概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)2.2a

1、2.2 2.2 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)五、隨機(jī)變量的方差五、隨機(jī)變量的方差六、隨機(jī)變量的矩與切比雪夫不等式六、隨機(jī)變量的矩與切比雪夫不等式 為什么要研究隨機(jī)變量的數(shù)字特征為什么要研究隨機(jī)變量的數(shù)字特征盡管隨機(jī)變量的分布函數(shù)盡管隨機(jī)變量的分布函數(shù)( (概率分布、概率密度概率分布、概率密度) )完整地描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。但是這完整地描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。但是這種完整的描述并

2、不使人感到方便，而且在一些種完整的描述并不使人感到方便，而且在一些實(shí)際問題中，也不需要去全面考察隨機(jī)變量的實(shí)際問題中，也不需要去全面考察隨機(jī)變量的分布，而只需知道隨機(jī)變量分布的某些特征，分布，而只需知道隨機(jī)變量分布的某些特征，因此并不需要求出它的分布函數(shù)因此并不需要求出它的分布函數(shù)( (概率分布、概概率分布、概率密度率密度) ) 。為什么要研究隨機(jī)變量的數(shù)字特征為什么要研究隨機(jī)變量的數(shù)字特征在評(píng)定某一地區(qū)糧食產(chǎn)量時(shí)，在許多場合只在評(píng)定某一地區(qū)糧食產(chǎn)量時(shí)，在許多場合只需知道該地區(qū)的平均產(chǎn)量。需知道該地區(qū)的平均產(chǎn)量。在研究水稻品種優(yōu)劣時(shí)，時(shí)常是關(guān)心稻穗的在研究水稻品種優(yōu)劣時(shí)，時(shí)常是關(guān)心稻穗的平均稻

3、谷粒數(shù)。平均稻谷粒數(shù)。在檢查一批棉花的質(zhì)量時(shí)，即需要注意纖維在檢查一批棉花的質(zhì)量時(shí)，即需要注意纖維的平均長度，又需要注意纖維長度與平均長的平均長度，又需要注意纖維長度與平均長度的偏離程度。平均長度較大、偏離程度較度的偏離程度。平均長度較大、偏離程度較小，質(zhì)量就較好。小，質(zhì)量就較好。 為什么要研究隨機(jī)變量的數(shù)字特征為什么要研究隨機(jī)變量的數(shù)字特征 與隨機(jī)變量有關(guān)的某些數(shù)值，雖然不能完整地與隨機(jī)變量有關(guān)的某些數(shù)值，雖然不能完整地描述隨機(jī)變量，但能描述隨機(jī)變量在某些方面描述隨機(jī)變量，但能描述隨機(jī)變量在某些方面的重要特征。這些數(shù)字特征在理論和實(shí)踐上都的重要特征。這些數(shù)字特征在理論和實(shí)踐上都有重要的意義。

4、有重要的意義。 本章將介紹隨機(jī)變量的常用數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期本章將介紹隨機(jī)變量的常用數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望、方差和矩。望、方差和矩。現(xiàn)在他射擊N次，其中得0分有a0次，得1分有a1次，得2分有a2次，a0 + a1 + a2 = N。他射擊N次得分的總和為例1. 一射手進(jìn)行打靶練習(xí)，規(guī)定射入?yún)^(qū)域e2得2分，射入?yún)^(qū)域e1得1分，脫靶，即射入?yún)^(qū)域e0得0分。射手一次射擊得分?jǐn)?shù)X為一個(gè)隨機(jī)變量。設(shè)X的概率函數(shù)為2, 1,0,kpkXPk一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望0e1e2e210210aaa平均一次射擊的得分?jǐn)?shù)為Naaa21021020kkNak。的概率件在一定意義下接近于事很大時(shí)，當(dāng)?shù)念l率，在后面將看到

5、為事件kkkpkXNakXNa/N的數(shù)學(xué)期望或均值。量為隨機(jī)變，我們稱在一定意義下接近于的觀察值的算術(shù)平均很大時(shí)，隨機(jī)變量當(dāng)XXN202020kkkkkkkpkpNak20kkNak設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的概率分布為： kkpxXP，, 2 , 1k ， 若級(jí)數(shù)1ikkpx絕對(duì)收斂， 則稱級(jí)數(shù)1ikkpx的和為隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望。 記為 E(X)，即 E(X)=1kkkpx。 離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義Y8910P0.20.50.3例2：的射擊水平由下表給出甲、乙兩人射擊，他們：甲擊中的環(huán)數(shù)；XX8910P0.10.30.6：乙擊中的環(huán)數(shù)；Y平較高？試問哪一個(gè)人的射擊水例2（續(xù)）為甲、

6、乙的平均環(huán)數(shù)可寫5 . 96 . 0103 . 091 . 08*EX1 . 93 . 0105 . 092 . 08*EY的好，甲的射擊水平要比乙因此，從平均環(huán)數(shù)上看解：設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的概率函數(shù)為： X 0 1 2 P 0.1 0.2 0.7 則 EX = 0*0.1+1*0.2+2*0.7 =1.6若離散型隨機(jī)變量 X 的概率函數(shù)為： X 0 1 2 P 0.7 0.2 0.1 則 EX = 0*0.7+1*0.2+2*0.1 =0.4此例說明了數(shù)學(xué)期望更完整地刻化了X的平均水平。例 3(3)數(shù)學(xué)期望E(X)完全由隨機(jī)變量的概率分布所確定，若X服從某一分布，也稱E(X)是這一分布的

7、數(shù)學(xué)期望。(4)數(shù)學(xué)期望刻劃了概率分布的中心位置。多數(shù)情況下，在離E(X)越遠(yuǎn)的位置概率分布的就越稀疏。說說 明明的求和順序無關(guān)的和與其級(jí)數(shù)能保證級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂時(shí)，才，只有當(dāng)級(jí)數(shù)變化的平均水平，因此觀測值機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望表示的是隨由于隨機(jī)變量111)2(nnnnnnnnnpxpxpxXX觀測值變化的平均水平的數(shù)學(xué)期望刻劃了 XX) 1 (二、連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)，且f(x)只在a, b上不等于0。取分點(diǎn)bxxxan110則X落在區(qū)間 xi, xi+1中的概率為1)(,1iixxiidxxfxxXP很小時(shí)當(dāng)iiixxx1iiixxfxxXP)(,1ix0

8、x1xnxip00)(xxf11)(xxfnnxxf)(這時(shí)概率分布可視為X的離散近似，服從上述分布的離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為badxxxf)(時(shí)當(dāng) 0ixniiixxfx0)(niiixxfx0)(dxxxf)(設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的概率密度為)(xf， 若積分dxxxf)(絕對(duì)收斂，則稱積分dxxxf)( 的值為 X 的數(shù)學(xué)期望。記為 E(X)=dxxxf)(， 數(shù)學(xué)期望也稱為均值。 連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義例例5( )其它, 021,210,xxxxxf的概率密度函數(shù)為設(shè)隨機(jī)變量X( )XE 求例例6的概率密度函數(shù)為設(shè)隨機(jī)變量X( )()xxxf2111pdxxx211p由于(

9、)dxxfx0212dxxxp()021ln1xp( )不絕對(duì)收斂，這表明積分dxxxf不存在因而 EX定理 1： (2).若 X的概率密度為)(xf，且 dxxfxg)()(絕對(duì)收斂，則 EY=dxxfxg)()(。設(shè) Y=g(X), g(x) 是連續(xù)函數(shù).(1) 若 X 的概率分布為 且 絕對(duì)收斂, 則 EY=kkxXPp1)(kkkxgp, 2 , 1k1)(kkkxgp三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望例例7的概率分布為設(shè)隨機(jī)變量X103106101210 P X()2EX-XE求例例8的概率密度函數(shù)為設(shè)隨機(jī)變量X( )其它, 021,210,xxxxxf( )XE-XE 求四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

10、)()()()()22112211XEgXEgXgXgEII aEaI )aEXaXEIII )() 例例9( )( )均存在，證明和設(shè)2XEXE( )()( )()222EXXEXE-XE 1、定義 在實(shí)際問題中常關(guān)心隨機(jī)變量與均值的偏離程度，可用 E|X-EX|，但不方便；所以通常用2)(EXXE來度量隨機(jī)變量 X 與其均值 EX 的偏離程度。設(shè) X是隨機(jī)變量，若2)(EXXE存在，稱其為隨機(jī)變量 X 的方差，記作 DX，Var(X)，即：DX=Var(X)= 2)(EXXE。DX稱為標(biāo)準(zhǔn)差。122)()(iiipEXxEXXEDX， 離散型。dxxfEXxDX)()(2， 連續(xù)型。顯然方

11、差是隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。五、隨機(jī)變量的方差(2)(2)若若X X的觀測值比較集中，則的觀測值比較集中，則D(X)D(X)較小，反之，若觀測較小，反之，若觀測值比較分散，則值比較分散，則D(X)D(X)較大，因此，較大，因此，D(X)D(X)是刻畫是刻畫X X的觀測的觀測值分散程度的一個(gè)量，也是衡量值分散程度的一個(gè)量，也是衡量X X的觀測值分散程度的的觀測值分散程度的一個(gè)尺度。一個(gè)尺度。(3)(3)方差方差D(X)D(X)完全由隨機(jī)變量的概率分布所確定，若完全由隨機(jī)變量的概率分布所確定，若X X服服從某一分布，也稱從某一分布，也稱D(X)D(X)是這一分布的方差。是這一分布的方差。(4)(4

12、)方差刻畫了概率分布方差刻畫了概率分布的分散程度。的分散程度。D(X)D(X)越小，越小，概率分布就越集中在均值概率分布就越集中在均值附近。附近。(1) 方差描述了隨機(jī)變量的觀測值與其均值的偏離程度。方差描述了隨機(jī)變量的觀測值與其均值的偏離程度。0 xf (x)注：方差也可由下面公式求得：()22EXEXDX證明：()2EXXEDX()()()222EXXEXXE()()222EXEXEXEX()()2222EXEXEX()22EXEX 2)()(XEXEXD2、方差的性質(zhì))()()2XDbXD DXaaXD2)()3 0) 1aD X8910P0.30.20.5例例10：甲擊中的環(huán)數(shù)；X：乙

13、擊中的環(huán)數(shù)；Y：的射擊水平由下表給出甲、乙兩人射擊，他們Y8910P0.20.40.4平較高？試問哪一個(gè)人的射擊水例例10（續(xù)）（續(xù)）解：比較兩個(gè)人的平均環(huán)數(shù)甲的平均環(huán)數(shù)為5 . 0102 . 093 . 08*EX乙的平均環(huán)數(shù)為4 . 0104 . 092 . 08*EY的方差分別為的，但兩個(gè)人射擊環(huán)數(shù)是一樣，甲乙兩人的射擊水平因此，從平均環(huán)數(shù)上看( )環(huán)2 . 9( )環(huán)2 . 9例例10（續(xù)）（續(xù)）()()()5 . 02 . 9102 . 02 . 993 . 02 . 98222*DX()()()4 . 02 . 9104 . 02 . 992 . 02 . 98222*DY76. 0，由于DXDY 624. 0甲穩(wěn)定這表明乙的射擊水平比例例11求 DX的概率密度函數(shù)為設(shè)隨機(jī)變量X( )其它, 021,210,xxxxxf例例12的方差存在，令設(shè)隨機(jī)變量X( )()2CXECl( )( )XD CEXC此時(shí)最小值為達(dá)到最小，時(shí)，證明：當(dāng)且僅當(dāng)l1、矩的定義若k = kEX存在，稱之為 X 的 k 階階原原點(diǎn)點(diǎn)矩矩，簡稱 k 階階矩矩。 若k=kEXXE)(存在，稱之為 X 的 k 階階中中心心矩矩。 六、隨機(jī)變量的矩與切比紹夫不等式六、隨機(jī)變量的矩與切比紹夫不等式定理 隨機(jī)變量X的t階矩存在，則其s