數(shù)學(xué)分析數(shù)列極限定義學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1數(shù)學(xué)分析數(shù)列極限數(shù)學(xué)分析數(shù)列極限(jxin)定義定義第一頁，共25頁。1. 復(fù)習(xí)(fx)了基本的符號、集合的知識。2. 復(fù)習(xí)了函數(shù)(hnsh)、反函數(shù)(hnsh)、復(fù)合函數(shù)(hnsh)的定義。3. 復(fù)習(xí)了函數(shù)的幾個(gè)性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性。第1頁/共25頁第二頁，共25頁。定義定義:按自然數(shù)按自然數(shù), 3 , 2 , 1編號依次排列的一列數(shù)編號依次排列的一列數(shù) ,21nxxx (1)稱為稱為無窮數(shù)列無窮數(shù)列,簡稱簡稱數(shù)列數(shù)列.其中的每個(gè)數(shù)稱為數(shù)其中的每個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的列的項(xiàng)項(xiàng),nx稱為稱為通項(xiàng)通項(xiàng)(一般項(xiàng)一般項(xiàng)).數(shù)列數(shù)列(1)記為記為nx.;,2 , 8 , 4 , 2n;

2、,21,81,41,21n2n21n第2頁/共25頁第三頁，共25頁?！案钪畯浖?xì)，所失割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周則與圓周(yunzhu)合體而合體而無所失矣無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽第3頁/共25頁第四頁，共25頁。R正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126 nnA,321nAAAAS第4頁/共25頁第五頁，共25頁。“一尺一尺(y ch)之棰，日截其半，萬世不竭之棰，日截其半，萬世不竭”;211 X一天截下的杖長為一天截下的杖長為;212122 X二天截下的杖長總

3、和為二天截下的杖長總和為;2121212nnXn 天截下的杖長總和為天截下的杖長總和為nnX211 1第5頁/共25頁第六頁，共25頁。. , 355),-408( ,先驅(qū)先驅(qū)窮竭法窮竭法公元前公元前歐多克斯歐多克斯古希臘古希臘. 212),-287(面積面積窮竭法求拋物線弓形的窮竭法求拋物線弓形的公元前公元前古希臘，阿基米德古希臘，阿基米德第6頁/共25頁第七頁，共25頁。第7頁/共25頁第八頁，共25頁。第8頁/共25頁第九頁，共25頁。第9頁/共25頁第十頁，共25頁。第10頁/共25頁第十一頁，共25頁。lim0nnalimnna 0,()|nNnNa 或，( 0),nMNnNaM ，

4、limnna ,|nMNnNaM ，|第11頁/共25頁第十二頁，共25頁。定義定義 如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù) ( (不論它多不論它多么小么小),),總存在正整數(shù)總存在正整數(shù) N, ,使得對于使得對于 Nn 時(shí)的時(shí)的一切一切nx, ,不等式不等式 axn都成立都成立, ,那末就稱常數(shù)那末就稱常數(shù) a是數(shù)列是數(shù)列 nx 的極限的極限, ,或者稱數(shù)列或者稱數(shù)列 nx 收斂收斂于于a, ,記為記為 ,limaxnn 或或 ).( naxn 如果如果(rgu)數(shù)列沒有極限數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的就說數(shù)列是發(fā)散的.第12頁/共25頁第十三頁，共25頁。x1x2x2 Nx1 Nx

5、3x幾何幾何(j h)解釋解釋: 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外個(gè)個(gè)至多只有至多只有只有有限個(gè)只有有限個(gè)內(nèi)內(nèi)都落在都落在所有的點(diǎn)所有的點(diǎn)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)NaaxNnn 其中其中(qzhng);:每一個(gè)或任給的每一個(gè)或任給的 .:至少有一個(gè)或存在至少有一個(gè)或存在 ., 0, 0lim axNnNaxnnn恒有恒有時(shí)時(shí)使使第13頁/共25頁第十四頁，共25頁。limnna limnna limnna N只要存在即可，與 有關(guān)(可以視為函數(shù)關(guān)系)lim0,( )0,( ),.nnnxaNnNxa 滿足第14頁/共25頁第十五頁，共25頁。11lnnniani第15頁/共25頁第十六頁，共25頁

6、。 取取多多大大？方方法法：倒倒推推法法；為為保保證證（構(gòu)構(gòu)造造出出來來）存存在在性性！是是思思路路：驗(yàn)驗(yàn)證證定定義義；關(guān)關(guān)鍵鍵分分析析：naaNn, .lim),(CxCCxnnn 證明證明為常數(shù)為常數(shù)設(shè)設(shè)證證Cxn CC ,成立成立 ,0 任給任給所以所以(suy),0 1,NnN .limCxnn 第16頁/共25頁第十七頁，共25頁。. 1, 0lim qqnn其中其中證明證明 000nqq，結(jié)結(jié)論論成成立立。若若 nnqq，q010欲欲使使當(dāng)當(dāng) qN，qnlglglglg 取取)0(lg ,lglg qqn 只要：只要：lnln1ln| |ln| |ln,1ln |0(0)|qqnN

7、nNqqqqq證：，第17頁/共25頁第十八頁，共25頁。證證, 0 任任給給,0 nnqx,lglg qn,lglgqN 取取,時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng)Nn ,0 nq就有就有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq則則, 10 q若若,lglgqn 第18頁/共25頁第十九頁，共25頁。0)1(12lim nn證：證：n21 121)1(1022nnnan欲使欲使，只要只要 21 n. 21 即可即可取取 N 0)1(12102nNnN時(shí)，有時(shí)，有，當(dāng)，當(dāng)，因?yàn)?yn wi)只需要證明存在N，不用找最小的N第19頁/共25頁第二十頁，共25頁。（否否定定所所有有找找一一個(gè)個(gè)）不

8、不成成立立都都成成立立否否0 （否否定定一一個(gè)個(gè)找找所所有有）都都不不成成立立成成立立否否NN “所有人都沒吃”“所有人都沒吃”“至少一個(gè)人吃飯了”“至少一個(gè)人吃飯了”人吃了”人吃了”“甲吃了”或“至少一“甲吃了”或“至少一“所有人都沒吃飯”“所有人都沒吃飯”否否否否0,.nNnN aa 成立0000,.nNnNaa使否否aann lim的敘述方法的敘述方法第20頁/共25頁第二十一頁，共25頁。即便證明一個(gè)數(shù)列的極限不等于某數(shù)。不代表此數(shù)列極限不存在。由定義可知(k zh)，若要證明一個(gè)數(shù)列的極限不存在，必須證明任意的實(shí)數(shù)都不是此數(shù)列的極限。第21頁/共25頁第二十二頁，共25頁。( 1)nna 例：121212,0.5,0,| 0.5,| 0.5| | 1,NNNNNNbRNababaaabab 總有下兩式至少一個(gè)成立否則：矛盾所以原數(shù)列發(fā)散。第22頁/共25頁第二十三頁，共25頁。1.本節(jié)課只需掌握2.2. 具體到每一個(gè)數(shù)列極限的習(xí)題(xt)，請動(dòng)筆按照定義練習(xí)練習(xí)。(書上的例題，課后的習(xí)題(xt)lim0,0,.nnnxaNnNxa 滿足第23頁/共25頁第二十四頁，共25頁。指出下列證明指出下列證明1lim nnn中的錯(cuò)誤。中的錯(cuò)誤。證明證明(zhng