結構動力學課件3-4

1、1利用復數(shù)Fourier級數(shù)得到復數(shù)形式的解用復數(shù)Fourier級數(shù)將周期荷載展開，p(t) = p eiwjt ,p = 1 Tp p(t)e-iwjt dt , p = p(w )jj0jj j =-Tp先計算復荷載eiwjt作用系穩(wěn)態(tài)反應的復幅值，設：總的穩(wěn)態(tài)反應為:H(iw)復頻反應函數(shù)，也稱為頻響函數(shù)，傳遞函數(shù)。6/71H (iw ) = 1 1jk 1 - (w w )2 + i2z (w w )jnjn u(t) = p u (t) = H (iw ) p eiw jtj jjjj =-j =-mu& + cu& + ku = eiw jtu (t) = H (iw )eiw j

2、t jj3.7 單度體系對周期荷載的反應任意周期荷載作用下結構總的穩(wěn)態(tài)反應為：5/710jju(t) = u +(u c + u s )j =1= a0 k 1 a (2zb ) + b (1 - b 2 )+ jjjj sin w t k (1 - b 2 )2 + (2zb )2jj =1jj 1 a (1 - b 2 ) - b (2zb )+ jjjj cosw t k (1 - b 2 )2 + (2zb )2jj =1jjb j = w j / wn3.7 單度體系對周期荷載的反應當用Fourier級數(shù)展開法時，隱含假設周期函數(shù)是從-開始到+。初始條件(t=-) 的影響到t=0 時

3、已完全消失，僅需計算穩(wěn)態(tài)解，即特解。對應于每一簡諧荷載項作用，體系的反應為：a0 :aj cos(wjt) :bj sin(wjt) :4/71b (1 - b 2 ) sinw t - 2zb cosw t u s = jjjjj jk(1 - b 2 )2 + (2zb )2jja 2zb sinw t + (1 - b 2 ) cosw t u c = jjjjj jk(1 - b 2 )2 + (2zb )2jju0 = a0 / k3.7 單度體系對周期荷載的反應設任意的周期荷載p(t)，將其展開成Fourier級數(shù)，w = jw = j 2pT 荷載的周期j1Tpp3/71a =

4、1 Tp p(t)dt0T 0pTa j = 1 ,2 ,3 ,LTb j = 1 ,2 ,3 ,Lp(t) = a0 + a j cosw jt + bj sin w jtj =1j =13.7 單度體系對周期荷載的反應依靠的基礎：依靠已得到的單 度體系對簡諧荷載反應分析結果。在獲得簡諧荷載作用的結果后，就可以方便地分析單 度體系對任意周期性荷載的反應，簡諧荷載是一種最簡單、最具代表性的周期荷載。任意周期性荷載均可以分解成簡諧荷載的代數(shù)和。具體實施方法：利用Fourier級數(shù)展開法。將任意的周期荷載p(t)展開成Fourier級數(shù)，把任意周 期性荷載表示成一系列簡諧荷載的疊加，對每一簡 諧荷

5、載作用下結構的反應可以容易得到其穩(wěn)態(tài)解， 再求和，得到結構在任意周期性荷載作用下的反應。限制條件：結構體系是線彈性的?？墒褂茂B加原理。2/71第3章 單度體系3.7 單度體系對周期荷載的反應1/71。21/1/3.8.1 時域分析方法Duhamel積分1、脈沖反應函數(shù)脈沖及脈沖反應函數(shù)12/71p3.8.1 時域分析方法Duhamel積分u(t ) = 01、脈沖反應函數(shù) 1u&(t ) =m無阻尼體系的脈沖反應函數(shù)為有阻尼體系的脈沖反應函數(shù)為11/71h(t - t ) = u(t) =1 e-zwn (t -t ) sinw (t - t ) t tmwDD= 0t th(t - t )

6、= u(t) = 1 sinw (t - t ) t tmwnn= 0t tt2脈沖引起的反應.在任意時間t結構的反應，等.du于t以前所有脈沖作用下反應t的和：時刻脈沖引起的反應.u.t總反應13/71ttu(t) = du = p(t )h(t -t )dt004離散Fourier變換（DFT）將離散化的值代入Fourier正變換公式，并應用梯形積分公式得：將離散化的譜值代入Fourier逆變換公式，并應用梯形積分公式得：24/71u(t ) = 1 +iwtk1 +iwtkk2p - U (w)edw = 2p - H (iw)P(w)edwN -1N -1i 2pkj= 1 H (iw

7、 )P(w )eiw j tk Dw = 1 H (iw )P(w )e N2pjjTjjj =0p j =0+-iw tN -1-iw tN -1-i 2pkjP(w j ) = p(t)e j dt = p(tk )e j k Dt = Dt p(tk )e N-k =0k =0離散Fourier變換（DFT）對連續(xù)變化的函數(shù)用等步長離散（數(shù)值采樣）時域離散化：p(tk ), k = 0, 1, 2,L, N -1tk = k Dt ,Dt = Tp / N頻域離散化：P(wj ), j = 0, 1, 2,L, N -1wj = j Dw ,Dw = 2p /Tp23/713.8.2 頻

8、域分析方法Fourier變換法離散Fourier變換 （DFT）q 在用頻域法分析中涉及到兩次Fourier變換，均為無窮域積分，特別是Fourier逆變換，被積函數(shù)是復數(shù)，有時涉及復雜的圍道積分。q 當外荷載是復雜的時間函數(shù)(如 動)時，用 型的Fourier變換幾乎是不可能的，實際計算中大量采用的是離散Fourier變換。22/71u(t) = 1 +H (iw)P(w)eiwt dw2p -+P(w) = p(t)e-iwt dt-3.8.2 頻域分析方法Fourier變換法頻域分析方法的基本計算步驟1 對外荷載p(t)作Fourier變換, 得到荷載的Fourier譜P(w)：p(t)

9、 F P(w)2 根據(jù)外荷載的Fourier譜P(w)和復頻反應函數(shù)H(iw)，得到結構反應的頻域解Fourier譜U(w)：U(w)=H(iw)P(w) H (iw) = 1 1k 1 - (w / w )2 + i2z (w / w )nn3 應用Fourier逆變換，由頻域解U(w)得到時域解u(t)：U (w) 逆F u(t)21/713.8.2 頻域分析方法Fourier變換法單度體系運動的頻域解為U (w) = H (iw)P(w)H (iw) = 1 1k 1 - (w / w )2 + i2z (w / w )nn H(iw)復頻反應函數(shù)，i是用來表示函數(shù)是一復數(shù)。再利用Fou

10、rier逆變換，即得到體系的位移解u(t) = 1 + H (iw)P(w)eiwt dw2p -20/71- w 2U (w) + i2zw wU (w) + w 2U (w) = 1 P(w)nnm3.8.2 頻域分析方法Fourier變換法單度體系時域運動方程 U(w) = (t)e-iwtdt- u1 u(t) = U(w)eiwtdw2p - u&(t)e-iwt dt = iwU (w)- u&(t)e-iwt dt = -w 2U (w)-u&(t) + 2zw u&(t) + w 2u(t) = 1 p(t)nnm對時域運動方程兩邊同時進行Fourier正變換，得單度體系頻域運

11、動方程- w 2U (w) + i2zw wU (w) + w 2U (w) = 1 P(w)nnmU (w) F u(t) , P(w) F p(t)19/7153.9 結構反應分析的反應譜法30/71離散Fourier變換（DFT）l Fourier變換，特別是快速Fourier變換在信號分析和處理中得到廣泛應用，目前已有標準的 Fourier變換和快速Fourier變換程序可用。l 但作為一種微分方程的解法，在用于求解結構的運動方程時，為獲得可靠的結構動力反應分析結果，仍需要對這一分析方法的特點有全面的了解和掌握。29/71離散Fourier變換（DFT）2. 結構的動力反應也被周期化，

12、對此要加足夠多的0點以增大持續(xù)時間Tp，保證在所計算的時間段0, Tp內(nèi)，結構的位移能衰減到0。utuTpTpTp t28/71離散Fourier變換（DFT）2. 由于離散Fourier變換將非周期時間函數(shù)周期化，使得外荷載變成周期性荷載，如下圖所示，原荷載的持續(xù)時間Tp 變成周期性荷載的周期。27/71離散Fourier變換（DFT）應用離散Fourier變換時應注意事項:1. 離散Fourier變換將非周期時間函數(shù)周期化2. 由于第1點原因，對p(t)要加足夠多的0點增大持續(xù)時間 Tp，以保證在所計算的時間段0, Tp內(nèi)，體系的位移能衰減到03. 頻譜上限頻率fNyquest=1/2Dt

13、，wNyquest=2pfNyquest4. 頻譜的分辨率為Df=1/Tp，即Dw=2p/Tp5. 頻譜的下限f1=1/Tp26/711 N -1i 2pkjp(tk ) = P(w j )e NTp j =0離散Fourier變換（DFT）以上公式即是求結構反應的離散Fourier變換方法DFT如果取N=2m，再利用簡諧函數(shù)周期性的特點，可以得到快速Fourier變換FFT，應用FFT可以大大加快分析速度和減少工作量。離散Fourier變換需要N2次乘法運算，而快速Fourier變換可把乘法運算次數(shù)減少到大約5Nlog2N。若N1000，則FFT可以把乘法運算由百萬次減少到50000次左右。

14、 N越大，F(xiàn)FT算法的效率越明顯。25/711 N -1i 2pkju(tk ) = H (iw j )P(w j )e NTp j =0N -1-i 2pkjP(w j ) = Dt p(tk )e Nk =06a (g)a (g)a (g)a (g)3.9 結構反應分析的反應譜法當阻尼比z較小時，結構反應計算公式可簡化為：在實際工，對結構的絕對度(t)+g(t)感它可根據(jù)結構位移的解式直接得到（對上式兩次微分）對比以上兩式可以發(fā)現(xiàn)以上公式僅對于小阻尼時才成立。實際上，這一公式可以直接由運動方程得到。36/71u&(t) + u& (t) = -w 2u(t)gntu&(t) + u&g (

15、t) = wn u& g (t )e-zwn (t-t ) sinwn (t - t )dt0u(t) = -1 t u& (t )e-zwn (t-t ) sin w (t - t )dtw0 gnn3.9 結構反應分析的反應譜法作用下結構相對位移時程，wD = wn 1 - z 2觀察以上方程可以發(fā)現(xiàn)，對一給定 動ug，結構的地震反應僅與結構的阻尼比z和結構的自振頻率wn有關，換句話，對于不同的結構（大小尺寸不同），當其結構阻尼比和自振頻率相同時，對同一個 的反應完全相同。35/71u(t) = -1 t u& (t )e-zwn (t -t ) sinw (t -t )dtw0 gDD3

16、.9 結構反應分析的反應譜法作用下結構運動方程為：mu& + cu& + ku = -mu& g其中u=u(t)為相對位移，g(t)為動度時程。等效荷載為peq(t)=-mg(t)，應用Duhamel積分，得到作用下結構的位移為：u(t) = p (t )h(t -t )dt = 1 -mu& (t )e-zwn (t -t ) sinw (t -t )dttt0 eqmw 0gD D= -1 t u& (t )e-zwn (t -t ) sinw (t -t )dtw 0 gDD其中 wD = wn 1 - z 2 有阻尼體系自振頻率。34/713.9 結構反應分析的反應譜法度時程的特點為：

17、第1階段，振幅快速增長；第2階段，相對穩(wěn)定；第3階段，振蕩衰減。0.40.60.20.30.00.0-0.3-0.2-0.6-0.4-0.9010203040010203040t (s)Elcentro 波Kobe波t (s)0.080.20.040.10.000.0-0.04-0 .1-0.08-0 .2010203040010203005060Loma Prieta 波t (s)Taft 波t (s)典型動度時程33/71典型動度時程作用的特點：動過程非常復雜，隨時間不 規(guī)則、快速變化。 在學習了結構動力反應分析方法后，就可以對結構 反應問題開展計算分析。 當 動較小時，結構反應處于線彈性

18、范圍，可以采用Duhamel積分，或FFT+復頻反應函數(shù)的方法獲得 作用下結構的反應。根據(jù)得到的結構最大變形，最大內(nèi)力進行抗震設計。 當動較強時，結構反應可能進入塑性，這時可以采用時域逐步積分法進行求解分析。 本節(jié)僅限于介紹線彈性反應問題。 將采用Duhamel積分法介紹反應譜的概念。31/7173.9 結構反應分析的反應譜法在工程的工作中，采用歸一化反應譜b(Tn) 動力系數(shù)，在建筑抗震設計規(guī)范中，給出以重力度g為單位的反應譜a(Tn)影響系數(shù)，42/71a = a(Tn ) = Sa / gb = b (Tn ) = Sa / u& g3.9 結構反應分析的反應譜法反應譜的意義：在 動作用

19、下，不同周期結構 反應的最大值。反應譜的計算要完成計算一系列具有不同自振周期的結構反應。反應譜在本質上反映的是 動強度與頻譜特性，它不反映具體的結構特性。一般給出的 反應譜是絕對 度反應譜Sa ，利用 Sd=Sa/wn2即 到位移反應譜，注意到wn2=k/m，則Sd和Sa的關系可表達成：可見，當知道Sa后，用mS 計算等效的最 力，然后按靜力方法可計算結構 反應的最大值。對多 度體系可以采用這樣的方法完成 作用下最大位移的計算（振型位移）。41/71kumax = FkSd = mSa = F反應譜曲線的計算及物理意義El Centro波的位移、速度、度反應譜曲線39/713.9 結構反應分析

20、的反應譜法當阻尼比z給定時，結構對任一的最大位移反應和最大絕對度反應僅由wn決定，即工一般采用結構的自振周期Tn2p/wn代替圓頻率，因而如果改變結構的自振周期Tn就可以得到不同的Sd和Sa，最后可以得到以結構自振周期Tn為自變量的函數(shù)Sd和Sa。 稱：Sd(相對)位移反應譜,Sa(絕對)度反應譜。38/71Sd = Sd (Tn )Sa = Sa (Tn )Sd = Sd (wn )Sa = Sa (wn )3.9 結構反應分析的反應譜法在結構抗震設計時，人們往往僅需要知道結構反應的最大值，記結構反應的最大相對位移Sd和最大絕對度Sa之間的關系37/71S= w 2SandSd = max

21、u(t)Sa = max u&(t) + u&g (t)83.11 脈沖荷載作用下單度體系的反應48/713.10 階躍荷載作用下單度體系的反應2 具有有限上升時間的階躍荷載u = u + 1 (1 - cosw t )2 + (sin w t )2 ost 1 w tr rr r r r具有有限上升時間的階躍荷載的反應譜47/71R uo = 1 + sin(p tr / Tn )d up t / Tstr n3.10 階躍荷載作用下單度體系的反應2 具有有限上升時間的階躍荷載p(t) = (t / tr ) p0 , t trp , t t0r用Duhamel積分法u(t) = u t -

22、 sinwnt , t tst t w t n u(t) = u - 1 sin w t - sin w (t - t ) , t tst 1 w tnn nntr=2(tr/Tn)3.10 階躍荷載作用下單度體系的反應（Response to Step For）1 理想階躍荷載1 t2p tu(t) = p0 sinwn (t - t )dt = ust (1 - coswnt) = ust (1 - cos)mwn 0Tn1 t-zw -t-zw zu(t) = p0e nsinwD (t -t )dt = ust 1 - e n coswDt +sinwDt (t )tmwD 01 -

23、z 23.10 階躍荷載作用下單度體系的反應44/713.9 結構反應分析的反應譜法q 反應譜法是結構反應分析中的一個重要方 法，利用抗震規(guī)范給出的平均反應譜可以計算 工程場地結構反應最大值，很簡單、方便。但以上介紹的反應譜法限于線彈性，為此人們 也發(fā)展了非線性的反應譜，但通常是屬于較粗 略的估計。q 對非線性問題，當結構比較重要時，規(guī)范要求必須采用彈塑性時程分析方法補充計算，這時采用第5章將介紹的時域逐步積分法可以完成結構動力反應分析計算。43/719脈沖荷載反應三角形脈沖荷載54/71脈沖荷載反應半正弦脈沖荷載反應脈沖荷載反應半正弦脈沖荷載52/71脈沖荷載反應矩形脈沖荷載反應脈沖荷載反應

24、矩形脈沖荷載50/713.11 脈沖荷載作用下單度體系的反應（Response to Pulse Exci ions）沖擊荷載是工常遇的荷載形式。例如，結構受沖擊波的作用，結構動力試驗中使用的錘擊荷載等。沖擊荷載可以表示為作用時間較短的脈沖。常用的形式有三種：矩形、半正弦、三角形荷載。由于荷載作用時間較短，在脈沖作用下，結構的最大反應可在很短的時間內(nèi)達到，在此期間，結構的阻尼還來不及吸收較多的振動能量，因此，在計算沖擊荷載引起的振動反應時，一般不考慮阻尼的影響。分析方法：分段求解：強迫振動階段+振動階段直接用Duhamel積分49/71101、無阻尼振動無阻尼振動是一個簡諧運動：u(+ B s

25、in wntu(t) = u(0) cosw t + u&(0) sin w tnwnn建立了結構自振頻率和自振周期的概念。60/71T = 2pnwnf = wnn2pw = knm第3章小結59/71等面積的三種脈沖作用下的沖擊反應譜58/71等幅值的三種脈沖作用下的沖擊反應譜三種脈沖作為集中沖量作用時體系的反應tI = d p(t)dt0對于矩形脈沖I = potd，半周期正弦脈沖I = (2/p)potd，三角形脈沖I = potd/2，在集中沖量作用 系的最大反應分別為56/71uo = p tdustTnuo = 4 tdustTnuo = 2p tdustTnu =I= I 2pomwk Tnnu(t) = I 1 sinw t mwn n脈沖荷載反應三角形脈沖荷載反應116、任意荷載的反應l 脈沖：作用時間很短，沖量等于1的荷載。l 脈沖反應函數(shù)：h(t -t ) =1 e-zwn (t -t ) sinw (t -t )mwDDl 杜哈曼(Duhamel)積分：tu(t) = 0 p(t )h(t -t )dt66/71q 簡諧反應，又稱單頻反應（荷載：簡諧式的；反應：簡諧式的），簡諧反應分析 了結構頻域反應分析的基礎。q 結構動力反應分析方法：時域