第5章對流傳熱理論與計算-2-數(shù)學描述

1、15-2 對流傳熱問題的數(shù)學描述對流傳熱問題的數(shù)學描述v基本假設：基本假設：v（1）不可壓縮的牛頓型流體）不可壓縮的牛頓型流體v（2）常物性）常物性v（3）直角坐標系：直角坐標系：x、y方向速度分別為方向速度分別為 u 和和 v23一一 換熱微分方程式換熱微分方程式v貼壁處的無滑移邊界條件貼壁處的無滑移邊界條件貼貼壁壁處流體因粘性作用處流體因粘性作用被被滯止而處于無滑移狀態(tài)滯止而處于無滑移狀態(tài)40yytq0yytv壁面與流體間的熱量傳遞：必須壁面與流體間的熱量傳遞：必須以導熱方式穿過靜止的以導熱方式穿過靜止的流體層流體層為貼壁處壁面法為貼壁處壁面法為流體的導熱系數(shù)為流體的導熱系數(shù) 線方線方向上

2、流體的溫度變化率向上流體的溫度變化率5v固體壁面和流體間是對流傳熱過程：固體壁面和流體間是對流傳熱過程：wfqh tt0|ywfthtty 0yytq對流傳熱微分方程式對流傳熱微分方程式6v局部表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)局部表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)0|xywxfxthtty 7v整個換熱面的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)，稱為整個換熱面的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)，稱為平均表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)平均表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)v平均表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)：平均表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)：wfhttA8（1）平均表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)與局部表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)間的關系）平均表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)與局部表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)間的關系 dddxxxxwfxxqAhttA ddxxxwfxxAAqAhttA 9（1）平均表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)與局部表面?zhèn)?/p>

3、熱系數(shù)間的關系）平均表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)與局部表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)間的關系 dxwfxxAwfhttAhttA 若表面與流體間的溫差是恒定若表面與流體間的溫差是恒定 dxxAwfh AhAttAwfhttA10v（2）注意公式中的幾個參數(shù)）注意公式中的幾個參數(shù)v為流體的導熱系數(shù)；為流體的導熱系數(shù)；tf為遠離壁面的處流體溫度為遠離壁面的處流體溫度v（3）公式的意義）公式的意義v將表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)和流體的溫度場聯(lián)系起來將表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)和流體的溫度場聯(lián)系起來v表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)的計算式表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)的計算式0|xywxfxthtty 11v表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)：表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)：v與與溫差、流體的導熱能力溫差、流體的導熱能力有關有關v取決于

4、取決于流體的溫度分布流體的溫度分布，特別是貼壁處流體的溫，特別是貼壁處流體的溫度分布度分布v如何求溫度場呢？如何求溫度場呢？0|xywxfxthtty 12二二 能量微分方程式求流體的溫度場能量微分方程式求流體的溫度場 v建立物體內(nèi)溫度場的基本原理：建立物體內(nèi)溫度場的基本原理：能量守恒原理能量守恒原理 ingoutsEEEEv在流體內(nèi)部取矩形微元體在流體內(nèi)部取矩形微元體 13二二 能量微分方程式求流體的溫度場能量微分方程式求流體的溫度場 ingoutsEEEEinxyEEEddoutxxyyEEEdd()()xxxyyygsEEEEEE 14v流體內(nèi)部的溫度分布是不均勻的流體內(nèi)部的溫度分布是不

5、均勻的v流體內(nèi)部存在溫差：流體內(nèi)部存在溫差：以導熱的方式傳遞能量以導熱的方式傳遞能量v流體不斷地流動：流體不斷地流動：以對流方式傳遞能量以對流方式傳遞能量15v通過控制表面進入微元體的能量通過控制表面進入微元體的能量：v （1）以以導熱的方式在溫差的作用下傳遞的能量導熱的方式在溫差的作用下傳遞的能量v （2）以）以對流的方式帶入微元體的能量對流的方式帶入微元體的能量攜帶的攜帶的內(nèi)能內(nèi)能v離開微元體的能量：離開微元體的能量：導熱導熱+對流對流16通過界面通過界面進、出微元體進、出微元體的的熱量：熱量： in,xh xyh yEout,d,d,d,dxxh xxyyh yyE17inout,xh

6、xyh yEE ,d,dxxxh xh xx通過控制體界面通過控制體界面凈凈進入控制體的能量為：進入控制體的能量為： ,d,d,d,dxxh xxyyh yy ,d,dyyyh yh yy18,dxtyx ,d,dddxxxxxxx 處導入的熱流量：處導入的熱流量：在在x+dx處的導熱熱流量：處的導熱熱流量：19,dddd ddxxxxtxx yxxx ,dd dyyytx yyy在在 x 方向的凈導熱量：方向的凈導熱量：同理，同理，y 方向的凈導熱量為：方向的凈導熱量為：20,dh xpc ut y,d,dddh xh xxh xxx在在 x 處對流熱流量：處對流熱流量：在在x+dx處的對流

7、熱流量：處的對流熱流量：式中，式中，u為流體在為流體在x方向的分速度，方向的分速度，m/s。21,dddd ddhxh xh xxpxc utx yxx ,dd dh yh yypc vtx yy x 方向的凈對流熱流量：方向的凈對流熱流量：同理，在同理，在y方向方向:式中，式中，v為流體在為流體在y方向的速方向的速度，度，m/s22,dd dxxxtx yxx,dd dyyytx yyy,dd dh xh xxpc utx yx ,dd dh yh yypc vtx yy 整理得到：整理得到：inoutd dppttEEc utc vtx yxxyyxy23 控制體的熱力學能的增加速率為：控

8、制體的熱力學能的增加速率為： d dspEc tx y 單位體積的粘性耗散熱記為單位體積的粘性耗散熱記為d，則有：，則有：d dgdEx y24d dspEc tx yd dgdEx yinoutd dppttEEc utc vtx yxxyyxydd()()xxxyyygsEEEEEE pppdttc tc utc vtxyxxyy 對流傳熱的能量微分方程式對流傳熱的能量微分方程式25pppdttc tc utc vtxyxxyy 對流傳熱的能量微分方程式對流傳熱的能量微分方程式常物性、忽略粘性耗散時：常物性、忽略粘性耗散時：a為流體的導溫系數(shù)、為流體的導溫系數(shù)、熱擴散系數(shù)熱擴散系數(shù)2222

9、()()tu tv tttaxyxy26()( )utvtuvtttuvxyxyxy()ututtuxxx()vtvttvyyyttuvxy2222()( )()tutvtttaxyxy27v常物性、二維對流傳熱的能量微分方程常物性、二維對流傳熱的能量微分方程v關于流體的溫度場的微分方程關于流體的溫度場的微分方程 2222()tttttuvaxyxy2222()( )()tutvtttaxyxy28說說 明明v（1 1）掌握方法更為重要）掌握方法更為重要v掌握方法：取微元體、實施能量守恒，得到描述物體的掌握方法：取微元體、實施能量守恒，得到描述物體的溫度場的微分方程式的方法溫度場的微分方程式的

10、方法v希望能熟練地掌握能量守恒的實施方法和過程希望能熟練地掌握能量守恒的實施方法和過程29說說 明明v（2 2）流動著的流體所攜帶的能量焓）流動著的流體所攜帶的能量焓v自身具有溫度而具有的自身具有溫度而具有的熱力學能（內(nèi)能）熱力學能（內(nèi)能）uv推動功：推動功：流體從外界功源獲得的維持流動的能量，流體從外界功源獲得的維持流動的能量，單位質(zhì)量流體的推動功：單位質(zhì)量流體的推動功：pvv流動的流體所攜帶的能量：流動的流體所攜帶的能量：內(nèi)能和推動功之和內(nèi)能和推動功之和焓，焓，用符號用符號H、h upHmpvmc t30（3）能量微分方程的構成）能量微分方程的構成v第第1項：項：非穩(wěn)定項，非穩(wěn)定項，代表流

11、體內(nèi)儲存能量的增加代表流體內(nèi)儲存能量的增加 v第第2、3項：項：對流項，對流項，反映了反映了熱對流的作用熱對流的作用2222()tttttuvaxyxyv第第4、5項：項：擴散項，擴散項，反映了導熱對流體內(nèi)溫度分布的影反映了導熱對流體內(nèi)溫度分布的影響響31（3 3）能量微分方程的構成）能量微分方程的構成2222()tttttuvaxyxy 對流擴散方程對流擴散方程 方程的含義：方程的含義：對流傳熱是熱傳導和熱對流對流傳熱是熱傳導和熱對流兩種基本兩種基本熱量傳遞方式的聯(lián)合作用熱量傳遞方式的聯(lián)合作用 32v若流體內(nèi)沒有流動：若流體內(nèi)沒有流動： 0u 0v )(2222ytxtatv常物性、無源時的

12、二維導熱微分方程式常物性、無源時的二維導熱微分方程式 2222()tttttuvaxyxy33v溫度場與溫度場與速度場速度場有關，必須知道速度分布有關，必須知道速度分布v那么如何求速度場呢？那么如何求速度場呢？v由流體力學：必須求解由流體力學：必須求解動量微分方程式動量微分方程式 ( , ,)tf u v x ya2222()tttttuvaxyxy34三三 動量微分方程動量微分方程關于流體速度場關于流體速度場v描述流體運動規(guī)律的方程是描述流體運動規(guī)律的方程是動量微分方程動量微分方程本質(zhì)是針本質(zhì)是針對對流體的動量定理流體的動量定理 v表述表述對流體中任一微元控制體積，對流體中任一微元控制體積，

13、所有作用在該微所有作用在該微元上的外力總和等于控制體積中的動量變化率元上的外力總和等于控制體積中的動量變化率35三三 動量微分方程動量微分方程關于流體速度場關于流體速度場v所有外力所有外力：表面力表面力和和質(zhì)量力質(zhì)量力v質(zhì)量力質(zhì)量力作用于流體每一個質(zhì)點上，作用于流體每一個質(zhì)點上，與作用的流體質(zhì)與作用的流體質(zhì)量成正比量成正比，如重力、慣性力、電磁力等。，如重力、慣性力、電磁力等。單位體積的質(zhì)單位體積的質(zhì)量力也稱為體積力量力也稱為體積力v表面力表面力作用于流體的表面上，作用于流體的表面上，與受作用的流體表面與受作用的流體表面積成正比積成正比，表面力又可以分為垂直作用的，表面力又可以分為垂直作用的壓

14、力壓力（法向壓（法向壓力）和平行于作用面的力）和平行于作用面的切力切力（切向粘性力）（切向粘性力）3622221()puuXxxyuuuuvxyvvvuvxyx方向的動量方程：方向的動量方程：y方向的動量方程：方向的動量方程：22221()pvvYyxy37動量微分方程式也稱為動量微分方程式也稱為NavierStokes方程式方程式1823年德國科學家年德國科學家Navier.M提出提出1845年英國科學家年英國科學家Stokes.G加以完善加以完善 NS方程是方程是流體力學的重要方程流體力學的重要方程，是研究流體動力學的，是研究流體動力學的基礎基礎uuuuvxy22221()puuXxxy3

15、8v（1）動量方程的構成）動量方程的構成 v第第1項項非穩(wěn)態(tài)項非穩(wěn)態(tài)項v第第2、3項含有速度項含有速度對流項對流項v第第6、7項含有動量擴散系數(shù)項含有動量擴散系數(shù)擴散項擴散項v其他項其他項源項源項uuuuvxy22221()puuXxxy39v（2）動量方程和能量方程形式的相似性動量方程和能量方程形式的相似性對流對流-擴散方擴散方程程v通用方程通用方程便于數(shù)值分析便于數(shù)值分析v動量傳遞和熱量傳遞具有相似性動量傳遞和熱量傳遞具有相似性 比擬法的基礎比擬法的基礎22221()uuupuuuvXxyxxy2222()tttttuvaxyxy40 xp yp 為為x和和y方向的總壓力梯度方向的總壓力梯

16、度 通常通常流體內(nèi)部的壓力流體內(nèi)部的壓力也是未知的也是未知的 22221()puuXxxyuuuuvxyvvvuvxy22221()pvvYyxy41四四 連續(xù)性方程連續(xù)性方程 v連續(xù)性方程是由連續(xù)性方程是由質(zhì)量守恒方程質(zhì)量守恒方程導出導出 v對常物性、對常物性、不可壓縮流體不可壓縮流體的連續(xù)性方程的連續(xù)性方程 0uvxy壓力是隱含于連續(xù)性方程之中壓力是隱含于連續(xù)性方程之中 42五五 小結小結 0uvxy22221()uuupuuuvXxyxxy22221()vvvpvvuvYxyyxy2222()tttttuvaxyxy描述對流傳熱問題的控制方程描述對流傳熱問題的控制方程43v因變量（未知數(shù)

17、）因變量（未知數(shù)）0|ythty htuvpv（1）連續(xù)性方程、動量微分方程式連續(xù)性方程、動量微分方程式關于流場：關于流場：u，v，pv（2）能量微分方程式能量微分方程式關于溫度關于溫度v（3）換熱微分方程式換熱微分方程式關于表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)關于表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)44六六 對流換熱過程的單值性條件對流換熱過程的單值性條件v單值性條件：能單值地反映對流傳熱過程特點的條件單值性條件：能單值地反映對流傳熱過程特點的條件v完整數(shù)學描述：完整數(shù)學描述：對流換熱微分方程組對流換熱微分方程組 + + 單值性條件單值性條件v單值性條件包括四項：幾何、物理、時間、邊界單值性條件包括四項：幾何、物理、時間、邊界(1) 幾何

18、條件幾何條件v說明對流換熱過程中的幾何形狀和大小說明對流換熱過程中的幾何形狀和大小v平板、圓管；豎直圓管、水平圓管；長度、直徑等平板、圓管；豎直圓管、水平圓管；長度、直徑等45v(2) 物理條件物理條件v說明對流換熱過程的物理特征說明對流換熱過程的物理特征v如：物性參數(shù)如：物性參數(shù) 、 、c 和和 的數(shù)值，是否隨溫的數(shù)值，是否隨溫度和壓力變化；有無內(nèi)熱源、大小和分布度和壓力變化；有無內(nèi)熱源、大小和分布v(3) 時間條件時間條件v說明在時間上對流換熱過程的特點說明在時間上對流換熱過程的特點v穩(wěn)態(tài)對流換熱過程不需要時間條件穩(wěn)態(tài)對流換熱過程不需要時間條件與時間無關與時間無關46(4) 邊界條件邊界條

19、件v說明對流傳熱過程的邊界特點說明對流傳熱過程的邊界特點v邊界條件可分為二類：第一類、第二類邊界條件邊界條件可分為二類：第一類、第二類邊界條件va 第一類邊界條件第一類邊界條件(溫度條件溫度條件)v 已知任一瞬間對流換熱過程邊界上的已知任一瞬間對流換熱過程邊界上的溫度值溫度值vb 第二類邊界條件（熱流條件）第二類邊界條件（熱流條件）v已知任一瞬間對流換熱過程邊界上的已知任一瞬間對流換熱過程邊界上的熱流密度值熱流密度值47七七 對流換熱問題的求解對流換熱問題的求解v理論上求解對流換熱問題的具體步驟理論上求解對流換熱問題的具體步驟v（1）聯(lián)立連續(xù)性方程和動量方程，求得）聯(lián)立連續(xù)性方程和動量方程，求得v、v和和pv（2）根據(jù)求得的）根據(jù)求得的u、v，解能量方程，得到溫度場，解能量方程，得到溫度