§17-2波函數(shù)及其物理意義

1、太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系 波函數(shù)及其物理意義波函數(shù)及其物理意義 1925年，薛定諤首先在德布羅意假設(shè)的基礎(chǔ)上年，薛定諤首先在德布羅意假設(shè)的基礎(chǔ)上提出，用物質(zhì)波的波函數(shù)來描述微觀粒子運動狀提出，用物質(zhì)波的波函數(shù)來描述微觀粒子運動狀態(tài)態(tài), ,就像用電磁波描述光子的運動一樣。就像用電磁波描述光子的運動一樣。一、波函數(shù)一、波函數(shù) 用某種函數(shù)表達式來表述與微觀粒子相聯(lián)系的用某種函數(shù)表達式來表述與微觀粒子相聯(lián)系的物質(zhì)波，該函數(shù)表達式稱為物質(zhì)波，該函數(shù)表達式稱為物質(zhì)波的波函數(shù)物質(zhì)波的波函數(shù)。機械波機械波)(2cos),(xtAtxy將公式寫成復(fù)數(shù)形式將公式寫成復(fù)數(shù)形式)(2),(xtiAetxy

2、太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系利用關(guān)系利用關(guān)系PhhE,)(2),(pxEthiAetx自由粒子一維運動時的自由粒子一維運動時的平面波波函數(shù)平面波波函數(shù)當(dāng)波沿任意當(dāng)波沿任意 方向傳播時方向傳播時 r)(2),(zpypxpEthizyxAetr2rpEthiAe太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系 經(jīng)典粒子經(jīng)典粒子: :不被分割的整體，有確定位置和不被分割的整體，有確定位置和運動軌道；運動軌道； 經(jīng)典的波經(jīng)典的波: : 某種實際的物理量的空間分布作某種實際的物理量的空間分布作周期性的變化，波具有相干疊加性周期性的變化，波具有相干疊加性. . 微觀粒子的波粒二象性微觀粒子的波粒二象性: :

3、 要求將波和粒子兩種要求將波和粒子兩種對立的屬性統(tǒng)一到同一物體上對立的屬性統(tǒng)一到同一物體上. .二、波函數(shù)的物理意義二、波函數(shù)的物理意義 描述微觀粒子運動狀態(tài)的波函數(shù)描述微觀粒子運動狀態(tài)的波函數(shù) 是時間和是時間和空間的函數(shù)，那么，波函數(shù)與粒子之間究竟有什么關(guān)空間的函數(shù)，那么，波函數(shù)與粒子之間究竟有什么關(guān)系呢？系呢？),(tr太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系1.1.微觀粒子不同于經(jīng)典波微觀粒子不同于經(jīng)典波如何來認(rèn)識物質(zhì)波呢如何來認(rèn)識物質(zhì)波呢? ? 按經(jīng)典波的觀點按經(jīng)典波的觀點, ,電子波在介質(zhì)分界面上發(fā)電子波在介質(zhì)分界面上發(fā)生反射和折射，電子將被分裂為反射部分和折生反射和折射，電子將被分裂為

4、反射部分和折射部分，也就是說，從兩個方向觀察到的只是射部分，也就是說，從兩個方向觀察到的只是電子的一部分。但實驗中觀察到的總是一個個電子的一部分。但實驗中觀察到的總是一個個具有一定質(zhì)量和電荷的電子，從來沒有觀察到具有一定質(zhì)量和電荷的電子，從來沒有觀察到幾分之一個電子。幾分之一個電子。 結(jié)論結(jié)論: :物質(zhì)波與經(jīng)典波是完全不同的物質(zhì)波與經(jīng)典波是完全不同的. .太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系先分別關(guān)閉上先分別關(guān)閉上, ,下兩縫，子彈分別通過上、下縫到下兩縫，子彈分別通過上、下縫到達屏上，觀察子彈密度分布曲線達屏上，觀察子彈密度分布曲線P1、P2. .將將P1與與P2疊疊加，得到曲線加，得到曲線

5、P1 P2. 再同時打開兩個縫，發(fā)射兩再同時打開兩個縫，發(fā)射兩倍數(shù)目的子彈，最后得到的子彈密度分布曲線倍數(shù)目的子彈，最后得到的子彈密度分布曲線P3。 結(jié)果顯示為結(jié)果顯示為“非相干疊加非相干疊加”. . 2. 2. 微觀粒子不同于經(jīng)典粒子微觀粒子不同于經(jīng)典粒子太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系電子電子3 3. 微觀粒子的波粒二象性微觀粒子的波粒二象性 當(dāng)入射強電子流時當(dāng)入射強電子流時, ,單位時間許多電子通過雙單位時間許多電子通過雙縫，底片上很快出現(xiàn)衍射圖樣縫，底片上很快出現(xiàn)衍射圖樣. .電子雙縫干射實驗電子雙縫干射實驗太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系現(xiàn)代實驗技術(shù)可以做到一次一個電子通過縫

6、現(xiàn)代實驗技術(shù)可以做到一次一個電子通過縫7個個電子電子100個個電子電子20000個電子個電子70000個電子個電子屏上的一個亮點代表一個電子屏上的一個亮點代表一個電子 “一個電子一個電子”具有的波動性具有的波動性，衍射花樣不是電子間，衍射花樣不是電子間相互作用的結(jié)果。相互作用的結(jié)果。 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系 當(dāng)入射弱電子流時當(dāng)入射弱電子流時, ,電子幾乎一個一個地通過電子幾乎一個一個地通過雙縫雙縫. .每通過一個電子每通過一個電子, ,底片上出現(xiàn)一個點底片上出現(xiàn)一個點, ,開始時點開始時點呈現(xiàn)無規(guī)分布，隨著電子數(shù)目增多，逐漸形成衍射呈現(xiàn)無規(guī)分布，隨著電子數(shù)目增多，逐漸形成衍射圖樣

7、圖樣. .一個電子重復(fù)許多次相同實驗表現(xiàn)出的統(tǒng)計結(jié)果一個電子重復(fù)許多次相同實驗表現(xiàn)出的統(tǒng)計結(jié)果. .結(jié)論結(jié)論: 電子的行為既不等同于經(jīng)典粒子電子的行為既不等同于經(jīng)典粒子(沒有確定沒有確定的位置和運動軌道的位置和運動軌道)，也不等同于經(jīng)典波動，也不等同于經(jīng)典波動(并非某并非某實際的物理量在空間做周期性的變化實際的物理量在空間做周期性的變化)，它兼有粒，它兼有粒子子(不可分割的整體不可分割的整體)和波動性和波動性(相干疊加相干疊加)的某些特的某些特征，這就是征，這就是波粒二象性波粒二象性.太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系 玻恩給出了空間一很小區(qū)域玻恩給出了空間一很小區(qū)域( (體積元體積元dV=

8、dx dy dz) )內(nèi)粒子出現(xiàn)概率的計算方法。內(nèi)粒子出現(xiàn)概率的計算方法。dVdV2*t ,r t ,r 其中其中 是是 的復(fù)數(shù)共軛。的復(fù)數(shù)共軛。三、三、玻恩的波函數(shù)統(tǒng)計解釋玻恩的波函數(shù)統(tǒng)計解釋( (1926年年) ) 在某一時刻，在空間某處，微觀粒子出現(xiàn)的概率在某一時刻，在空間某處，微觀粒子出現(xiàn)的概率與該時刻、該地點波函數(shù)的平方與該時刻、該地點波函數(shù)的平方 成正比成正比. .2),(tr稱為稱為概率密度概率密度.*2),(),(),(trtrtr粒子在粒子在dV體積元內(nèi)出現(xiàn)的概率體積元內(nèi)出現(xiàn)的概率太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系玻恩對電子衍射的解釋玻恩對電子衍射的解釋 一個電子通過一個縫

9、后到底落在屏上哪一點一個電子通過一個縫后到底落在屏上哪一點呢？玻恩說：不能肯定，落在哪一點都有可能；呢？玻恩說：不能肯定，落在哪一點都有可能；但是由于屏上各處明暗不同，所以落在各處的概但是由于屏上各處明暗不同，所以落在各處的概率也不同，落在哪一點有一定的概率分布，這一率也不同，落在哪一點有一定的概率分布，這一概率分布由屏上各點波的強度分布來決定。概率分布由屏上各點波的強度分布來決定。2( , , , )x y z t接受屏上發(fā)現(xiàn)粒子的概率與接受屏上發(fā)現(xiàn)粒子的概率與 成正比成正比. . 電子在屏上出現(xiàn)概率密度大的地方電子在屏上出現(xiàn)概率密度大的地方, ,出現(xiàn)干涉出現(xiàn)干涉圖樣中的圖樣中的“亮條紋亮條

10、紋”；概率密度為零的地方；概率密度為零的地方, ,沒有沒有電子到達，顯示電子到達，顯示“暗條紋暗條紋”。太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系宏觀物體服從牛頓的決定論，如可以精確給宏觀物體服從牛頓的決定論，如可以精確給出火星的位置出火星的位置, ,運動軌道；運動軌道； 描述微觀粒子的波粒二象性的是描述微觀粒子的波粒二象性的是概率波概率波，按照概率波的觀點，微觀粒子在運動過程中究竟按照概率波的觀點，微觀粒子在運動過程中究竟會出現(xiàn)在何處會出現(xiàn)在何處, ,只能由概率大小來判斷只能由概率大小來判斷. . 在核外空間各處尋找電子的概率各不相同；在核外空間各處尋找電子的概率各不相同；即有一定的概率分布，人們

11、用即有一定的概率分布，人們用“電子云電子云”來形象來形象地描繪這種概率分布的空間圖形。地描繪這種概率分布的空間圖形。 氫原子核外電子的運動不能使用玻爾的軌道氫原子核外電子的運動不能使用玻爾的軌道運動了，只能說電子在原子核外的某些地方比運動了，只能說電子在原子核外的某些地方比較容易找到，在某些地方幾乎找不到。較容易找到，在某些地方幾乎找不到。太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系2i()hEtp r rtAe ，則在空間各點發(fā)現(xiàn)自由粒子的概率相等則在空間各點發(fā)現(xiàn)自由粒子的概率相等 應(yīng)該強調(diào)，對于概率分布來說，重要的是應(yīng)該強調(diào)，對于概率分布來說，重要的是相對概率分布相對概率分布如果如果C是常數(shù)是常數(shù)

12、( (可以是復(fù)數(shù)可以是復(fù)數(shù)) )，則則 和和 所描述的相對概率分布所描述的相對概率分布是完全相同的。是完全相同的。t , rt , rc自由粒子平面波波函數(shù)自由粒子平面波波函數(shù) 常常數(shù)數(shù)22),(Atr太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系四、波函數(shù)的歸一化條件四、波函數(shù)的歸一化條件稱為波函數(shù)的歸一化條件稱為波函數(shù)的歸一化條件. . 1ddd2zyx在整個空間粒子出現(xiàn)的概率總和為在整個空間粒子出現(xiàn)的概率總和為1, ,要求要求描述粒子的波函數(shù)應(yīng)該是描述粒子的波函數(shù)應(yīng)該是: :有限有限, ,單值單值, ,連連續(xù)續(xù), ,稱為波函數(shù)的稱為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件標(biāo)準(zhǔn)條件. .22212221),(),(),(),(trtrtrctrc太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系試求：（試求：（1 1）常數(shù)）常數(shù) A； 例例 作一微運動的粒子被束縛在作一微運動的粒子被束縛在0 xa的范圍內(nèi)。的范圍內(nèi)。已知其波函數(shù)為已知其波函數(shù)為 )sin()(axAx解解: :（1 1）由歸一化條件得）由歸一化條件得: :粒子的概率密度為粒子的概率密度為: :axa22sin2220sin ()d1aAx ax（2 2）求粒子在）求粒子在0到到 a/2區(qū)域出現(xiàn)的概率；區(qū)域出現(xiàn)的概率； 在在0 xa/2區(qū)域內(nèi)，粒子出現(xiàn)的概率為：區(qū)域內(nèi)