目標規(guī)劃的數(shù)學模型

1、目標規(guī)劃（目標規(guī)劃（Goal ProgrammingGoal Programming，簡記為，簡記為GP)GP)是在線性規(guī)劃是在線性規(guī)劃 的基礎(chǔ)的基礎(chǔ) 上，為適應(yīng)經(jīng)濟管理中上，為適應(yīng)經(jīng)濟管理中多目標決策多目標決策的需要而逐步發(fā)展起來的一個運籌學分的需要而逐步發(fā)展起來的一個運籌學分支，是實行目標管理這種現(xiàn)代化管理技術(shù)的一個有支，是實行目標管理這種現(xiàn)代化管理技術(shù)的一個有效工具效工具. .目標規(guī)劃的有關(guān)概念和模型最早在目標規(guī)劃的有關(guān)概念和模型最早在19611961年由美國學年由美國學者查恩斯（者查恩斯（A.CharnesA.Charnes）和庫伯（）和庫伯（W.W.CooporW.W.Coopor）

2、在）在他們合著的他們合著的管理模型和性規(guī)劃的工業(yè)應(yīng)用管理模型和性規(guī)劃的工業(yè)應(yīng)用一書一書中提出，以后這種模型又先后經(jīng)尤吉中提出，以后這種模型又先后經(jīng)尤吉艾吉里艾吉里（ Yuji.IjiriYuji.Ijiri）等人的不斷完善改進，）等人的不斷完善改進，19761976年伊格尼年伊格尼齊奧（齊奧（J.P.IgnizioJ.P.Ignizio）發(fā)表了）發(fā)表了目標規(guī)劃及其擴展目標規(guī)劃及其擴展一一書，書， 系統(tǒng)歸納總結(jié)了目標規(guī)劃的理論和方法系統(tǒng)歸納總結(jié)了目標規(guī)劃的理論和方法目前研究較多的有目前研究較多的有線性目標規(guī)劃線性目標規(guī)劃、非線性目標規(guī)劃、非線性目標規(guī)劃、線性整數(shù)目標規(guī)劃和線性整數(shù)目標規(guī)劃和0 0

3、1 1目標規(guī)劃等目標規(guī)劃等. .本章主要研究本章主要研究線性目標規(guī)劃線性目標規(guī)劃 某生物藥廠需在市場上采購某種原料，某生物藥廠需在市場上采購某種原料，現(xiàn)市場上有甲、乙兩個等級，現(xiàn)市場上有甲、乙兩個等級，單價分別為單價分別為 2 2 千元千元/kg/kg和和 1 1 千元千元/kg/kg，要求采購的總費用不得超過要求采購的總費用不得超過 2020 萬元，萬元，購得原料的總重量不少于購得原料的總重量不少于 100100 kg kg，而甲級原料又不得少于而甲級原料又不得少于 5050 kg kg，問如何確定最好的采購方案問如何確定最好的采購方案? ?（即用（即用最少的錢最少的錢、采購、采購最多數(shù)量最

4、多數(shù)量的原料）的原料） 目標函數(shù)為：目標函數(shù)為： 2xxyMax1xx2yMin212211 121211222031004505,06xxxxxxx 這是一個含有兩個目標的數(shù)學規(guī)劃問題這是一個含有兩個目標的數(shù)學規(guī)劃問題 設(shè)設(shè) x x1 1 ,x ,x2 2分別為采購甲級、乙級原材料的數(shù)量分別為采購甲級、乙級原材料的數(shù)量（單位：（單位：kgkg）y y1 1 為花掉的資金，為花掉的資金， y y2 2為所購原料總量則為所購原料總量則：某廠計劃在下一個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種某廠計劃在下一個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知資料如表所示。產(chǎn)品，已知資料如表所示。試制定生產(chǎn)計劃，使獲得的利潤最大？

5、試制定生產(chǎn)計劃，使獲得的利潤最大？同時同時，根據(jù)市場預(yù)測，根據(jù)市場預(yù)測:甲的銷路不是太好，應(yīng)盡可能少生產(chǎn)；乙的銷路較好，甲的銷路不是太好，應(yīng)盡可能少生產(chǎn)；乙的銷路較好，可以擴大生產(chǎn)，在此基礎(chǔ)上使產(chǎn)量達到最大?？梢詳U大生產(chǎn)，在此基礎(chǔ)上使產(chǎn)量達到最大。試建立此問題的數(shù)學模型。試建立此問題的數(shù)學模型。12070單件利潤單件利潤3000103設(shè)備臺時設(shè)備臺時200054煤炭煤炭360049鋼材鋼材資源限制資源限制乙乙甲甲 單位單位 產(chǎn)品產(chǎn)品資源資源 消耗消耗 設(shè)：甲，乙產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為設(shè)：甲，乙產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為X1 , , X2一般有：一般有：maxZmaxZ=70 =70 x x1 1 + 120

6、+ 120 x x2 2 9 9 x x1 1 +4 +4 x x2 2 3600 3600 4 4 x x1 1 +5 +5 x x2 2 2000 2000 3 3 x x1 1 +10 +10 x x2 2 3000 3000 x x1 1 ， x x2 2 00同時：同時：maxZmaxZ1 1=70 =70 x x1 1 + 120+ 120 x x2 2 maxZ maxZ2 2= = x x1 1 maxZ maxZ3 3= = x x2 2 9 9 x x1 1 +4 +4 x x2 2 3600 3600 4 4 x x1 1 +5 +5 x x2 2 2000 2000 3

7、 3 x x1 1 +10 +10 x x2 2 3000 3000 x x1 1 ， x x2 2 00 顯然，這是一個多目標規(guī)劃問題，用線性規(guī)劃顯然，這是一個多目標規(guī)劃問題，用線性規(guī)劃方法很難找到最優(yōu)解。方法很難找到最優(yōu)解。 對于多目標問題，線性規(guī)劃很難為其找到對于多目標問題，線性規(guī)劃很難為其找到最優(yōu)方案極有可能出現(xiàn)：最優(yōu)方案極有可能出現(xiàn)：就是說很難找到一個方案使就是說很難找到一個方案使所有目標同時達到最優(yōu)，特別當約束條件中有矛所有目標同時達到最優(yōu)，特別當約束條件中有矛盾方程時，線性規(guī)劃方法是無法解決的實踐中，盾方程時，線性規(guī)劃方法是無法解決的實踐中，人們轉(zhuǎn)而采取人們轉(zhuǎn)而采取“不求最好，但

8、求不求最好，但求滿意滿意”的策略，的策略，在在線性規(guī)劃的基礎(chǔ)上建立一種新的數(shù)學規(guī)劃方線性規(guī)劃的基礎(chǔ)上建立一種新的數(shù)學規(guī)劃方法法目標規(guī)劃目標規(guī)劃 目標規(guī)劃是在線性規(guī)劃的基礎(chǔ)上，為適應(yīng)經(jīng)濟管理目標規(guī)劃是在線性規(guī)劃的基礎(chǔ)上，為適應(yīng)經(jīng)濟管理中多目標決策的需要而逐步發(fā)展起來的一個分支。中多目標決策的需要而逐步發(fā)展起來的一個分支。 線性規(guī)劃求線性規(guī)劃求最優(yōu)解最優(yōu)解； 目標規(guī)劃是找到一個目標規(guī)劃是找到一個滿意解滿意解。 線性規(guī)劃只討論線性規(guī)劃只討論一個線性目標函數(shù)一個線性目標函數(shù)在一組線性約在一組線性約束條件下的極值問題；束條件下的極值問題；而目標規(guī)劃是而目標規(guī)劃是多個目標決策多個目標決策，可求得更切合實際

9、的解。，可求得更切合實際的解。 線性規(guī)劃中的線性規(guī)劃中的約束條件是同等重要約束條件是同等重要的，是的，是硬約束硬約束；而目標規(guī)劃中有輕重緩急和主次之分，即而目標規(guī)劃中有輕重緩急和主次之分，即有優(yōu)先權(quán)有優(yōu)先權(quán)是是軟約束軟約束。 線性規(guī)劃的最優(yōu)解是線性規(guī)劃的最優(yōu)解是絕對意義下的最優(yōu)絕對意義下的最優(yōu)，但，但需花去大量的人力、物力、財力才能得到；需花去大量的人力、物力、財力才能得到；實際過程中，只要求得滿意解，就能實際過程中，只要求得滿意解，就能滿足需要滿足需要（或更能滿足需要）。（或更能滿足需要）。 因此，目前，目標規(guī)劃已經(jīng)在經(jīng)濟計劃、生產(chǎn)管理、因此，目前，目標規(guī)劃已經(jīng)在經(jīng)濟計劃、生產(chǎn)管理、經(jīng)營管理

10、、市場分析、財務(wù)管理等方面得到了廣泛經(jīng)營管理、市場分析、財務(wù)管理等方面得到了廣泛的應(yīng)用。的應(yīng)用。多目標規(guī)劃問題的一般形式如下多目標規(guī)劃問題的一般形式如下( (簡記為：簡記為：GP1)GP1)1111122112211222221122MaxMax Maxnnnnmmmmnnmyc xc xc xC Xyc xc xcxC XycxcxcxC X11112211211222221122120s.t ,nnnnkkknnkna xaxaxbaxaxaxbaxcxcxbxxx矩陣表示為：矩陣表示為：0Max,: (GP1)YCXAXBX約束條件約束條件 其他情況：如目標函數(shù)為其他情況：如目標函數(shù)為

11、min y , min y , 約束條件約束條件為為“”，都可作適當?shù)淖儞Q，調(diào)整為上面的形，都可作適當?shù)淖儞Q，調(diào)整為上面的形式式. . 對于多目標問題中大多的情況是：對于多目標問題中大多的情況是：由于多目標之間存在相互矛盾，由于多目標之間存在相互矛盾，最優(yōu)解往往不可能存在，最優(yōu)解往往不可能存在，這就要求我們退而求其次，這就要求我們退而求其次，根據(jù)目標之間的相對重要程度，根據(jù)目標之間的相對重要程度，分等級和權(quán)重，分等級和權(quán)重，求出求出（），），為此引入以下概念，為此引入以下概念，對目標函數(shù)和約束條件作適當處理對目標函數(shù)和約束條件作適當處理 v目標值和偏差變量目標值和偏差變量v目標約束和絕對約束目

12、標約束和絕對約束v達成函數(shù)（即目標規(guī)劃中的目標函數(shù)）達成函數(shù)（即目標規(guī)劃中的目標函數(shù)）v優(yōu)先因子（優(yōu)先等級）與優(yōu)先權(quán)系數(shù)優(yōu)先因子（優(yōu)先等級）與優(yōu)先權(quán)系數(shù)v滿意解（具有層次意義的解）滿意解（具有層次意義的解） 目標規(guī)劃通過引入目標規(guī)劃通過引入目標值和偏差變量目標值和偏差變量，將原目標函數(shù)和原約束條件轉(zhuǎn)化為目標約束。將原目標函數(shù)和原約束條件轉(zhuǎn)化為目標約束。 目標值目標值：是指預(yù)先給定的某個目標的一個期望值。：是指預(yù)先給定的某個目標的一個期望值。 實際值或決策值實際值或決策值：是指當決策變量：是指當決策變量x xj j 選定以后，選定以后，目標函數(shù)的對應(yīng)值。目標函數(shù)的對應(yīng)值。 偏差變量偏差變量（事先

13、無法確定的未知數(shù)）：是指實際值（事先無法確定的未知數(shù)）：是指實際值和目標值之間的差異和目標值之間的差異, ,記為記為 d d （d0d0 ) )。 正偏差變量正偏差變量：表示實際值超過目標值的部分，：表示實際值超過目標值的部分，記為記為 d d。 負偏差變量負偏差變量：表示實際值未達到目標值的部分，：表示實際值未達到目標值的部分，記為記為 d d。當當完成或超額完成完成或超額完成規(guī)定的指標則表示：規(guī)定的指標則表示：d d0, d0, d0 0當當未完成未完成規(guī)定的指標則表示：規(guī)定的指標則表示： d d0, d0, d00當當恰好完成恰好完成指標時則表示：指標時則表示： d d0, d0, d0

14、 0在一次決策中，實際值不可能既超過目標值又在一次決策中，實際值不可能既超過目標值又未達到目標值，故有未達到目標值，故有 d d d d 0,0,并規(guī)定并規(guī)定d d0, d0, d00 d d d d 0 0 成立。成立。實際操作中，當目標值確定時，所做的決策只可實際操作中，當目標值確定時，所做的決策只可能出現(xiàn)以下三種情況（即由能出現(xiàn)以下三種情況（即由d d+ +和和d d- - 所構(gòu)成的所構(gòu)成的3 3種不種不同組合表示的含義）同組合表示的含義）：（1 1）目標約束）目標約束是目標規(guī)劃中所特有的，是目標規(guī)劃中所特有的，可把可把約束條件的右端項約束條件的右端項看作要追求的看作要追求的目標值目標值

15、；也可以對也可以對目標函數(shù)目標函數(shù)規(guī)定一個規(guī)定一個目標值目標值。在達到此目標值時允許發(fā)生正或負偏差，在達到此目標值時允許發(fā)生正或負偏差，因此可在這些約束或目標函數(shù)中加入因此可在這些約束或目標函數(shù)中加入正、負偏差變量；正、負偏差變量；引入引入目標值和正、負偏差變量目標值和正、負偏差變量后，后，把把原目標函數(shù)原目標函數(shù)和和原約束條件原約束條件轉(zhuǎn)化成約束方程，轉(zhuǎn)化成約束方程，都并入到約束條件中，都并入到約束條件中，我們稱這類我們稱這類具有機動余地的約束為目標約束具有機動余地的約束為目標約束 。也稱為也稱為軟約束軟約束。（2 2）絕對約束（系統(tǒng)約束）絕對約束（系統(tǒng)約束）是指必須嚴格滿足的等式或不等式約

16、束。是指必須嚴格滿足的等式或不等式約束。如線性規(guī)劃中的所有約束條件都是絕對約束，如線性規(guī)劃中的所有約束條件都是絕對約束，否則無可行解。否則無可行解。所以，絕對約束是所以，絕對約束是硬約束硬約束。 ：在下例中，規(guī)定在下例中，規(guī)定Z Z1 1 的目標值為的目標值為 50000, 50000, 正、負偏差為正、負偏差為d d、d d , ,則目標函數(shù)可以轉(zhuǎn)換為目標約則目標函數(shù)可以轉(zhuǎn)換為目標約 束，即束，即70 x1 + 120 x2 50000， 同樣，若規(guī)定產(chǎn)品甲期望值是同樣，若規(guī)定產(chǎn)品甲期望值是 200200件，產(chǎn)品乙期望件，產(chǎn)品乙期望值是值是 250250件件, ,則有：則有： 11dd200

17、221ddx250332ddx)3 . 2 . 1( 0,jddjj若規(guī)定若規(guī)定36003600的鋼材必須用完，的鋼材必須用完，原式原式9 x1 +4 x2 3600則變?yōu)閯t變?yōu)?, 360049444421ddddxx將將原目標函數(shù)原目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為目標約束：轉(zhuǎn)化為目標約束：（需引入目標值和正、負偏差變量需引入目標值和正、負偏差變量）maxZ1=70 x1 + 120 x2 maxZ2= x1 maxZ3= x2 9 x1 +4 x2 3600 4 x1 +5 x2 2000 3 x1 +10 x2 3000 x1 ， x2 0將將原約束條件原約束條件轉(zhuǎn)化為目標約束。轉(zhuǎn)化為目標約束。maxZ1

18、=70 x1 + 120 x2 maxZ2= x1 maxZ3= x2 9 x1 +4 x2 3600 4 x1 +5 x2 2000 3 x1 +10 x2 3000 x1 ， x2 0一個規(guī)劃問題常常有若干目標。一個規(guī)劃問題常常有若干目標。但決策者在要求達到這些目標時，但決策者在要求達到這些目標時，是有主次或輕重緩急的不同。是有主次或輕重緩急的不同。 優(yōu)先因子優(yōu)先因子P Pk k 是將決策目標按其重要程度排序是將決策目標按其重要程度排序并表示出來。并表示出來。要求第一位達到的目標賦予優(yōu)先因子要求第一位達到的目標賦予優(yōu)先因子P P1 1，次位的目標賦予優(yōu)先因子次位的目標賦予優(yōu)先因子P P2

19、2，并規(guī)定并規(guī)定P Pk kPPk+1k+1，表示表示P Pk k比比P Pk+1k+1有更大的優(yōu)先權(quán)。有更大的優(yōu)先權(quán)。即首先保證即首先保證P P1 1級目標的實現(xiàn)，級目標的實現(xiàn)，這時可不考慮次級目標；這時可不考慮次級目標；而而P P2 2級目標是在實現(xiàn)級目標是在實現(xiàn)P P1 1級目標的基礎(chǔ)上考慮的；級目標的基礎(chǔ)上考慮的；依此類推。依此類推。即不管即不管P Pk+1k+1乘以一個多大的正數(shù)乘以一個多大的正數(shù)MM，總成立總成立P Pk kMPMPk+1k+1, ,表示表示P Pk k比比P Pk+1k+1具有絕對的優(yōu)先權(quán)具有絕對的優(yōu)先權(quán)因此，不同的優(yōu)先因子代表著不同的優(yōu)先等級因此，不同的優(yōu)先因子

20、代表著不同的優(yōu)先等級若要進一步若要進一步區(qū)別具有相同優(yōu)先級的多個目標區(qū)別具有相同優(yōu)先級的多個目標，則可分別賦予它們不同的則可分別賦予它們不同的權(quán)系數(shù)權(quán)系數(shù)j j ( (j j 可取一確定的非負實數(shù)可取一確定的非負實數(shù)) )，根據(jù)目標的重要程度而給它們賦值，根據(jù)目標的重要程度而給它們賦值，重要的目標，賦值較大，重要的目標，賦值較大，反之反之j j 值就小值就小 對于這種解來說，對于這種解來說，前面的目標可以保證實現(xiàn)或部分實現(xiàn)，前面的目標可以保證實現(xiàn)或部分實現(xiàn)，而后面的目標就不一定能保證實現(xiàn)或部分實現(xiàn)，而后面的目標就不一定能保證實現(xiàn)或部分實現(xiàn)，有些可能就不能實現(xiàn)。有些可能就不能實現(xiàn)。 某廠生產(chǎn)某廠

21、生產(chǎn)、兩兩種產(chǎn)品，有關(guān)數(shù)據(jù)如表種產(chǎn)品，有關(guān)數(shù)據(jù)如表所示。所示。擁有量擁有量原材料原材料2 21 111 11設(shè)備設(shè)備( (臺時臺時) )1 12 21010單件利潤單件利潤8 81010 這是求獲利最大的單目標的規(guī)劃問題，用這是求獲利最大的單目標的規(guī)劃問題，用x1，x2分別表示分別表示，產(chǎn)品的產(chǎn)量，其線性規(guī)劃產(chǎn)品的產(chǎn)量，其線性規(guī)劃模型表述為：模型表述為： 0 x,x10 x2x11xx2x10 x8zmax21212121滿滿足足約約束束條條件件：目目標標函函數(shù)數(shù)：(4,3) 0 x,x10 x2x11xx2x10 x8zmax21212121滿滿足足約約束束條條件件：目目標標函函數(shù)數(shù)： 1、

22、產(chǎn)品產(chǎn)品的產(chǎn)量不大于的產(chǎn)量不大于的產(chǎn)量；的產(chǎn)量； 2 、 超過計劃供應(yīng)的原材料時，需要高價采購，會超過計劃供應(yīng)的原材料時，需要高價采購，會 使成本大幅度增加。使成本大幅度增加。(硬約束）硬約束） 3、充分利用設(shè)備有效臺時，不加班；充分利用設(shè)備有效臺時，不加班； 4、利潤不小于利潤不小于 56 元。元。設(shè)設(shè)x1， x2分別表示產(chǎn)品分別表示產(chǎn)品和產(chǎn)品和產(chǎn)品的產(chǎn)量。的產(chǎn)量。這樣在考慮產(chǎn)品決策時，便為多目標決策問題。這樣在考慮產(chǎn)品決策時，便為多目標決策問題。 目標規(guī)劃方法是解這類決策問題的方法之一。目標規(guī)劃方法是解這類決策問題的方法之一。 下面通過前面引入的概念建立目標規(guī)劃數(shù)學模型。下面通過前面引入的

23、概念建立目標規(guī)劃數(shù)學模型?，F(xiàn)在決策者根據(jù)企業(yè)的實際情況和市場需求，現(xiàn)在決策者根據(jù)企業(yè)的實際情況和市場需求，需要重新制定經(jīng)營目標，需要重新制定經(jīng)營目標，其目標的其目標的優(yōu)先順序優(yōu)先順序如下：如下：v 引進正、負偏差變量引進正、負偏差變量d d+ +，d d- - 。正偏差變量正偏差變量d d表示決策值超過目標值的部分；表示決策值超過目標值的部分；負偏差變量負偏差變量d d- -表示決策值未達到目標值的部分。表示決策值未達到目標值的部分。（1）.建立目標約束和系統(tǒng)約束：建立目標約束和系統(tǒng)約束：0ddx x1121 21x x 產(chǎn)品產(chǎn)品的產(chǎn)量不大于的產(chǎn)量不大于的產(chǎn)量的產(chǎn)量: :10ddx2 x222

24、1 56ddx10 x83321 11 x x221 充分充分利用設(shè)備有效臺時，但不希望加班利用設(shè)備有效臺時，但不希望加班: :利潤利潤不小于不小于 56 56 元元: :原材料原材料約束約束:10 x2 x21 56x10 x821 d d1 1- - : : X X1 1產(chǎn)量不足產(chǎn)量不足X X2 2 部分部分d d1 1+ + : : X X1 1產(chǎn)量超過產(chǎn)量超過X X2 2 部分部分d d2 2- - : : 設(shè)備使用不足設(shè)備使用不足1010 部分部分d d2 2+ + : :設(shè)備使用超過設(shè)備使用超過10 10 部分部分d d3 3- - : : 利潤不足利潤不足56 56 部分部分d

25、d3 3+ + : :利潤超過利潤超過56 56 部分部分2X X1 1+X+X2 2 11 11X X1 1 -X-X2 2 +d+d1 1- - -d-d1 1+ +=0=0X X1 1 +2X+2X2 2 +d+d2 2- - -d-d2 2+ +=10=108X8X1 1 +10X+10X2 2 +d+d3 3- - -d-d3 3+ +=56=56X X1 1 , , X X2 2 , , d di i- - , , d di i+ + 0 0 d di i- - . . d di i+ + =0=0 第一目標：第一目標： 即產(chǎn)品即產(chǎn)品的產(chǎn)量不大于的產(chǎn)量不大于的產(chǎn)量。的產(chǎn)量。 11d

26、P第二目標：第二目標：即充分利用設(shè)備有效臺時，不加班即充分利用設(shè)備有效臺時，不加班)dd(P222 第三目標：第三目標：即利潤不小于即利潤不小于 56 56 元元 33dP（2 2）確定優(yōu)先等級）確定優(yōu)先等級: :（3）達成函數(shù)：）達成函數(shù)： 3322211dP)dd(PdPZmin目標函數(shù)目標函數(shù) 先滿足先滿足 minminZ Z1 1 = d= d1 1+ + 再滿足再滿足 minminZ Z2 2 = d= d2 2- - +d+d2 2+ + 后滿足后滿足 minminZ Z3 3 = d= d3 3- - 或或 minminZ Z=P=P1 1d d1 1+ +P+P2 2( (d

27、d2 2- -+d+d2 2+ +) )+P+P3 3( (d d3 3- -) ) min minP P1 1d d1 1+ + , , P P2 2( (d d2 2- -+d+d2 2+ +) ), P, P3 3( (d d3 3- -) )一般記作：一般記作： )3,2,1i ( 0d ,d,0 x,x11 x x256ddx10 x810ddx2 x 0ddx x dP)dd(PdPZminii21213321222111213322211目標規(guī)劃模型：目標規(guī)劃模型：例例 ： 常山機器廠生產(chǎn)常山機器廠生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品兩種產(chǎn)品. .這兩種產(chǎn)品都要分別在這兩種產(chǎn)品都要分別在A A、B B

28、、C C三種不同設(shè)備上加工三種不同設(shè)備上加工. .按工藝資料規(guī)定，按工藝資料規(guī)定，生產(chǎn)每件產(chǎn)品生產(chǎn)每件產(chǎn)品需占用各設(shè)備分別為需占用各設(shè)備分別為2h2h、4h4h、0h0h，生產(chǎn)每件產(chǎn)品生產(chǎn)每件產(chǎn)品，需占用各設(shè)備分別為，需占用各設(shè)備分別為2h2h、0h0h、5h5h. .已知各設(shè)備計劃期內(nèi)用于生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的能力分別為已知各設(shè)備計劃期內(nèi)用于生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的能力分別為12h12h、16h16h、15h15h，又知每生產(chǎn)一件產(chǎn)品又知每生產(chǎn)一件產(chǎn)品企業(yè)能獲得企業(yè)能獲得2 2元利潤，元利潤，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品每生產(chǎn)一件產(chǎn)品企業(yè)能獲得企業(yè)能獲得3 3元利潤，元利潤，問該企業(yè)應(yīng)安排生產(chǎn)兩種產(chǎn)品各多少件，問該企業(yè)

29、應(yīng)安排生產(chǎn)兩種產(chǎn)品各多少件，使總的利潤收入為最大使總的利潤收入為最大. . 產(chǎn)產(chǎn)品品 設(shè)設(shè)備備 生生產(chǎn)產(chǎn)能能力力 A 2 2 12 B 4 0 16 C 0 5 15 利利潤潤(元元) 2 3 0 x,x15x516x412x2x2. t . sx3x2zmax21212121最優(yōu)解為最優(yōu)解為x x1 1=3=3， x x2 2=3=3，z z* *=15=15元元. . 產(chǎn)產(chǎn)品品 設(shè)設(shè)備備 生生產(chǎn)產(chǎn)能能力力 A 2 2 12 B 4 0 16 C 0 5 15 利利潤潤(元元) 2 3 解：解：設(shè)設(shè)x x1 1和和x x2 2分別為分別為、兩種產(chǎn)品在計劃期內(nèi)兩種產(chǎn)品在計劃期內(nèi) 的產(chǎn)量的產(chǎn)量.

30、 .(1)(1)力求使利潤指標不低于力求使利潤指標不低于1515元；元；(2)(2)考慮到市場需求，考慮到市場需求，、兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)量需兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)量需 保持保持1 1：2 2的比例；的比例； (3)A(3)A為貴重設(shè)備，嚴格禁止超時使用；（硬約束）為貴重設(shè)備，嚴格禁止超時使用；（硬約束）(4)(4)設(shè)備設(shè)備C C可以適當加班，但要控制；可以適當加班，但要控制； 設(shè)備設(shè)備B B既要求充分利用，又盡可能不加班，既要求充分利用，又盡可能不加班， 又在重要性上設(shè)備又在重要性上設(shè)備B B是是C C的的3 3倍倍. .但企業(yè)的經(jīng)營不僅僅是利潤，而是考慮如下但企業(yè)的經(jīng)營不僅僅是利潤，而是考慮如下 多方面

31、：多方面：1. 1.設(shè)置偏差變量，用來表明實際值同目標值之間設(shè)置偏差變量，用來表明實際值同目標值之間 的差異的差異. .d d+ + 超出目標的差值，稱正偏差變量超出目標的差值，稱正偏差變量d d 未達到目標的差值，稱負偏差變量未達到目標的差值，稱負偏差變量d d+ +和和d d 兩者中必有一個為零兩者中必有一個為零. .2.2.統(tǒng)一處理目標函數(shù)和約束條件統(tǒng)一處理目標函數(shù)和約束條件設(shè)備設(shè)備A A嚴格嚴格禁止超時使用（禁止超時使用（硬約束硬約束） 2x2x1 1+2x+2x2 2 12 12 要求要求、兩種產(chǎn)品保持兩種產(chǎn)品保持1 1：2 2的比例的比例x x1 1/x/x2 2=1/2=1/2或

32、或2x2x1 1-x-x2 2=0=0 0ddxx2ddmin21(1)(1)力求使利潤指標不低于力求使利潤指標不低于1515元；元；(2)(2)考慮到市場需求，考慮到市場需求，、兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)量需兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)量需 保持保持1 1：2 2的比例；的比例； (3)A(3)A為貴重設(shè)備，嚴格禁止超時使用；（硬約束）為貴重設(shè)備，嚴格禁止超時使用；（硬約束）(4)(4)設(shè)備設(shè)備C C可以適當加班，但要控制；可以適當加班，但要控制； 設(shè)備設(shè)備B B既要求充分利用，又盡可能不加班，既要求充分利用，又盡可能不加班， 又在重要性上設(shè)備又在重要性上設(shè)備B B是是C C的的3 3倍倍. . 0 x,x15x51

33、6x412x2x2. t . sx3x2zmax21212121力求力求使利潤指標不低于使利潤指標不低于1515元元 15ddx3x2dmin21設(shè)備設(shè)備C C可以適當加班，但要控制可以適當加班，但要控制 15ddx5dmin2設(shè)備設(shè)備B B既要求充分利用，又盡可能不加班既要求充分利用，又盡可能不加班 16ddx4ddmin1(1)(1)力求使利潤指標不低于力求使利潤指標不低于1515元；元；(2)(2)考慮到市場需求，考慮到市場需求，、兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)量需兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)量需 保持保持1 1：2 2的比例；的比例； (3)A(3)A為貴重設(shè)備，嚴格禁止超時使用；（硬約束）為貴重設(shè)備，嚴格禁止超時

34、使用；（硬約束）(4)(4)設(shè)備設(shè)備C C可以適當加班，但要控制；可以適當加班，但要控制； 設(shè)備設(shè)備B B既要求充分利用，又盡可能不加班，既要求充分利用，又盡可能不加班， 又在重要性上設(shè)備又在重要性上設(shè)備B B是是C C的的3 3倍倍. . 0 x,x15x516x412x2x2. t . sx3x2zmax212121213.3.目標的優(yōu)先級與權(quán)系數(shù)目標的優(yōu)先級與權(quán)系數(shù)優(yōu)先因子優(yōu)先因子用用P P1 1，P P2 2，表示，并規(guī)定表示，并規(guī)定P Pk k P Pk+1k+1權(quán)系數(shù)權(quán)系數(shù)該廠必須滿足設(shè)備該廠必須滿足設(shè)備A A的硬性約束（不在目標約束中）的硬性約束（不在目標約束中）第一優(yōu)先級：利潤

35、第一優(yōu)先級：利潤第二優(yōu)先級：第二優(yōu)先級： 、產(chǎn)品的產(chǎn)量盡可能保持產(chǎn)品的產(chǎn)量盡可能保持1 1：2 2 的比例的比例第三優(yōu)先級：設(shè)備第三優(yōu)先級：設(shè)備C C、B B的工作時間所控制的工作時間所控制第三優(yōu)先級：設(shè)備第三優(yōu)先級：設(shè)備B B的重要性比設(shè)備的重要性比設(shè)備C C大三倍大三倍目標函數(shù)中在設(shè)備目標函數(shù)中在設(shè)備B B的偏差變量前冠以權(quán)系數(shù)的偏差變量前冠以權(quán)系數(shù)3 3 )4 , 1i (0d,d,x,x15ddx516ddx40ddxx215ddx3x212x2x2. t . sdPddP3ddPdPzminii2144233122211121214333322211(1)(1)力求使利潤指標不低于力

36、求使利潤指標不低于1515元；元；(2)(2)考慮到市場需求，考慮到市場需求，、兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)量需保持兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)量需保持 1 1：2 2的比例；的比例； (3)A(3)A為貴重設(shè)備，嚴格禁止超時使用；為貴重設(shè)備，嚴格禁止超時使用；(4)(4)設(shè)備設(shè)備C C可以適當加班，但要控制；設(shè)備可以適當加班，但要控制；設(shè)備B B既要求充分利用，既要求充分利用， 又盡可能不加班，又在重要性上設(shè)備又盡可能不加班，又在重要性上設(shè)備B B是是C C的的3 3倍倍. . 0 x,x15x516x412x2x2. t . sx3x2zmax21212121目標規(guī)劃的一般數(shù)學模型目標規(guī)劃的一般數(shù)學模型 L, 1l0

37、d,dn, 1j0 xL, 1lgddxcm, 1ibxa. t . sddPzminlljllln1jjljin1jjijL1llkllklK1kk，P Pk k為第為第k k級優(yōu)先因子，級優(yōu)先因子，k=1, k=1, ,K;,K; - -kl kl， + +kl kl為分別賦予第為分別賦予第l l個目標約束的正負偏差變量個目標約束的正負偏差變量的權(quán)系數(shù)的權(quán)系數(shù)g gl l為第為第l l個目標的預(yù)期目標值，個目標的預(yù)期目標值，l=1, l=1, ,L.,L. 某廠計劃在下一個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)甲、某廠計劃在下一個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)甲、 乙兩種產(chǎn)品，已知資料如表所示。試制定生產(chǎn)乙兩種產(chǎn)品，已知資料如表

38、所示。試制定生產(chǎn) 計劃，使獲得的計劃，使獲得的利潤最大利潤最大？同時，根據(jù)市場預(yù)測，？同時，根據(jù)市場預(yù)測， 甲的銷路不是太好，應(yīng)盡可能少生產(chǎn)；乙的銷路較好，甲的銷路不是太好，應(yīng)盡可能少生產(chǎn)；乙的銷路較好，可以擴大生產(chǎn)，在此基礎(chǔ)上使可以擴大生產(chǎn)，在此基礎(chǔ)上使產(chǎn)量達到最大產(chǎn)量達到最大，試建立，試建立此問題的數(shù)學模型。此問題的數(shù)學模型。12070單件利潤單件利潤3000103設(shè)備臺時設(shè)備臺時200054煤炭煤炭360049鋼材鋼材資源限制資源限制乙乙甲甲 單位單位 產(chǎn)產(chǎn)品品資源資源 消耗消耗maxZ1=70 x1 + 120 x2 maxZ2= x1 maxZ3= x2 9 x1 +4 x2 360

39、0 4 x1 +5 x2 2000 3 x1 +10 x2 3000 x1 ， x2 0 若在引例中提出下列要求：若在引例中提出下列要求： 1 1、完成或超額完成利潤指標、完成或超額完成利潤指標 5000050000元；元； 2 2、產(chǎn)品甲不超過、產(chǎn)品甲不超過 200200件，產(chǎn)品乙不低于件，產(chǎn)品乙不低于 250250件；件； 3 3、現(xiàn)有鋼材、現(xiàn)有鋼材 36003600噸必須用完。噸必須用完。試建立目標規(guī)劃模型。試建立目標規(guī)劃模型。 系統(tǒng)約束與目標約束系統(tǒng)約束與目標約束maxZ1=70 x1 + 120 x2 maxZ2= x1 maxZ3= x2 9 x1 +4 x2 3600 4 x1

40、+5 x2 2000 3 x1 +10 x2 3000 x1 ， x2 0 )4 . 3 . 2 . 1j ( 0d .d, 0 x3000 x10 x3 2000 x5 x4 3600ddx4 x9 250ddx 200dd x 50000ddx120 x70jj21212144213322211121設(shè)設(shè)x x1 1， x x2 2分別表示產(chǎn)品甲和產(chǎn)品乙的產(chǎn)量。分別表示產(chǎn)品甲和產(chǎn)品乙的產(chǎn)量。 d di i+ +, d, di i- - 分別為第分別為第i i個目標的正、負偏差變量個目標的正、負偏差變量 優(yōu)先等級：優(yōu)先等級： 題目有三個目標層次，包含四個目標值。題目有三個目標層次，包含四個目

41、標值。 第一目標：第一目標： 第二目標：有兩個要求即甲第二目標：有兩個要求即甲 ，乙，乙 ，但兩個具有相同的優(yōu)先因子，因此需要確定但兩個具有相同的優(yōu)先因子，因此需要確定權(quán)系數(shù)權(quán)系數(shù)。本題可用單件利潤比作為權(quán)系數(shù)即本題可用單件利潤比作為權(quán)系數(shù)即 70 :12070 :120，化簡為化簡為7:127:12。 11dP 32d d)d12d7(P 322 第三目標：第三目標：)dd(P443 達成函數(shù)：達成函數(shù)：)dd(P)d12d7(PdPZmin44332211 若在引例中提出下列要求：若在引例中提出下列要求： 1 1、完成或超額完成利潤指標、完成或超額完成利潤指標 5000050000元；元；

42、 2 2、產(chǎn)品甲不超過、產(chǎn)品甲不超過 200200件，產(chǎn)品乙不低于件，產(chǎn)品乙不低于 250250件；件； 3 3、現(xiàn)有鋼材、現(xiàn)有鋼材 36003600噸必須用完。噸必須用完。試建立目標規(guī)劃模型。試建立目標規(guī)劃模型。 )4 . 3 . 2 . 1j ( 0d .d, 0 x3000 x10 x3 2000 x5 x4 3600ddx4 x9 250ddx 200dd x 50000ddx120 x70)dd(P)d12d7(PdPZminjj2121214421332221112144332211目標規(guī)劃模型為：目標規(guī)劃模型為：maxZ1=70 x1 + 120 x2 maxZ2= x1 max

43、Z3= x2 9 x1 +4 x2 3600 4 x1 +5 x2 2000 3 x1 +10 x2 3000 x1 ， x2 0 )L2 .1l ( 0d .dn)1.2(j 0 x)m2 .1i ( b).(xa)L2 .1l ( qddxc)dd(PZminlljn1jijijn1jllljkjK1kL1llkllklk 1 1、根據(jù)要研究的問題所提出的各目標與條件，根據(jù)要研究的問題所提出的各目標與條件， 確定目標值，列出目標約束與絕對約束；確定目標值，列出目標約束與絕對約束； klkl和和 4 4、對同一優(yōu)先等級中的各偏差變量，對同一優(yōu)先等級中的各偏差變量， 若需要可按其重要程度的不同，若需要可按其重要程度的不同， 賦予相應(yīng)的權(quán)系數(shù)賦予相應(yīng)的權(quán)系數(shù) 。 3 3、給各目標賦予相應(yīng)的優(yōu)先因子給各目標賦予相應(yīng)的優(yōu)先因子 P Pk k（k=1.2k=1.2K K）。）。 2 2、可根據(jù)決策者的需要，可根據(jù)決策者的需要， 將某些或全部絕對約束轉(zhuǎn)化為目標約束。將某些或全部絕對約束轉(zhuǎn)化為目標約束。 這時只需要給絕對約束加上負偏差變量這時只需要給絕對約束加上負偏差變量 和減去正偏差變量即可。和減去正偏差變量即可。 5 5、根據(jù)決策者的要求，按下列情況之一根據(jù)決策者的要求，按下列情況之一 構(gòu)造一個由