第一章線性系統(tǒng)分析_2013

1、信息光學信息光學楊衛(wèi)平楊衛(wèi)平云南師范大學云南師范大學物理與電子信息學院物理與電子信息學133988563962022-6-251QQ：553655747參考文獻參考文獻J. W. Goodman. Introduction to Fourier OpticsM. Roberts and Company Publishers, Third Edition2.2.呂乃光呂乃光. . 傅里葉光學傅里葉光學M. M. 北京北京: : 機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社, 2007, , 2007, 第二版第二版. .5.5.宋菲君宋菲君. .近代光學信息處理近代光學信息處理M.M.

2、北京北京: : 北京大學出版社北京大學出版社, 1998., 1998.3.3.陳家壁等陳家壁等. . 光學信息技術(shù)原理及應用光學信息技術(shù)原理及應用M. M. 北京北京: : 高等教育出版社高等教育出版社, , 2002. 2002.4.4.謝敬輝等謝敬輝等. . 物理光學教程物理光學教程M. M. 北京北京: : 北京理工大學出版社北京理工大學出版社, , 2005. 2005.2022-6-252作業(yè)作業(yè)P325 . 16 . 17 . 18 . 111. 112. 11.4用寬度為用寬度為a a的狹縫，對平面上光強分布的狹縫，對平面上光強分布)2cos(2)(0 xfxf 掃描，在狹縫后

3、用光電探測器，掃描，在狹縫后用光電探測器，求輸出強度分布求輸出強度分布。補充題補充題2022-6-253前言前言 光學是一門較早發(fā)展的學科，它在光學是一門較早發(fā)展的學科，它在科學科學( (量子論、相量子論、相對論對論）與）與技術(shù)技術(shù)的發(fā)展史上占有重要地位。近幾十年來，的發(fā)展史上占有重要地位。近幾十年來，由于光學自身的發(fā)展以及和其它科學技術(shù)（如電子技由于光學自身的發(fā)展以及和其它科學技術(shù)（如電子技術(shù)、計算機技術(shù)等）的廣泛結(jié)合與相互滲透，傳統(tǒng)的術(shù)、計算機技術(shù)等）的廣泛結(jié)合與相互滲透，傳統(tǒng)的光學在理論方法和實際應用光學在理論方法和實際應用( (如信息的存貯如信息的存貯, ,光纖通信光纖通信) )上都有

4、了許多重大的突破和進展，形成了許多新的分上都有了許多重大的突破和進展，形成了許多新的分支學科或邊緣學科。支學科或邊緣學科。2022-6-254光學的研究范圍光學的研究范圍2022-6-255 光波傳播規(guī)律的科學光波傳播規(guī)律的科學 （天文，顯微，視光學，（天文，顯微，視光學，自然奇觀）自然奇觀） 光波與物質(zhì)的相互作用（光合，照片膠卷，光波與物質(zhì)的相互作用（光合，照片膠卷，輻射與生物，光電子）輻射與生物，光電子）2022-6-256 中國 墨子 小孔成像 古希臘 歐幾里德 反射光學 古代的光學古代的光學2022-6-257 1608， 望遠鏡， 荷蘭，李普塞 1612， 顯微鏡， 荷蘭，姜森 18

5、60，光譜分析儀， 德國，基爾霍夫光學儀器光學儀器2022-6-258哈勃望遠鏡哈勃望遠鏡2022-6-2591919世紀末期世界科學幾大發(fā)現(xiàn)世紀末期世界科學幾大發(fā)現(xiàn) 相對論 量子力學 麥克斯韋方程組 門捷列夫的元素周期表 1935 1935年年F.ZernikeF.Zernike相襯原理的提出相襯原理的提出; ; 1948 1948年年D.GaborD.Gabor全息照相術(shù)的發(fā)明全息照相術(shù)的發(fā)明; ; 1955 1955年年H.H.HopkinsH.H.Hopkins光學傳遞函數(shù)理論的建立（評價鏡頭）光學傳遞函數(shù)理論的建立（評價鏡頭）; ; 1960 1960年年T.H.MaimanT.H.

6、Maiman紅寶石激光器的誕生紅寶石激光器的誕生。 1961 1961年，中國的第一臺激光器（長春光機所）年，中國的第一臺激光器（長春光機所） 它們它們是現(xiàn)代光學發(fā)展中的幾件大事，連同是現(xiàn)代光學發(fā)展中的幾件大事，連同6060年代以后由于年代以后由于各種激光器的研制成功而迅速發(fā)展起來的非線性光學、纖維光各種激光器的研制成功而迅速發(fā)展起來的非線性光學、纖維光學、集成光學等諸方面，使現(xiàn)代光學廣泛地活躍在現(xiàn)代科學技學、集成光學等諸方面，使現(xiàn)代光學廣泛地活躍在現(xiàn)代科學技術(shù)的許多部門。術(shù)的許多部門。2022-6-2510現(xiàn)代光學現(xiàn)代光學的幾大的幾大發(fā)展發(fā)展2022-6-251119611961年，我國第一

7、臺激光器年，我國第一臺激光器2022-6-2512光學照相的發(fā)展光學照相的發(fā)展 I （振幅，光強），（振幅，光強），1792， 黑白照相黑白照相 （波長，頻率），（波長，頻率），1908， 彩色照片彩色照片 （位相），（位相），1935，相襯顯微鏡，相襯顯微鏡 I， 全息照相全息照相 CT 計算機技術(shù)，計算機技術(shù)，1979諾貝爾醫(yī)學獎諾貝爾醫(yī)學獎2022-6-2513近代光學與信息科學近代光學與信息科學 90%的信息通過視覺的信息通過視覺 古代古代 烽火臺烽火臺 光波，承載，傳播，記錄，萃取，顯示信息光波，承載，傳播，記錄，萃取，顯示信息 光纖通信技術(shù)光纖通信技術(shù) 光驅(qū)外設，光盤存儲技術(shù)光驅(qū)外

8、設，光盤存儲技術(shù) 空間光學與航空技術(shù)空間光學與航空技術(shù) 表征現(xiàn)代光學重大進展的另一件大事，是表征現(xiàn)代光學重大進展的另一件大事，是P.M.Duffieux P.M.Duffieux 19461946年把傅里葉變換的概念引入光學領(lǐng)域，由此發(fā)展成現(xiàn)代年把傅里葉變換的概念引入光學領(lǐng)域，由此發(fā)展成現(xiàn)代光學的一個重要分支光學的一個重要分支傅里葉光學（信息光學傅里葉光學（信息光學）。它應用）。它應用線性系統(tǒng)理論和空間頻譜的概念，分析光的傳播、衍射和成線性系統(tǒng)理論和空間頻譜的概念，分析光的傳播、衍射和成像等問題。像等問題。 它用改變頻譜的方法處理相干處理系統(tǒng)中的光信息；用頻它用改變頻譜的方法處理相干處理系統(tǒng)中

9、的光信息；用頻譜被改變的觀點評價譜被改變的觀點評價非相干成像系統(tǒng)非相干成像系統(tǒng)的像質(zhì)。的像質(zhì)。信息光學信息光學促進促進了圖像科學、應用光學和光電子學的發(fā)展?？梢哉J為它是光了圖像科學、應用光學和光電子學的發(fā)展?？梢哉J為它是光學、光電子學、信息論和通訊理論的學、光電子學、信息論和通訊理論的交叉學科交叉學科。2022-6-2514 光學薄膜和光學晶體是現(xiàn)代科學技術(shù)中不可缺少的重要器光學薄膜和光學晶體是現(xiàn)代科學技術(shù)中不可缺少的重要器件，用途非常廣泛。研究光在光學薄膜中的反射、折射、偏件，用途非常廣泛。研究光在光學薄膜中的反射、折射、偏振及光譜特性，以及晶體對光波的雙折射和偏振效應，分別振及光譜特性，以

10、及晶體對光波的雙折射和偏振效應，分別構(gòu)成了薄膜光學和晶體光學的重要內(nèi)容，也是現(xiàn)代光學的重構(gòu)成了薄膜光學和晶體光學的重要內(nèi)容，也是現(xiàn)代光學的重要組成部分。要組成部分。 當今社會是信息社會當今社會是信息社會, ,信息技術(shù)正在改變著人類社會。在各信息技術(shù)正在改變著人類社會。在各種各樣的信息技術(shù)中種各樣的信息技術(shù)中, ,光信息技術(shù)的地位光信息技術(shù)的地位越來越重要越來越重要, ,作用也作用也越越來越突出來越突出。在信息的產(chǎn)生、采集、顯示、傳輸、存貯以及處。在信息的產(chǎn)生、采集、顯示、傳輸、存貯以及處理的各個環(huán)節(jié)中，光信息技術(shù)都扮演著重要的角色。光信息理的各個環(huán)節(jié)中，光信息技術(shù)都扮演著重要的角色。光信息科學

11、與技術(shù)是光學和信息科學相結(jié)合的一門學科?？茖W與技術(shù)是光學和信息科學相結(jié)合的一門學科。2022-6-25152022-6-2516信息光學的研究信息光學的研究 傅里葉光學（傅里葉級數(shù)）傅里葉光學（傅里葉級數(shù)） 線性系統(tǒng)理論引入現(xiàn)代光學線性系統(tǒng)理論引入現(xiàn)代光學 光的傳播，衍射，成像光的傳播，衍射，成像 從空域到頻域從空域到頻域 光學信息處理光學信息處理 應用，高密度存儲應用，高密度存儲 光學測量技術(shù)光學測量技術(shù)光信息科學與技術(shù)與應用介紹光信息科學與技術(shù)與應用介紹一、光信息科學基礎一、光信息科學基礎 1 1、線性系統(tǒng)理論、線性系統(tǒng)理論 2 2、光學變換理論、光學變換理論 3 3、光傳播理論、光傳播理

12、論 4 4、光成像理論、光成像理論基礎篇基礎篇二、光信息技術(shù)基礎二、光信息技術(shù)基礎 1 1、激光技術(shù)、激光技術(shù) 2 2、空間光調(diào)制器、空間光調(diào)制器 2022-6-2517基本技術(shù)篇基本技術(shù)篇一、光信息的采集和顯示技術(shù)一、光信息的采集和顯示技術(shù)光信息的采集光信息的采集 1 1、光電信息變換法：光電信息有直接對應關(guān)系，如數(shù)碼相機。、光電信息變換法：光電信息有直接對應關(guān)系，如數(shù)碼相機。 2 2、光信息編碼法、光信息編碼法-按一定的規(guī)律把圖像的信息映射到按一定的規(guī)律把圖像的信息映射到某一空某一空間間，再把映射信息轉(zhuǎn)化為電信息或光信息。這里的電信息（光，再把映射信息轉(zhuǎn)化為電信息或光信息。這里的電信息（光

13、信息）對應的不是圖像本身的信息，而是信息）對應的不是圖像本身的信息，而是映射信息映射信息，因此在重，因此在重現(xiàn)過程中直接重現(xiàn)的往往不是圖像本身，而是其映射的結(jié)果?，F(xiàn)過程中直接重現(xiàn)的往往不是圖像本身，而是其映射的結(jié)果。如果需要重現(xiàn)圖像的話，就必須通過一定的如果需要重現(xiàn)圖像的話，就必須通過一定的重建重建方法來實現(xiàn)。方法來實現(xiàn)。這種方法常用于光學信息處理。比如，通過傅里葉變換，空間這種方法常用于光學信息處理。比如，通過傅里葉變換，空間信息變?yōu)轭l域信息。信息變?yōu)轭l域信息。2022-6-2518光信息顯示光信息顯示1 1、CRTCRT陰極射線顯示器（電子束掃描），傳統(tǒng)的電陰極射線顯示器（電子束掃描），傳

14、統(tǒng)的電 視機，電腦顯示器。視機，電腦顯示器。2 2、液晶顯示器、液晶顯示器 結(jié)構(gòu)簡單，在兩片敷有透明導電電極的平板玻璃夾層結(jié)構(gòu)簡單，在兩片敷有透明導電電極的平板玻璃夾層中裝入一種具有液體性質(zhì)而光學上具有晶體性質(zhì)的物體中裝入一種具有液體性質(zhì)而光學上具有晶體性質(zhì)的物體（液晶），在透明電極上加上幾伏至幾十伏的電壓，電極（液晶），在透明電極上加上幾伏至幾十伏的電壓，電極之間的之間的透光率、色彩、反射率透光率、色彩、反射率就會發(fā)變化。液晶顯示器的就會發(fā)變化。液晶顯示器的突出優(yōu)點是電壓低，功率小，可與集成電路配套使用，體突出優(yōu)點是電壓低，功率小，可與集成電路配套使用，體積小。此外，在明亮的條件下能得到使人

15、滿意的對比度、積小。此外，在明亮的條件下能得到使人滿意的對比度、色彩。但它的工作溫度范圍小，一般在色彩。但它的工作溫度范圍小，一般在050050度度，目前制作，目前制作大面積的平板顯示器有一定的困難。大面積的平板顯示器有一定的困難。2022-6-25193 3、等離子顯示板、等離子顯示板 在兩塊平板玻璃中封入電離發(fā)光的氣體，在透明電極上加在兩塊平板玻璃中封入電離發(fā)光的氣體，在透明電極上加上幾百伏的電壓，電極之間電場使氣體電離發(fā)光。它最適用于上幾百伏的電壓，電極之間電場使氣體電離發(fā)光。它最適用于組裝成大屏幕顯示屏，多用于體育場、軍事指揮中心。組裝成大屏幕顯示屏，多用于體育場、軍事指揮中心。二、光

16、信息的傳輸技術(shù)二、光信息的傳輸技術(shù)1 1、光纖通信技術(shù)、光纖通信技術(shù)2 2、無源導波器件、無源導波器件 光纖連接器、光分路耦合器、波分復用器件、光隔離器、光纖連接器、光分路耦合器、波分復用器件、光隔離器、光開關(guān)。光開關(guān)。2022-6-2520三、光信息存貯技術(shù)三、光信息存貯技術(shù)1 1、光盤的存貯原理、光盤的存貯原理 只讀存貯光盤、可擦重寫相變光盤、直接重寫相變光盤、只讀存貯光盤、可擦重寫相變光盤、直接重寫相變光盤、 可擦重寫磁光光盤?？刹林貙懘殴夤獗P。2 2、相變光盤的結(jié)構(gòu)及制備、相變光盤的結(jié)構(gòu)及制備3 3、光盤存貯器設備中的光學系統(tǒng)、光盤存貯器設備中的光學系統(tǒng)2022-6-25212022-

17、6-2522人民日報全文數(shù)據(jù)庫（人民日報全文數(shù)據(jù)庫（19931993）2022-6-2523激光體全息高密度存儲實驗系統(tǒng)激光體全息高密度存儲實驗系統(tǒng)2022-6-2524激光全息防偽人民幣（建國激光全息防偽人民幣（建國5050周年紀念幣）周年紀念幣）2022-6-2525四、光信息的加工及其處理技術(shù)四、光信息的加工及其處理技術(shù)1 1、 空間濾波空間濾波2 2、照相圖像的恢復、照相圖像的恢復3 3、假彩色編碼、假彩色編碼- -用黑白膠片保存彩色像用黑白膠片保存彩色像4 4、圖像增強、圖像增強五、光學圖像特征識別五、光學圖像特征識別2022-6-2526空間濾波的應用空間濾波的應用2022-6-2

18、527相干光學信息處理實驗相干光學信息處理實驗 圖像相減的實驗結(jié)果 微分濾波（邊緣增強）的實驗結(jié)果2022-6-2528 調(diào)制實驗的彩照其它其它 應用技術(shù)篇應用技術(shù)篇一、光學計量技術(shù)一、光學計量技術(shù)1 1、全息干涉計量、全息干涉計量2 2、全息散斑計量、全息散斑計量二、全息術(shù)二、全息術(shù)1 1、白光再現(xiàn)全息圖、白光再現(xiàn)全息圖2 2、計算全息、計算全息3 3、模壓全息技術(shù)、模壓全息技術(shù)三、層析成像技術(shù)三、層析成像技術(shù)1、投影數(shù)據(jù)和拉冬變換、投影數(shù)據(jù)和拉冬變換2、圖像的重建、圖像的重建3、圖像的光學模擬重現(xiàn)、圖像的光學模擬重現(xiàn)2022-6-25292022-6-2530奧迪轎車車身在線三維測量系統(tǒng)奧

19、迪轎車車身在線三維測量系統(tǒng)2022-6-2531激光測距與激光雷達（激光測距與激光雷達（1 1）2022-6-2532激光測距與激光雷達（激光測距與激光雷達（2 2）2022-6-2533長度測量四、條形碼技術(shù)四、條形碼技術(shù) 條形碼系統(tǒng)是按照特定格式組合起來的一組條形碼系統(tǒng)是按照特定格式組合起來的一組寬度不同寬度不同的平行線條，其線條和間隔代表了某些數(shù)字符號，用以表的平行線條，其線條和間隔代表了某些數(shù)字符號，用以表示某些信息。這種代碼非常容易使用簡便的閱讀器裝置進示某些信息。這種代碼非常容易使用簡便的閱讀器裝置進行識別，經(jīng)過閱讀設備的光電轉(zhuǎn)換的信號只需經(jīng)過簡單的行識別，經(jīng)過閱讀設備的光電轉(zhuǎn)換的

20、信號只需經(jīng)過簡單的接口電路即能輸送到微型機等數(shù)據(jù)處理裝置，進行信息的接口電路即能輸送到微型機等數(shù)據(jù)處理裝置，進行信息的處理。處理。2022-6-2534五、紅外技術(shù)五、紅外技術(shù) 紅外技術(shù)一開始主要用于軍事方面，近年來隨著紅外技紅外技術(shù)一開始主要用于軍事方面，近年來隨著紅外技術(shù)的發(fā)展，特別是一些新型的紅外探測器和成像器件的陸續(xù)術(shù)的發(fā)展，特別是一些新型的紅外探測器和成像器件的陸續(xù)問世及其成本的不斷下降，使得紅外技術(shù)的應用范圍大大擴問世及其成本的不斷下降，使得紅外技術(shù)的應用范圍大大擴展。在一些技術(shù)發(fā)達的國家，紅外技術(shù)不僅用于軍事、科學展。在一些技術(shù)發(fā)達的國家，紅外技術(shù)不僅用于軍事、科學研究、工農(nóng)生產(chǎn)

21、、醫(yī)學等方面，而已進入人們的日常生活中。研究、工農(nóng)生產(chǎn)、醫(yī)學等方面，而已進入人們的日常生活中。六、高速激光印刷系統(tǒng)六、高速激光印刷系統(tǒng)2022-6-2535進展篇進展篇一、光纖通信新技術(shù)一、光纖通信新技術(shù)1 1、光纖接入網(wǎng)、光纖接入網(wǎng)2 2、相干光通信、相干光通信3 3、光復用技術(shù)、光復用技術(shù)4 4、全光傳輸、全光傳輸5 5、光孤子通信、光孤子通信二、光信息存儲新進展二、光信息存儲新進展 1 1、新型光信息存貯、新型光信息存貯2 2、全息信息存貯、全息信息存貯2022-6-2536四、二元光學四、二元光學 又稱衍射光學，光學元器件的大小在微米又稱衍射光學，光學元器件的大小在微米的量級，可以構(gòu)成

22、大量光學器件陣列。的量級，可以構(gòu)成大量光學器件陣列。三、光計算三、光計算1 1、模擬光計算、模擬光計算2 2、數(shù)字光計算、數(shù)字光計算2022-6-253716相位級相位級CdTe（鉻銻）（鉻銻）微透鏡陣列電子掃描顯微圖微透鏡陣列電子掃描顯微圖2022-6-2538第一章第一章 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析 一個光學系統(tǒng)可以用一個光學系統(tǒng)可以用一個有輸入和輸出的方框圖一個有輸入和輸出的方框圖來表來表示。光學系統(tǒng)對輸入信號的作用可以是線性的，也可以是示。光學系統(tǒng)對輸入信號的作用可以是線性的，也可以是非線性的。對于非線性系統(tǒng)，目前還沒有通用的技術(shù)來求非線性的。對于非線性系統(tǒng)，目前還沒有通用的技術(shù)來求解。

23、雖然任何一個光學系統(tǒng)都不是嚴格線性的，但在一定解。雖然任何一個光學系統(tǒng)都不是嚴格線性的，但在一定的條件下，許多光學系統(tǒng)可以作為線性系統(tǒng)來處理。另外，的條件下，許多光學系統(tǒng)可以作為線性系統(tǒng)來處理。另外，由于光學系統(tǒng)幾乎都是用二維空間變量來描述，所以我們由于光學系統(tǒng)幾乎都是用二維空間變量來描述，所以我們首先介紹二維線性系統(tǒng)的一些基本知識首先介紹二維線性系統(tǒng)的一些基本知識。系統(tǒng)系統(tǒng)h(x,y)輸入輸出),(yxf),(yxg2022-6-2539g(x,y) = f(x,y) * h(x,y)1.1 1.1 光學中常用的幾種初等函數(shù)光學中常用的幾種初等函數(shù) 一、矩形函數(shù)一、矩形函數(shù)矩形函數(shù)的定義為矩

24、形函數(shù)的定義為 )(0axxrect2, 10aaxx 其它其它0函數(shù)圖像如下函數(shù)圖像如下圖所示圖所示x)(0axxrect 0 01 10 x20ax 20ax 位移量位移量2022-6-2540高度為高度為1，中心位于，中心位于x=x0，寬度和面積都等于寬度和面積都等于 a 縮放量縮放量二維矩形函數(shù)可表示成一維矩形函數(shù)的乘積二維矩形函數(shù)可表示成一維矩形函數(shù)的乘積)()(),(byrectaxrectbyaxrect 式中式中a 0 ,b 0,a 0 ,b 0,它在它在 xyxy平面上，以原點為中心的平面上，以原點為中心的a a b b矩形范矩形范圍內(nèi)，函數(shù)值為圍內(nèi)，函數(shù)值為1 1，其它地方

25、為零。，其它地方為零。物理應用：物理應用：光學上常用矩形函數(shù)表示不透明屏上的矩形孔、光學上常用矩形函數(shù)表示不透明屏上的矩形孔、狹縫的透過率。它與其它函數(shù)相乘時，可限制函數(shù)自變量的狹縫的透過率。它與其它函數(shù)相乘時，可限制函數(shù)自變量的取值范圍，起到截取函數(shù)的作用，故又稱為取值范圍，起到截取函數(shù)的作用，故又稱為“門函數(shù)門函數(shù)”。如如xaxrectcos)(表示一個只出現(xiàn)在區(qū)間表示一個只出現(xiàn)在區(qū)間上的余弦函數(shù) 2,2aa2022-6-2541當有當有 因子時，它的因子時，它的0點出點出現(xiàn)在現(xiàn)在x0 na。當沒有。當沒有 因因子時，子時，0點出現(xiàn)在點出現(xiàn)在x0 n a。因此，有因此，有 因子時確定零因子

26、時確定零點的位置更方便。點的位置更方便。 二、二、sincsinc函數(shù)（函數(shù)（BracewellBracewell） 一維一維 sincsinc函數(shù)的定義為函數(shù)的定義為)(sin0axxc axxaxx/ )(/ )(sin00 式中式中a0,a0,函數(shù)在函數(shù)在x=xx=x0 0處有最大值處有最大值1 1。.)2 , 1(0 nnaxx對于對于x x0 0=0,=0,該函數(shù)在原點處有最大值該函數(shù)在原點處有最大值1 1。二個第一級零值之間的寬。二個第一級零值之間的寬度為度為2a,2a,函數(shù)圖像如圖所示函數(shù)圖像如圖所示x)(sinaxcaa2a3a a2 a3 零點位于零點位于2022-6-254

27、2二二 維維 sincsinc函數(shù)的定義為函數(shù)的定義為 ),(sinbyaxcaxxaxx/ )(/ )(sin00 byybyy/ )(/ )(sin00 物理應用：物理應用：sincsinc函數(shù)常用來描述函數(shù)常用來描述矩孔或單縫矩孔或單縫的夫瑯和費衍射圖的夫瑯和費衍射圖樣，且與樣，且與rectrect函數(shù)互為函數(shù)互為傅里葉變換傅里葉變換。2022-6-2543 三、階躍函數(shù)三、階躍函數(shù)階躍函數(shù)的定義為階躍函數(shù)的定義為 )( xstep0, 1 x0, 0 x)( xstepx10階躍函數(shù)與某函數(shù)相乘時，如階躍函數(shù)與某函數(shù)相乘時，如x0 x0，則積等于原函數(shù)，在，則積等于原函數(shù)，在x0 x0

28、,a0,函數(shù)圖形是底邊寬為函數(shù)圖形是底邊寬為2a2a，高為，高為1 1的三角形。的三角形。物理應用物理應用：三角形函數(shù)可表示光：三角形函數(shù)可表示光瞳為矩形的非相干成像系統(tǒng)的瞳為矩形的非相干成像系統(tǒng)的光光學傳遞函數(shù)學傳遞函數(shù)。2022-6-2546六、圓域函數(shù)六、圓域函數(shù)圓域函數(shù)的定義為圓域函數(shù)的定義為 )(22ayxcircayx 22, 1其其它它,0函數(shù)圖形呈圓柱形，底半徑為函數(shù)圖形呈圓柱形，底半徑為a a，高度為，高度為1 1。極坐標下的形式為極坐標下的形式為 )(arcircar , 1其其它它, 0物理應用：物理應用：圓域函數(shù)常用來描述無限大不透明屏上圓域函數(shù)常用來描述無限大不透明屏

29、上圓孔的圓孔的透過率透過率)(22ayxcirc xy012022-6-2547七、高斯函數(shù)七、高斯函數(shù)高斯函數(shù)的定義為高斯函數(shù)的定義為 )(0axxGaus 20expaxx 二維高斯函數(shù)的形式是二維高斯函數(shù)的形式是 ),(byaxGaus 22expbyax 曲面下的體積為曲面下的體積為abab)(axGausxa aa0a0。當。當x x0 0=0=0時，函數(shù)在原點處有最大值時，函數(shù)在原點處有最大值1 1。高斯圖形中曲線下的面積為高斯圖形中曲線下的面積為a a。式中式中2022-6-2548性質(zhì)：性質(zhì)： 是一個光滑的函數(shù)，即它的一切導數(shù)都是連續(xù)的。是一個光滑的函數(shù)，即它的一切導數(shù)都是連續(xù)

30、的。 一個高斯函數(shù)的傅里葉變換是另一個高斯函數(shù)。一個高斯函數(shù)的傅里葉變換是另一個高斯函數(shù)。 ),(byaxGaus 22expbyax 曲面下的體積為曲面下的體積為ababa=1, b=1a=1, b=1時時 ),(yxGaus )(exp22yx 極坐標下極坐標下 )(rGaus 2expr )(axGausxaa 物理應用：物理應用：高斯函數(shù)在統(tǒng)計領(lǐng)域中經(jīng)常用到。高斯函數(shù)在光高斯函數(shù)在統(tǒng)計領(lǐng)域中經(jīng)常用到。高斯函數(shù)在光學中常用來描述激光器發(fā)出的學中常用來描述激光器發(fā)出的高斯光束高斯光束，有時也用于光學信，有時也用于光學信息處理中的息處理中的切趾術(shù)。切趾術(shù)。2022-6-25492022-6-

31、2550高斯光束高斯光束1.2 1.2 函數(shù)函數(shù) 在物理學和工程技術(shù)中常用狄拉克提出的在物理學和工程技術(shù)中常用狄拉克提出的 函數(shù)描述某種函數(shù)描述某種極限狀態(tài)和高度集中的物理量。例如，在電學中常用極限狀態(tài)和高度集中的物理量。例如，在電學中常用 函數(shù)表函數(shù)表示點電荷，而在光學中，示點電荷，而在光學中， 函數(shù)表示的是點光源。函數(shù)表示的是點光源。 函數(shù)不是函數(shù)不是普通函數(shù)，是廣義函數(shù)，它不像普通函數(shù)那樣完全由數(shù)值對應普通函數(shù)，是廣義函數(shù)，它不像普通函數(shù)那樣完全由數(shù)值對應關(guān)系確定，其屬性完全由它在關(guān)系確定，其屬性完全由它在積分積分中的作用表現(xiàn)出來。從應用中的作用表現(xiàn)出來。從應用的角度看，也可以把的角度看

32、，也可以把 函數(shù)與普通函數(shù)聯(lián)系起來，用普通函數(shù)函數(shù)與普通函數(shù)聯(lián)系起來，用普通函數(shù)描述它的性質(zhì)。下面介紹三種最基本的描述它的性質(zhì)。下面介紹三種最基本的 函數(shù)函數(shù)定義。定義。一、一、 函數(shù)定義函數(shù)定義2022-6-2551 ),(yx 0, 0, yx0, 0, 0 yx定義定義A A1),( dxdyyx ),(yx 定義定義B B1),( dxdyyxgn0),(lim yxgnn0, 0 yx定義定義A A 對對 函數(shù)給出了類似普通函數(shù)形式的定義，然而定義式函數(shù)給出了類似普通函數(shù)形式的定義，然而定義式描述的圖像并不普通，它是一個在原點以外處處為零，而在描述的圖像并不普通，它是一個在原點以外處

33、處為零，而在原點處出現(xiàn)無窮大的函數(shù)。原點處出現(xiàn)無窮大的函數(shù)。2022-6-2552定義定義B B是把是把 函數(shù)看作一些普通函數(shù)構(gòu)成的序列的極限。下圖給函數(shù)看作一些普通函數(shù)構(gòu)成的序列的極限。下圖給出了一維矩形函數(shù)序列和高斯函數(shù)序列的例子，隨著出了一維矩形函數(shù)序列和高斯函數(shù)序列的例子，隨著NN的增大，的增大，所取的矩形函數(shù)和高斯函數(shù)對應的曲線將變得越來越窄，峰值所取的矩形函數(shù)和高斯函數(shù)對應的曲線將變得越來越窄，峰值卻越來越高，而曲線下的面積始終保持為卻越來越高，而曲線下的面積始終保持為1 1。當。當NN時，它們時，它們的函數(shù)曲線趨近于定義的函數(shù)曲線趨近于定義 A A中的中的“脈沖脈沖”。g gn

34、n(x,y)(x,y)的具體形式是的具體形式是多種多樣的，常用的有矩形函數(shù)，高斯函數(shù)和多種多樣的，常用的有矩形函數(shù)，高斯函數(shù)和sinc(x,y)sinc(x,y)函數(shù)。函數(shù)。)()(),(2limnyrectnxrectnyxn )(exp),(2222limyxnnyxn )(sin)(sin),(2limnycnxcnyxn 2022-6-2553x)(NxNrect121N 121N 1N2N3N01N2N3N)exp(22xNN x0back2022-6-2554定義定義C C 中中f f(x,y)(x,y)在原點處連續(xù)。該式表明在原點處連續(xù)。該式表明 函數(shù)在積分域中的函數(shù)在積分域中的

35、作用就是賦與函數(shù)在作用就是賦與函數(shù)在x=0,y=0 x=0,y=0處的數(shù)值處的數(shù)值f(0,0)f(0,0)。這是。這是廣義函廣義函數(shù)的定義方式數(shù)的定義方式，具有普遍意義。不同形式的函數(shù)，只要它們，具有普遍意義。不同形式的函數(shù)，只要它們在積分中的作用和上式相同，就可認為它們與在積分中的作用和上式相同，就可認為它們與 函數(shù)相等，這函數(shù)相等，這一性質(zhì)在理論推導中經(jīng)常用到。一性質(zhì)在理論推導中經(jīng)常用到。定義定義C C)0,0(),(),(fdxdyyxfyx 2022-6-2555廣義函數(shù)與檢驗函數(shù)廣義函數(shù)與檢驗函數(shù) 廣義函數(shù)廣義函數(shù)不便于像普通函數(shù)那樣做加、減、乘、除，的不便于像普通函數(shù)那樣做加、減、

36、乘、除，的運算，只有積分時才能得到定值，總要經(jīng)過積分式才能作用運算，只有積分時才能得到定值，總要經(jīng)過積分式才能作用與另一函數(shù)。與另一函數(shù)。 (x，y)在在積分中也和普通函數(shù)不同積分中也和普通函數(shù)不同。普通積分普通積分遇到函數(shù)值為遇到函數(shù)值為 時就不可積，積分限為時就不可積，積分限為-0到到+0時積分值為時積分值為0。但用但用 函數(shù)，積分中可得函數(shù)，積分中可得f(0，0) 。2022-6-2556 設有兩個設有兩個廣義函數(shù)廣義函數(shù)f1(x，y)和和f2(x，y)，在同時滿足下面兩式時，在同時滿足下面兩式時NdxdyyxyxfNdxdyyxyxf),(),(),(),(-2-1， 即即f1(x，y

37、)對對 (x，y)的作用和的作用和f2(x，y)對對 (x，y)的作用都得到的作用都得到同一個數(shù)同一個數(shù)N時時，就認為就認為f1(x，y)=f2(x，y)。 即這時，即這時， (x，y)是用來檢驗廣義函數(shù)的效果的，叫做是用來檢驗廣義函數(shù)的效果的，叫做“檢驗檢驗函數(shù)函數(shù)”。檢驗函數(shù)應滿足：。檢驗函數(shù)應滿足：（1 1）是連續(xù)的，并處處可微；）是連續(xù)的，并處處可微；（2 2）當）當x,y x,y 時，時， (x，y)下降足夠快下降足夠快。 大于某一值大于某一值時，時， (x，y)和它的一切導數(shù)都等于和它的一切導數(shù)都等于0，或至少比，或至少比 收斂得收斂得快?？臁為任意整數(shù)。就是說，為任意整數(shù)。就是

38、說， (x，y)在一段（在一段（x,y）的有限范的有限范圍以外基本上都等于圍以外基本上都等于0。yx,Nyx,12022-6-2557二、二、 函數(shù)的表示和性質(zhì)函數(shù)的表示和性質(zhì))(x 0 x1),(yx 0 xy12 2、篩選性質(zhì)、篩選性質(zhì)),(),(),(0000yxfdxdyyxfyyxx x0 x0)(xf),()(000yxfxx 1、 函數(shù)和其它函數(shù)的乘積函數(shù)和其它函數(shù)的乘積),(),(),(),(000000yyxxyxfyxfyyxx 3 3、坐標縮放性質(zhì)、坐標縮放性質(zhì)),(1),(yxabbyxa )(1)(00axxaxxa 2022-6-25584 4、可分離變量性質(zhì)、可分

39、離變量性質(zhì))()(),(yxyx 5 5、 函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)是偶函數(shù)三、梳狀函數(shù)三、梳狀函數(shù)光學上，光學上，單位光通量單位光通量間隔為間隔為1 1個單位的點光源線陣的亮度，個單位的點光源線陣的亮度，可用一個一維梳狀函數(shù)表示：可用一個一維梳狀函數(shù)表示： nnxxcomb)()( n n為整數(shù)為整數(shù)梳狀函數(shù)也是廣義函數(shù)，其性質(zhì)可由梳狀函數(shù)也是廣義函數(shù)，其性質(zhì)可由 函數(shù)的性質(zhì)推出。函數(shù)的性質(zhì)推出。)( xcombx01231 2 3 2022-6-2559利用坐標縮放性質(zhì)，可以把間隔為利用坐標縮放性質(zhì)，可以把間隔為x x0 0的等間距脈沖序列表示為的等間距脈沖序列表示為 nnxx)(0 )(100

40、xxcombx 梳狀函數(shù)與普通函數(shù)的乘積是梳狀函數(shù)與普通函數(shù)的乘積是)(1)(00 xxcombxxf )()(00nxxnxfn 因此，可以利用梳狀函數(shù)對普通函數(shù)作因此，可以利用梳狀函數(shù)對普通函數(shù)作等間距抽樣等間距抽樣。在。在x x和和y y方向間隔分別為方向間隔分別為a a和和b b的二維脈沖序列表示為的二維脈沖序列表示為)()(1)()(aycombaxcombabmbynaxnm nnxxx)(100 2022-6-2560 xy0ab)()(1aycombaxcombab2022-6-25611.3 1.3 二維傅里葉變換二維傅里葉變換1 1、二維傅里葉變換的定義、二維傅里葉變換的定

41、義含有兩個變量含有兩個變量x,yx,y的函數(shù)的函數(shù) f f (x,y)(x,y)，其二維傅里葉變換定義為，其二維傅里葉變換定義為 yxyxjyxfFdd)(2exp),(),( ),( F ),(yxf在此定義中，在此定義中，),( F本身也是兩個自變量本身也是兩個自變量 和的函數(shù)。的函數(shù)。率率. .為為X X和和Y Y方方向向的的空空間間頻頻分分別別稱稱, ,頻頻譜譜, ,y y) )的的傅傅里里葉葉譜譜或或空空間間) )稱稱為為f f( (x x, ,F F( (, , ,(exp),(),(jFF 用用模模和和幅幅角角表表示示如如下下),(F變換變換F F2022-6-2562),( F

42、振幅譜振幅譜),(相位譜相位譜2),( F功率譜功率譜類似地，函數(shù)類似地，函數(shù)f (f (x,y)x,y)也可以用其頻譜函數(shù)表示，即：也可以用其頻譜函數(shù)表示，即： dd)(2exp),(),(yxjFyxf 上式稱為上式稱為F F（ ， ）的二維傅里葉）的二維傅里葉逆變換。逆變換。正變換和逆變換在形式上非常相似，只是被積函數(shù)中指數(shù)正變換和逆變換在形式上非常相似，只是被積函數(shù)中指數(shù)因子的符號和積分變量不同而已。因子的符號和積分變量不同而已。我們可以用傅里葉變換對偶式來表示兩種變換之間的關(guān)系式。我們可以用傅里葉變換對偶式來表示兩種變換之間的關(guān)系式。),( F),(yxf= -1 ),( FF F-

43、1（）F FF F( )2022-6-2563二、傅里葉變換存在的條件二、傅里葉變換存在的條件（1 1）函數(shù)）函數(shù)f(x,y)f(x,y)必須對整個必須對整個XYXY平面絕對可積，即平面絕對可積，即 yxyxfdd),(（2 2）函數(shù)）函數(shù)f(x,y)f(x,y)必須在必須在XYXY平面上的每一個有限區(qū)域內(nèi)局部連平面上的每一個有限區(qū)域內(nèi)局部連續(xù)，即僅存在有限個不連續(xù)點和有限個極大和極小點。續(xù)，即僅存在有限個不連續(xù)點和有限個極大和極小點。 （3 3）函數(shù)）函數(shù)f(x,y)f(x,y)必須沒有無窮大間斷點。必須沒有無窮大間斷點。2022-6-2564 上述三個存在條件是從數(shù)學的角度提出的，我們不證

44、明它。上述三個存在條件是從數(shù)學的角度提出的，我們不證明它。這是因為，從應用的角度看，這是因為，從應用的角度看，作為時間或空間函數(shù)而實際存作為時間或空間函數(shù)而實際存在的物理量，其傅里葉變換總是存在的在的物理量，其傅里葉變換總是存在的。 但需說明的，為了物理學上描述方便起見，我們往往又用但需說明的，為了物理學上描述方便起見，我們往往又用理想化的數(shù)學函數(shù)來表示實際的物理圖形，對這些有用的函理想化的數(shù)學函數(shù)來表示實際的物理圖形，對這些有用的函數(shù)而言，上面的三個條件中的一個或多個可能均不成立。例數(shù)而言，上面的三個條件中的一個或多個可能均不成立。例如階躍函數(shù)，如階躍函數(shù)， 函數(shù)等就不滿足存在條件。函數(shù)等就

45、不滿足存在條件。 因此，為了在傅里葉分析中能有更多的函數(shù)來描述物理圖因此，為了在傅里葉分析中能有更多的函數(shù)來描述物理圖形，有必要對傅里葉變換的定義作一些推廣。形，有必要對傅里葉變換的定義作一些推廣。2022-6-2565三、廣義傅里葉變換三、廣義傅里葉變換 對于不嚴格滿足存在條件的函數(shù)，首先把它定義為某一個對于不嚴格滿足存在條件的函數(shù)，首先把它定義為某一個序列的極限，該序列中的每一成分都具有通常的傅里葉變換，序列的極限，該序列中的每一成分都具有通常的傅里葉變換，然后求出該序列各成分的傅里葉變換，從而得到一個相應的變?nèi)缓笄蟪鲈撔蛄懈鞒煞值母道锶~變換，從而得到一個相應的變換序列。如果換序列。如果后

46、一序列后一序列極限存在，就稱它為所考慮函數(shù)的廣義極限存在，就稱它為所考慮函數(shù)的廣義傅里葉變換。所以傅里葉變換。所以廣義廣義傅里葉變換就是極限意義下的傅里葉變傅里葉變換就是極限意義下的傅里葉變換。換。2022-6-25662022-6-2567設設f(x)f(x)是一個無法確定狹義傅氏變換的函數(shù)，如是一個無法確定狹義傅氏變換的函數(shù)，如f f( (x x) )和一個和一個函數(shù)序列函數(shù)序列f fn n( (x x)(n = 1,2,)(n = 1,2, ) )具有如下關(guān)系具有如下關(guān)系( )lim( )nnf xfx并且對函數(shù)序列中的每一個函數(shù)并且對函數(shù)序列中的每一個函數(shù)f fn n( (x x) )

47、來說，它的狹義傅氏變換來說，它的狹義傅氏變換( )( )nnFFfx都存在，且當都存在，且當n n時，函數(shù)序列時，函數(shù)序列F(F( ) )也有確定的極限，則稱也有確定的極限，則稱該極限為函數(shù)在極限意義下的傅氏變換。該極限為函數(shù)在極限意義下的傅氏變換。2022-6-2568例題：求函數(shù)例題：求函數(shù)f(x,y)=1f(x,y)=1的傅里葉變換的傅里葉變換解：上述函數(shù)顯然不符合傅里葉變換存在的條件，現(xiàn)在我們解：上述函數(shù)顯然不符合傅里葉變換存在的條件，現(xiàn)在我們把它定義為矩形函數(shù)序列的極限。把它定義為矩形函數(shù)序列的極限。)()(limayrectaxrecta),(yxfx)(axrect012a2a

48、先求矩形函數(shù)的傅里葉變換先求矩形函數(shù)的傅里葉變換xeaxrectxjd)(2 xexjaad222 )(212222ajajeej asin aaasin )(sinaca rect(y)(sinaca rect(x)F FF F請同學業(yè)們動手推導請同學業(yè)們動手推導2022-6-2569rect函數(shù)和函數(shù)和sinc函數(shù)是一對函數(shù)是一對Fourier變換對變換對在廣義下的傅氏變換，在廣義下的傅氏變換，允許交換幾分運算和允許交換幾分運算和求極限運算的次序求極限運算的次序2022-6-2570f (x,y)=1f (x,y)=122()222()22( ,)( ,)limlimsin() sin()

49、(,)ajxyaajxyaaaFfx yfx y edxdyxyrectrectedxdyaaac ac a 所以所以1 1的傅里葉變換是的傅里葉變換是 函數(shù)。函數(shù)。 函數(shù)定義函數(shù)定義問題：問題： 函數(shù)的逆函數(shù)的逆傅里葉變換傅里葉變換等于等于1 1嗎？嗎？ d)(2xje d)(0e d)( 1 yxeyxjdd),()(2 )( -1F F物理圖像物理圖像),(f(x,y)=1f(x,y)=1請同學業(yè)們動手推導請同學業(yè)們動手推導2022-6-2571 函數(shù)定義函數(shù)定義所以：所以：2022-6-25721N2N3Nx0對任一常數(shù)來說，如果不借助對任一常數(shù)來說，如果不借助 函數(shù)，函數(shù)，其極限其極

50、限意義下的傅氏變換難以確定。意義下的傅氏變換難以確定。這是因為：盡管可以用適當定義的函這是因為：盡管可以用適當定義的函數(shù)序列極限描寫任一函數(shù)，并且構(gòu)成數(shù)序列極限描寫任一函數(shù)，并且構(gòu)成該函數(shù)序列的主函數(shù)都存在傅氏變換，該函數(shù)序列的主函數(shù)都存在傅氏變換，但相應的傅氏變換序列的極限，在通但相應的傅氏變換序列的極限，在通常以一下并不存在。例：對常數(shù)常以一下并不存在。例：對常數(shù)1 1來說，來說，可以看成是可以看成是Frect(x/N)= Frect(x/N)= ，當，當N N 時，矩形高度始終等于時，矩形高度始終等于1 1， 曲線高度也曲線高度也 。NsinNsinNsin2022-6-2573這就是說

51、，所得的傅氏變換序列不存在通常意義下的這就是說，所得的傅氏變換序列不存在通常意義下的確定的極限。從而，對常數(shù)確定的極限。從而，對常數(shù)1 1來說，難于確定其極限意來說，難于確定其極限意義下的傅氏變換。如果引入義下的傅氏變換。如果引入 函數(shù)概念，則由函數(shù)概念，則由構(gòu)成上述傅氏變換序列，隨著構(gòu)成上述傅氏變換序列，隨著 ，而以，而以 ( ( ) )為極限，為極限，即，可將常數(shù)即，可將常數(shù)1 1的極限意義下的傅氏變換確定為的極限意義下的傅氏變換確定為 ( ( ) )。Nsin例子：求梳狀函數(shù)例子：求梳狀函數(shù)comb(x/a)comb(x/a)的傅里葉變換的傅里葉變換)(axcomb nnax)( 因為梳

52、函數(shù)是因為梳函數(shù)是周期性周期性函數(shù)，可將其展開為函數(shù)，可將其展開為傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù))(axcomb)2exp(axnjcnn 其中其中dxxfacaa 220)(1dxnaxaaaan 22)(1 aa dxxaaaa 22)(1 1 nnaxa)( 2022-6-2574dxenaxaacanxjaann/222)(1 dxexaacanxjaan/222)(1 1)(22 dxxcaan )2exp(axnjn )(axcomb所以，梳函數(shù)的所以，梳函數(shù)的傅里葉變換為傅里葉變換為dxxjaxnjn)2exp()2exp( xdxanjn )(2exp )( nan )( nnaa )(

53、 aacomb aa )(axcombF F其其間隔為間隔為?2022-6-25752022-6-25761 趙軍芳趙軍芳. 傅里葉變換在數(shù)字圖像處理中的應用傅里葉變換在數(shù)字圖像處理中的應用J. 國外電子測量技術(shù)國外電子測量技術(shù), 2004, (6): 17-20.2 熊元新熊元新, 陳允平陳允平. 離散傅里葉變換的定義研究離散傅里葉變換的定義研究J. 武漢大學學報武漢大學學報(工學版工學版), 2006, 39(1): 89-91+142.3 張憲超張憲超, 武繼剛武繼剛, 蔣增榮等蔣增榮等. 離散傅里葉變換的算術(shù)離散傅里葉變換的算術(shù)傅里葉變換算法傅里葉變換算法J. 電子學報電子學報, 20

54、00, 28(5): 107-107.4 朱朱 , 王富東王富東. 利用利用MATLAB實現(xiàn)二維圖像傅立葉實現(xiàn)二維圖像傅立葉變換算法變換算法J. 計算機應用與軟件計算機應用與軟件, 2006, 23(12): Readings1.4 1.4 卷積與相關(guān)（卷積與相關(guān)（Convolution and CorrelationConvolution and Correlation）一、一、 卷積的定義卷積的定義h(x,y)h(x,y),(yxf),(yxg 一個線性系統(tǒng)的由輸入與系統(tǒng)脈沖響應的卷積給出。于一個線性系統(tǒng)的由輸入與系統(tǒng)脈沖響應的卷積給出。于是，在理論上，如果知道了系統(tǒng)的脈沖響應，則僅僅實行

55、一是，在理論上，如果知道了系統(tǒng)的脈沖響應，則僅僅實行一個卷積，就能夠?qū)θ魏屋斎雭碛嬎阆到y(tǒng)的輸出。個卷積，就能夠?qū)θ魏屋斎雭碛嬎阆到y(tǒng)的輸出。2022-6-2578兩個函數(shù)兩個函數(shù)f(x,y)f(x,y)和和h(x,y)h(x,y)的的卷積的定義為卷積的定義為： dd),(),(),(yxhfyxg),(),(yxhyxf它是包含兩個參量的二重無窮積分，這里的參變量它是包含兩個參量的二重無窮積分，這里的參變量x,yx,y和積分和積分 變量變量 ， 均為實數(shù)，但函數(shù)均為實數(shù)，但函數(shù)f(x,y) f(x,y) 和和h(x,y)h(x,y)可以是實數(shù)，也可以可以是實數(shù)，也可以是復數(shù)。是復數(shù)?！?”“ ”

56、號表示號表示卷積運算。卷積運算。1 1、 卷積的定義卷積的定義 dd),(),(),(yxhfyxg),(),(yxhyxf 2 2、 卷積運算的例子卷積運算的例子例：如圖，已知兩個函數(shù)例：如圖，已知兩個函數(shù)f(x)f(x)和和h(x),h(x),求其求其卷積卷積 )x(h1021 x,其其它它,0 )x(f101 x,其其它它,02022-6-2579求卷積的圖解方法：卷積的圖解方法：21)( xh1x01)( xf1x0（1 1）變元：將）變元：將f f (x)(x)和和h h (x)(x)變?yōu)樽優(yōu)閒 f ( ( ) )和和h h ( ( ) )，并畫出相應的曲線，并畫出相應的曲線21)(

57、h1 0 1)( f10（2 2）鏡像：將）鏡像：將h(h( ) ) h(-h(- ) )，只要將，只要將h(h( ) )曲線相對縱軸折疊便曲線相對縱軸折疊便得到其鏡像得到其鏡像h(-h(- ) )曲線。曲線。2022-6-258021)(- h 0 1)( f10（3 3）對任一）對任一x(-x(- , , + + ) ) ，只要將曲線，只要將曲線h(-h(- ) )沿沿x x軸平移軸平移x x便得到便得到h(x-h(x- ) )21)-(x h 0 x x x 00右移，右移，x0,x0,左移左移（4 4）計算）計算)-(x h)( f所對應的曲線下的面積所對應的曲線下的面積1)( f1

58、0)-(x h21x2022-6-2581（5 5）選擇新的）選擇新的x x值，重復（值，重復（4 4）。為了）。為了得到得到卷積，需對卷積，需對- - , , + + 的每一個的每一個x x值求值求其卷積值。其卷積值。)( f 0)-(x h21x10(1) x )d()(0 xxhf2x 21(2) x2(3) x1)( f1 0)-(x h21x 1)(121x21x )d()(11 xxhf0)d()( xhf0(4) x0)d()( xhf1)( f1 0)-(x h21x1 x2022-6-2582綜合上面的結(jié)果可得兩函數(shù)的綜合上面的結(jié)果可得兩函數(shù)的卷積卷積)y,x(h)y,x(f

59、)y,x(g 021x 2x010 x0 x21 x2 xx)(y,xg2x21x 0122022-6-2583上述上述卷積的圖解方法，概括起來有四個步驟：卷積的圖解方法，概括起來有四個步驟：折疊、位移、相折疊、位移、相乘和積分。乘和積分。圖解方法在系統(tǒng)分析中是很有用的，它使我們能直觀理解許圖解方法在系統(tǒng)分析中是很有用的，它使我們能直觀理解許多抽象的關(guān)系。在直接計算多抽象的關(guān)系。在直接計算卷積積分時，圖解方法也有助于卷積積分時，圖解方法也有助于確定積分限。確定積分限。為了加深印象，再看一個例子。為了加深印象，再看一個例子。例：如圖，已知兩個函數(shù)例：如圖，已知兩個函數(shù)f(x)f(x)和和h(x)

60、,h(x),求其求求其求卷積卷積 )x(f01 x,其其它它,0 )x(h0 x,ex其其它它,01)( xfx01)( xh1x02022-6-25841)( f 01)( h1 0解：解：（1 1）、將）、將f f (x)(x)和和h h (x)(x)變?yōu)樽優(yōu)閒 f ( ( ) )和和h h ( ( ) )，并畫出相應的曲線，并畫出相應的曲線（2 2）、將）、將h(h( ) ) h(-h(- ) )只要將只要將h(h( ) )曲線相對縱軸折疊便得到其鏡曲線相對縱軸折疊便得到其鏡像像h(-h(- ) )曲線。曲線。1)(- h1 01)( f 02022-6-2585（3 3）、將曲線）、將