數(shù)學(xué)模型其他模型實(shí)用教案

1、13.1 廢水廢水(fishu)的生的生物處理物處理 廢水處理 (去掉有害的有機(jī)物) 通常有生物化學(xué)(shn w hu xu)與物理化學(xué)兩種方法.背景背景(bijng)(bijng)與問題與問題 生物處理 利用微生物(主要是細(xì)菌)的生命活動過程, 把廢水中的有機(jī)物轉(zhuǎn)化為簡單的無機(jī)物. 已知廢水中有害物質(zhì)濃度為10-310-2g/m3, 要將濃度降至510-4g/m3以下, 需建立廢水與微生物混合的處理池. 設(shè)廢水將以10m3/h的流量進(jìn)入處理池, 確定處理池的容積, 使排出廢水中有害物質(zhì)的濃度達(dá)到規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn).第1頁/共61頁第一頁，共61頁。模型模型(mxn(mxng)g)假設(shè)假設(shè) 生物化學(xué)提

2、供了有機(jī)物分解(fnji)、轉(zhuǎn)化和微生物增殖、衰亡的規(guī)律及相關(guān)參數(shù)2. 微生物依于有害物質(zhì)分解、轉(zhuǎn)化的能量而增殖的速率與有害物質(zhì)濃度(nngd)成正比，比例系數(shù)r2=1.26m3/g . h4. 處理池內(nèi)有害物質(zhì)和微生物任何時(shí)候都均勻混合,排出廢水中有害物質(zhì)和微生物的濃度與池內(nèi)相同.3. 微生物的自然死亡率為常數(shù) d=10-5/h1. 有害物質(zhì)被微生物分解、轉(zhuǎn)化而消失的速率與微生物濃度成正比，比例系數(shù)r1=0.1m3/g . hc(t) 時(shí)刻 t 有害物質(zhì)的濃度b(t) 時(shí)刻 t 微生物的濃度第2頁/共61頁第二頁，共61頁。模型模型(mxng)(mxng)假設(shè)假設(shè) 生物化學(xué)(shn w hu

3、 xu)提供了有機(jī)物分解、轉(zhuǎn)化和微生物增殖、衰亡的規(guī)律及相關(guān)參數(shù)6. 進(jìn)入(jnr)處理池的廢水中有害物質(zhì)濃度為c0, c01c0c02, c01= 10-3g/m3, c02= 10-2g/m3, c0可以改變, 最壞情況是c0由c01突然增加到c027. 環(huán)境保護(hù)法規(guī)定的廢水中有害物質(zhì)濃度為c*=510-4 g/m3, 它是長期穩(wěn)定排放的標(biāo)準(zhǔn), 如果是短期排放并超標(biāo)不大, 可以用處罰等方法解決.5. 忽略蒸發(fā)等因素, 廢水進(jìn)入處理池和排出處理池的流量均為常數(shù)Q=10m3/h; 廢水滿池, 池的容積為V第3頁/共61頁第三頁，共61頁。單池模型單池模型(mxng)建立(jinl)一個(gè)處理池

4、(t, t+t) 內(nèi)池內(nèi)有害物質(zhì)的平衡(pnghng)改變量 = 進(jìn)入量 排出量 分解轉(zhuǎn)化量)()(tcttcVttQctQc)(0ttctbVr)()(1c(t) 有害物質(zhì)濃度b(t) 微生物的濃度V池的容積bcrccVQdtdc10)(t, t+ t) 內(nèi)池內(nèi)微生物的平衡)()(tbttbVttQbttVdbttctbVr)()()()(2bVQdcrdtdb)(2Q流量非線性方程組無解析解非線性方程組無解析解第4頁/共61頁第四頁，共61頁。單池模型單池模型(mxng)的的穩(wěn)態(tài)狀況穩(wěn)態(tài)狀況平衡點(diǎn)用微分方程(wi fn fn chn)穩(wěn)定性理論可以驗(yàn)證:bcrccVQdtdc10)(bVQ

5、dcrdtdb)(2cVrccQbVrVdQcP1021)(,:0,:02bccPVQdcr/02微生物的增殖率大于死亡(swng)和排除率dcrQVcc020當(dāng) 時(shí)P1穩(wěn)定, P2不穩(wěn)定第5頁/共61頁第五頁，共61頁。單池模型單池模型(mxng)的穩(wěn)的穩(wěn)態(tài)狀況態(tài)狀況c01 c0 c02Q=10m3/hr2=1.26m3/g . hd=10-5/hc0=c01= 10-3g/m3V8103 m3V1.6104 m3c0=c*= 510-4 g/m3Vc0dcrQV02平衡點(diǎn)P1穩(wěn)定條件為使穩(wěn)定狀況(zhungkung)下有害物質(zhì)濃度達(dá)到規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)c*, 處理池的容積至少需要達(dá)到1.6104 m

6、3.一個(gè)(y )長寬各100 m, 深1.6m的池子!第6頁/共61頁第六頁，共61頁。考察(koch)最壞情況取穩(wěn)定(wndng)平衡點(diǎn)P1為初值, 即單池模型的動態(tài)單池模型的動態(tài)(dngti)過程過程當(dāng)c0=c01時(shí)池內(nèi)濃度已處于穩(wěn)態(tài), c0突然增加到c02)0()0()0(,)0(102cVrccQbVrVdQcbcrccVQdtdc10)(bVQdcrdtdb)(2設(shè)V=1.6104 m3 和 3104 m3, 用數(shù)值方法解微分方程組:第7頁/共61頁第七頁，共61頁。有害物質(zhì)濃度(nngd)將有約1300小時(shí)超過2c*, 最高達(dá)到5c*單池模型單池模型(mxng)的的動態(tài)過程動態(tài)過程

7、01000200030004000500000.511.522.53x 10-3c*V=1.6104m3c(10-3g/m3)t(h)01000200030004000500000.511.522.53x 10-3c*V=3104m3c( 10-3g/m3)t(h)有害物質(zhì)濃度將有約900小時(shí)超過(chogu)2c*, 最高達(dá)到3c*13002c*要達(dá)到規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)需要太大的池子!長寬各100 m, 深3m的池子第8頁/共61頁第八頁，共61頁。兩個(gè)(lin )串接的池子雙池模型雙池模型(mxng)V1, c1, b1Q, c0V2, c2, b2Q, c1, b1池池1111011)(cbrc

8、cVQdtdc1222222)(bVQbVQdcrdtdb2212122)(cbrccVQdtdc11121)(bVQdcrdtdb與單池模型(mxng)相同(只是加上下標(biāo)1)增加從池的流入量第9頁/共61頁第九頁，共61頁。池方程(fngchng)的平衡點(diǎn)雙池模型雙池模型(mxng)的的穩(wěn)態(tài)狀況穩(wěn)態(tài)狀況11110121111)(,:crVccQbrVdVQcPdcrQVcc02101當(dāng) 時(shí)P1穩(wěn)定c0=c01, V18103 m3池方程(fngchng)的平衡點(diǎn))(4)(21,)(:21222111221112222122122VQdcrVQdbrcrVQdbrcrrccrVccQbP*11

9、*2*1*12*2)()(cbrdcrccccQVcc要求穩(wěn)態(tài)下第10頁/共61頁第十頁，共61頁。雙池模型雙池模型(mxng)的的穩(wěn)態(tài)狀況穩(wěn)態(tài)狀況*11*2*1*12)()(cbrdcrccccQV在c0=c01, V18103 m3下取值計(jì)算(j sun)c1, b1, V2V1(103m3)c1(10-3g/m3)b1(10-3g/m3)V2(103m3)81.000.0216.03100.802.509.63120.674.145.39140.575.312.37160.506.180.10,)(,1111012111crVccQbrVdVQc應(yīng)選擇(xunz)較大的V1和較小的V2相

10、配合的方案第11頁/共61頁第十一頁，共61頁。雙池模型的動態(tài)雙池模型的動態(tài)(dngti)過程過程仍考察c0由c01突然增加(zngji)到c02的最壞情況01000200030004000500000.511.52x 10-3c*V1=1.4104m3,V2=7103 m3c2 (10-3g/m3)01000200030004000500000.511.52x 10-3c*c2 (10-3g/m3)V1=1.4104m3,V2=2.5104 m3有害物質(zhì)濃度(nngd)約1200小時(shí)超過c*, 很短時(shí)間超過2c*要使有害物質(zhì)濃度完全不超過c*, 需要V2太大第12頁/共61頁第十二頁，共61

11、頁。雙池模型雙池模型(mxng)與單池模型與單池模型(mxng)的比較的比較有害物質(zhì)濃度(nngd)約1200小時(shí)超過c*, 很短時(shí)間超過2c*有害物質(zhì)濃度約900小時(shí)超過(chogu)2c*, 最高達(dá)到3c*雙池總?cè)莘e比單池減少近1/3, 處理效果好得多雖然有超標(biāo), 但這是最壞情況, 可按處罰等方法解決01000200030004000500000.511.52x 10-3c*V1=1.4104m3,V2=7103 m3c2 (10-3g/m3)雙池01000200030004000500000.511.522.53x 10-3c*V=3104m3c( 10-3g/m3)t(h)單池V1+V

12、2=2.1104m3第13頁/共61頁第十三頁，共61頁。13.2 紅綠燈下的交通流紅綠燈下的交通流背景背景(bijng)(bijng)與對象與對象 公路上行駛(xngsh)的一輛接一輛的汽車隊(duì)伍.將車隊(duì)類比作連續(xù)的流體, 稱為(chn wi)交通流(車流).描述、分析每一時(shí)刻通過公路上每一點(diǎn)的交通流的流量、速度、密度之間的關(guān)系.研究出現(xiàn)紅綠燈改變（可以看作交通事故的發(fā)生和排除）時(shí)交通流的變化過程.第14頁/共61頁第十四頁，共61頁。交通流的基本交通流的基本(jbn)(jbn)函數(shù)函數(shù) 對象 無窮長公路上單向行駛的一條車流，不許超車, 公路上沒有岔路(汽車不會從其他道路(dol)進(jìn)入或駛出)

13、.xo0車流方向流量q(x,t) 時(shí)刻 t 單位時(shí)間內(nèi)通過(tnggu)點(diǎn) x 的車輛數(shù).密度 (x,t) 時(shí)刻 t 點(diǎn) x 處單位長度內(nèi)的車輛數(shù).速度u(x,t) 時(shí)刻 t 通過點(diǎn) x 的車流速度.基本關(guān)系：q(x,t)= u(x,t) (x,t) 單位時(shí)間內(nèi)通過的車輛數(shù)等于車流速度(單位時(shí)間行駛的距離)乘以單位長度內(nèi)的車輛數(shù).第15頁/共61頁第十五頁，共61頁。交通流的基本交通流的基本(jbn)(jbn)函數(shù)函數(shù) 基本(jbn)關(guān)系：q(x,t)= u(x,t)(x,t) 流量(liling)q(x,t)密度 (x,t)速度u(x,t)qmq0 * m 速度u隨著密度 的增加而減少, 設(shè)

14、u是 的線性函數(shù), )/1 (mmuu)/1 (mmuq平衡狀態(tài)(所有車輛速度相同, 公路各處密度相同)下u, 和 q 的關(guān)系. = *= m/2 , q=qm (最大值) =0, u= um(最大值); = m(最大值), u= 0.第16頁/共61頁第十六頁，共61頁。連續(xù)連續(xù)(linx)(linx)交通流方程交通流方程流量(liling)q(x,t)密度(md)(x,t)速度u(x,t)badxtxdtdtbqtaq),(),(),(abq(a,t)q(b,t)x (x,t)badxtxqxtbqtaq),(),(),(dxtxtdxtxdtdbaba),(),(badxxqt0)(0

15、xqt區(qū)間a,b的任意性關(guān)于q(x,t), (x,t), u(x,t) 的連續(xù)、可微、解析性假設(shè)積分形式積分形式微分形式微分形式第17頁/共61頁第十七頁，共61頁。連續(xù)連續(xù)(linx)(linx)交通流方程交通流方程0 xqt流量(liling)q(x,t)密度(md)(x,t)速度u(x,t)ddqxt)(,0)(已知q=q( )xxfx),()0 ,(已知初始密度 f(x)一階擬線性偏微分方程用特征方程和首次積分法求解)0(,)()(),(),(0000 xxxtxftxxfttx0txx0斜率k=1/ (f(x0)x(t)是一族直線 特征線特征線的斜率隨x0變化沿每條特征線x(t),

16、(x,t)是常數(shù)f(x0)第18頁/共61頁第十八頁，共61頁。連續(xù)連續(xù)(linx)(linx)交通流方程交通流方程討論(toln)q(), f(x)給定后解(x,t)的性質(zhì)ddqxt)(,0)(xxfx),()0 ,()/1 (mmuq)/21 (/)(mmuddq m * 0 1 2 * = m/2 , ( * )=0, k00)()(xtxftxt(x)的斜率(xil)k=1/ (f(x0)特征線 10, k0 2 * , ( 2 )0, k0按初始密度f(x)是x的減函數(shù)或增函數(shù)討論解 (x,t)的性質(zhì)) 0 ()(),(00 xxxfttx第19頁/共61頁第十九頁，共61頁。連續(xù)連

17、續(xù)(linx)(linx)交通流方程交通流方程f(x)增函數(shù)xf(x)x*x1x20 * 1 2xf(x)減函數(shù)f(x)x*x1x20 * 1 2 10 2 *, k0 = *,k前面車流(ch li)密度小(速度大), 后面密度大(速度小), 行駛正常.前面車流密度大(速度小), 后面密度小(速度大), 造成堵塞(ds), (x,t), q(x,t)出現(xiàn)間斷.) 0 ()(),(00 xxxfttxxx*x1x20t00)()(xtxftxxx*x1 x1x20tP(x,t)00)()(xtxftx在P(x,t)點(diǎn), (x,t)=f(x1) (x,t)=f(x1 ) ?第20頁/共61頁第二

18、十頁，共61頁。間斷間斷(jindun)(jindun)交通流方程交通流方程設(shè)一連串間斷(jindun)點(diǎn)(x,t)形成孤立、連續(xù)的間斷(jindun)線x=xs(t)badxtxdtdtbqtaq),(),(),(交通流方程交通流方程(fngchng)(fngchng)的積分形的積分形式式btxtxassdxtxdxtxdtdtbqtaq)()(),(),(),(),(btxstxasssdtdxttxdxtdtdxttxdxt)()(),(),(推導(dǎo)間斷線xs(t)的方程對任意t , x=xs(t)孤立, 取a xs(t) 0處的車輛繼續(xù)行駛, x0處的車輛出現(xiàn)堵塞. t= 時(shí)交通燈變綠,

19、 堵塞的車輛快速行駛. 用車流密度 (x,t)描述紅綠燈轉(zhuǎn)換下交通流的變化. 綠燈后堵塞的車輛多長時(shí)間才能追上遠(yuǎn)離的車隊(duì)? 需要多長時(shí)間堵塞狀態(tài)才會消失, 交通恢復(fù)正常?對對象象第23頁/共61頁第二十三頁，共61頁。紅綠燈模型紅綠燈模型(mxng)(mxng)0(,)()(),(),(0000 xxxtxftxxfttx討論(toln)密度 (x,t) 的變化連續(xù)(linx)點(diǎn)間斷線qdtdxs1. t=0, (x,0)=f(x)= 0(常數(shù))設(shè) 0 *= m/2 初始密度小于流量達(dá)到最大的密度, 稱為稀疏流.x m 00t=0依時(shí)間為序分9步討論第24頁/共61頁第二十四頁，共61頁。紅綠

20、燈模型紅綠燈模型(mxng)(mxng)x m 000t xsrxxl2. 0t, 紅燈(hn dn)亮x0處車輛堵塞, 導(dǎo)致(dozh)最大密度=m = m與 = 0形成左間斷線 x=xsl(t) 堵塞車輛尾部的移動.mmmmmuqqq/ )()()(,0000qdtdxsltutxmmsl0)(x=xsl(t)向左移動速度usl=um 0 / m 0 *= m/2 0)0(,0slmmxu第25頁/共61頁第二十五頁，共61頁。紅綠燈模型紅綠燈模型(mxng)(mxng)2. 0t0處車輛繼續(xù)行駛, 出現(xiàn)空閑路段 =0 x m 000tusl=um 0 / m 0 , 綠燈亮x m 00t

21、 xsrxxlx1x2x1(t)堵塞車隊(duì)最前車輛的位置x2(t)堵塞車隊(duì)最后車輛的位置初始密度(設(shè)t = t- =0)srslsrslmxxxxxxxxxf,0, 00,)(0確定x1(t), x2(t)第27頁/共61頁第二十七頁，共61頁。紅綠燈模型紅綠燈模型(mxng)(mxng)4. t, 綠燈(ldng)亮x m 00t xsrxxlx1x2srslsrslmxxxxxxxxxf,0, 00,)(0初始(ch sh)密度0 x0 xsr)/21 ()(mmuf(x0)=0, (f(x0)=um特征線x=um t +x0, (x, t )= f(x0)=0, x00+, x1=um t

22、 =um (t- )xslx00f(x0)= m, (f(x0)=-um ,x2=-um t =-um (t- )x2xx1)(21 ()(tutxmm)(1 2),(tuxtxmm第28頁/共61頁第二十八頁，共61頁。紅綠燈模型紅綠燈模型(mxng)(mxng)5. t=td,堵塞(ds)消失xsl(t)向左移動(ydng)速度um 0 / mxsr(t)向右移動速度um ( m - 0 )/ mx2(t)向左移動速度um 0 *= m/2 x1(t)向右移動速度umx2(t)首先追上xsl(t), 此時(shí)堵塞消失tutxmmsl0)(x2(t) =-um (t- )t =td0mmdtx

23、m 00t=tdxsrxxlx1=x2=第29頁/共61頁第二十九頁，共61頁。紅綠燈模型紅綠燈模型(mxng)(mxng)6. t=tu,追上車隊(duì)(ch du)xsl(t)向左移動(ydng)速度um 0 / mx2(t)向左移動速度um 0tu , xsl(t), xsr(t)繼續(xù)移動紅綠燈模型紅綠燈模型(mxng)(mxng)qdtdxsl,)(1 2),(tuxtxmm,)(1 2tuxmslm)()(),21 (2)( 20dmdslmmxlsltutxutxdtdx02/110)()(21 ()(tBtutxmmsl0)(1 (22/10001mmmuB2/ 110)(2)21 (

24、tBudtdxmmsl0 (t充分(chngfn)大)xsl由向左變?yōu)橄蛴乙苿?m 00ttuxsrxxlx第31頁/共61頁第三十一頁，共61頁。8. t=t* , x=0處交通(jiotng)恢復(fù)紅綠燈模型紅綠燈模型(mxng)(mxng) 0=0t=t*xsrxxlx 2/110)()(21 ()(tBtutxmmsl當(dāng)xsl移動至x=0時(shí), x=0處交通(jiotng)恢復(fù)20*)/21 ()(0mttt 越小, 0/ m越小, 則t*越小, x=0處交通恢復(fù)越快.2/ 10001)(1 (2mmmuB設(shè) =5min, 0/ m=3/8, 則t*=80min5分鐘的堵塞, 過75分鐘后

25、x=0處交通才能恢復(fù).第32頁/共61頁第三十二頁，共61頁。9. tt* , xsl(t), xsr(t)繼續(xù)(jx)向右移動紅綠燈模型紅綠燈模型(mxng)(mxng) 00tt*xsrxxlx xsl, xsr處 的跳躍(tioyu)值越來越小.理論上, t全線交通才能恢復(fù)到初始狀態(tài) = 0以上假定初始密度 0 *= m/2 擁擠流, 得到的結(jié)果與稀疏流不同, 但分析方法一樣(習(xí)題3).第33頁/共61頁第三十三頁，共61頁。紅綠燈下的交通流紅綠燈下的交通流 將離散車流類比作連續(xù)(linx)流體 類比是建模的基本方法之一. 引入流量、密度(md)、速度函數(shù), 并按照守恒關(guān)系建立交通流模型

26、(積分形式和微分形式). 用特征線法解連續(xù)(linx)交通流模型. 利用跳躍值研究間斷線發(fā)展過程, 研究紅綠燈模型.第34頁/共61頁第三十四頁，共61頁。13.3 鮭魚鮭魚(u y)數(shù)量的數(shù)量的周期變化周期變化背景背景(bijng)(bijng)與問題與問題 海洋中魚的數(shù)量按繁殖期呈周期(zhuq)變化.鮭魚生長、繁殖過程：成年魚產(chǎn)卵產(chǎn)卵前鮭魚的數(shù)量按一定規(guī)律呈周期變化既在離散的時(shí)間點(diǎn)上描述成年鮭魚數(shù)量的周期變化，又在連續(xù)的繁殖期內(nèi)描述從卵、幼魚到成年魚的演變過程.將描述連續(xù)變化的微分方程嵌入描述離散變化的差分方程.卵變成幼魚幼魚長大產(chǎn)卵后死去被成年魚吃掉、被環(huán)境淘汰第35頁/共61頁第三十

27、五頁，共61頁。模型模型(mxn(mxng)g)假設(shè)假設(shè) xn第n繁殖期(周期)初成年(chngnin)鮭魚的數(shù)量( n =0,1,2, )y(t)每個(gè)周期(zhuq)內(nèi)t時(shí)刻幼魚的數(shù)量tb.ta.n.n+1.1. y(ta) 與xn 成正比，比例系數(shù) 為一條魚的產(chǎn)卵量.3. 單位時(shí)間內(nèi)y(t) 減少的比例與xn 成正比，比例系數(shù) 反映鮭魚吞食幼魚的能力.2. xn+1 與y(tb)成正比，比例系數(shù) 表示繁殖期末幼魚成長為成年魚的比例.允許數(shù)量出現(xiàn)突變t.第36頁/共61頁第三十六頁，共61頁。模型模型(mxng)(mxng)建立建立 y(ta) 與xn 成正比單位時(shí)間(shjin)內(nèi)y(t)

28、 減少的比例與xn 成正比xn+1 與y(tb)成正比naxty)(t.tb.ta.n.n+1.)()()(anttxaetytynabxttnnexx)(12 , 1 , 0,1neaxxnbxnn)(,abttba)(1bntyxbantttxyy,/t.無解析(ji x)解, 尋求數(shù)值解第37頁/共61頁第三十七頁，共61頁。模型模型(mxng)(mxng)建立建立 ,1nbxnneaxx)(,(abttba 一條(y tio)魚的產(chǎn)卵量, 設(shè) =105 繁殖期末(q m)幼魚成長為成年魚的比例, 設(shè) =0.5, 1.1, 1.5 ( 10-4)()()(anttxaetytya= =

29、5, 11, 15設(shè)x0=1(數(shù)量單位), 且吞食90%的幼魚, 即y(tb)/ y(ta)=0.13 . 210ln)(abtt1 . 0)(abtteb=2.3a的大小反映鮭魚從一個(gè)周期到下一周期的增長第38頁/共61頁第三十八頁，共61頁。模型模型(mxng)(mxng)建立建立 ,1nbxnneaxxa=5, 11, 15,b=2.3na=5a=11a=15na=5a=11a=15011110.50001.10001.5000270.69901.72601.973020.79060.96110.7115280.69900.35680.314730.64021.15602.0740290

30、.69901.72602.287040.73290.88760.2625300.69900.35690.1771170.69891.72402.2720370.69901.72602.1860180.69900.35810.1821380.69900.35680.2137190.69891.72701.7960390.69901.72601.9600200.69900.35620.4308400.69900.35680.3225a=5, xn0.6990,a=11, xn1.7260, 0.3568,a=15, xn?第39頁/共61頁第三十九頁，共61頁。平衡點(diǎn)與穩(wěn)定性平衡點(diǎn)與穩(wěn)定性 nbx

31、nneaxx1研究a的大小對鮭魚(u y)數(shù)量xn變化規(guī)律的影響平衡點(diǎn) x*:*)(bxeaxxfxbaxln*平衡點(diǎn) x*穩(wěn)定(wndng)條件:1ln1)(*axf389. 72 ea1ln1a當(dāng) 時(shí)x*穩(wěn)定(wndng)數(shù)值解中a=5, b=2.3, x*=ln5/2.3=0.699穩(wěn)定數(shù)值解中 a=11, 15 (e2), x*不穩(wěn)定考察倍周期收斂條件第40頁/共61頁第四十頁，共61頁。平衡點(diǎn)與穩(wěn)定性平衡點(diǎn)與穩(wěn)定性 nbxnneaxx1變量代換(di hun)(無量綱化)abxznnln/)1()2(12)(),()(znnnzezgzgzgz 2, z*=1不穩(wěn)定(wndng)平衡

32、點(diǎn) x*=lna/b z*=1,穩(wěn)定(wndng)條件 ae2 2, 討論倍周期收斂aezznznnln)1(1平衡點(diǎn) : z1*, z2* (及z*=1)1 (*1*2)1 (*2*1*1*2,zzezzezz2*2*1 zzz1*, z2* 是方程 的兩個(gè)根2)1 (zzezz1*=0.3427z2*=1.6573第41頁/共61頁第四十一頁，共61頁。平衡點(diǎn)與穩(wěn)定性平衡點(diǎn)與穩(wěn)定性 abxznnln/)1()2(12)(),()(znnnzezgzgzgz平衡點(diǎn) z1*=0.3427, z2*=1.6573 穩(wěn)定(wndng)的條件:1) )(*,)2(21zzzzg5265. 22aln

33、51.12389. 7 ax1*=0.3569x2*=1.7259a=11,b=2.3*2, 1*2, 1lnzbax)51.12(5265. 2a研究zn的2k倍周期(zhuq)收斂 (k=2,3)77.14(6924. 2azn的變化趨勢出現(xiàn)(chxin)混沌現(xiàn)象第42頁/共61頁第四十二頁，共61頁。鮭魚數(shù)量鮭魚數(shù)量(shling)的周期變的周期變化化首先將各個(gè)短周期內(nèi)性質(zhì)相同的連續(xù)(linx)變化規(guī)律用同一微分方程描述；然后將微分方程嵌入到長期的、描述離散變化規(guī)律的差分方程中 嵌入式模型.嵌入式模型(mxng)的應(yīng)用 生物的周期性繁殖 再生資源的周期性收獲 人體對周期性注入藥物的反應(yīng)周

34、期性排污的環(huán)境變化平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析倍周期收斂和混沌現(xiàn)象第43頁/共61頁第四十三頁，共61頁。13.4 價(jià)格指數(shù)價(jià)格指數(shù)問問題題(wnt)價(jià)格(jig)指數(shù)是消費(fèi)品價(jià)格(jig)變化的度量.幾百年來，經(jīng)濟(jì)學(xué)家們提出(t ch)了許多種價(jià)格指數(shù).如何評價(jià)這些價(jià)格指數(shù)的合理性？從種、種商品的價(jià)格指數(shù)談起從種、種商品的價(jià)格指數(shù)談起對一種給定商品，原價(jià)p0, 現(xiàn)價(jià)p, 價(jià)格變化 I=p/p0對兩種給定商品，原價(jià)p01, p02, 現(xiàn)價(jià)p1, p2, 價(jià)格變化022011ppppI020121ppppI020121ppppI 不合理: 人們對大米漲價(jià)比鋼琴降價(jià)更為關(guān)切加權(quán)!第44頁/共61頁第四十四頁

35、，共61頁。問題問題(wnt)的的一般提法一般提法基年(基準(zhǔn)年)現(xiàn)年(xin nin)(考察年) 各種( zhn)價(jià)格指數(shù) I(p,q|p0,q0)哪個(gè)更合理？哪個(gè)更合理？價(jià)格權(quán)重n 種代表性消費(fèi)品Tnpppp),.,(002010Tnqqqq),.,(002010Tnpppp),.,(21Tnqqqq),.,(210001.qpqpI qpqpI.02003.qpqpI 215III apapI.04ai 0niiiippI10700,iiiqqniiiippI108iiiqq,niiiippI106,1, 0ii第45頁/共61頁第四十五頁，共61頁。1. 價(jià)格單調(diào)性：一種商品漲價(jià)，其他(

36、qt)不降，則I應(yīng)上升價(jià)格指數(shù)的公理化價(jià)格指數(shù)的公理化p, q, p0,q00, I(p,q|p0,q0)0),|,(),|,(0000qpqpIqpqpIpp2. 權(quán)重(qun zhn)不變性：所有商品價(jià)格不變，則I應(yīng)不變1),|,(000qpqpI3. 價(jià)格齊次性：所有商品(shngpn)漲價(jià)k倍，則I應(yīng)上升k倍0),|,(),|,(0000kqpqpkIqpqkpI4. I應(yīng)位于單種商品價(jià)格比值的最小、最大值之間0000max),|,(miniiiiiippqpqpIpp第46頁/共61頁第四十六頁，共61頁。5. 貨幣(hub)單位獨(dú)立性：I應(yīng)與貨幣(hub)單位的選取無關(guān)價(jià)格指數(shù)的公

37、理化價(jià)格指數(shù)的公理化p, q, p0,q00, I(p,q|p0,q0)00),|,(),|,(0000qpqpIqpqpI6. 計(jì)量單位獨(dú)立性： I應(yīng)與商品(shngpn)計(jì)量單位的選取無關(guān)為非負(fù)對角陣),|,(),|,(000101qpqpIqpqpI7. 兩年的價(jià)格指數(shù)之比與基年(j nin)選取無關(guān)),|,(),|,(),|,(),|,(00000000qpqpIqpqpIqpqpIqpqpI8. 價(jià)格指數(shù)不因某種商品被淘汰失去意義iqpqpIip, 0),|,(lim000第47頁/共61頁第四十七頁，共61頁。I1, I2, I5不滿足(mnz)公理7該定理沒有涉及(shj)公理1

38、,4,5, 為什么?Eichhorn 證明了定理: 不存在同時(shí)滿足公理2,3,6,7,8的價(jià)格指數(shù).I6, I7, I8不滿足(mnz)公理8I3不滿足公理2I4不滿足公理6I滿足公理1,2,3 I滿足公理4 I滿足公理2,3,7 I滿足公理5目前常用的價(jià)格指數(shù): I1, I2I1, I2滿足除公理7外的所有公理，且計(jì)算簡單.價(jià)格指數(shù)的公理化價(jià)格指數(shù)的公理化第48頁/共61頁第四十八頁，共61頁。定理不存在同時(shí)(tngsh)滿足公理2,3,6,7,8的價(jià)格指數(shù)證明思路(sl): 滿足2,3,6,7,8的價(jià)格指數(shù)I必不滿足公理8記e=(1,1,1)T, C=Diagc1,c2,cn, ci0 D

39、=Diagd1,d2,dn, di0),|,(),|,(),|,(),|,(111111eeeCCeIeeeCCeIeeeDCCDeIeeeDCCDeI(*)證明(zhngmng),|,(),|,(),|,(1111117eeeCCeIeCCeeCCeIeCCeeDCCDeI公理),|,(),|,(1162eeeCCeIeeeDDeI，公理第49頁/共61頁第四十九頁，共61頁。證明(zhngmng)記i=Diag1,1 (第i位置元素(yun s) 0，其余為1),|,(),|,(),|,(),|,(11eeppIeeppIeeepIeeepI(*)為單位陣）EEnii(1(*)定理(dng

40、l)不存在同時(shí)滿足公理2,3,6,7,8的價(jià)格指數(shù)),|,(),|,(),|,(),|,(12117eeppIeeppIepppIepepI公理公理第50頁/共61頁第五十頁，共61頁。與公理(gngl)矛盾！),|,(1niieeeeIs令),|,(11(*)niiieeeeI),|,111(*)niniiieeeeIeeeeI,|,1*)*(*213,|,公理公理eeeeI當(dāng) 0 0時(shí), ,s0 0存在(cnzi)某個(gè)i, 當(dāng)0時(shí)0),|,(lim0eeeeIi證畢證明(zhngmng)定理不存在同時(shí)滿足公理2,3,6,7,8的價(jià)格指數(shù)第51頁/共61頁第五十一頁，共61頁。13.5 設(shè)備

41、設(shè)備(shbi)檢檢查方案查方案背景背景(b(bijijng) ng) 與與問題問題 設(shè)備檢查的目的: 及時(shí)發(fā)現(xiàn)和排除故障, 保證(bozhng)生產(chǎn)的順利進(jìn)行. 確定設(shè)備檢查方案-檢查周期 (接連兩次檢查的時(shí)間間隔). 一旦出現(xiàn)故障, 設(shè)備將帶故障運(yùn)行到下次檢查時(shí) 才能發(fā)現(xiàn), 給生產(chǎn)造成損失. 檢查周期越長, 故障造成的損失費(fèi)用越大. 檢查周期越短, 用于設(shè)備檢查的費(fèi)用越大.存在最佳檢查周期使總費(fèi)用(損失費(fèi)、檢查費(fèi))最小.第52頁/共61頁第五十二頁，共61頁。背景背景(bijng)(bijng)與問題與問題 設(shè)備出現(xiàn)故障的時(shí)刻(shk)是隨機(jī)的， 服從一定的連續(xù)型概率分布. 檢查周期(zh

42、uq)不一定是常數(shù)，故障概率大時(shí)周期(zhuq)短，故障概率小時(shí)周期(zhuq)長. 將檢查周期表示為時(shí)刻t的連續(xù)函數(shù)s(t) 單位時(shí)間內(nèi)的檢查次數(shù)表示為 n(t)=1/s(t) 與設(shè)備正常運(yùn)行時(shí)間相比，s(t)很小，n(t)很大，于是n(t)可視為t的連續(xù)函數(shù).第53頁/共61頁第五十三頁，共61頁。模型模型(mxng)(mxng)假設(shè)假設(shè) 1. 設(shè)備故障時(shí)刻(shk)的概率分布函數(shù)是F(t)，概率密度函數(shù)是f(t)，設(shè)備使用期限是T，F(xiàn)(T)=1.2. 設(shè)備帶故障運(yùn)行到下次檢查(jinch)時(shí)為止的損失費(fèi)與這段允許時(shí)間長度成正比，單位時(shí)間損失費(fèi)c1 .3. 相鄰兩次檢查之間出現(xiàn)故障的時(shí)刻是均勻分布的，帶故障運(yùn)行的時(shí)間取該分布