數(shù)學(xué)模型2012412學(xué)習(xí)教案

1、數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型2012412第一頁(yè)，共58頁(yè)。3.3 森林森林(snln)救火救火森林失火森林失火(sh hu)后，要確定派出消防隊(duì)員后，要確定派出消防隊(duì)員的數(shù)量。的數(shù)量。隊(duì)員多，森林損失小，救援費(fèi)用大；隊(duì)員多，森林損失小，救援費(fèi)用大；隊(duì)員少，森林損失大，救援費(fèi)用小。隊(duì)員少，森林損失大，救援費(fèi)用小。綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊(duì)員數(shù)量。綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊(duì)員數(shù)量。問(wèn)題問(wèn)題(wnt)分分析析問(wèn)題問(wèn)題記隊(duì)員人數(shù)記隊(duì)員人數(shù)x, 失火時(shí)刻失火時(shí)刻t=0, 開(kāi)始救火時(shí)刻開(kāi)始救火時(shí)刻t1, 滅火時(shí)刻滅火時(shí)刻t2, 時(shí)刻時(shí)刻t森林燒毀面積森林燒毀面積B(t). 損失費(fèi)損失費(fèi)f1(x)是是x的減函

2、數(shù)的減函數(shù), 由燒毀面積由燒毀面積B(t2)決定決定. 救援費(fèi)救援費(fèi)f2(x)是是x的增函數(shù)的增函數(shù), 由隊(duì)員人數(shù)和救火時(shí)間決定由隊(duì)員人數(shù)和救火時(shí)間決定.存在恰當(dāng)?shù)拇嬖谇‘?dāng)?shù)膞，使，使f1(x), f2(x)之和最小之和最小NoImage第1頁(yè)/共58頁(yè)第二頁(yè)，共58頁(yè)。 關(guān)鍵是對(duì)關(guān)鍵是對(duì)B(t)作出合理作出合理(hl)的簡(jiǎn)化的簡(jiǎn)化假設(shè)假設(shè).問(wèn)題問(wèn)題(wnt)分分析析失火時(shí)刻失火時(shí)刻t=0, 開(kāi)始救火時(shí)刻開(kāi)始救火時(shí)刻t1, 滅火時(shí)刻滅火時(shí)刻t2, 畫(huà)出時(shí)刻畫(huà)出時(shí)刻 t 森林燒毀面積森林燒毀面積(min j)B(t)的大致圖形的大致圖形t1t20tBB(t2)分析分析B(t)比較困難比較困難,轉(zhuǎn)

3、轉(zhuǎn)而討論森林燒毀速而討論森林燒毀速度度dB/dt.第2頁(yè)/共58頁(yè)第三頁(yè)，共58頁(yè)。模型模型(mxng)假設(shè)假設(shè) 3）f1(x)與與B(t2)成正比，系數(shù)成正比，系數(shù)(xsh)c1 (燒毀單位面燒毀單位面積損失費(fèi)）積損失費(fèi)） 1）0tt1, dB/dt 與與 t成正比，系數(shù)成正比，系數(shù)(xsh) (火火勢(shì)蔓延速度）勢(shì)蔓延速度） 2）t1 t t2, 降為降為 - x ( 為隊(duì)員的平均滅火為隊(duì)員的平均滅火速度）速度） 4）每個(gè)）每個(gè)隊(duì)員的單位時(shí)間滅火費(fèi)用隊(duì)員的單位時(shí)間滅火費(fèi)用c2, 一次性費(fèi)用一次性費(fèi)用c3假設(shè)假設(shè)1）的解釋的解釋 rB火勢(shì)以失火點(diǎn)為中心，火勢(shì)以失火點(diǎn)為中心，均勻向四周呈圓形蔓延

4、，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑半徑 r與與 t 成正比成正比面積面積 B與與 t2成正比，成正比， dB/dt與與 t成正比成正比.第3頁(yè)/共58頁(yè)第四頁(yè)，共58頁(yè)。xbtt12202)()(tdttBtB模型模型(mxng)建立建立dtdBb0t1tt2x假設(shè)假設(shè)1）,1tbxcttxcxftBcxf31222211)()(),()(目標(biāo)目標(biāo)(mbio)函數(shù)函數(shù)總費(fèi)用總費(fèi)用)()()(21xfxfxC假設(shè)假設(shè)3）4）xttt112假設(shè)假設(shè)2）)(222212212xttbt第4頁(yè)/共58頁(yè)第五頁(yè)，共58頁(yè)。0dxdCxcxxtcxtctcxC3122121211)(22)(模型模型(mxng)

5、建立建立目標(biāo)目標(biāo)(mbio)函數(shù)函數(shù)總費(fèi)用總費(fèi)用模型模型(mxng)求解求解求求 x使使 C(x)最小最小231221122ctctcx結(jié)果解釋結(jié)果解釋 / 是火勢(shì)不繼續(xù)蔓延的最少隊(duì)員數(shù)是火勢(shì)不繼續(xù)蔓延的最少隊(duì)員數(shù)dtdBb0t1t2tx其中其中 c1,c2,c3, t1, , 為已知參數(shù)為已知參數(shù)第5頁(yè)/共58頁(yè)第六頁(yè)，共58頁(yè)。模型模型(mxng)應(yīng)用應(yīng)用c1,c2,c3已知已知, t1可估計(jì)可估計(jì)(gj), c2 x c1, t1, x c3 , x 結(jié)果結(jié)果(ji gu)解釋解釋231221122ctctcxc1燒毀單位面積損失費(fèi)燒毀單位面積損失費(fèi), c2每個(gè)每個(gè)隊(duì)員單位時(shí)間滅火費(fèi)隊(duì)員

6、單位時(shí)間滅火費(fèi), c3每個(gè)每個(gè)隊(duì)員一次性費(fèi)用隊(duì)員一次性費(fèi)用, t1開(kāi)始救火時(shí)刻開(kāi)始救火時(shí)刻, 火火勢(shì)蔓延速度勢(shì)蔓延速度, 每個(gè)每個(gè)隊(duì)員平均滅火隊(duì)員平均滅火速度速度.為什么為什么? ? , 可可設(shè)置一系列數(shù)值設(shè)置一系列數(shù)值由模型決定隊(duì)員數(shù)量由模型決定隊(duì)員數(shù)量x第6頁(yè)/共58頁(yè)第七頁(yè)，共58頁(yè)。第7頁(yè)/共58頁(yè)第八頁(yè)，共58頁(yè)。3.4 最優(yōu)價(jià)格最優(yōu)價(jià)格(jig)問(wèn)題問(wèn)題(wnt)根據(jù)產(chǎn)品成本和市場(chǎng)需求，在產(chǎn)銷根據(jù)產(chǎn)品成本和市場(chǎng)需求，在產(chǎn)銷(chnxio)平衡條件下確定商品價(jià)格，平衡條件下確定商品價(jià)格，使利潤(rùn)最大使利潤(rùn)最大假設(shè)假設(shè)1）產(chǎn)量等于銷量，記作）產(chǎn)量等于銷量，記作 x2）收入與銷量）收入與銷

7、量 x 成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) p 即價(jià)格即價(jià)格3）支出與產(chǎn)量）支出與產(chǎn)量 x 成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) q 即成本即成本4）銷量）銷量 x 依賴于價(jià)格依賴于價(jià)格 p, x(p)是減函數(shù)是減函數(shù) 建模與建模與求解求解pxpI)(收收入入qxpC)(支支出出)()()(pCpIpU利利潤(rùn)潤(rùn)進(jìn)一步設(shè)進(jìn)一步設(shè)0,)(babpapx求求p使使U(p)最大最大第8頁(yè)/共58頁(yè)第九頁(yè)，共58頁(yè)。0* ppdpdU使利潤(rùn)使利潤(rùn)(lrn) U(p)最大的最優(yōu)價(jià)格最大的最優(yōu)價(jià)格 p*滿足滿足*ppppdpdCdpdI最大利潤(rùn)在邊際最大利潤(rùn)在邊際(binj)收入等于邊際收入等于邊際(binj)支支出時(shí)達(dá)到出時(shí)達(dá)

8、到pxpI)(qxpC)(bpapx)()(bpaqp)()()(pCpIpUbaqp22* 建模與建模與求解求解(qi ji)邊際收入邊際收入邊際支出邊際支出第9頁(yè)/共58頁(yè)第十頁(yè)，共58頁(yè)。結(jié)果結(jié)果(ji gu)解釋解釋baqp22*0,)(babpapx q / 2 成本成本(chngbn)的一半的一半 b 價(jià)格上升價(jià)格上升1單位時(shí)銷量的下單位時(shí)銷量的下降降(xijing) 幅度（需求對(duì)價(jià)格幅度（需求對(duì)價(jià)格的敏感度）的敏感度） a 絕對(duì)需求絕對(duì)需求( p很小時(shí)的需求很小時(shí)的需求)b p* a p* 思考：如何得到參數(shù)思考：如何得到參數(shù)a, b?第10頁(yè)/共58頁(yè)第十一頁(yè)，共58頁(yè)。3.5

9、 血血 管管 分分 支支背背景景(bijng)機(jī)體提供能量維持機(jī)體提供能量維持(wich)血液在血管中血液在血管中的流動(dòng)的流動(dòng)給血管給血管(xugun)壁以營(yíng)養(yǎng)壁以營(yíng)養(yǎng)克服血液流動(dòng)的阻力克服血液流動(dòng)的阻力消耗能量取決于血管的幾何形狀消耗能量取決于血管的幾何形狀在長(zhǎng)期進(jìn)化中動(dòng)物血管的幾何形狀已經(jīng)在長(zhǎng)期進(jìn)化中動(dòng)物血管的幾何形狀已經(jīng)達(dá)到能量最小原則達(dá)到能量最小原則研究在能量最小原則下，血管分支處粗研究在能量最小原則下，血管分支處粗細(xì)血管半徑比例和分岔角度細(xì)血管半徑比例和分岔角度問(wèn)問(wèn)題題第11頁(yè)/共58頁(yè)第十二頁(yè)，共58頁(yè)。模型模型(mxng)假假設(shè)設(shè)一條粗血管一條粗血管(xugun)和兩條細(xì)血管和兩

10、條細(xì)血管(xugun)在分支點(diǎn)對(duì)稱地在分支點(diǎn)對(duì)稱地處于同一平面處于同一平面血液血液(xuy)流動(dòng)近似于粘性流體在剛性管道中的運(yùn)動(dòng)流動(dòng)近似于粘性流體在剛性管道中的運(yùn)動(dòng)血液給血管壁的能量隨管血液給血管壁的能量隨管壁的內(nèi)表面積和體積的增壁的內(nèi)表面積和體積的增加而增加，管壁厚度近似加而增加，管壁厚度近似與血管半徑成正比與血管半徑成正比qq1q1ABB CHLll1rr1 q=2q1r/r1, ?考察血管考察血管AC與與CB, CB 第12頁(yè)/共58頁(yè)第十三頁(yè)，共58頁(yè)。粘性流體在剛粘性流體在剛性管道性管道(gundo)中中運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)lprq84 pA,C壓力差，壓力差， 粘性粘性(zhn xn)系數(shù)系數(shù)

11、克服阻力消耗克服阻力消耗(xioho)能量能量4218dlqpqE提供營(yíng)養(yǎng)消耗能量提供營(yíng)養(yǎng)消耗能量21,2lbrE管壁內(nèi)表面積管壁內(nèi)表面積 2 rl管壁體積管壁體積 (d2+2rd)l,管壁厚度管壁厚度d與與r成正比成正比模型假設(shè)模型假設(shè)qq1q1ABB CHLll1rr1 第13頁(yè)/共58頁(yè)第十四頁(yè)，共58頁(yè)。模型模型(mxng)建建立立qq1q1ABB CHLll1rr1 4218dlqpqE克服阻力消耗能量克服阻力消耗能量21,2lbrE提供營(yíng)養(yǎng)消耗能量提供營(yíng)養(yǎng)消耗能量11412142212)/()/(lbrrkqlbrrkqEEEsin/,/1HLltgHLlsin/2)/()tan/

12、)(/(),(14121421HbrrkqHLbrrkqrrE機(jī)體為血流提供機(jī)體為血流提供(tgng)能量能量第14頁(yè)/共58頁(yè)第十五頁(yè)，共58頁(yè)。模型模型(mxng)求求解解qq1q1ABB CHLll1rr1 0,01rErE0/40/451211521rkqrbrkqrb4114rr0E412cosrr442cos210014937,32. 1/26. 1rrsin/2)/()tan/)(/(),(14121421HbrrkqHLbrrkqrrE第15頁(yè)/共58頁(yè)第十六頁(yè)，共58頁(yè)。模型模型(mxng)解釋解釋生物學(xué)家：結(jié)果與觀察生物學(xué)家：結(jié)果與觀察(gunch)大致吻合大致吻合大動(dòng)脈半

13、徑大動(dòng)脈半徑(bnjng)rmax, 毛細(xì)血毛細(xì)血管半徑管半徑(bnjng)rmin大動(dòng)脈到毛細(xì)血管有大動(dòng)脈到毛細(xì)血管有n次分岔次分岔 4114rr4minmax4nrr5minmax41000/rr21001493732. 1/26. 1rr觀察：狗的血管觀察：狗的血管)4(5n3025n血管總條數(shù)血管總條數(shù)97302510103222n推論推論n=？第16頁(yè)/共58頁(yè)第十七頁(yè)，共58頁(yè)。q2U(q1,q2) = cq101l2l3l3.6 消費(fèi)者均衡消費(fèi)者均衡(jnhng)問(wèn)題問(wèn)題(wnt)消費(fèi)者對(duì)甲乙兩種商品的偏愛(ài)程度用無(wú)差別曲消費(fèi)者對(duì)甲乙兩種商品的偏愛(ài)程度用無(wú)差別曲線族表示，問(wèn)他如何分

14、配一定數(shù)量線族表示，問(wèn)他如何分配一定數(shù)量(shling)的的錢，購(gòu)買這兩種商品，以達(dá)到最大的滿意度。錢，購(gòu)買這兩種商品，以達(dá)到最大的滿意度。設(shè)甲乙數(shù)量為設(shè)甲乙數(shù)量為q1,q2, 消消費(fèi)者的無(wú)差別曲線族費(fèi)者的無(wú)差別曲線族(單調(diào)減、下凸、不相單調(diào)減、下凸、不相交），記作交），記作 U(q1,q2)=cU(q1,q2) 效用函數(shù)效用函數(shù)已知甲乙價(jià)格已知甲乙價(jià)格 p1,p2, 有錢有錢s，試分配，試分配s,購(gòu)購(gòu)買甲乙數(shù)量買甲乙數(shù)量 q1,q2,使使 U(q1,q2)最大最大.第17頁(yè)/共58頁(yè)第十八頁(yè)，共58頁(yè)。s/p2s/p1q2U(q1,q2) = cq101l2l3l模型模型(mxng)及及求解

15、求解已知價(jià)格已知價(jià)格(jig) p1,p2,錢錢 s, 求求q1,q2,或或 p1q1 / p2q2, 使使 U(q1,q2)最大最大sqpqptsqqUZ221121. .),(max),(2211qpqpUL) 2 , 1(0iqLi2121ppqUqU122dqdqKl幾幾何何(j h)解解釋釋sqpqp2211直線直線MN: 最優(yōu)解最優(yōu)解Q: MN與與 l2切點(diǎn)切點(diǎn)21/ ppKMN斜斜率率MQN21/qUqU第18頁(yè)/共58頁(yè)第十九頁(yè)，共58頁(yè)。0, 0, 0, 0, 0.B21222221221qqUqUqUqUqU2121ppqUqU結(jié)果結(jié)果(ji gu)解釋解釋21,qUqU邊

16、際效用邊際效用消費(fèi)者均衡狀態(tài)在兩種商消費(fèi)者均衡狀態(tài)在兩種商品的邊際品的邊際(binj)效用之比效用之比恰等于它們價(jià)格之比時(shí)達(dá)恰等于它們價(jià)格之比時(shí)達(dá)到。到。效用函數(shù)效用函數(shù)U(q1,q2) U(q1,q2) 應(yīng)滿足應(yīng)滿足(mnz)(mnz)的條件的條件A. U(q1,q2) =c 所確定的函數(shù)所確定的函數(shù) q2=q2(q1)單調(diào)減、下凸單調(diào)減、下凸 解釋解釋 B的實(shí)際意義的實(shí)際意義AB 第19頁(yè)/共58頁(yè)第二十頁(yè)，共58頁(yè)。0,)(. 1121qqU效用函數(shù)效用函數(shù)U(q1,q2) U(q1,q2) 幾種常用幾種常用(chn(chn yn yn) )的形式的形式2121ppqUqU212211p

17、pqpqp 消費(fèi)者均衡狀態(tài)下購(gòu)買兩種商品消費(fèi)者均衡狀態(tài)下購(gòu)買兩種商品(shngpn)費(fèi)用之比與二者價(jià)格之比的平方根成正比。費(fèi)用之比與二者價(jià)格之比的平方根成正比。 U(q1,q2)中參數(shù)中參數(shù) , 分別分別(fnbi)表示消費(fèi)者表示消費(fèi)者對(duì)甲乙兩種商品的偏愛(ài)程度。對(duì)甲乙兩種商品的偏愛(ài)程度。第20頁(yè)/共58頁(yè)第二十一頁(yè)，共58頁(yè)。1,0,. 221qqU0,)(. 3221baqbqaU2121ppqUqU2211qpqp 購(gòu)買兩種商品費(fèi)用購(gòu)買兩種商品費(fèi)用(fi yong)之比與二者價(jià)格之比與二者價(jià)格無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。 U(q1,q2)中參數(shù)中參數(shù)(cnsh) , 分別表示對(duì)甲乙的偏愛(ài)分別表示對(duì)甲乙的偏

18、愛(ài)程度。程度。思考思考(sko)：如何推廣到：如何推廣到 m ( 2) 種商品種商品的情況的情況效用函數(shù)效用函數(shù)U(q1,q2) 幾種常用幾種常用的形式的形式第21頁(yè)/共58頁(yè)第二十二頁(yè)，共58頁(yè)。3.7 冰山冰山(bngshn)運(yùn)輸運(yùn)輸背背景景(bijng) 波斯灣地區(qū)水資源貧乏，淡化波斯灣地區(qū)水資源貧乏，淡化(dn hu)海水的成本為每立方米海水的成本為每立方米0.1英鎊。英鎊。 專家建議從專家建議從9600千米遠(yuǎn)的南極用拖船運(yùn)送冰山，取代淡化海水千米遠(yuǎn)的南極用拖船運(yùn)送冰山，取代淡化海水 從經(jīng)濟(jì)角度研究冰山運(yùn)輸?shù)目尚行浴慕?jīng)濟(jì)角度研究冰山運(yùn)輸?shù)目尚行?。建模?zhǔn)備建模準(zhǔn)備1. 日租金和最大運(yùn)量

19、日租金和最大運(yùn)量船船 型型小小 中中 大大日租金（英鎊）日租金（英鎊） 最大運(yùn)量（米最大運(yùn)量（米3）4.06.28.05 105106107第22頁(yè)/共58頁(yè)第二十三頁(yè)，共58頁(yè)。2. 燃料消耗燃料消耗(xioho)（英鎊（英鎊/千米）千米）3. 融化融化(rnghu)速率速率（米（米/天）天）與南極距離與南極距離 (千米千米)船速船速(千米千米/小時(shí)小時(shí)) 0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6冰山體積冰山體積(米米3)船速船速(千米千米/小時(shí)小時(shí)) 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2

20、13.2 16.5 19.8建模準(zhǔn)備建模準(zhǔn)備(zhnbi)第23頁(yè)/共58頁(yè)第二十四頁(yè)，共58頁(yè)。建模建模目的目的(md)選擇船型和船速，使冰山到達(dá)選擇船型和船速，使冰山到達(dá)(dod)目的地后每目的地后每立米水的費(fèi)用最低，并與淡化海水的費(fèi)用比較立米水的費(fèi)用最低，并與淡化海水的費(fèi)用比較模型模型(mxng)假設(shè)假設(shè) 航行過(guò)程中船速不變，總距離航行過(guò)程中船速不變，總距離9600千米千米 冰山呈球形，球面各點(diǎn)融化速率相同冰山呈球形，球面各點(diǎn)融化速率相同到達(dá)目的地后，每立方米冰可融化到達(dá)目的地后，每立方米冰可融化0.85立方米水立方米水建模建模分析分析目的目的地水地水體積體積運(yùn)輸過(guò)程運(yùn)輸過(guò)程融化規(guī)律融化

21、規(guī)律總費(fèi)用總費(fèi)用目的地目的地冰體積冰體積初始初始冰山冰山體積體積燃料消耗燃料消耗租金租金船型船型, 船速船速船型船型船型船型, 船速船速船型船型第24頁(yè)/共58頁(yè)第二十五頁(yè)，共58頁(yè)。4000),1 (40000),1 (21dbuadbudar4 . 0, 2 . 0,105 . 6251baa模模型型(mxng)建建立立1. 冰山融化冰山融化(rnghu)規(guī)律規(guī)律 船速船速u (千米千米(qin m)/小時(shí)小時(shí))與南極距離與南極距離d(千米千米(qin m)融化速率融化速率r(米米/天）天）r是是 u 的線性函數(shù)；的線性函數(shù)；d4000時(shí)時(shí)u與與d無(wú)關(guān)無(wú)關(guān).utd24航行航行 t 天天ut

22、uuttuurt61000),4 . 01 (2 . 0610000,)4 . 01 (1056. 13第第t天融天融化速率化速率 0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6urd第25頁(yè)/共58頁(yè)第二十六頁(yè)，共58頁(yè)。1. 冰山冰山(bngshn)融化融化規(guī)律規(guī)律 tkktrRR10冰山初始半徑冰山初始半徑R0，航行，航行t天時(shí)半徑天時(shí)半徑冰山初始體冰山初始體積積30034RV334ttRVt天時(shí)體積天時(shí)體積總航行總航行(hngxng)天數(shù)天數(shù)313004334),(tkkrVtVuV選定選定u,V0, 航行航行t天時(shí)天時(shí)(tinsh)冰冰山

23、體積山體積313004334),(TttrVVuV到達(dá)目的地時(shí)到達(dá)目的地時(shí)冰山體積冰山體積uuT400249600第26頁(yè)/共58頁(yè)第二十七頁(yè)，共58頁(yè)。1, 6, 3 . 0321ccc14334log)6(2 . 7),()log(24),(3130103010210tkkrVuuctVuVcucutVuq),)(log(310211cVcucq2. 燃料燃料(rnlio)消消耗耗 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8Vuq1燃料燃料(rnlio)消耗消耗 q1(英鎊英鎊/千米千米)q1對(duì)對(duì)u線性線性, 對(duì)對(duì)l

24、og10V線性線性選定選定u,V0, 航行第航行第t天燃料消耗天燃料消耗(xioho) q (英鎊英鎊/天天)燃料消耗總費(fèi)用燃料消耗總費(fèi)用TttVuqVuQ100),(),(第27頁(yè)/共58頁(yè)第二十八頁(yè)，共58頁(yè)。 V0 5 105 106 107 f(V0) 4.0 6.2 8.0 3. 運(yùn)送運(yùn)送(yn sn)每立每立方米水費(fèi)用方米水費(fèi)用 冰山初始冰山初始(ch sh)體體積積V0的日租金的日租金 f(V0)（英鎊）（英鎊）uT400航行天數(shù)航行天數(shù)總?cè)剂舷目側(cè)剂舷?xioho)費(fèi)用費(fèi)用拖船租金費(fèi)用拖船租金費(fèi)用uVfVuR400)(),(00冰山運(yùn)輸總費(fèi)用冰山運(yùn)輸總費(fèi)用),(),(),(

25、000VuQVuRVuS14334log)6(2 . 7),(31301010tkkTtrVuuVuQ第28頁(yè)/共58頁(yè)第二十九頁(yè)，共58頁(yè)。冰山到達(dá)目的地冰山到達(dá)目的地后得到后得到(d do)的水體積的水體積),(85. 0),(00VuVVuW3. 運(yùn)送運(yùn)送(yn sn)每立方每立方米水費(fèi)用米水費(fèi)用 冰山冰山(bngshn)運(yùn)運(yùn)輸總費(fèi)用輸總費(fèi)用運(yùn)送每運(yùn)送每立方米立方米水費(fèi)用水費(fèi)用 ),(),(),(000VuWVuSVuY313004334),(TttrVVuV到達(dá)目的地到達(dá)目的地時(shí)冰山體積時(shí)冰山體積),(),(),(000VuQVuRVuS第29頁(yè)/共58頁(yè)第三十頁(yè)，共58頁(yè)。模型模型(

26、mxng)求解求解選擇船型和船速，使冰山到達(dá)選擇船型和船速，使冰山到達(dá)(dod)目的地后每立方米水的費(fèi)用最低目的地后每立方米水的費(fèi)用最低求求 u,V0使使Y(u,V0)最小最小u=45(千米千米/小時(shí)小時(shí)), V0= 107 (米米3)， Y(u,V0)最最小小V0只能只能(zh nn)取離散值取離散值經(jīng)驗(yàn)公式很粗糙經(jīng)驗(yàn)公式很粗糙33.544.551070.07230.06830.06490.06630.06580.22510.20130.18340.18420.179010678.90329.82206.21385.46474.5102V0u5 106取幾組（取幾組（V0，u）用）用枚舉法枚

27、舉法計(jì)算計(jì)算第30頁(yè)/共58頁(yè)第三十一頁(yè)，共58頁(yè)。結(jié)果結(jié)果(ji gu)分分析析由于未考慮由于未考慮(kol)影響航行的種種不利因素，冰山影響航行的種種不利因素，冰山到達(dá)目的地后實(shí)際體積會(huì)顯著小于到達(dá)目的地后實(shí)際體積會(huì)顯著小于V(u,V0)。有關(guān)部門認(rèn)為，只有當(dāng)計(jì)算出的有關(guān)部門認(rèn)為，只有當(dāng)計(jì)算出的Y(u,V0)顯著顯著(xinzh)低于淡化海水的成本時(shí)，才考慮其可行性。低于淡化海水的成本時(shí)，才考慮其可行性。大型拖船大型拖船V0= 107 (米米3)，船速，船速 u=45(千米千米/小時(shí)小時(shí)), 冰山到冰山到達(dá)目的地后每立米水的費(fèi)用達(dá)目的地后每立米水的費(fèi)用 Y(u,V0)約約0.065(英鎊英

28、鎊)雖然雖然0.065英鎊略低于淡化海水的成本英鎊略低于淡化海水的成本0.1英鎊，但英鎊，但是模型假設(shè)和構(gòu)造非常簡(jiǎn)化與粗糙。是模型假設(shè)和構(gòu)造非常簡(jiǎn)化與粗糙。第31頁(yè)/共58頁(yè)第三十二頁(yè)，共58頁(yè)。數(shù)學(xué)規(guī)劃數(shù)學(xué)規(guī)劃(guhu)(guhu)模型模型 實(shí)際實(shí)際(shj)問(wèn)問(wèn)題中題中的優(yōu)化模型的優(yōu)化模型mixgtsxxxxfzMaxMiniTn, 2 , 1, 0)(. .),(),()(1或x決策決策(juc)變量變量f(x)目標(biāo)函目標(biāo)函數(shù)數(shù)gi(x) 0約束條件約束條件多元函數(shù)多元函數(shù)條件極值條件極值 決策變量個(gè)數(shù)決策變量個(gè)數(shù)n和和約束條件個(gè)數(shù)約束條件個(gè)數(shù)m較大較大 最優(yōu)解在可行域最優(yōu)解在可行域的

29、邊界上取得的邊界上取得 數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)規(guī)規(guī)劃劃線性規(guī)劃線性規(guī)劃非線性規(guī)非線性規(guī)劃劃整數(shù)規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃重點(diǎn)在模型的建立和結(jié)果的分析重點(diǎn)在模型的建立和結(jié)果的分析第32頁(yè)/共58頁(yè)第三十三頁(yè)，共58頁(yè)。企業(yè)生產(chǎn)企業(yè)生產(chǎn)(shngchn)計(jì)劃計(jì)劃奶制品的生產(chǎn)奶制品的生產(chǎn)(shngchn)(shngchn)與銷售與銷售 空間空間(kngjin)層次層次工廠級(jí)：根據(jù)外部需求和內(nèi)部設(shè)備、人力、原料等條工廠級(jí)：根據(jù)外部需求和內(nèi)部設(shè)備、人力、原料等條件，以最大利潤(rùn)為目標(biāo)制訂產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃；件，以最大利潤(rùn)為目標(biāo)制訂產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃；車間級(jí)：根據(jù)生產(chǎn)計(jì)劃、工藝流程、資源約束及費(fèi)用參車間級(jí)：根據(jù)生產(chǎn)計(jì)劃、工藝流程、資源約束及費(fèi)用參

30、數(shù)等，以最小成本為目標(biāo)制訂生產(chǎn)批量計(jì)劃。數(shù)等，以最小成本為目標(biāo)制訂生產(chǎn)批量計(jì)劃。時(shí)間層次時(shí)間層次若短時(shí)間內(nèi)外部需求和內(nèi)部資源等不隨時(shí)間變化，可制訂若短時(shí)間內(nèi)外部需求和內(nèi)部資源等不隨時(shí)間變化，可制訂單階段生產(chǎn)計(jì)劃單階段生產(chǎn)計(jì)劃，否則應(yīng)制訂多階段生產(chǎn)計(jì)劃。，否則應(yīng)制訂多階段生產(chǎn)計(jì)劃。本節(jié)課題本節(jié)課題第33頁(yè)/共58頁(yè)第三十四頁(yè)，共58頁(yè)。第34頁(yè)/共58頁(yè)第三十五頁(yè)，共58頁(yè)。例例1 加工加工(ji gng)奶制品的奶制品的生產(chǎn)計(jì)劃生產(chǎn)計(jì)劃1桶牛奶 3公斤A1 12小時(shí) 8小時(shí) 4公斤A2 或獲利24元/公斤 獲利16元/公斤 50桶牛奶桶牛奶(ni ni) 時(shí)間時(shí)間(shjin)480小時(shí)小時(shí)

31、至多加工至多加工100公斤公斤A1 制訂生產(chǎn)計(jì)劃，使每天獲利最大制訂生產(chǎn)計(jì)劃，使每天獲利最大 35元可買到元可買到1桶牛奶，買嗎？若買，每天最多買多少桶牛奶，買嗎？若買，每天最多買多少? 可聘用臨時(shí)工人，付出的工資最多是每小時(shí)幾元可聘用臨時(shí)工人，付出的工資最多是每小時(shí)幾元? A1的獲利增加到的獲利增加到 30元元/公斤，應(yīng)否改變生產(chǎn)計(jì)劃？公斤，應(yīng)否改變生產(chǎn)計(jì)劃？ 每天：每天：第35頁(yè)/共58頁(yè)第三十六頁(yè)，共58頁(yè)。1桶牛奶 3公斤A1 12小時(shí) 8小時(shí) 4公斤A2 或獲利24元/公斤 獲利16元/公斤 x1桶牛奶桶牛奶(ni ni)生產(chǎn)生產(chǎn)A1 x2桶牛奶桶牛奶(ni ni)生產(chǎn)生產(chǎn)A2 獲利

32、獲利(hu l) 243x1 獲利獲利 164 x2 原料供應(yīng)原料供應(yīng) 5021 xx勞動(dòng)時(shí)間勞動(dòng)時(shí)間 48081221 xx加工能力加工能力 10031x決策變量決策變量 目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) 216472xxzMax每天獲利每天獲利約束條件約束條件非負(fù)約束非負(fù)約束 0,21xx線性線性規(guī)劃規(guī)劃模型模型(LP)時(shí)間時(shí)間480小時(shí)小時(shí) 至多加工至多加工100公斤公斤A1 50桶牛奶桶牛奶 每每天天第36頁(yè)/共58頁(yè)第三十七頁(yè)，共58頁(yè)。模型模型(mxng)(mxng)分分析與假設(shè)析與假設(shè) 比比例例(bl)性性 可可加加性性 連續(xù)性連續(xù)性 xi對(duì)目標(biāo)函數(shù)對(duì)目標(biāo)函數(shù)(hnsh)的的“貢獻(xiàn)貢獻(xiàn)”與與xi

33、取值成正比取值成正比 xi對(duì)約束條件的對(duì)約束條件的“貢獻(xiàn)貢獻(xiàn)”與與xi取值取值成正比成正比 xi對(duì)目標(biāo)函數(shù)的對(duì)目標(biāo)函數(shù)的“貢獻(xiàn)貢獻(xiàn)”與與xj取值取值無(wú)關(guān)無(wú)關(guān) xi對(duì)約束條件的對(duì)約束條件的“貢貢獻(xiàn)獻(xiàn)”與與xj取值無(wú)關(guān)取值無(wú)關(guān) xi取值連續(xù)取值連續(xù) A1,A2每公斤的獲利是與各自產(chǎn)量無(wú)關(guān)的常數(shù)每公斤的獲利是與各自產(chǎn)量無(wú)關(guān)的常數(shù)每桶牛奶加工出每桶牛奶加工出A1,A2的數(shù)量和時(shí)間是與各自產(chǎn)量無(wú)關(guān)的常數(shù)的數(shù)量和時(shí)間是與各自產(chǎn)量無(wú)關(guān)的常數(shù)A1,A2每公斤的獲利是與相互產(chǎn)量無(wú)關(guān)的常數(shù)每公斤的獲利是與相互產(chǎn)量無(wú)關(guān)的常數(shù)每桶牛奶加工出每桶牛奶加工出A1,A2的數(shù)量和時(shí)間是與相互產(chǎn)量無(wú)關(guān)的常數(shù)的數(shù)量和時(shí)間是與相互

34、產(chǎn)量無(wú)關(guān)的常數(shù)加工加工A1,A2的牛奶桶數(shù)是實(shí)數(shù)的牛奶桶數(shù)是實(shí)數(shù) 線性規(guī)劃模型線性規(guī)劃模型第37頁(yè)/共58頁(yè)第三十八頁(yè)，共58頁(yè)。模型模型(mxng)(mxng)求求解解 圖解法圖解法 x1x20ABCDl1l2l3l4l55021 xx48081221 xx10031x0,21xx約約束束條條件件50:211 xxl480812:212 xxl1003:13xl0:, 0:2514xlxl216472xxzMax目標(biāo)目標(biāo)(mb(mbio)io)函數(shù)函數(shù) Z=0Z=2400Z=3360z=c (常數(shù)常數(shù)(chngsh) 等值等值線線c在在B(20,30)點(diǎn)得到最優(yōu)解點(diǎn)得到最優(yōu)解目標(biāo)函數(shù)和約束條

35、件是線性函數(shù)目標(biāo)函數(shù)和約束條件是線性函數(shù) 可行域?yàn)橹本€段圍成的凸多邊形可行域?yàn)橹本€段圍成的凸多邊形 目標(biāo)函數(shù)的等值線為直線目標(biāo)函數(shù)的等值線為直線 最優(yōu)解一定在凸多邊最優(yōu)解一定在凸多邊形的某個(gè)頂點(diǎn)取得。形的某個(gè)頂點(diǎn)取得。 第38頁(yè)/共58頁(yè)第三十九頁(yè)，共58頁(yè)。模型模型(mxng)(mxng)求解求解 軟件軟件(run (run jin)jin)實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn) LINDO 6.1 max 72x1+64x2st2）x1+x2503）12x1+8x24804）3x1100end OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COS

36、T X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? No20桶牛奶桶牛奶(ni ni)生產(chǎn)生產(chǎn)A1, 30桶生產(chǎn)桶生產(chǎn)A2，利潤(rùn)，利潤(rùn)3360元。元。 第39頁(yè)/共58頁(yè)第四十頁(yè)，共58頁(yè)。結(jié)果結(jié)果(ji (ji gu)gu)解釋解釋 OBJECTIVE FUNC

37、TION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2原料原料(yunlio)無(wú)剩余無(wú)剩余時(shí)間時(shí)間(shjin)無(wú)剩余無(wú)剩余加工能力剩余加工能力剩余40max 72x1+64x2st2）x1+x2503）12x1+8x24804）3x

38、1100end三種資源三種資源“資源資源” 剩余為零的約束為緊約束（有效約束）剩余為零的約束為緊約束（有效約束） 第40頁(yè)/共58頁(yè)第四十一頁(yè)，共58頁(yè)。結(jié)果結(jié)果(ji (ji gu)gu)解釋解釋 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.

39、000000 NO. ITERATIONS= 2最優(yōu)解下最優(yōu)解下“資源資源”增加增加1單位單位(dnwi)時(shí)時(shí)“效益效益”的增量的增量 原料原料(yunlio)增加增加1單位單位, 利潤(rùn)增長(zhǎng)利潤(rùn)增長(zhǎng)48 時(shí)間增加時(shí)間增加1單位單位, 利潤(rùn)增長(zhǎng)利潤(rùn)增長(zhǎng)2 加工能力增長(zhǎng)不影響利潤(rùn)加工能力增長(zhǎng)不影響利潤(rùn)影子價(jià)格影子價(jià)格 35元可買到元可買到1桶牛奶，要買嗎？桶牛奶，要買嗎？35 48, 應(yīng)該買！應(yīng)該買！ 聘用臨時(shí)工人付出的工資最多每小時(shí)幾元？聘用臨時(shí)工人付出的工資最多每小時(shí)幾元？ 2元！元！第41頁(yè)/共58頁(yè)第四十二頁(yè)，共58頁(yè)。模型模型(mxng)(mxng)求求解解 圖解法圖解法 x1x20AB

40、CDl1l2l3l4l51251xx48081221 xx10031x0,21xx約約束束條條件件112:51lxx480812:212 xxl1003:13xl0:, 0:2514xlxl216472xxzMax目標(biāo)目標(biāo)(mb(mbio)io)函數(shù)函數(shù) Z=0Z=2400Z=3408z=c (常數(shù)常數(shù)(chngsh) 等值線等值線c在在B(18,33)點(diǎn)得到最優(yōu)解點(diǎn)得到最優(yōu)解原料增加原料增加1單位單位, 利潤(rùn)增長(zhǎng)利潤(rùn)增長(zhǎng)48 第42頁(yè)/共58頁(yè)第四十三頁(yè)，共58頁(yè)。模型模型(mxng)(mxng)求解求解 圖解法圖解法 x1x20ABCDl1l2l3l4l51250 xx12128481xx

41、10031x0,21xx約約束束條條件件112:50lxx212:128481lxx1003:13xl0:, 0:2514xlxl216472xxzMax目標(biāo)目標(biāo)(mbi(mbio)o)函函數(shù)數(shù) Z=0Z=2400Z=3362z=c (常數(shù)常數(shù)(chngsh) 等等值線值線c在在B( )點(diǎn)得到最優(yōu)解點(diǎn)得到最優(yōu)解時(shí)間增加時(shí)間增加1單位單位, 利潤(rùn)增長(zhǎng)利潤(rùn)增長(zhǎng)281 119,44第43頁(yè)/共58頁(yè)第四十四頁(yè)，共58頁(yè)。1桶牛奶 3公斤A1 12小時(shí) 8小時(shí) 4公斤A2 或獲利30元/公斤 獲利16元/公斤 x1桶牛奶桶牛奶(ni ni)生產(chǎn)生產(chǎn)A1 x2桶牛奶桶牛奶(ni ni)生產(chǎn)生產(chǎn)A2 獲利

42、獲利(hu l) 303x1 獲利獲利 164 x2 原料供應(yīng)原料供應(yīng) 5021 xx勞動(dòng)時(shí)間勞動(dòng)時(shí)間 48081221 xx加工能力加工能力 10031x決策變量決策變量 目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) 129064Max zxx每天獲利每天獲利約束條件約束條件非負(fù)約束非負(fù)約束 0,21xx線性線性規(guī)劃規(guī)劃模型模型(LP)時(shí)間時(shí)間480小時(shí)小時(shí) 至多加工至多加工100公斤公斤A1 50桶牛奶桶牛奶 每每天天 A1獲利增加到獲利增加到 30元元/千克，應(yīng)否改變生產(chǎn)計(jì)劃？千克，應(yīng)否改變生產(chǎn)計(jì)劃？ 第44頁(yè)/共58頁(yè)第四十五頁(yè)，共58頁(yè)。模型模型(mxng)(mxng)求求解解 圖解法圖解法 x1x20ABCD

43、l1l2l3l4l51250 xx12128480 xx10031x0,21xx約約束束條條件件112:50lxx212:128480lxx1003:13xl0:, 0:2514xlxl129064Max zxx目標(biāo)目標(biāo)(mb(mbio)io)函數(shù)函數(shù) Z=0Z=3000Z=3720z=c (常數(shù)常數(shù)(chngsh) 等值線等值線c在在B( )點(diǎn)得到最優(yōu)點(diǎn)得到最優(yōu)解解20,30 A1獲利增加到獲利增加到 30元元/千克，應(yīng)否改變生產(chǎn)計(jì)劃？千克，應(yīng)否改變生產(chǎn)計(jì)劃？ 為什么還是為什么還是B點(diǎn)點(diǎn)不變！不變！第45頁(yè)/共58頁(yè)第四十六頁(yè)，共58頁(yè)。x1x20ABCDl1l2l3l4l5約約束束條條件件

44、112:50lxx212:128480lxx1003:13xl0:, 0:2514xlxl129064Max zxxZ=0Z=3000Z=3720c A1獲利增加到獲利增加到 30元元/千克，應(yīng)否改變千克，應(yīng)否改變(gibin)生產(chǎn)計(jì)劃？生產(chǎn)計(jì)劃？ 11k 斜率232k 斜率3k 斜率90456432k 斜率21kkk所以所以(suy)還是還是B點(diǎn)點(diǎn)第46頁(yè)/共58頁(yè)第四十七頁(yè)，共58頁(yè)。x1x20ABCDl1l2l3l4l5約約束束條條件件112:50lxx212:128480lxx1003:13xl0:, 0:2514xlxl129664Max zxxZ=0Z=3200Z=3840c A1

45、獲利獲利(hu l)增加到增加到 32元元/千克，應(yīng)否改變生產(chǎn)千克，應(yīng)否改變生產(chǎn)計(jì)劃？計(jì)劃？ 11k 斜率232k 斜率3k 斜率963642k 斜率2kk第47頁(yè)/共58頁(yè)第四十八頁(yè)，共58頁(yè)。x1x20ABCDl1l2l3l4l5約約束束條條件件112:50lxx212:128480lxx1003:13xl0:, 0:2514xlxl1210864Max zxxZ=0Z=3600Z=4240c A1獲利增加到獲利增加到 36元元/千克，應(yīng)否改變生產(chǎn)千克，應(yīng)否改變生產(chǎn)(shngchn)計(jì)劃？計(jì)劃？ 11k 斜率232k 斜率3k 斜率108276416k 斜率2kk100,103C點(diǎn)坐標(biāo):第

46、48頁(yè)/共58頁(yè)第四十九頁(yè)，共58頁(yè)。第49頁(yè)/共58頁(yè)第五十頁(yè)，共58頁(yè)。例例2 奶制品的生產(chǎn)奶制品的生產(chǎn)(shngchn)銷售計(jì)劃銷售計(jì)劃 在例在例1基礎(chǔ)基礎(chǔ)(jch)上上深加工深加工1桶牛奶桶牛奶 3千克千克A1 12小時(shí)小時(shí) 8小時(shí)小時(shí) 4公斤公斤A2 或或獲利獲利24元元/公斤公斤 獲利獲利16元元/公斤公斤 0.8千克千克B12小時(shí)小時(shí),3元元1千克千克獲利獲利44元元/千克千克 0.75千克千克B22小時(shí)小時(shí),3元元1千克千克獲利獲利32元元/千克千克 制訂生產(chǎn)制訂生產(chǎn)(shngchn)(shngchn)計(jì)劃，使每天計(jì)劃，使每天凈利潤(rùn)最大凈利潤(rùn)最大 30元可增加元可增加1桶牛奶，

47、桶牛奶，3元可增加元可增加1小時(shí)時(shí)間，應(yīng)否投資？小時(shí)時(shí)間，應(yīng)否投資？現(xiàn)投資現(xiàn)投資150元，可賺回多少？元，可賺回多少？50桶牛奶桶牛奶, 480小時(shí)小時(shí) 至多至多100公斤公斤A1 B1，B2的獲利經(jīng)常有的獲利經(jīng)常有10%的波動(dòng)，對(duì)計(jì)劃有無(wú)影響？的波動(dòng)，對(duì)計(jì)劃有無(wú)影響？第50頁(yè)/共58頁(yè)第五十一頁(yè)，共58頁(yè)。1桶牛奶桶牛奶 3千克千克 A1 12小時(shí)小時(shí) 8小時(shí)小時(shí) 4千克千克 A2 或或獲利獲利24元元/千克千克 獲利獲利16元元/kg 0.8千克千克 B12小時(shí)小時(shí),3元元1千克千克獲利獲利44元元/千克千克 0.75千克千克 B22小時(shí)小時(shí),3元元1千克千克獲利獲利32元元/千克千克 1

48、A2A牛奶牛奶(ni ni)直接直接(zhji)賣出賣出x1直接直接(zhji)賣出賣出x2加工成加工成B1賣出量賣出量x3加工成加工成B2賣出量賣出量x4加工加工x5加工加工x6需原奶需原奶153xx需原奶需原奶264xx第51頁(yè)/共58頁(yè)第五十二頁(yè)，共58頁(yè)。1桶牛奶桶牛奶 3千克千克 A1 12小時(shí)小時(shí) 8小時(shí)小時(shí) 4千克千克 A2 或或獲利獲利24元元/千克千克 獲利獲利16元元/kg 0.8千克千克 B12小時(shí)小時(shí),3元元1千克千克獲利獲利44元元/千克千克 0.75千克千克 B22小時(shí)小時(shí),3元元1千克千克獲利獲利32元元/千克千克 出售出售(chshu)x1 千克千克 A1, x

49、2 千克千克 A2， x3千克千克(qink) B1, x4千克千克(qink) B2原料原料(yunlio)供應(yīng)供應(yīng) 勞動(dòng)時(shí)間勞動(dòng)時(shí)間 加工能力加工能力 決策決策變量變量 目標(biāo)目標(biāo)函數(shù)函數(shù) 利潤(rùn)利潤(rùn)約約束束條條件件非負(fù)約束非負(fù)約束 0,61xx x5千克千克 A1加工加工B1， x6千克千克 A2加工加工B26543213332441624xxxxxxzMax50436251xxxx48022)(2)(4656251xxxxxx10051 xx附加約束附加約束 5380 x.x64750 x.x 第52頁(yè)/共58頁(yè)第五十三頁(yè)，共58頁(yè)。模型模型(mxng)(mxng)求求解解 軟件軟件(run (run jin)jin)實(shí)實(shí)現(xiàn)現(xiàn) LINDO 6.1 5043) 26251xxxx48022)(2)(4)3656251xxxxxx600334) 26521xxxx44804624) 36521xxxxDO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? No第53頁(yè)/共58頁(yè)第五十四頁(yè)，共58頁(yè)。 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.680000 X2 168.000000 0.000000 X3 19