§17-2波函數(shù)及其物理意義

1、太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系 波函數(shù)及其物理意義波函數(shù)及其物理意義 1925年，薛定諤首先在德布羅意假設(shè)的基礎(chǔ)上年，薛定諤首先在德布羅意假設(shè)的基礎(chǔ)上提出，用物質(zhì)波的波函數(shù)來(lái)描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀提出，用物質(zhì)波的波函數(shù)來(lái)描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)態(tài), ,就像用電磁波描述光子的運(yùn)動(dòng)一樣。就像用電磁波描述光子的運(yùn)動(dòng)一樣。一、波函數(shù)一、波函數(shù) 用某種函數(shù)表達(dá)式來(lái)表述與微觀粒子相聯(lián)系的用某種函數(shù)表達(dá)式來(lái)表述與微觀粒子相聯(lián)系的物質(zhì)波，該函數(shù)表達(dá)式稱(chēng)為物質(zhì)波，該函數(shù)表達(dá)式稱(chēng)為物質(zhì)波的波函數(shù)物質(zhì)波的波函數(shù)。機(jī)械波機(jī)械波)(2cos),(xtAtxy將公式寫(xiě)成復(fù)數(shù)形式將公式寫(xiě)成復(fù)數(shù)形式)(2),(xtiAetxy

2、太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系利用關(guān)系利用關(guān)系PhhE,)(2),(pxEthiAetx自由粒子一維運(yùn)動(dòng)時(shí)的自由粒子一維運(yùn)動(dòng)時(shí)的平面波波函數(shù)平面波波函數(shù)當(dāng)波沿任意當(dāng)波沿任意 方向傳播時(shí)方向傳播時(shí) r)(2),(zpypxpEthizyxAetr2rpEthiAe太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系 經(jīng)典粒子經(jīng)典粒子: :不被分割的整體，有確定位置和不被分割的整體，有確定位置和運(yùn)動(dòng)軌道；運(yùn)動(dòng)軌道； 經(jīng)典的波經(jīng)典的波: : 某種實(shí)際的物理量的空間分布作某種實(shí)際的物理量的空間分布作周期性的變化，波具有相干疊加性周期性的變化，波具有相干疊加性. . 微觀粒子的波粒二象性微觀粒子的波粒二象性: :

3、 要求將波和粒子兩種要求將波和粒子兩種對(duì)立的屬性統(tǒng)一到同一物體上對(duì)立的屬性統(tǒng)一到同一物體上. .二、波函數(shù)的物理意義二、波函數(shù)的物理意義 描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的波函數(shù)描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的波函數(shù) 是時(shí)間和是時(shí)間和空間的函數(shù)，那么，波函數(shù)與粒子之間究竟有什么關(guān)空間的函數(shù)，那么，波函數(shù)與粒子之間究竟有什么關(guān)系呢？系呢？),(tr太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系1.1.微觀粒子不同于經(jīng)典波微觀粒子不同于經(jīng)典波如何來(lái)認(rèn)識(shí)物質(zhì)波呢如何來(lái)認(rèn)識(shí)物質(zhì)波呢? ? 按經(jīng)典波的觀點(diǎn)按經(jīng)典波的觀點(diǎn), ,電子波在介質(zhì)分界面上發(fā)電子波在介質(zhì)分界面上發(fā)生反射和折射，電子將被分裂為反射部分和折生反射和折射，電子將被分裂為

4、反射部分和折射部分，也就是說(shuō)，從兩個(gè)方向觀察到的只是射部分，也就是說(shuō)，從兩個(gè)方向觀察到的只是電子的一部分。但實(shí)驗(yàn)中觀察到的總是一個(gè)個(gè)電子的一部分。但實(shí)驗(yàn)中觀察到的總是一個(gè)個(gè)具有一定質(zhì)量和電荷的電子，從來(lái)沒(méi)有觀察到具有一定質(zhì)量和電荷的電子，從來(lái)沒(méi)有觀察到幾分之一個(gè)電子。幾分之一個(gè)電子。 結(jié)論結(jié)論: :物質(zhì)波與經(jīng)典波是完全不同的物質(zhì)波與經(jīng)典波是完全不同的. .太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系先分別關(guān)閉上先分別關(guān)閉上, ,下兩縫，子彈分別通過(guò)上、下縫到下兩縫，子彈分別通過(guò)上、下縫到達(dá)屏上，觀察子彈密度分布曲線達(dá)屏上，觀察子彈密度分布曲線P1、P2. .將將P1與與P2疊疊加，得到曲線加，得到曲線

5、P1 P2. 再同時(shí)打開(kāi)兩個(gè)縫，發(fā)射兩再同時(shí)打開(kāi)兩個(gè)縫，發(fā)射兩倍數(shù)目的子彈，最后得到的子彈密度分布曲線倍數(shù)目的子彈，最后得到的子彈密度分布曲線P3。 結(jié)果顯示為結(jié)果顯示為“非相干疊加非相干疊加”. . 2. 2. 微觀粒子不同于經(jīng)典粒子微觀粒子不同于經(jīng)典粒子太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系電子電子3 3. 微觀粒子的波粒二象性微觀粒子的波粒二象性 當(dāng)入射強(qiáng)電子流時(shí)當(dāng)入射強(qiáng)電子流時(shí), ,單位時(shí)間許多電子通過(guò)雙單位時(shí)間許多電子通過(guò)雙縫，底片上很快出現(xiàn)衍射圖樣縫，底片上很快出現(xiàn)衍射圖樣. .電子雙縫干射實(shí)驗(yàn)電子雙縫干射實(shí)驗(yàn)太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)技術(shù)可以做到一次一個(gè)電子通過(guò)縫

6、現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)技術(shù)可以做到一次一個(gè)電子通過(guò)縫7個(gè)個(gè)電子電子100個(gè)個(gè)電子電子20000個(gè)電子個(gè)電子70000個(gè)電子個(gè)電子屏上的一個(gè)亮點(diǎn)代表一個(gè)電子屏上的一個(gè)亮點(diǎn)代表一個(gè)電子 “一個(gè)電子一個(gè)電子”具有的波動(dòng)性具有的波動(dòng)性，衍射花樣不是電子間，衍射花樣不是電子間相互作用的結(jié)果。相互作用的結(jié)果。 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系 當(dāng)入射弱電子流時(shí)當(dāng)入射弱電子流時(shí), ,電子幾乎一個(gè)一個(gè)地通過(guò)電子幾乎一個(gè)一個(gè)地通過(guò)雙縫雙縫. .每通過(guò)一個(gè)電子每通過(guò)一個(gè)電子, ,底片上出現(xiàn)一個(gè)點(diǎn)底片上出現(xiàn)一個(gè)點(diǎn), ,開(kāi)始時(shí)點(diǎn)開(kāi)始時(shí)點(diǎn)呈現(xiàn)無(wú)規(guī)分布，隨著電子數(shù)目增多，逐漸形成衍射呈現(xiàn)無(wú)規(guī)分布，隨著電子數(shù)目增多，逐漸形成衍射圖樣

7、圖樣. .一個(gè)電子重復(fù)許多次相同實(shí)驗(yàn)表現(xiàn)出的統(tǒng)計(jì)結(jié)果一個(gè)電子重復(fù)許多次相同實(shí)驗(yàn)表現(xiàn)出的統(tǒng)計(jì)結(jié)果. .結(jié)論結(jié)論: 電子的行為既不等同于經(jīng)典粒子電子的行為既不等同于經(jīng)典粒子(沒(méi)有確定沒(méi)有確定的位置和運(yùn)動(dòng)軌道的位置和運(yùn)動(dòng)軌道)，也不等同于經(jīng)典波動(dòng)，也不等同于經(jīng)典波動(dòng)(并非某并非某實(shí)際的物理量在空間做周期性的變化實(shí)際的物理量在空間做周期性的變化)，它兼有粒，它兼有粒子子(不可分割的整體不可分割的整體)和波動(dòng)性和波動(dòng)性(相干疊加相干疊加)的某些特的某些特征，這就是征，這就是波粒二象性波粒二象性.太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系 玻恩給出了空間一很小區(qū)域玻恩給出了空間一很小區(qū)域( (體積元體積元dV=

8、dx dy dz) )內(nèi)粒子出現(xiàn)概率的計(jì)算方法。內(nèi)粒子出現(xiàn)概率的計(jì)算方法。dVdV2*t ,r t ,r 其中其中 是是 的復(fù)數(shù)共軛。的復(fù)數(shù)共軛。三、三、玻恩的波函數(shù)統(tǒng)計(jì)解釋玻恩的波函數(shù)統(tǒng)計(jì)解釋( (1926年年) ) 在某一時(shí)刻，在空間某處，微觀粒子出現(xiàn)的概率在某一時(shí)刻，在空間某處，微觀粒子出現(xiàn)的概率與該時(shí)刻、該地點(diǎn)波函數(shù)的平方與該時(shí)刻、該地點(diǎn)波函數(shù)的平方 成正比成正比. .2),(tr稱(chēng)為稱(chēng)為概率密度概率密度.*2),(),(),(trtrtr粒子在粒子在dV體積元內(nèi)出現(xiàn)的概率體積元內(nèi)出現(xiàn)的概率太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系玻恩對(duì)電子衍射的解釋玻恩對(duì)電子衍射的解釋 一個(gè)電子通過(guò)一個(gè)縫

9、后到底落在屏上哪一點(diǎn)一個(gè)電子通過(guò)一個(gè)縫后到底落在屏上哪一點(diǎn)呢？玻恩說(shuō)：不能肯定，落在哪一點(diǎn)都有可能；呢？玻恩說(shuō)：不能肯定，落在哪一點(diǎn)都有可能；但是由于屏上各處明暗不同，所以落在各處的概但是由于屏上各處明暗不同，所以落在各處的概率也不同，落在哪一點(diǎn)有一定的概率分布，這一率也不同，落在哪一點(diǎn)有一定的概率分布，這一概率分布由屏上各點(diǎn)波的強(qiáng)度分布來(lái)決定。概率分布由屏上各點(diǎn)波的強(qiáng)度分布來(lái)決定。2( , , , )x y z t接受屏上發(fā)現(xiàn)粒子的概率與接受屏上發(fā)現(xiàn)粒子的概率與 成正比成正比. . 電子在屏上出現(xiàn)概率密度大的地方電子在屏上出現(xiàn)概率密度大的地方, ,出現(xiàn)干涉出現(xiàn)干涉圖樣中的圖樣中的“亮條紋亮條

10、紋”；概率密度為零的地方；概率密度為零的地方, ,沒(méi)有沒(méi)有電子到達(dá)，顯示電子到達(dá)，顯示“暗條紋暗條紋”。太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系宏觀物體服從牛頓的決定論，如可以精確給宏觀物體服從牛頓的決定論，如可以精確給出火星的位置出火星的位置, ,運(yùn)動(dòng)軌道；運(yùn)動(dòng)軌道； 描述微觀粒子的波粒二象性的是描述微觀粒子的波粒二象性的是概率波概率波，按照概率波的觀點(diǎn)，微觀粒子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中究竟按照概率波的觀點(diǎn)，微觀粒子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中究竟會(huì)出現(xiàn)在何處會(huì)出現(xiàn)在何處, ,只能由概率大小來(lái)判斷只能由概率大小來(lái)判斷. . 在核外空間各處尋找電子的概率各不相同；在核外空間各處尋找電子的概率各不相同；即有一定的概率分布，人們

11、用即有一定的概率分布，人們用“電子云電子云”來(lái)形象來(lái)形象地描繪這種概率分布的空間圖形。地描繪這種概率分布的空間圖形。 氫原子核外電子的運(yùn)動(dòng)不能使用玻爾的軌道氫原子核外電子的運(yùn)動(dòng)不能使用玻爾的軌道運(yùn)動(dòng)了，只能說(shuō)電子在原子核外的某些地方比運(yùn)動(dòng)了，只能說(shuō)電子在原子核外的某些地方比較容易找到，在某些地方幾乎找不到。較容易找到，在某些地方幾乎找不到。太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系2i()hEtp r rtAe ，則在空間各點(diǎn)發(fā)現(xiàn)自由粒子的概率相等則在空間各點(diǎn)發(fā)現(xiàn)自由粒子的概率相等 應(yīng)該強(qiáng)調(diào)，對(duì)于概率分布來(lái)說(shuō)，重要的是應(yīng)該強(qiáng)調(diào)，對(duì)于概率分布來(lái)說(shuō)，重要的是相對(duì)概率分布相對(duì)概率分布如果如果C是常數(shù)是常數(shù)

12、( (可以是復(fù)數(shù)可以是復(fù)數(shù)) )，則則 和和 所描述的相對(duì)概率分布所描述的相對(duì)概率分布是完全相同的。是完全相同的。t , rt , rc自由粒子平面波波函數(shù)自由粒子平面波波函數(shù) 常常數(shù)數(shù)22),(Atr太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系四、波函數(shù)的歸一化條件四、波函數(shù)的歸一化條件稱(chēng)為波函數(shù)的歸一化條件稱(chēng)為波函數(shù)的歸一化條件. . 1ddd2zyx在整個(gè)空間粒子出現(xiàn)的概率總和為在整個(gè)空間粒子出現(xiàn)的概率總和為1, ,要求要求描述粒子的波函數(shù)應(yīng)該是描述粒子的波函數(shù)應(yīng)該是: :有限有限, ,單值單值, ,連連續(xù)續(xù), ,稱(chēng)為波函數(shù)的稱(chēng)為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件標(biāo)準(zhǔn)條件. .22212221),(),(),(),(trtrtrctrc太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系試求：（試求：（1 1）常數(shù)）常數(shù) A； 例例 作一微運(yùn)動(dòng)的粒子被束縛在作一微運(yùn)動(dòng)的粒子被束縛在0 xa的范圍內(nèi)。的范圍內(nèi)。已知其波函數(shù)為已知其波函數(shù)為 )sin()(axAx解解: :（1 1）由歸一化條件得）由歸一化條件得: :粒子的概率密度為粒子的概率密度為: :axa22sin2220sin ()d1aAx ax（2 2）求粒子在）求粒子在0到到 a/2區(qū)域出現(xiàn)的概率；區(qū)域出現(xiàn)的概率； 在在0 xa/2區(qū)域內(nèi)，粒子出現(xiàn)的概率為：區(qū)域內(nèi)