平行四邊形折疊問題(齊福德)

1、平行四邊形中的折疊問題天津市第八十中學(xué)天津市第八十中學(xué) 齊福德齊福德 幾何定義：研究圖形的形狀、大小、位置關(guān)幾何定義：研究圖形的形狀、大小、位置關(guān)系；系； 涉及幾何知識（章節(jié)為主）：涉及幾何知識（章節(jié)為主）： ABCDFE1如圖，將一平行四邊形紙片沿如圖，將一平行四邊形紙片沿AE折疊，折疊，再沿再沿EF折疊，使點(diǎn)折疊，使點(diǎn)E,C,B在同一直線上，在同一直線上，則則 AEF如圖，折疊如圖，折疊折疊矩形折疊矩形ABCD的一邊的一邊ADAD，點(diǎn)，點(diǎn)D D落落在在BCBC邊的點(diǎn)邊的點(diǎn)F F處，已知處，已知AB=8cmAB=8cm，AD=10cmAD=10cm，求，求ECEC的長。的長。ABCDFE例題

2、：例題：810106x48-x方法：方法：先標(biāo)等量，再構(gòu)造方程。先標(biāo)等量，再構(gòu)造方程。折疊問題中構(gòu)造方程的方法：折疊問題中構(gòu)造方程的方法：把條件集中到一個(gè)把條件集中到一個(gè)RtRt中，根中，根據(jù)勾股定理得方程。據(jù)勾股定理得方程。解解 設(shè)設(shè)EC=x，則，則DE=8-x，由軸對稱可知：，由軸對稱可知：EF=DE=8-x，AF=AD=10，又因又因AB=8，故，故BF=6，故，故FC=BC-BF=4。在。在RtFCE中，中，42+x2=(8-x)2，解，解之得之得x=3鞏固測試：鞏固測試：1. 如圖，矩如圖，矩形形ABCD沿沿BE折疊，使折疊，使點(diǎn)點(diǎn)C落在落在AD邊上的邊上的F點(diǎn)點(diǎn)處，如果處，如果 A

3、BF=60，則則 CBE等于（等于（ ）。）。 (A)15 (B)30 (C )45 (D)60ABCDEF2、如圖，矩形紙片、如圖，矩形紙片ABCD中，中，AB=8cm，把，把矩形紙片沿直線矩形紙片沿直線AC折疊，點(diǎn)折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)落在點(diǎn)E處，處，AE交交DC于點(diǎn)于點(diǎn)F，若，若 ，則，則AD的的長為（長為（ ） A4cm B5cm C6cm D7cmABCEFD25cm4AF 3.3.如圖，矩形如圖，矩形ABCDABCD沿沿AEAE折疊，使折疊，使D D落在落在邊邊BCBC上的上的F F點(diǎn)處，如果點(diǎn)處，如果BAF=60BAF=60，AD= 4 AD= 4 ，則則DAE=_DAE=_，EF=_

4、EF=_1538-4思考探究題目：思考探究題目：如圖，矩形紙片如圖，矩形紙片ABCD中，現(xiàn)將中，現(xiàn)將A、C重合，使紙片重合，使紙片折疊壓平，設(shè)折痕為折疊壓平，設(shè)折痕為EF。（1）連結(jié)）連結(jié)CF，四邊形，四邊形AECF是什么特殊的四邊形？是什么特殊的四邊形？為什么？為什么？（2）若）若AB4cm，AD8cm，你能求出線段，你能求出線段BE及折痕及折痕EF的長嗎？的長嗎？ABECDFG練習(xí)：如圖，矩形紙片練習(xí)：如圖，矩形紙片ABCD中，中，AD=9，AB=3，將其折疊，使點(diǎn)，將其折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)與點(diǎn)B重合，折痕重合，折痕為為EF，那么折痕，那么折痕EF的長為的長為_ CADCBEF（08湖北荊門）

5、湖北荊門）例例2如圖，矩形紙片如圖，矩形紙片ABCD中，中，AD=9，AB=3，將其折疊，使點(diǎn)，將其折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)與點(diǎn)B重合，折痕重合，折痕為為EF，那么折痕，那么折痕EF的長為的長為_ 10CADCBEFGHABCDFE透過現(xiàn)象看本質(zhì)透過現(xiàn)象看本質(zhì): :折折疊疊軸軸對對稱稱實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)軸對稱性質(zhì)：軸對稱性質(zhì)：ADEF1.圖形的全等性：重合部分是全等圖形，對應(yīng)邊角相等圖形的全等性：重合部分是全等圖形，對應(yīng)邊角相等.2.點(diǎn)的對稱性：對稱點(diǎn)連線被對稱軸（折痕）垂直平分點(diǎn)的對稱性：對稱點(diǎn)連線被對稱軸（折痕）垂直平分.由折疊可得：由折疊可得：1.AFEAFE ADEADE2.AEAE是是DFDF的垂直的

6、垂直平分線平分線重結(jié)果重結(jié)果折疊問題折疊問題折折疊疊重過程重過程利用利用RtRt利用利用方程思想方程思想軸對稱軸對稱全等性全等性對稱性對稱性本本質(zhì)質(zhì)精髓精髓3 3、關(guān)鍵：根據(jù)折疊實(shí)現(xiàn)等量轉(zhuǎn)化、關(guān)鍵：根據(jù)折疊實(shí)現(xiàn)等量轉(zhuǎn)化（2 2）根據(jù)勾股定理列方程。）根據(jù)勾股定理列方程。4 4、基本方法：（、基本方法：（1 1）找出直角三角形構(gòu)造方程）找出直角三角形構(gòu)造方程折疊問題折疊問題1 1、兩手都要抓：重視、兩手都要抓：重視“折折”，關(guān)注，關(guān)注“疊疊”2 2、本質(zhì)：軸對稱（全等性，對稱性）、本質(zhì)：軸對稱（全等性，對稱性）4.4.在一張長方形在一張長方形ABCDABCD紙片中，紙片中，ADAD25cm, A

7、B25cm, AB20cm20cm現(xiàn)將這張紙現(xiàn)將這張紙片按如圖所示方式折疊，片按如圖所示方式折疊，P P，Q Q分分別為別為ABAB，CDCD的中點(diǎn)，折痕為的中點(diǎn)，折痕為AEAE，求折痕求折痕AEAE的長。的長。在一張長方形在一張長方形ABCDABCD紙片中，紙片中，ADAD25cm, AB25cm, AB20cm20cm 現(xiàn)將這張紙片按如下列圖示方式折疊，分別求折痕的長現(xiàn)將這張紙片按如下列圖示方式折疊，分別求折痕的長(1) (1) 如圖如圖1, 1, 折痕為折痕為AE;AE;(2) (2) 如圖如圖2, P2, P，Q Q分別為分別為ABAB，CDCD的中點(diǎn)，折痕為的中點(diǎn)，折痕為AE;AE;(3) (3) 如圖如圖3, 3, 折痕為折痕為EFEF在一張長方形在一張長方形ABCDABCD紙片中，紙片中，ADAD25cm, AB25cm, AB20cm20cm現(xiàn)將這張現(xiàn)將這張紙片按如圖示方式折疊，求折紙片按如圖示方式折疊，求折痕的長痕的長20 x25-x過過F F作作BCBC的垂線的垂線FHFHH H？在一張長方形在一張長方形ABCDABCD紙片中，紙片中，ADAD25cm, AB25cm, AB20cm20cm現(xiàn)將這張現(xiàn)將這張紙片按如圖示方式折疊，求折紙片按如圖示方式折疊，求折痕的長痕的長20 x