南郵 數(shù)理方程1 定解問題

1、數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications數(shù) 學 物 理 方 法B（數(shù)理方程）主講：周瀾主講：周瀾 郵箱郵箱 : 答疑：周一晚上答疑：周一晚上 18:30-20:00，教，教2-426南京郵電大學南京郵電大學 、 理學院、應用物理系理學院、應用物理系數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications數(shù)理方程這門學科的由來數(shù)理方程這門學科的由來: 20世紀，物理學的基本概念和技術已經被應用到自然科學所有領域。世紀，物理學的基本概念和技術已經被應用到自然科學所有領域?，F(xiàn)在，物

2、理學的原理、方法不僅在天文、地理學科有著廣泛的應用，而且在現(xiàn)在，物理學的原理、方法不僅在天文、地理學科有著廣泛的應用，而且在生命科學、環(huán)境科學、生命科學、環(huán)境科學、化學化工化學化工、信息科學信息科學等領域也出現(xiàn)了很大程度上的交等領域也出現(xiàn)了很大程度上的交叉互融。叉互融。物理學已經成為自然科學發(fā)展的重要基石物理學已經成為自然科學發(fā)展的重要基石。 隨著科學的發(fā)展，對物理學提出了更高的要求。對于隨著科學的發(fā)展，對物理學提出了更高的要求。對于物理場物理場及相關物理量及相關物理量的描述，引進了數(shù)學中的的描述，引進了數(shù)學中的偏微分方程偏微分方程。對于原子描述，引進了。對于原子描述，引進了球函數(shù)球函數(shù)的概念

3、，的概念，對于半導體器件的開發(fā)，引進了粒子對于半導體器件的開發(fā)，引進了粒子“擴散和輸運擴散和輸運”的概念，很多數(shù)學理論和方的概念，很多數(shù)學理論和方法在物理科學與技術領域都找到了歸宿，數(shù)學與物理的親緣關系越來越明顯。法在物理科學與技術領域都找到了歸宿，數(shù)學與物理的親緣關系越來越明顯。數(shù)學物理方法數(shù)學物理方法就這樣應運而生了。就這樣應運而生了。數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications線性微分積分方程線性微分積分方程 線性積分方程線性積分方程波動方程波動方程 (雙曲型偏微分方程雙曲型偏微分方程) 恒定場方程恒定場方程(橢圓型偏微分方

4、程橢圓型偏微分方程)輸運方程輸運方程 (拋物型偏微分方程拋物型偏微分方程)非線性方程非線性方程 線性方程線性方程 數(shù)理方程數(shù)理方程數(shù)理方程分類數(shù)理方程分類 物理的實踐驗證觀點經常被數(shù)學所運用。同理，物理的實踐驗證觀點經常被數(shù)學所運用。同理， 數(shù)學的嚴謹數(shù)學的嚴謹推理和周密分析方法也應為物理所借鑒推理和周密分析方法也應為物理所借鑒.線性偏微分方程線性偏微分方程數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications 課程的內容課程的內容三種方程、三種方程、 三種求解方法、三種求解方法、 一個特殊函數(shù)一個特殊函數(shù)分離變量法、分離變量法、行波法、行

5、波法、格林函數(shù)法格林函數(shù)法波動方程、波動方程、熱傳導方程、熱傳導方程、拉普拉斯方程拉普拉斯方程貝賽爾函數(shù)貝賽爾函數(shù) 數(shù)學物理方程定義數(shù)學物理方程定義描述某種物理現(xiàn)象的數(shù)學微分方程。描述某種物理現(xiàn)象的數(shù)學微分方程。數(shù)理方程Nanjing University of Posts and TelecommunicationsRefrences：1.數(shù)學物理方法數(shù)學物理方法(第三版第三版)，梁昆淼，梁昆淼 編編2.矢量分析與場論矢量分析與場論(第三版第三版)，謝樹藝，謝樹藝3.數(shù)學物理方程的數(shù)學物理方程的MATLAB解法與可視化解法與可視化 彭芳麟彭芳麟4.微分方程微分方程5.高等數(shù)學高等數(shù)學數(shù)理方程

6、Nanjing University of Posts and Telecommunications1.1、概述、概述共性共性：數(shù)理方程是把物理規(guī)律用數(shù)學語言描述出來，也就是研究：數(shù)理方程是把物理規(guī)律用數(shù)學語言描述出來，也就是研究某個物理量某個物理量在空間的分布規(guī)律和隨時間變化的規(guī)律在空間的分布規(guī)律和隨時間變化的規(guī)律。簡單地說，。簡單地說，就是用數(shù)學物理方程表達物理規(guī)律。就是用數(shù)學物理方程表達物理規(guī)律。這種物理規(guī)律反映的是同一這種物理規(guī)律反映的是同一類物理現(xiàn)象的共同規(guī)律，也就是所謂的共性。類物理現(xiàn)象的共同規(guī)律，也就是所謂的共性。 個性個性：但同一類物理現(xiàn)象中，各個具體問題又具有特殊性，也就：但

7、同一類物理現(xiàn)象中，各個具體問題又具有特殊性，也就是所謂的個性。例：半導體擴散工藝有兩種工藝，一種是是所謂的個性。例：半導體擴散工藝有兩種工藝，一種是“恒定恒定表面濃度擴散表面濃度擴散”；另一種是；另一種是 “限定源擴散限定源擴散”。泛定方程泛定方程：數(shù)學上描述同一類物理現(xiàn)象共性的方程稱為泛定方程。：數(shù)學上描述同一類物理現(xiàn)象共性的方程稱為泛定方程。 數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications初始條件初始條件：為了求解物理量隨時間的變化問題，還要考慮研究對象的：為了求解物理量隨時間的變化問題，還要考慮研究對象的特特定歷史定歷史，也就

8、是早先某個所謂的，也就是早先某個所謂的初始狀態(tài)初始狀態(tài)，也即初始條件。，也即初始條件。定解問題定解問題：邊界條件和初始條件反映了具體問題的特定環(huán)境和歷史，也：邊界條件和初始條件反映了具體問題的特定環(huán)境和歷史，也即個性。在數(shù)學上，邊界條件和初始條件合稱為即個性。在數(shù)學上，邊界條件和初始條件合稱為定解條件定解條件。把在給定的。把在給定的定解條件下求解數(shù)學物理方程稱為數(shù)學物理定解問題或簡稱為定解條件下求解數(shù)學物理方程稱為數(shù)學物理定解問題或簡稱為定解問題定解問題。邊界條件邊界條件：為了求解具體的物理問題，還要研究物理量受周圍環(huán)境的影：為了求解具體的物理問題，還要研究物理量受周圍環(huán)境的影響，而周圍環(huán)境影

9、響總是通過邊界傳遞給研究對象的，因此響，而周圍環(huán)境影響總是通過邊界傳遞給研究對象的，因此周圍環(huán)境的周圍環(huán)境的影響體現(xiàn)于邊界所處的物理狀況，影響體現(xiàn)于邊界所處的物理狀況，這就是邊界條件這就是邊界條件。數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications1.21.2、數(shù)學物理方程的導出、數(shù)學物理方程的導出數(shù)學物理方程是把物理規(guī)律用數(shù)學語言表達出來（數(shù)學物理方程是把物理規(guī)律用數(shù)學語言表達出來（物理問題的物理問題的數(shù)學建模數(shù)學建模）(1) (1) 首先確定所研究的物理量首先確定所研究的物理量(,)uxyzt(2) (2) 根據(jù)物理規(guī)律分析微元和相

10、鄰部分的相互作用根據(jù)物理規(guī)律分析微元和相鄰部分的相互作用( (抓住主要抓住主要影響，忽略次要影響影響，忽略次要影響) )，這種相互作用在一個短時間段里如何，這種相互作用在一個短時間段里如何影響物理量影響物理量u(3) (3) 用數(shù)學語言表達出這種相互影響，經簡化整理就得到數(shù)用數(shù)學語言表達出這種相互影響，經簡化整理就得到數(shù)學物理方程。學物理方程。數(shù)學物理方程的導出步驟為：數(shù)學物理方程的導出步驟為：數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications一、波動方程一、波動方程(弦振動方程弦振動方程)問題問題1 1：均勻弦的微小橫振動：均勻弦的微

11、小橫振動 ( , )u x t設有一條均勻柔軟的細弦，長為設有一條均勻柔軟的細弦，長為l l，平衡位置與平衡位置與x x軸的正半軸重合，且軸的正半軸重合，且一端與原點重合一端與原點重合, , 當弦受垂直與當弦受垂直與x x軸軸的外力作用后，在平衡位置附近作的外力作用后，在平衡位置附近作微小橫振動微小橫振動。研究對象研究對象：弦線上某點在弦線上某點在 t 時刻沿縱向的位移。時刻沿縱向的位移。( , )u x t簡化假設：簡化假設：(2)弦上各點振幅極小，弦上各點振幅極小， 張力與水平方向的夾角很小。張力與水平方向的夾角很小。(1)弦是柔軟的，弦上的任意一點的張力沿弦的切線方向弦是柔軟的，弦上的任

12、意一點的張力沿弦的切線方向。數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications10弦振動的相關模擬弦振動的相關模擬數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications弦振動的相關模擬弦振動的相關模擬數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications弦振動的相關模擬弦振動的相關模擬數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications弦振動的相關模擬弦振動的相關模擬數(shù)理方程

13、Nanjing University of Posts and Telecommunications建立方程建立方程： 取微元 MM ，研究在水平方向和鉛垂方向 MM 在不受外力的情況下的運動情況。 gds M M ds x T y xdx x T 牛頓運動定律：牛頓運動定律：sinsinTTgdsma橫向：橫向：coscosTT縱向：縱向：數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecommunicationscos1cos1故：故：橫向：橫向：coscosTT微小振動假設，可知在振動過程中弦上微小振動假設，可知在振動過程中弦上MM點與點與MM 點處切線的

14、傾角都很小，即點處切線的傾角都很小，即 ，從而由，從而由24cos12!4! 0,0 gds M M ds x T y xdx x T TT數(shù)理方程Nanjing University of Posts and TelecommunicationssinsinTTgdsma縱向：縱向：小弧段在小弧段在t t時刻沿時刻沿u u方向的加速度近似為方向的加速度近似為 ， 則由牛頓第二定律，有則由牛頓第二定律，有22,u x tdst小弧段的質量 gds M M ds x T y xdx x T 22,sinsinu x tTTgdsdst2,tansintan,1tanu x tx又因為當又因為當

15、時，有時，有0,0數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications2,sintan,1.u xdx txu x tdsdxdxx gds M M ds x T y xdx x T 22,u xdx tu x tu x tTgdxdxxxt帶入原方程中得：帶入原方程中得：22(d , )( , )( , )( , )ddu xx tu x tu x tu x txxxxxxx其中：其中：sinsinTTgdsma數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications2222( , )

16、( , )ddux tu x tTgxxxt2222( , )( , )Tux tu x tgxt22222uuagtx一維波動方程一維波動方程2Ta 令：-非齊次方程非齊次方程自由項自由項22222uuatx-齊次方程齊次方程忽略重力作用：忽略重力作用：數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications如果在振動過程中，弦上還另受到一個與弦的振動方向平行的外力，且假定在時刻t弦上x點處的外力密度為F（x，t），coscos0TT22,sinsinu x tFdsTTgdsdst重復上面的推導，可得有外力作用時弦的振動方程22222,(

17、 , )u x tu x taf x ttx其中 表示t時刻單位質量的弦在x點所受的外力。1( , ),f x tF x t數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications 波動方程波動方程 一維形式一維形式 二維形式二維形式 三維形式三維形式2222222222()uuuuaufaftxyz 22222,( , )u x tu x taf x ttx2222222, , , ,( , , )u x y tu x y tu x y taf x y ttxy222222222222,uuuuxyzxyz 拉普拉斯算子數(shù)理方程Nanjin

18、g University of Posts and Telecommunications問題問題2 2：傳輸線方程：傳輸線方程( , ); ( , )v x t i x t 對于直流電或低頻的交流電，基爾霍夫（Kirchhoff）定律指出同一支路中電流相等。但對于較高頻率的（指頻率還沒有高到能顯著地輻射電磁波的情況），電路中的導線的自感和電容的效應不可忽略，因而同一支路中電流未必相等。 xR xL xG xC iii vvv R: 每一單位回路的串聯(lián)電阻；L: 每一單位回路的串聯(lián)電感；C: 每單位長度的分路電容；G: 每單位長度的分路電導。數(shù)理方程Nanjing University of P

19、osts and TelecommunicationsxR xL xG xC iii vvv 根據(jù)基爾霍夫第二定律，在長度為 的傳輸線中，電壓降應等于導線電阻 上的電壓降和兩線之間電感 上的感生電動勢之和：xR xL x()ivvvR x iL xt (1)viRiLxt 數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications另外，由基爾霍夫第一定律，流入節(jié)點的電流應等于流出該節(jié)點的電流，即()viiiC xG x vt xR xL xG xC iii vvv (2)ivCGvxt 由此可得合并（1）、（2）式可得：(1)viRiLxt 數(shù)

20、理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications0,0.ivCGvxtviLRixt從這個方程組消去v (或i), 即可得到i (或v)所滿足的方程。2222()(3)iiiLCRCGLGRixtti 滿足的微分方程：v 滿足的微分方程：2222()(4)vvvLCRCGLGRvxtt方程（3）（4）稱為傳輸線方程.課后作業(yè)，推導傳輸線方程課后作業(yè)，推導傳輸線方程數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications在高頻傳輸?shù)那闆r下，電導與電阻所產生的效應可以忽略不計，也就是說可令

21、 G=R=0 , 此時方程（3 ）與（4）可簡化為：22221iitLCx22221vvtLCx這兩個方程稱為高頻傳輸線方程。若令 ， 這兩個方程與一維波動方程完全相同。由此可見，同一個方程可以用來描述不同的物理現(xiàn)象。一維波動方程只是波動方程中最簡單的情況，在流體力學、聲學及電磁場理論中，還要研究高維的波動方程。21aLC數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications問題問題3 3：電磁波波動方程：電磁波波動方程tDJHtBE0 B DMaxwell Equations結構方程結構方程HBED2221HHtk kE EH HJE 2

22、221EEt數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications222222221()HHHHtxyz 磁場的三維波動方程磁場的三維波動方程222222221()EEEEtxyz 電場的三維波動方程電場的三維波動方程數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications二、輸運方程二、輸運方程熱傳導方程熱傳導方程熱傳導現(xiàn)象：當導熱介質中各點的溫度分布不均勻時，有 熱量從高溫處流向低溫處。所要研究的物理量：溫度 ),(tzyxu在物體中任取一個閉曲面S,它所包圍的區(qū)域記作V。假設在時刻t

23、區(qū)域V內點 處的溫度為 , 為曲面元素 的外法向 。( , , )M x y z( , , , )u x y z tSn熱場MSSVn根據(jù)熱學中的傅立葉試驗定律在dt時間內從dS流入V的熱量為：tSnukQdddtSnukddtSukdd數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications從時刻t1到t2通過S流入V的熱量為 tSukQttSdd211 高斯公式（矢量散度的體積分等于該矢量的沿著該體積的面積分） tVukQttVdd2121 ),(1tzyxu),(2tzyxu流入的熱量導致V內的溫度發(fā)生變化 熱場熱場MSSVn數(shù)理方程N

24、anjing University of Posts and TelecommunicationsVtzyxutzyxucQVd),(),(122溫度發(fā)生變化需要的熱量為：VttucVttdd21 21ddttVtVtuc21QQ 2121dddd2ttVttVtVtuctVuk2ukutc22au熱傳導方程熱傳導方程fuatu22如果物體內有熱源，則溫度滿足非齊次熱傳導方程數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications0)(22222 yuxuatu二維熱傳導方程 0)(222 xuatu維熱傳導方程 0)(2222222 zuy

25、uxuatu三維熱傳導方程 當我們考察氣體的擴散當我們考察氣體的擴散, ,液體的滲透液體的滲透, , 半導體材料中半導體材料中的雜質擴散等物理過程時的雜質擴散等物理過程時, , 若用若用 u u 表示所擴散物質的濃度表示所擴散物質的濃度, , 則濃度所滿足的方程形式和熱傳導方程完全相同則濃度所滿足的方程形式和熱傳導方程完全相同. . 所以熱所以熱傳導方程也叫傳導方程也叫擴散方程擴散方程. .數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications三、恒定場方程三、恒定場方程所謂的恒定場就是場量所謂的恒定場就是場量不隨時間變化不隨時間變化，而只

26、與空間變量有關系，而只與空間變量有關系(u(u(x,y,zx,y,z)。 問題問題1 1：靜電場：靜電場tBE靜電場表明電場強度靜電場表明電場強度E與時間無關，那么麥克斯韋方程組與時間無關，那么麥克斯韋方程組tDJH0 B DDE0 E2泊松方程泊松方程 02 E拉普拉斯方程拉普拉斯方程 u2泊松方程泊松方程 02 u拉普拉斯方程拉普拉斯方程 根據(jù)靜電場中電場根據(jù)靜電場中電場E與電位與電位u的關系：的關系：Eu 根據(jù)矢量運算：根據(jù)矢量運算：2()EEE 數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications三類基本方程在直角坐標系中的表示三

27、類基本方程在直角坐標系中的表示一、一、 波動方程波動方程22222222222()uuuuauatxyz二、熱傳導方程二、熱傳導方程222222222()uuuuauatxyz三、拉普拉斯方程三、拉普拉斯方程22222220=0uuuuxyz即數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications1.3、定解條件、定解條件定解條件定解條件初始條件初始條件邊界條件邊界條件銜接條件銜接條件1 1、初始條件：、初始條件：說明某一具體物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件。說明某一具體物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件。 對對輸運方程輸運方程( (擴散、熱傳導擴散、熱傳導)

28、)，初始狀態(tài)是指所研究的物理量，初始狀態(tài)是指所研究的物理量 的的初始分布初始分布(比如初始濃度分布、初始溫度分布比如初始濃度分布、初始溫度分布)，因此初始條件為：，因此初始條件為：u),();,(0zyxtzyxut 對對波動方程波動方程 (弦、桿、傳輸線和電磁波弦、桿、傳輸線和電磁波)，不僅需要給出初始，不僅需要給出初始“位位移移”，還要給出初始，還要給出初始“速度速度”。 ),();,(0zyxtzyxut00( , , ; )|( , , )tttuu x y z tx y zt 邊界條件和初始條件反映了具體問題的特殊環(huán)邊界條件和初始條件反映了具體問題的特殊環(huán)境和歷史，即境和歷史，即個性

29、個性。數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications 不同類型的方程，相應初值條件的個數(shù)不同。初始條件給出的應是整個系統(tǒng)的初始狀態(tài)，而非 系統(tǒng)中個別點的初始狀態(tài)。恒定場方程（拉普拉斯方程）沒有初始條件數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecommunicationsl例：例： 一根長為一根長為 ，兩端固定的弦，用手把中點拉開，然后任其振動，兩端固定的弦，用手把中點拉開，然后任其振動，如圖所示。此時初始條件就是放手的那個瞬間弦的位移和速度。如圖所示。此時初始條件就是放手的那個瞬間弦的位移和速度

30、。0),(0tttxulxlxllhlxxlhtxut2/ )(/2(2/0 )/2(),(0初始速度和初始位移分別為初始速度和初始位移分別為:0 xlx 2lx hxu注意：泊松方程和拉普拉斯方程不含初始條件，只含邊界條件注意：泊松方程和拉普拉斯方程不含初始條件，只含邊界條件條件！條件！數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications2 2、邊界條件、邊界條件邊界條件：邊界條件：研究具體的物理系統(tǒng)，還要考慮研究對象所處的特定研究具體的物理系統(tǒng)，還要考慮研究對象所處的特定“環(huán)境環(huán)境”，而周圍，而周圍 環(huán)境的影響常體現(xiàn)為邊界上的物理狀況

31、。（可分環(huán)境的影響常體現(xiàn)為邊界上的物理狀況。（可分為為三類三類）：）：第一類邊界條件第一類邊界條件(Dirichlet (Dirichlet 問題）問題）：直接規(guī)定了所研究的物理量在：直接規(guī)定了所研究的物理量在邊界上的數(shù)值邊界上的數(shù)值 );,();,(0001),(),(000tzyxftzyxuzyxzyx(2) (2) 細桿導熱問題邊界條件：桿的一端點細桿導熱問題邊界條件：桿的一端點 ax 的溫度的溫度 u按已知的規(guī)律按已知的規(guī)律 )(tf變化，則該變化，則該 端點的邊界條件為端點的邊界條件為 ：)(),(tftxuax(1) (1) 弦振動問題的邊界條件：弦的兩端弦振動問題的邊界條件：弦

32、的兩端0 x和和lx 則邊界條件分別為：則邊界條件分別為：00 xu0 lxu固定固定數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications(3) (3) 恒定表面濃度擴散問題：硅片邊界就是其表面恒定表面濃度擴散問題：硅片邊界就是其表面 0 xlx ，邊界上的物理狀況為邊界上的物理狀況為00),(Ntxux0),(Ntxulx和和 第二類邊界條件（第二類邊界條件（NeumannNeumann問題）問題）: : 規(guī)定了所研究的物理規(guī)定了所研究的物理量在邊界外法線方向上導數(shù)的數(shù)值量在邊界外法線方向上導數(shù)的數(shù)值 0002000( , , ) (,

33、)( , , ; )(,; )nx y zxyzu x y z tufxyz tn數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications(1) 縱振動的桿問題：桿的某個端點縱振動的桿問題：桿的某個端點 受有沿端點外法線方向的外力受有沿端點外法線方向的外力 ax ( ),f t根據(jù)胡根據(jù)胡 克定律，該端點的張應力與外力的關系為克定律，該端點的張應力與外力的關系為 : YStfutfSYuaxnaxn/ )( )(2) 細桿導熱問題：若桿的某個端點細桿導熱問題：若桿的某個端點 ax 有熱流有熱流 )(tf沿該端點沿該端點外法線方向外法線方向流出

34、流出，根據(jù)熱傳導定律，則邊界條件為：，根據(jù)熱傳導定律，則邊界條件為： ( ) ( )/nnx ax akuf tuf tk 若熱流若熱流f(t)是是流入流入，則邊界條件為，則邊界條件為: ( ) ( )/nnx ax akuf tuf tk若端點絕熱，則若端點絕熱，則 ：0axnu自自由由端端不不受受力力 0lxxu數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications第三類邊界條件：第三類邊界條件：規(guī)定了所研究的物理量及其外法向導數(shù)的線性組合規(guī)定了所研究的物理量及其外法向導數(shù)的線性組合在邊界上在邊界上 的數(shù)值。的數(shù)值。);,()(0003

35、),(),(000tzyxfHuuzyxzyxnH為常系數(shù)。為常系數(shù)。 (1) (1) 細桿導熱問題：細桿導熱問題： 桿的某端點桿的某端點 ax 自由冷卻，即桿端和周圍溫度按照牛頓冷卻定律自由冷卻，即桿端和周圍溫度按照牛頓冷卻定律交換熱量，單位時間內從物體通過邊界上單位面積流到周圍介質的交換熱量，單位時間內從物體通過邊界上單位面積流到周圍介質的熱量熱量 跟物體表面和外面的溫差跟物體表面和外面的溫差 成正比。成正比。lx 端，外法端，外法 向向n n就是就是x x方向，而在方向，而在 0 x端，外法向端，外法向n 就是就是-x方向，方向，則自由冷卻條件分別表示為：則自由冷卻條件分別表示為： d

36、ddQukS tn H H為桿端與周圍介質的熱交換系數(shù)為桿端與周圍介質的熱交換系數(shù), ,對桿的兩端都是自由冷卻，那么在對桿的兩端都是自由冷卻，那么在 x au() ()nnx ax akuH uuHu0 (), () xxx lxuHuuHu 數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications)(0kTxuulx (2) 弦的振動（端點彈性連結）lxuk 彈性力lxxuT 張力設彈性支承原來的位置為u=0，則 表示彈性支承 的應變。根據(jù)胡克定律，此時弦在x=a處沿位移方向的張力 應與彈力相等。|x aux auTx數(shù)理方程Nanjing

37、 University of Posts and Telecommunications 初始條件初始條件和和邊界條件邊界條件統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為定解條件定解條件。把某個偏微分方。把某個偏微分方程和相應的定解條件結合在一起，就構成了一個程和相應的定解條件結合在一起，就構成了一個定解問題定解問題。(1) 初始問題：只有初始條件，沒有邊界條件的定解問題；初始問題：只有初始條件，沒有邊界條件的定解問題；(2) 邊值問題：沒有初始條件，只有邊界條件的定解問題；邊值問題：沒有初始條件，只有邊界條件的定解問題；(3) 混合問題：既有初始條件，也有邊界條件的定解問題?；旌蠁栴}：既有初始條件，也有邊界條件的定解問題。定

38、解問題的適定性定解問題的適定性 :解的存在性：定解問題是否有解；解的存在性：定解問題是否有解；解的唯一性：是否只有一解；解的唯一性：是否只有一解；解的穩(wěn)定性：定解條件微小變動時，解是否有相應的微小變動。解的穩(wěn)定性：定解條件微小變動時，解是否有相應的微小變動。數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications3 3、定解問題泛定方程、定解問題泛定方程+ +定解條件定解條件0|0lxxuu20,0ttxxua uxl t 0)( |c-x| , 2|c-x| , 0| , 0|00kuuttt定解問題定解問題長為長為 的細弦兩端固定，開始時

39、弦上各點處于平衡位置，的細弦兩端固定，開始時弦上各點處于平衡位置，在在 處受到沖量處受到沖量 的作用的作用lcx k 定解問題的適定性定解問題的適定性：解的：解的存在性存在性、解的、解的唯一性唯一性和解的和解的穩(wěn)定性穩(wěn)定性；若若 一個定解問題存在唯一且穩(wěn)定的解，則此問題稱為適定的。一個定解問題存在唯一且穩(wěn)定的解，則此問題稱為適定的。 數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications例例1：試給出一個由下列定解問題描述的物理模型：試給出一個由下列定解問題描述的物理模型： 0| |a ),(22221222222byxayxnuubyxy

40、xfyuxu t),z,y,f(x| ),( 0000Mtzyxu第一類邊界條件t),z,y,f(x|nt)z,y,u(x, 0000M第二類邊界條件恒定場問題（恒定溫度場，恒定電磁場，恒定濃度場）恒定場問題（恒定溫度場，恒定電磁場，恒定濃度場）數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications222()0,ttxxyyua uuxyR例例2、設一圓膜邊界固定，周圍介質阻力可忽略不、設一圓膜邊界固定，周圍介質阻力可忽略不計，且該膜初始偏移與速度均為徑向對稱分布，試給計，且該膜初始偏移與速度均為徑向對稱分布，試給出描述由此初始狀態(tài)引起的膜

41、的微小振動的定解問題。出描述由此初始狀態(tài)引起的膜的微小振動的定解問題。0|( )tuf r 0|( )ttuv r 22|0 xyRu 數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications(a) 0| , 0|0lxxuu (第一類邊界條件第一類邊界條件) (b)因為當沿桿長方向有熱量流動時由因為當沿桿長方向有熱量流動時由Fourier熱傳導定律（即熱流強度熱傳導定律（即熱流強度 ）有）有 qku lxxxukqxukq,)(00| , 00lxxxxuu0q（c）顯然，此時有）顯然，此時有0| , 00lxxxuu,t),z,yf(xH

42、uuMn000 | 0可看為第三類邊界條件可看為第三類邊界條件 l例例3 3、考慮長為、考慮長為 的均勻桿的導熱問題，寫出以下三種情況下的邊界條件的均勻桿的導熱問題，寫出以下三種情況下的邊界條件 （a）桿的兩端溫度保持零度；）桿的兩端溫度保持零度； （b）桿的兩端均絕熱；）桿的兩端均絕熱；(c) 桿的一端為恒溫零度，另一端絕熱；桿的一端為恒溫零度，另一端絕熱；nnqqx解：設桿的溫度為解：設桿的溫度為 ),(txu數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications ),( )0 ,(0| 0 (t)|a ),(222212222222y

43、xyxunutuubyxyxfyuxuatubyxayx例例4、試給出一個由下列定解問題描述的物理模型：、試給出一個由下列定解問題描述的物理模型：例例5、有一長為、有一長為 的均勻細桿，側面與外界無熱交換，桿內有強度的均勻細桿，側面與外界無熱交換，桿內有強度隨時間變化的熱源，設在同一截面上具有同一熱源強度及初始溫隨時間變化的熱源，設在同一截面上具有同一熱源強度及初始溫度，且桿的一端保持度，且桿的一端保持 零度，另一端絕熱，寫出定解問題。零度，另一端絕熱，寫出定解問題。l2( , )txxua uf x t0|0 xu |0nx lxx luu 0|( )tuF x數(shù)理方程Nanjing Uni

44、versity of Posts and Telecommunications(4) 按未知函數(shù)及其導數(shù)的系數(shù)是否變化分為按未知函數(shù)及其導數(shù)的系數(shù)是否變化分為常系數(shù)常系數(shù)和和變系變系數(shù)數(shù)微分方程；微分方程；(5) 按自由項是否為零分為按自由項是否為零分為齊次方程齊次方程和和非齊次方程非齊次方程3、微分方程一般分類、微分方程一般分類 (1) 按自變量的個數(shù)，分為二元和多元方程按自變量的個數(shù)，分為二元和多元方程；(2) 按未知函數(shù)及其導數(shù)的冪次，分為按未知函數(shù)及其導數(shù)的冪次，分為線性微分方程線性微分方程(均為一次均為一次)和和 非線性微分方程非線性微分方程（超過一次）（超過一次）；(3) 按方程中未知函數(shù)導數(shù)的最高階數(shù)，分為按方程中未知函數(shù)導數(shù)的最高階數(shù)，分為一階一階、二階二階 和和高階高階微分方程微分方程；數(shù)理方程Nanjing University of Posts and Telecomm