線性代數(shù)課件：005-第二章-向量組的線性相關(guān)-(1-1-1-2)

1、2.1 2.1 線性相關(guān)與線性無關(guān)線性相關(guān)與線性無關(guān)2.2 2.2 極大線性無關(guān)組極大線性無關(guān)組2.4 2.4 內(nèi)積與標(biāo)準(zhǔn)正交基內(nèi)積與標(biāo)準(zhǔn)正交基2.3 2.3 向量空間向量空間第二章第二章 向量組的線性相關(guān)向量組的線性相關(guān)1. n維向量組維向量組2. 向量組的線性相關(guān)向量組的線性相關(guān)3. 向量的線性表示向量的線性表示2.1 向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)問題：問題：11 1122121 122221 122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxaxLLL LL1. 齊次線性方程組是否有多余的方程？齊次線性方程組是否有多余的方程？所謂有多余的

2、方程，指去掉它，方程組的解不會增加。（線性相關(guān)）所謂有多余的方程，指去掉它，方程組的解不會增加。（線性相關(guān)）2. 齊次線性方程組是否沒有多余的方程？齊次線性方程組是否沒有多余的方程？所謂沒有多余的方程，指去掉其中任何一個方程，方程組解會增加。（線性無關(guān)）所謂沒有多余的方程，指去掉其中任何一個方程，方程組解會增加。（線性無關(guān)）3. 如何確定：與原方程組同解且沒有多余的方程的方程組。如何確定：與原方程組同解且沒有多余的方程的方程組。例：例：123412343412344320(1)2340(2)0(3)0(4)xxxxxxxxxxxxxxLLLL1. 齊次線性方程組中方程齊次線性方程組中方程(4)

3、是多余的方程，去掉解不會增加。是多余的方程，去掉解不會增加。2. 齊次線性方程組中方程齊次線性方程組中方程(1),(2)組成方程組是沒有多余方程的。組成方程組是沒有多余方程的。3. 齊次線性方程組中方程齊次線性方程組中方程(1),(2),(3)組成方程組即沒有多余方程的，也沒有組成方程組即沒有多余方程的，也沒有 減少方程組的解（即與原方程組同解）。減少方程組的解（即與原方程組同解）。將方程組抽象成矩陣或向量組：將方程組抽象成矩陣或向量組：432112340011111143211234,00110111 41013201,23111411TTTT 1.n1.n維向量組維向量組12 ,ninaa

4、annniai個 有 次 序 的 數(shù)所 組 成 的 數(shù) 組 稱 為維 向 量 ， 這個 數(shù) 稱 為 該 向 量 的個 分 量 ， 第 個數(shù)稱 為 向 量 的 第 個 分 量 。L12,nna aan維行向量記為：（），即 維行矩陣；L12,Tnna aan維列向量記為：（），即為 維列矩陣。L向量有線性運(yùn)算向量有線性運(yùn)算彼此之間的8條運(yùn)算性質(zhì)：）（）（）（，）（，（）（）（），（）（），（）（）（）（，（）（87615040321 若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組向量組例如例如()m nAnmija矩陣有 個

5、 維列向量:11121121222212jnjnmmmjmnAaaaaaaaaaaaaLLLLMMMMMMLLa1向量、向量組與矩陣向量、向量組與矩陣a2ajana1a2ajan12,nAa aa,()m nAmnija類似地 矩陣又有 個 維行向量11121212221212nniiinmmmnAaaaaaaaaaaaa LLMMLMLMMLML T1 T2 Ti Tm T1 T2 Ti Tm12,TTTmA向量組為矩陣 行向量組成的向量組。由有限個向量所組成的向量組可以構(gòu)成一個矩陣由有限個向量所組成的向量組可以構(gòu)成一個矩陣12,mnmmn 個 維列向量所組成的向量組構(gòu)成一個矩陣：L12,T

6、TTmmnm n個 維行向量所組成的向量組構(gòu)成一個矩陣：L12 TTTmBM12 (,)mA L向量總是習(xí)慣以列的形式給出。向量組與矩陣的區(qū)別與聯(lián)系：向量組與矩陣的區(qū)別與聯(lián)系：1. 矩陣的列向量打散，成為向量組（集合）矩陣的列向量打散，成為向量組（集合）2.向量組的向量，依次排成一行成為矩陣。向量組的向量，依次排成一行成為矩陣。2.2.向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性定義向量組的線性相關(guān)性定義12121122 :, 0mmmmAk kkkkk 定義 給定向量組如果存在不全為零的數(shù)使得它們的線性組合為零：LLL則稱向量組是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)。則稱向量組是線性相關(guān)的

7、，否則稱它線性無關(guān)。 注注1 1：所有的向量組分成兩大類，一類是組內(nèi)的向量是線性相關(guān)的，：所有的向量組分成兩大類，一類是組內(nèi)的向量是線性相關(guān)的，一類是組內(nèi)的向量是線性無關(guān)的；所謂討論向量組的一類是組內(nèi)的向量是線性無關(guān)的；所謂討論向量組的線性相關(guān)性線性相關(guān)性指的是指的是要判斷該向量組屬于哪一類。要判斷該向量組屬于哪一類。 注注2 2：向量組線性相關(guān)，則一定有一個向量是其它向量的一個線性組：向量組線性相關(guān)，則一定有一個向量是其它向量的一個線性組合，反之亦然。合，反之亦然。注注3 3：所有含零向量的向量組一定是線性相關(guān)的。：所有含零向量的向量組一定是線性相關(guān)的。例例101110000A ，0111由

8、于由于1 0 1 , 0 1 0 , 111 B （ ， ） （ ， ，） （ ， ， ）所以是線性相關(guān)的。所以是線性相關(guān)的。0111由于由于所以是線性相關(guān)的。所以是線性相關(guān)的。線性無關(guān)的等價(jià)定義11220nn 如果，必有L12,n如果向量組：線性無關(guān),L10nL12,n則向量組：線性無關(guān)。L11220nn 且，必有L1 0n 。L例例100010001A ，1231000100001kkk令，1230kkk得，A所 以 向 量 組是 線 性 無 關(guān) 的 。123(1,0,0)(1,1,0)(1,1,1)0,kkk令(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)B 12323300 ,0kkk

9、kkk1230kkk得，B向 量 組是 線 性 無 關(guān) 的 。1230kkk即，向量組的線性相關(guān)性與齊次線性方程組的解的關(guān)系：線性齊次方程組：線性齊次方程組：矩陣形式：矩陣形式：11 1122121 122221 122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxaxLLL LL.Ax0 線性組合形式：線性組合形式：11220nnx x x L12,n 向量組，線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)：線性齊次方程組有結(jié)論1。.非零解L12,. ,2n 向量組，線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)：線性齊次方程組只結(jié)論有零解。L例例 討論向量組的線性相關(guān)性討論向量組的線性相關(guān)性對應(yīng)的線性齊次方程組對應(yīng)矩陣形式：

10、123(1,1,1) ,(2,1,0) ,(3,2,1)TTTaaa1231231120.101xAxxx1122330 x x x 解 設(shè)有 使123,xxx1231231232302000 xxxxxxxxx線性齊次方程組有非零解：1231,1,1,xxx 即有線性組合1230，所以向量組線性相關(guān)。例例 討論向量組的線性相關(guān)性討論向量組的線性相關(guān)性123(1,1,1) ,(2,1,0) ,(3,2,1)TTTaaa123111210321aaa解法二 作增廣矩陣并化為行階梯形得線性組合12301213121111012200032raaaaaaa，所以向量組線性相關(guān)。12131111012

11、20123raaaaa向量組中向量的增減對相關(guān)性的影響向量組中向量的增減對相關(guān)性的影響1 1、線性相關(guān)的向量組：增加向量后的向量組仍然線性相關(guān)。、線性相關(guān)的向量組：增加向量后的向量組仍然線性相關(guān)。2 2、線性無關(guān)的向量組：去掉向量后的向量組仍然線性無關(guān)。、線性無關(guān)的向量組：去掉向量后的向量組仍然線性無關(guān)。11220nnk k k L1122100nnnk k k L直觀理解：向量越多越容易線性相關(guān)，向量越少越容易線性無關(guān)。向量組中向量的分量（維數(shù)）增減對相關(guān)性的影響向量組中向量的分量（維數(shù)）增減對相關(guān)性的影響1 1、線性相關(guān)的向量組：減少分量后的向量組仍然線性相關(guān)。、線性相關(guān)的向量組：減少分量

12、后的向量組仍然線性相關(guān)。2 2、線性無關(guān)的向量組：增加分量后的向量組仍然線性無關(guān)。、線性無關(guān)的向量組：增加分量后的向量組仍然線性無關(guān)。3 3、向量組向量同時(shí)交換兩分量，向量組線性相關(guān)性不變。（對分量進(jìn)行、向量組向量同時(shí)交換兩分量，向量組線性相關(guān)性不變。（對分量進(jìn)行初等行變換也是一樣）初等行變換也是一樣）線性齊次方程組：11 1122121 122221 122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxaxLLL LL線性組合形式：11220nnx x x L3. 3. 向量的線性表示向量的線性表示12:,mAb 給定向量組和向量如果存在一組數(shù)L1122mmb L12

13、,m， ，Lb使得向量 是它們的一個線性組合，即bA稱向量 可有向量組 線性表示。例例1011110,30000Ab ，1 0 1 , 0 1 0 , 111,(1, 2,1)Bb（ ， ） （ ， ，） （ ， ， ）120b120b011b1122 nna xa xa xbL線性方程組的向量表示線性方程組的向量表示11112211211222221122,.nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xa xa xbLLL LL方程組與增廣矩陣的列向量組之間一一對應(yīng)。向量組的線性相關(guān)性與非齊次線性方程組的解的聯(lián)系向量組的線性相關(guān)性與非齊次線性方程組的解的聯(lián)系線性非齊次方

14、程組線性非齊次方程組矩陣形式：矩陣形式：.bAx 線性組合形式線性組合形式1122nnx x x bL12,nb向 量可 以 由 向 量 組，線 性 表 示的 充 分 必 要 條 件 是 對 應(yīng) 的 非 齊 次 線 性 方 程結(jié).。論 3組 有 解L11 11221121 1222221 122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xbLLL L L L L L L L L L L LL向量組的線性相關(guān)性與線性表示之間的關(guān)系向量組的線性相關(guān)性與線性表示之間的關(guān)系例例113202A ，2 定理向量組線性相關(guān)的充分必要條件是向量組中至少有一個向量可以由其它的向

15、量線性表示。2 定理向量組線性無關(guān)的充分必要條件是向量組中任何一個向量都不可以由其它的向量線性表示。3. bb 定理線性無關(guān)的向量組增加向量 后，向量組線性相關(guān)，則向量可以由向量組的其它成員線性表示，且表示法唯一。由一個向量組成的向量組的線性相關(guān)性：由一個向量組成的向量組的線性相關(guān)性： A向量組線性相關(guān)00 A向量組線性無關(guān)由兩個向量組成的向量組的線性相關(guān)性：由兩個向量組成的向量組的線性相關(guān)性：A向量組，線性相關(guān), 的分量對應(yīng)成比例。例例321-1-7214A ，(31,2),(21,7,2)B ，關(guān)于抽象向量組的線性相關(guān)性問題：關(guān)于抽象向量組的線性相關(guān)性問題：1231223123,+3,1.

16、已知線性無關(guān)，證明2線性無關(guān)。121212,+ ,bbb 2.已知線性無關(guān)，線性相關(guān)，證明 可以由線性表示。 解12+ , bb由線性相關(guān)， （用線性相關(guān)建立等式關(guān)系式）121122(+ )()0k kkbkb存在不全為零常數(shù) ,使得，112212()0kkkk b即：，12,bb （ 可以由線性表示， 的組合系數(shù)不會為零）120kk假如，11220kk則，12, 由線性無關(guān)條件，120kk ，矛盾，112212()kkbkk 所以，。證明123,kkk假如有常數(shù)使得線性組合：1122233123+3)()()0,kkk(21311232233)+(3)()0,kkkkkkk (2(合并同類項(xiàng)

17、)123,由線性無關(guān)，1230,kkk解出1312323)(3)()0,kkkkkkk 組合系數(shù)全為零(21223123+3,所以，2線性無關(guān)。關(guān)于含參數(shù)向量組的線性相關(guān)性問題：關(guān)于含參數(shù)向量組的線性相關(guān)性問題：123=(2,1,0) ,(3,2,5) ,(10,6, )TTTtt1.已知線性相關(guān)，求 。 解123210325106TTTtr1213121000.551.5015TTTTTtr121312121000.551.5001052(1.5)TTTTTTTt10t 所以時(shí)，312152(1.5)0TTTT 。關(guān)于含參數(shù)向量組的線性相關(guān)性問題：關(guān)于含參數(shù)向量組的線性相關(guān)性問題：123(1

18、,2, )=(2,1,1) ,( 1,2,7) ,(1, 1, 4)TTTTtt 2.已知可由線性表示，求 。 解31211421112712TTTTtbr3132331140392013034TTTTTTTtbr313232332311400023()0130053()TTTTTTTTTTTtb5t 所以時(shí)，323=3()TTTTb。小結(jié)小結(jié)兩個概念：兩個概念：四個定理：四個定理：1 1、向量組增減向量對線性相關(guān)性影響定理、向量組增減向量對線性相關(guān)性影響定理2 2、向量組增減向量分量對線性相關(guān)性影響定理、向量組增減向量分量對線性相關(guān)性影響定理3 3、線性相關(guān)向量組中必有向量可以被其它向量表示定理、線性相關(guān)向量組中必有向量可以被其它向量表示定理4 4、線性無關(guān)向量組加一個向量變成線性相關(guān)，則新加向量可以被、線性無關(guān)向量組加一個向量變成線性相關(guān)，則新加向量可以被其它向量唯一表示定理。其它向量唯一表示定理。向量組的線性相關(guān)線性無關(guān)；向量組的線性相關(guān)線性無關(guān)；向量的線性表示向量的線性表示1. 1. 設(shè)設(shè) ( 2 1 0 ), (3 2 5 ), (1 0 6 ,1 0 )A ，向量組，向量組 ( 2 1 0 ), (3 2 5 ), (1 0 6 ,1 0 ), (1,1, 2 )B ，線性相關(guān)性如何？線性相關(guān)性如何？2. 2