取一只球再取一只球, 記錄它們的編號(hào)記錄它們的編號(hào). 計(jì)算兩只球的計(jì)算兩只球的號(hào)碼之和號(hào)碼之和. 試驗(yàn)的樣本空間試驗(yàn)的樣本空間S=e=i,j,i,j=1,2,3. 這里這里i,j分分別表示第一別表示第一(dy),二球的號(hào)碼二球的號(hào)碼. 以以X記兩球號(hào)碼記兩球號(hào)碼之和之和, 對(duì)于每一個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)于每一個(gè)樣本點(diǎn)e, X都有一個(gè)值與之都有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng), 如右上圖所示如右上圖所示.123i123423453456j第5頁(yè)/共84頁(yè)第六頁(yè)，共84頁(yè)。 在有些試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果表面上看來(lái)在有些試驗(yàn)

4、中，試驗(yàn)結(jié)果表面上看來(lái)(kn li)與數(shù)值與數(shù)值無(wú)關(guān)，仍然可以將結(jié)果數(shù)值化。無(wú)關(guān)，仍然可以將結(jié)果數(shù)值化。例例2 2 拋一枚硬幣，觀察拋一枚硬幣，觀察(gunch)(gunch)正反面的出現(xiàn)情正反面的出現(xiàn)情況況. .我們我們(w men)引入引入記號(hào)：記號(hào)：， TeHeeXX,0, 1)(顯然，該試驗(yàn)有兩個(gè)可能的結(jié)果：顯然，該試驗(yàn)有兩個(gè)可能的結(jié)果：TH,于是我們就可以用于是我們就可以用1 X表示出現(xiàn)的是正面，表示出現(xiàn)的是正面，而用而用0 X表示出現(xiàn)的是反面。表示出現(xiàn)的是反面。X就是一個(gè)隨機(jī)變量。就是一個(gè)隨機(jī)變量。第6頁(yè)/共84頁(yè)第七頁(yè)，共84頁(yè)。又如：又如： 將一枚硬幣擲三次將一枚硬幣擲三次(s

5、n c), 觀察正面觀察正面H, 反面反面T出現(xiàn)的情況出現(xiàn)的情況. 32,1,0eHHHeHHT HTH THHXX eeHTT THT TTHeTTT樣本空間S=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT;若記X為三次出現(xiàn)正面的總數(shù)，那么，對(duì)于樣本空間S=e中的每一個(gè)樣本點(diǎn)e，X都有一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)。X是定義在樣本空間S上的一個(gè)實(shí)值單值函數(shù)。它的定義域是樣本空間S，值域是集合0，1，2，3.使用(shyng)函數(shù)記號(hào)可以寫成：第7頁(yè)/共84頁(yè)第八頁(yè)，共84頁(yè)。 定義定義 設(shè)隨機(jī)設(shè)隨機(jī)(su j)試驗(yàn)試驗(yàn)E的樣本空間是的樣本空間是S，若對(duì)于每，若對(duì)于每一個(gè)一個(gè)eS, 有一個(gè)實(shí)

6、數(shù)有一個(gè)實(shí)數(shù)X(e)與之對(duì)應(yīng)與之對(duì)應(yīng), 即即X=X(e)是定義在是定義在S上的單值實(shí)函數(shù)，稱它為隨機(jī)上的單值實(shí)函數(shù)，稱它為隨機(jī)(su j)變量變量(random variable, 簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為r.v.)。X(e)sRe.隨機(jī)變量隨機(jī)變量X 是上的映射 RS 第8頁(yè)/共84頁(yè)第九頁(yè)，共84頁(yè)。 隨機(jī)變量的取值隨試驗(yàn)結(jié)果而定隨機(jī)變量的取值隨試驗(yàn)結(jié)果而定, 而試驗(yàn)的各個(gè)結(jié)果出現(xiàn)而試驗(yàn)的各個(gè)結(jié)果出現(xiàn)有一定的概率有一定的概率, 因而因而(yn r)隨機(jī)變量的取值有一定的概率隨機(jī)變量的取值有一定的概率. 例例如如, 在例在例2中中X取值為取值為2, 記成記成X=2, 對(duì)應(yīng)于樣本點(diǎn)的集合對(duì)應(yīng)于樣本點(diǎn)的集合

7、A=HHT, HTH, THH, 這是一個(gè)事件這是一個(gè)事件, 當(dāng)且僅當(dāng)事件當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生時(shí)有發(fā)生時(shí)有X=2. 則稱則稱P(A)=PHHT, HTH, THH為為X=2的概率的概率, 即即P(X=2)=P(A)=3/8. 一般一般, 若若L是一個(gè)實(shí)數(shù)集合是一個(gè)實(shí)數(shù)集合, 將將X在在L上取值寫成上取值寫成XL. 它表示它表示事件事件B=e|X(e)L, 即即B是由是由S中使得中使得X(e)L的所有樣本點(diǎn)的所有樣本點(diǎn)e所組成的事件所組成的事件. 此時(shí)有此時(shí)有PXL=P(B)=Pe|X(e)L,隨機(jī)變量的取值隨試驗(yàn)的結(jié)果而定隨機(jī)變量的取值隨試驗(yàn)的結(jié)果而定, 在試驗(yàn)之前不能預(yù)知它取在試驗(yàn)之前不能預(yù)知

8、它取什么什么(shn me)值值, 且它的取值有一定的概率且它的取值有一定的概率. 此性質(zhì)說(shuō)明隨機(jī)此性質(zhì)說(shuō)明隨機(jī)變量與普通函數(shù)有本質(zhì)的差異變量與普通函數(shù)有本質(zhì)的差異.第9頁(yè)/共84頁(yè)第十頁(yè)，共84頁(yè)。 (1) 隨機(jī)變量是一個(gè)函數(shù) , 但普通函數(shù)是定義(dngy)在實(shí)數(shù)軸上的,而隨機(jī)變量是定義(dngy)在樣本空間上的 (樣本空間的元素不一定是實(shí)數(shù)).隨機(jī)變量與普通隨機(jī)變量與普通(ptng)函數(shù)的區(qū)別函數(shù)的區(qū)別: (2) 隨機(jī)變量X 的可能取值不止一個(gè), 試驗(yàn)前只能(zh nn)預(yù)知它的可能的取值，但不能預(yù)知取哪個(gè)值(3) X 以一定的概率取某個(gè)值以一定的概率取某個(gè)值. 第10頁(yè)/共84頁(yè)第十一

9、頁(yè)，共84頁(yè)。第二節(jié)第二節(jié) 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量(su j bin lin) 及其分布律及其分布律離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量(su j bin lin)分布律的定義分布律的定義離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量(su j bin lin)表示方法表示方法三種常見(jiàn)分布三種常見(jiàn)分布第11頁(yè)/共84頁(yè)第十二頁(yè)，共84頁(yè)。如果如果(rgu)隨機(jī)變量隨機(jī)變量X只取有限或可列無(wú)窮多只取有限或可列無(wú)窮多個(gè)值，個(gè)值，則稱則稱X為離散為離散(lsn)型隨機(jī)型隨機(jī)變量變量.對(duì)于離散型隨機(jī)變量，關(guān)鍵對(duì)于離散型隨機(jī)變量，關(guān)鍵(gunjin)是要確定：是要確定：1）所有可能的取值是什么？）所有可能的取值是什么？2）

10、取每個(gè)可能值的概率是多少？）取每個(gè)可能值的概率是多少？設(shè)設(shè)離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量X的的可可能能取取值值為為,21xx，而而 ,kkpxXP , 2 , 1 k稱之為離散型隨機(jī)變量稱之為離散型隨機(jī)變量X的的分布律分布律。第12頁(yè)/共84頁(yè)第十三頁(yè)，共84頁(yè)?；?qū)懗扇缦禄驅(qū)懗扇缦?rxi)的表格形式：的表格形式：,kkpxXP , 2 , 1 kXP1x2xkx1p2pkp顯顯然然，其其中中ip必必須須滿滿足足以以下下兩兩個(gè)個(gè)條條件件： （1 1）非非負(fù)負(fù)性性 0 ip； （2 2）規(guī)規(guī)范范性性 iip1。 第13頁(yè)/共84頁(yè)第十四頁(yè)，共84頁(yè)。例例3 某籃球某籃球(lnqi)運(yùn)動(dòng)員投中籃圈

11、概率是運(yùn)動(dòng)員投中籃圈概率是0.9，求，求他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)X的概率分布的概率分布.解：解： X可取值為可取值為0,1,2 ; PX =0=(0.1)(0.1)=0.01 PX =1= 2(0.9)(0.1) =0.18 PX =2=(0.9)(0.9)=0.81第14頁(yè)/共84頁(yè)第十五頁(yè)，共84頁(yè)。下面給出幾種下面給出幾種(j zhn)(j zhn)常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的概常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的概率分布。率分布。 背景：一次試驗(yàn)的成功次數(shù)背景：一次試驗(yàn)的成功次數(shù)X X所服從所服從(fcng)(fcng)的分布的分布. .XP01p 1p1(1),0,1.kkP Xkp

12、pk分布分布(fnb)(fnb)律為律為或用公式表示或用公式表示(1) 0-1分布分布 如果試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)：成功與失敗，并且成功的如果試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)：成功與失敗，并且成功的概率為概率為p，則成功的次數(shù)，則成功的次數(shù) 服從參數(shù)為服從參數(shù)為p的的0-1分布。分布。X第15頁(yè)/共84頁(yè)第十六頁(yè)，共84頁(yè)。 0-1分布是最簡(jiǎn)單的一種分布分布是最簡(jiǎn)單的一種分布,任何一個(gè)只有兩種可任何一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象, 比如新生嬰兒是男還是女、明天是比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等否下雨、種籽是否發(fā)芽等, 都可以都可以(ky)用服從兩點(diǎn)分用服從兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量來(lái)

13、描述布的隨機(jī)變量來(lái)描述.說(shuō)明(shumng)第16頁(yè)/共84頁(yè)第十七頁(yè)，共84頁(yè)。例例4 200件產(chǎn)品中件產(chǎn)品中,有有190件合格品件合格品,10件不合格品件不合格品,現(xiàn)現(xiàn)從中隨機(jī)從中隨機(jī)(su j)抽取一件抽取一件,那末那末,若規(guī)定若規(guī)定 , 0, 1X取得不合格品取得不合格品,取得合格品取得合格品.則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量 X 服從服從(fcng)(0 1)分布分布.Xkp0120019020010第17頁(yè)/共84頁(yè)第十八頁(yè)，共84頁(yè)。（2 2）二項(xiàng)分布）二項(xiàng)分布( (Binomial Distribution) )背景背景(bijng)(bijng)：n n重伯努利試驗(yàn)中的成功次數(shù)重伯努利試

14、驗(yàn)中的成功次數(shù)X X所服從的分布所服從的分布. . 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X的分布律為的分布律為：nkppCkXPknkkn, 2 , 1 , 0,)1 (則稱隨機(jī)變量則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為服從參數(shù)為n ,p的二項(xiàng)分布，的二項(xiàng)分布，),(pnBX記為或),(pnbX注意，當(dāng)n=1時(shí)二項(xiàng)分布就是(jish)0-1分布。第18頁(yè)/共84頁(yè)第十九頁(yè)，共84頁(yè)。例例5 5 已知已知100100個(gè)產(chǎn)品個(gè)產(chǎn)品(chnpn)(chnpn)中有中有5 5個(gè)次品，現(xiàn)從中有放個(gè)次品，現(xiàn)從中有放回回地取地取3 3次，每次任取次，每次任取1 1個(gè)，求在所取的個(gè)，求在所取的3 3個(gè)中恰有個(gè)中恰有2 2個(gè)次品的個(gè)次品的概

15、率概率. . 解解: 因?yàn)檫@是有放回地取因?yàn)檫@是有放回地取3次，因此這次，因此這3 次試驗(yàn)次試驗(yàn)的條件的條件(tiojin)完全相同且獨(dú)立，它是伯努利試驗(yàn)完全相同且獨(dú)立，它是伯努利試驗(yàn).依題意，每次試驗(yàn)取到次品依題意，每次試驗(yàn)取到次品(cpn)的概率為的概率為0.05.設(shè)設(shè)X為所取的為所取的3個(gè)中的次品數(shù)，個(gè)中的次品數(shù)，于是，所求概率為于是，所求概率為：則則X B(3, 0.05)，nkppCkXPknkkn, 2 , 1 , 0,)1 (.007125. 0)95. 0()05. 0() 2(223CXP第19頁(yè)/共84頁(yè)第二十頁(yè)，共84頁(yè)。解解,X設(shè)擊中的次數(shù)為設(shè)擊中的次數(shù)為).02. 0

16、 ,400( BX則則的分布律為的分布律為X,)98. 0()02. 0(400400 kkkkXP .400, 1 , 0 k因此因此(ync)1012 XPXPXP399400)98. 0)(02. 0(400)98. 0(1 .9972. 0 例例6.,400,02. 0,率率試試求求至至少少擊擊中中兩兩次次的的概概次次獨(dú)獨(dú)立立射射擊擊設(shè)設(shè)每每次次射射擊擊的的命命中中率率為為某某人人進(jìn)進(jìn)行行射射擊擊第20頁(yè)/共84頁(yè)第二十一頁(yè)，共84頁(yè)。(三三)泊松分布泊松分布 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X所有所有(suyu)可能取的值為可能取的值為0,1,2,., 而取而取各個(gè)值的概率為各個(gè)值的概率為e,0

17、,1,2,!kP Xkkk 000eeee1!kkkkkP Xkkk 其中其中(qzhng)l0是常數(shù)是常數(shù). 則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為l的的泊松分布泊松分布, 記為記為Xp(l).第21頁(yè)/共84頁(yè)第二十二頁(yè)，共84頁(yè)。電話呼喚電話呼喚(h hun)(h hun)次數(shù)次數(shù)交通事故次數(shù)交通事故次數(shù)(csh)商場(chǎng)接待商場(chǎng)接待(jidi)的顧的顧客數(shù)客數(shù)地震次數(shù)地震次數(shù)火山爆發(fā)火山爆發(fā)特大洪水特大洪水 在生物學(xué)在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及公用事業(yè)的排隊(duì)等問(wèn)題中公用事業(yè)的排隊(duì)等問(wèn)題中 , 泊松分布是常見(jiàn)的泊松分布是常見(jiàn)的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺(tái)的電

18、例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺(tái)的電話呼喚次數(shù)等話呼喚次數(shù)等, 都服從泊松分布都服從泊松分布.第22頁(yè)/共84頁(yè)第二十三頁(yè)，共84頁(yè)。例例7 已知已知 服從服從(fcng)泊松泊松分布，且分布，且2,! 22得ee求,21XPXP.4XPeXPeXP! 22,! 112122432! 424eeXP,2, 1 ,0,!kekkXPk解：解：X第23頁(yè)/共84頁(yè)第二十四頁(yè)，共84頁(yè)。泊松（泊松（Poisson）定理：設(shè)）定理：設(shè)0是一常數(shù)是一常數(shù),n是任意正整數(shù)是任意正整數(shù),設(shè)設(shè)npn=,則對(duì)于則對(duì)于(duy)任一固定的非負(fù)整數(shù)任一固定的非負(fù)整數(shù)k,有有l(wèi)im(1)!kkn knnnnepp

19、kk 通常在通常在n比較大比較大, p很小時(shí)很小時(shí)(xiosh), 用泊松用泊松分布近似代替二項(xiàng)分布的公式分布近似代替二項(xiàng)分布的公式, 其中其中l(wèi)=np.泊松泊松分布的方便之處在于有現(xiàn)成的分布表可查分布的方便之處在于有現(xiàn)成的分布表可查(見(jiàn)見(jiàn)P383附表附表3)第24頁(yè)/共84頁(yè)第二十五頁(yè)，共84頁(yè)。例例8 計(jì)算機(jī)硬件公司制造某種特殊型號(hào)的微型芯片，計(jì)算機(jī)硬件公司制造某種特殊型號(hào)的微型芯片，次品率達(dá)次品率達(dá)0.1%，各芯片成為次品相互獨(dú)立，各芯片成為次品相互獨(dú)立(dl)。求在求在1000只產(chǎn)品中至少有只產(chǎn)品中至少有2只次品的概率。只次品的概率。10110000100011000 1Xb(1000

20、,0.001)21()10001(0.001) (0.999)10001(0.999)(0.001) (0.999)110.36769540.36806350.2642411kkkkP XP Xkk 解：以解：以 X記次品記次品(cpn)只數(shù)，則只數(shù)，則第25頁(yè)/共84頁(yè)第二十六頁(yè)，共84頁(yè)。011111210111110.26424110!1!P XP XP Xeeee 1000 0.0011np若應(yīng)用泊松定理來(lái)近似計(jì)算：1np若用查泊松分布表來(lái)近似計(jì)算：2111 0.73580.26420P XP X 第26頁(yè)/共84頁(yè)第二十七頁(yè)，共84頁(yè)。課堂練習(xí) 商店的歷史銷售記錄表明，某種商品每月的

21、銷售量服從參數(shù)為l= 10的泊松分布。為了以95%以上的概率保證(bozhng)該商品不脫銷，問(wèn)商店在月底至少應(yīng)進(jìn)該商品多少件？ 附解按題意要求為件，件，月底的進(jìn)貨量為品設(shè)商店每月銷售某種商nX95. 0 nXP的泊松分布，則有服從10Xnkkek01095. 010！由附錄(fl)的泊松分布表知 1410015100100.91650.95100.95130.95.kkkkekek，！只要在月底進(jìn)貨15件(假定上月沒(méi)有存貨)，就可以95%的概率(gil)保證這種商品在下個(gè)月內(nèi)不會(huì)脫銷 。第27頁(yè)/共84頁(yè)第二十八頁(yè)，共84頁(yè)。第三節(jié)第三節(jié) 隨機(jī)變量隨機(jī)變量(su j bin lin)的的分布

22、函數(shù)分布函數(shù)第28頁(yè)/共84頁(yè)第二十九頁(yè)，共84頁(yè)。背景：背景： 對(duì)于非離散型隨機(jī)變量對(duì)于非離散型隨機(jī)變量X, 由于其可能取的值不能由于其可能取的值不能一個(gè)一個(gè)地列舉出來(lái)一個(gè)一個(gè)地列舉出來(lái), 因而就不能像離散型隨機(jī)變量那因而就不能像離散型隨機(jī)變量那樣可以用分布律來(lái)描述它樣可以用分布律來(lái)描述它. 另外另外, 通常所遇到的非離散通常所遇到的非離散型隨機(jī)變量，取任一指定的實(shí)數(shù)值的概率都等于型隨機(jī)變量，取任一指定的實(shí)數(shù)值的概率都等于(dngy)0. 此時(shí)，我們轉(zhuǎn)而去研究隨機(jī)變量所取的值落在一個(gè)此時(shí)，我們轉(zhuǎn)而去研究隨機(jī)變量所取的值落在一個(gè)區(qū)間的概率區(qū)間的概率, Px1Xx2.由于由于 Px1Xx2=PX

23、x2-PXx1.所以我們只需知道所以我們只需知道PXx2和和PXx1就可以了就可以了. 由此由此引出分布函數(shù)引出分布函數(shù)(hnsh)的概念的概念.第29頁(yè)/共84頁(yè)第三十頁(yè)，共84頁(yè)。()x 為為X X 的分布的分布(fnb)(fnb)函數(shù)。函數(shù)。設(shè)設(shè) X X 是一個(gè)是一個(gè)(y (y )隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，定義定義(dng(dngy)y)是任意實(shí)數(shù)，則稱函數(shù)是任意實(shí)數(shù)，則稱函數(shù)x( )(),F xP Xx12P xXx21()( )F xF x隨機(jī)變量落在區(qū)間里的概率：隨機(jī)變量落在區(qū)間里的概率：1x2xx 21P XxP Xx 如果將如果將 X 看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么分布函數(shù)看作數(shù)軸上隨

24、機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么分布函數(shù) F(x) 的值就表示的值就表示 X落在區(qū)間落在區(qū)間 內(nèi)的概率內(nèi)的概率,(xxoxX 第30頁(yè)/共84頁(yè)第三十一頁(yè)，共84頁(yè)。分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)(tngj)規(guī)律性，通過(guò)它，我們可以用高等數(shù)學(xué)規(guī)律性，通過(guò)它，我們可以用高等數(shù)學(xué)的工具來(lái)研究隨機(jī)變量的工具來(lái)研究隨機(jī)變量.X 的分布(fnb)函數(shù)。( )()F xP Xxx第31頁(yè)/共84頁(yè)第三十二頁(yè)，共84頁(yè)。分布函數(shù)分布函數(shù)F(x)具有具有(jyu)以下的基本性質(zhì)以下的基本性質(zhì):1、F(x)是一個(gè)不減函數(shù)是一個(gè)不減函數(shù)(hnsh).對(duì)于任意實(shí)數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1,x2(x1x

25、2)有有 F(x2)-F(x1)=Px1X x2 0.2、 0 F(x) 1, 且且()lim( )0,( )lim( )1.xxFF xFF x xXO3、F(x+0)=F(x), 即即F(x)是右連續(xù)是右連續(xù)(linx)的的第32頁(yè)/共84頁(yè)第三十三頁(yè)，共84頁(yè)。解解:例例9 已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量(su j bin lin)X 的分布律為的分布律為1612131Xkp02求分布函數(shù)求分布函數(shù)( )F x( )F xP Xx,00 ,0101 ,12012 ,20,01/3,011/2,121,2PxP XxP XP XxP XP XP Xxxxxx第33頁(yè)/共84頁(yè)第三十四頁(yè)，共84頁(yè)

26、。 的圖形(txng)是階梯狀的圖形(txng),在 x=0，1，2 處有跳躍，其躍度分別等于 P(X=0) , P(X=1) , P(X=2).1 312x1 61 21 6OOO1)(xF210F(x)右連續(xù)(linx)( )()F xP Xx分布分布(fnb)函數(shù)圖函數(shù)圖第34頁(yè)/共84頁(yè)第三十五頁(yè)，共84頁(yè)。設(shè)離散設(shè)離散(lsn)型型 r .v X 的分布律是的分布律是P X=xk = pk , k =1,2,3, F(x) = P(X x) = kkxxp即即F(x) 是是 X 取取 的諸值的諸值 xk 的概率的概率(gil)之和之和.x則其分布函數(shù)則其分布函數(shù)第35頁(yè)/共84頁(yè)第三

27、十六頁(yè)，共84頁(yè)。例10 在區(qū)間1,5上任(shng rn)意擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn),用X表示這個(gè)質(zhì)點(diǎn)與原點(diǎn)的距離,則X是一個(gè)隨機(jī)變量.如果這個(gè)質(zhì)點(diǎn)落在1,5上任(shng rn)一子區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，求X的分布函數(shù)。第36頁(yè)/共84頁(yè)第三十七頁(yè)，共84頁(yè)。15x由題意知是一個(gè)必然事件解1,( )0 xXxF xP Xx若則是不可能事件) 1(151xkxXPx，則若51511/4,xPXk特別取由可得從而) 1(4111)(xxXPxPxXPxF1)(5xFxXx是必然事件，則若. 5, 151),1(41, 1, 0)(xxxxxF的分布函數(shù)為X151PX即 第37頁(yè)/共84頁(yè)第三十

28、八頁(yè)，共84頁(yè)。的圖形如下圖所示)(xF跳躍點(diǎn)。在整個(gè)數(shù)軸上沒(méi)有一個(gè)）上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，是一個(gè)定義在（,)(xF第38頁(yè)/共84頁(yè)第三十九頁(yè)，共84頁(yè)。 另外, 容易看到本例中的分布函數(shù)F(x)對(duì)于任意(rny)x可以寫成形式( )( )d ,xF xf tt 1,15,( )40,.tf t 其其它它其中其中(qzhng) 這就是說(shuō)這就是說(shuō), F(x)是非負(fù)函數(shù)是非負(fù)函數(shù)f(t)在區(qū)間在區(qū)間(q jin)(-,x)上的積分上的積分, 在這種情況下我們稱在這種情況下我們稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量.第39頁(yè)/共84頁(yè)第四十頁(yè)，共84頁(yè)。第四節(jié)第四節(jié) 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量(su

29、j bin lin)及其概率密度及其概率密度第40頁(yè)/共84頁(yè)第四十一頁(yè)，共84頁(yè)。一、概率密度及其性質(zhì)一、概率密度及其性質(zhì)(xngzh)(xngzh)定義定義(dngy) 如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)可表示成的分布函數(shù)可表示成xF( x)P Xxf(t )dt其中其中(qzhng)(tf為非負(fù)的函數(shù)為非負(fù)的函數(shù),則稱則稱X為為連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量,f(x)稱為稱為X的的概率密度函數(shù)概率密度函數(shù),簡(jiǎn)稱為簡(jiǎn)稱為概率密度概率密度或或密度密度.記作記作)(xfX第41頁(yè)/共84頁(yè)第四十二頁(yè)，共84頁(yè)。概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)f(x)f(x)的基本的基本(jbn)(jbn)性質(zhì)：性

30、質(zhì)： ( )( )dxP XxF xf tt，這兩條性質(zhì)是判這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)定一個(gè)(y )函函數(shù)數(shù) f(x)是否為某是否為某隨機(jī)變量的概率隨機(jī)變量的概率密度的充要條件密度的充要條件.10 x)(xf12第42頁(yè)/共84頁(yè)第四十三頁(yè)，共84頁(yè)。另外另外,連續(xù)型隨機(jī)變量還具有如下重要連續(xù)型隨機(jī)變量還具有如下重要(zhngyo)性質(zhì)性質(zhì): ( )( )3( )bbaaf x dxf x dxP aXbF bF af x dx()( )( )xPXxF xf t dta b P aXbx( )yf xy第43頁(yè)/共84頁(yè)第四十四頁(yè)，共84頁(yè)。( )( ),xF xf t dt( )( )F xf

31、xo)(tfx 若若 f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x 處續(xù)處續(xù) , 則有則有4第44頁(yè)/共84頁(yè)第四十五頁(yè)，共84頁(yè)。(1) 連續(xù)型連續(xù)型r.v取任一指定實(shí)數(shù)值取任一指定實(shí)數(shù)值(shz)a 的概率均為的概率均為0. 即即這是因?yàn)檫@是因?yàn)檎?qǐng)注意請(qǐng)注意(zh y): xaFaFaXxaPaXP 0 0 .P Xa0,x 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)得到得到(d do) 0 .P Xa概率為概率為0 的事件未必不發(fā)生的事件未必不發(fā)生.第45頁(yè)/共84頁(yè)第四十六頁(yè)，共84頁(yè)。)()(bXaPbXaP )(bXaP (2) 對(duì)連續(xù)型對(duì)連續(xù)型 r.v X , 有有)(bXaP 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量(su j bin li

32、n)取值落在某一區(qū)間的概取值落在某一區(qū)間的概率與區(qū)間的開(kāi)閉無(wú)關(guān)率與區(qū)間的開(kāi)閉無(wú)關(guān).第46頁(yè)/共84頁(yè)第四十七頁(yè)，共84頁(yè)。例例11 11 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量(su j bin lin)X(su j bin lin)X具有概具有概率密度率密度,03,( )2,34,20,.(1);(2)( );7(3)1.2kxxxf xxkXF xPX 其它其它確定常數(shù)求 的分布函數(shù)確定常數(shù)求 的分布函數(shù)求求第47頁(yè)/共84頁(yè)第四十八頁(yè)，共84頁(yè)。3401(1)( )d1,d(2)d1216f xxxkxxxk 由由得得解解得得解：解：第48頁(yè)/共84頁(yè)第四十九頁(yè)，共84頁(yè)。 （2）X的分布(fnb)函數(shù)為

33、03030,0,d,03,6( )d2d,34,621,4.xxxxxxF xxxxxxx 第49頁(yè)/共84頁(yè)第五十頁(yè)，共84頁(yè)。7741(3)1(1)2248PXFF220,0,03,12( )32,34,41,4.xxxF xxxxx 即即第50頁(yè)/共84頁(yè)第五十一頁(yè)，共84頁(yè)。三種三種(sn zhn)重要的連續(xù)型隨機(jī)變量：重要的連續(xù)型隨機(jī)變量：1、均勻分布、均勻分布 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量(su j bin lin)X具有概具有概率密度率密度1,( )0,axbf xba 其其它它ab1Oabxf(x)則稱則稱X在區(qū)間在區(qū)間(q jin)(a,b)上服從均勻分布上服從均勻分布,

34、 記為記為XU(a,b).第51頁(yè)/共84頁(yè)第五十二頁(yè)，共84頁(yè)。 如如XU(a,b), 則它落在則它落在(a,b)中任意子區(qū)間內(nèi)的概率只依中任意子區(qū)間內(nèi)的概率只依賴于子區(qū)間的長(zhǎng)度賴于子區(qū)間的長(zhǎng)度(chngd)而與子區(qū)間的位置無(wú)關(guān)而與子區(qū)間的位置無(wú)關(guān). 任給任給長(zhǎng)度長(zhǎng)度(chngd)為為l的子區(qū)間的子區(qū)間(c,c+l), acc+lb, 有有( )d1d.c lcc lcP cXclf xxlxbaba 第52頁(yè)/共84頁(yè)第五十三頁(yè)，共84頁(yè)。X的分布的分布(fnb)函數(shù)為函數(shù)為0,( ),1,.xaxaF xaxbbaxb Oab1F(x)x第53頁(yè)/共84頁(yè)第五十四頁(yè)，共84頁(yè)。例例12

35、依題意得：X 的密度函數(shù)為 031)(xf ；2x0, 有有 PXs+t | X s=PX t事實(shí)上事實(shí)上()/()()|1()ee1( )e.s ttsPXstXsP Xst XsP XsP XstF stP XsF sP Xt 此性質(zhì)稱為無(wú)記憶性此性質(zhì)稱為無(wú)記憶性.指數(shù)分布在可靠性理論和排隊(duì)指數(shù)分布在可靠性理論和排隊(duì)(pi du)論中有廣泛的運(yùn)用論中有廣泛的運(yùn)用.第57頁(yè)/共84頁(yè)第五十八頁(yè)，共84頁(yè)。3 3、正態(tài)分布、正態(tài)分布 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量su jsu j bin in bin inXX的概率密的概率密度為度為22()21( )e,2xf xx s sss ( )d1

36、f xx 其中其中,ss0,ss0為常數(shù)為常數(shù), , 則稱則稱X X服從參數(shù)服從參數(shù)ccnshnsh為為,s,s的正態(tài)的正態(tài)分布或高斯分布或高斯GaussGauss分布分布, , 記為記為XN,s2.XN,s2.顯然顯然fxfx 0, 0, 下面來(lái)證明下面來(lái)證明令x/s t, 得到d d222()2211dd22xtexet s ss s 2/ 2ed = 2tt 而而第58頁(yè)/共84頁(yè)第五十九頁(yè)，共84頁(yè)。 ;12 dxxf ;01 xf曲線曲線 關(guān)于關(guān)于 軸對(duì)稱；軸對(duì)稱； fx 3函數(shù)函數(shù) 在在 上單調(diào)增加上單調(diào)增加, ,在在 上上 fx 4(, ,) 單調(diào)減少單調(diào)減少, ,在在 取得最大

37、值取得最大值x 正態(tài)分布概率密度曲線圖正態(tài)分布概率密度曲線圖: :xyo1.2s22()21( )2xf xess; 0)(,)5(xfx時(shí)當(dāng)?shù)?9頁(yè)/共84頁(yè)第六十頁(yè)，共84頁(yè)。 決定了圖形的中心位置，決定了圖形的中心位置， 決定了圖形中決定了圖形中峰的陡峭程度峰的陡峭程度. .s 正態(tài)分布正態(tài)分布),(2sN22()21( )2xf xess概率密度曲線概率密度曲線(qxin)(qxin)特點(diǎn)特點(diǎn): :第60頁(yè)/共84頁(yè)第六十一頁(yè)，共84頁(yè)。正態(tài)變量的分布正態(tài)變量的分布(fnb)函數(shù)函數(shù)為為 xtxFxt,de21)(222)(s s s s第61頁(yè)/共84頁(yè)第六十二頁(yè)，共84頁(yè)。),1

38、, 0( NX若則稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.其概率密度函數(shù)通常用)(xj表示,分布函數(shù)記作).(x2221)(xexjxtdtex2221)(第62頁(yè)/共84頁(yè)第六十三頁(yè)，共84頁(yè)。 特別特別(tbi), 當(dāng)當(dāng)m=0, s = 1時(shí)稱時(shí)稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. 其其概率密度和分布函數(shù)分別用概率密度和分布函數(shù)分別用j(x)和和F(x)表示表示, 即有即有22/ 2/ 21( ),21( )ed .2xxtxextj j 易知F(-x)=1-F(x) 人們(rn men)已經(jīng)編制了F(x)的函數(shù)表, 可供查用(見(jiàn)附表2,P304).第63頁(yè)/共84頁(yè)第六十四頁(yè)，共84頁(yè)。引理

39、引理 若若XN( ,s s 2), 則則(0,1)XZN s s 22()21ed ,2,txXP ZxPxP Xxttu s ss s sss ss s s s 令得令得2/21ed( ),2xuP Zxux 證證XZ s s 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為由此知由此知ZN(0,1).第64頁(yè)/共84頁(yè)第六十五頁(yè)，共84頁(yè)。若若XN(m,s2), 則它的分布則它的分布(fnb)函數(shù)函數(shù)F(x)可可寫成寫成:( ).XxxF xP XxPssssss 121221.xxXP xXxPxx ssssssssss 對(duì)于任意對(duì)于任意(rny)區(qū)間區(qū)間(x1,x2, 有有第65頁(yè)/共84頁(yè)第六十六頁(yè)，共84

40、頁(yè)。例如例如(lr), 設(shè)設(shè)XN(1,4), 查表得查表得1.610101.622(0.3)( 0.5)0.61791(0.5)0.617910.69150.3094.PX 第66頁(yè)/共84頁(yè)第六十七頁(yè)，共84頁(yè)。 設(shè)XN(m,s2), 由F(x)的函數(shù)表還能得到:Pm-sXm+s=F(1)-F(-1)=2F(1)-1=68.26%Pm-2sXm+2s=F(2)-F(-2)=95.44%Pm-3sXm+3s=F(3)-F(-3)=99.74% 我們看到, 盡管正態(tài)變量的取值范圍是(-,), 但它的值落在(m-3s,m+3s)內(nèi)幾乎(jh)是肯定的事. 這就是人們所談的3s法則.第67頁(yè)/共84

41、頁(yè)第六十八頁(yè)，共84頁(yè)。 3s s 2s s s s s s 2s s 3s s68.26%95.44%99.74%第68頁(yè)/共84頁(yè)第六十九頁(yè)，共84頁(yè)。例例13 將一溫度調(diào)節(jié)器放置將一溫度調(diào)節(jié)器放置(fngzh)在貯存著某種液體的容在貯存著某種液體的容器內(nèi)器內(nèi). 調(diào)節(jié)器整定在調(diào)節(jié)器整定在dC, 液體的溫度液體的溫度X(以以C計(jì)計(jì))是一個(gè)隨是一個(gè)隨機(jī)變量機(jī)變量, 且且XN(d, 0.52).(1) 若若d=90, 求求X小于小于89的概率的概率. (2) 若要求保持液體的溫度至少為若要求保持液體的溫度至少為80的概率不低于的概率不低于0.99, 問(wèn)問(wèn)d至少為多少至少為多少?90899089(

42、 2)0.50.51(2)10.97720.0228.XP XP 解解 (1)所求概率所求概率(gil)為為第69頁(yè)/共84頁(yè)第七十頁(yè)，共84頁(yè)。(2) 按題意按題意(t y)需求需求d滿足滿足800.99800.50.58080110.50.50.58010.991(2.327)( 2.327),0.5802.327.0.581.1635.XddP XPXdddPddd 亦即亦即故需故需第70頁(yè)/共84頁(yè)第七十一頁(yè)，共84頁(yè)。816816(2)0.977344XP XP 880( 2)1(2)0.022744XP XP 12882081220(3)(1)4440.99870.84130.15

43、74XPXP 查表得的分布函數(shù)由引理及,X已知求16, 0P XP X及1220PX)(8,4 2NX課堂練習(xí)課堂練習(xí)1：解答解答(jid)：第71頁(yè)/共84頁(yè)第七十二頁(yè)，共84頁(yè)。練習(xí)練習(xí)2 2 公共汽車車門的高度是按乘客與車門頂頭碰頭公共汽車車門的高度是按乘客與車門頂頭碰頭機(jī)會(huì)在機(jī)會(huì)在0.01 0.01 以下來(lái)設(shè)計(jì)以下來(lái)設(shè)計(jì)(shj)(shj)的的. .設(shè)人的身高設(shè)人的身高X XN(170,62),N(170,62),問(wèn)車門高度應(yīng)如何確定問(wèn)車門高度應(yīng)如何確定? ? 提示提示(tsh)(tsh)：P(X h)0.01或或 P(Xza=a,0a1, 則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)za為標(biāo)準(zhǔn)為標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)

44、正態(tài)分布的上正態(tài)分布的上a分位點(diǎn)分位點(diǎn).由由j(x)的對(duì)稱性知的對(duì)稱性知z1-a=-zaza aa aa0.0010.0050.010.0250.050.10za3.0902.5762.3271.9601.6451.282第73頁(yè)/共84頁(yè)第七十四頁(yè)，共84頁(yè)。第五節(jié)第五節(jié) 隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)(hnsh)的分布函數(shù)的分布函數(shù)(hnsh)問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出(t ch)離散型離散型r.v.的函數(shù)的分布的函數(shù)的分布連續(xù)型連續(xù)型r.v.的函數(shù)的分布的函數(shù)的分布第74頁(yè)/共84頁(yè)第七十五頁(yè)，共84頁(yè)。一、問(wèn)題一、問(wèn)題(wnt)的的提出提出 在實(shí)際在實(shí)際(shj)中，人們常常對(duì)隨機(jī)變量的函中，

45、人們常常對(duì)隨機(jī)變量的函數(shù)數(shù)更感興趣更感興趣.求截面面積求截面面積 A= 的分布的分布.比如，已知圓鋼截面比如，已知圓鋼截面(jimin)直徑直徑 d 的分布，的分布，42d本節(jié)研究的主要問(wèn)題：本節(jié)研究的主要問(wèn)題：已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量X的概率分布的概率分布（分布律或概率密度），求其函數(shù)（分布律或概率密度），求其函數(shù) 的概率分布。的概率分布。g X第75頁(yè)/共84頁(yè)第七十六頁(yè)，共84頁(yè)。一一. .離散型隨機(jī)變量函數(shù)離散型隨機(jī)變量函數(shù)(hnsh)(hnsh)的的分布分布例例14 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X具有具有(jyu)以下的分布律以下的分布律 試求試求Y=(X-1)2的分布律的分布律.解： Y所有(suyu)可能值為0,1,