金融數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)

1、 金融數(shù)學(xué)金融數(shù)學(xué) 總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) n第一章第一章 金融衍生產(chǎn)品相關(guān)知識(shí)金融衍生產(chǎn)品相關(guān)知識(shí)n 金融衍生產(chǎn)品，又稱為金融衍生工具、金融衍生品或金融衍生證券，它是一類新型的風(fēng)險(xiǎn)管理的金融工具，它的價(jià)值依賴于其它更基本的基礎(chǔ)資產(chǎn)（或稱標(biāo)的資產(chǎn)、原生資產(chǎn)）的價(jià)格變化。也就是說，金融衍生產(chǎn)品的價(jià)值是由其標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)值衍生而成的。例如，外匯遠(yuǎn)期合約是一個(gè)金融衍生產(chǎn)品，其價(jià)值依附于外匯的價(jià)格。在金融市場中，有很多形式的金融衍生產(chǎn)品，但遠(yuǎn)期合約、期貨和期權(quán)是三種最基本的金融衍生產(chǎn)品。 n 金融數(shù)學(xué)研究的是什么？它和金融學(xué)和數(shù)金融數(shù)學(xué)研究的是什么？它和金融學(xué)和數(shù)學(xué)都有什么聯(lián)系？學(xué)都有什么聯(lián)系？n n 金融數(shù)學(xué)的主

2、要目的就是解決怎樣根據(jù)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格來計(jì)算金融衍生產(chǎn)品價(jià)格的過程。所以，金融數(shù)學(xué)這門學(xué)科需要數(shù)學(xué)作為工具，金融知識(shí)為背景。用數(shù)學(xué)的方法來解決一些金融方面的問題n 遠(yuǎn)期合約遠(yuǎn)期合約是一個(gè)最簡單的金融衍生產(chǎn)品，它是指在未來確定時(shí)間，以確定價(jià)格購（銷）一定數(shù)量和質(zhì)量的某原生資產(chǎn)的協(xié)議。n 期貨期貨含義是：交易雙方不必在買賣發(fā)生的初期就交收實(shí)貨，而是共同約定在未來的某一時(shí)候交收實(shí)貨，因此中國人就稱其為“期貨”。期貨與遠(yuǎn)期合約相同，也是一張?jiān)谖磥淼拇_定時(shí)間，按確定價(jià)格購（銷）一定數(shù)量和質(zhì)量的某原生資產(chǎn)的協(xié)議，但它是由遠(yuǎn)期合約逐步標(biāo)準(zhǔn)化而形成的。n 期權(quán)期權(quán)是持有人在確定時(shí)間，按確定價(jià)格向出售方購銷一定數(shù)量

3、和質(zhì)量的原生資產(chǎn)的協(xié)議，但他不承擔(dān)必須購入或銷售的義務(wù)。 n n 期權(quán)按合約中購入和銷售原生資產(chǎn)可以劃分為看漲期權(quán)和看跌期權(quán)： n 看漲期權(quán)看漲期權(quán): :也稱為買權(quán)，是一張?jiān)诖_定時(shí)間，按確定價(jià)格有權(quán)購入一定數(shù)量和質(zhì)量的原生資產(chǎn)的合約。 n 看跌期權(quán)看跌期權(quán): :也稱為賣權(quán)，是一張?jiān)诖_定時(shí)間，按確定價(jià)格有權(quán)出售一定數(shù)量和質(zhì)量的原生資產(chǎn)的合約。 n 期權(quán)按合約中有關(guān)實(shí)施的條款主要可以劃分為歐式期權(quán)和美式期權(quán)： n 歐式期權(quán)歐式期權(quán): :只能在合約規(guī)定的到期日實(shí)施。 n 美式期權(quán)美式期權(quán): :能在合約規(guī)定的到期日以前（包括到期日）任何一個(gè)工作日實(shí)施。 n期權(quán)在到期日的價(jià)值。以歐式看漲期權(quán)為例，設(shè)T是

4、到期時(shí)間，對于0tT，設(shè)C(t)是看漲期權(quán)（買權(quán)）在時(shí)間t的價(jià)值。因?yàn)樵诘狡跁r(shí)間T，股票價(jià)格只有三種可能： n(1) S(T) X，即股票價(jià)格大于執(zhí)行價(jià)，稱買n 權(quán)處于實(shí)值狀態(tài)； n(2) S(T) = X，即股票價(jià)格等于執(zhí)行價(jià)，稱買n 權(quán)處于平值狀態(tài)； n(3) S(T) 10%(或證券A的10%的報(bào)酬率低于12.7%必要報(bào)酬率 ),故A證劵被高估，應(yīng)賣出。n B證劵n 5%+（12%-5%）1.2=13.4%n 因?yàn)?3.4%17%,故B證劵被低估，應(yīng)買進(jìn)。 n16.16.某股票的預(yù)期收益率為某股票的預(yù)期收益率為16%16%，收益率的，收益率的標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)差為0.180.18，該股票與市場

5、組合間的相，該股票與市場組合間的相關(guān)系數(shù)為關(guān)系數(shù)為0.30.3，市場組合的預(yù)期收益率為，市場組合的預(yù)期收益率為20%20%，標(biāo)準(zhǔn)差為，標(biāo)準(zhǔn)差為0.120.12。n要求：要求：n（1 1）計(jì)算該股票的）計(jì)算該股票的系數(shù)；系數(shù)；n（2 2）計(jì)算上述信息中所隱含的無風(fēng)險(xiǎn)收益）計(jì)算上述信息中所隱含的無風(fēng)險(xiǎn)收益率。率。n17.17.已知市場投資組合的預(yù)期收益率和標(biāo)準(zhǔn)已知市場投資組合的預(yù)期收益率和標(biāo)準(zhǔn)差分別為差分別為14%14%和和20%20%，無風(fēng)險(xiǎn)收益率為，無風(fēng)險(xiǎn)收益率為8%8%，某投資者將自有資金某投資者將自有資金100100萬元中的萬元中的4040萬元投萬元投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，其余的資金全部投資于資

6、于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，其余的資金全部投資于市場組合，求市場組合，求n1.1.該投資組合的預(yù)期收益率；該投資組合的預(yù)期收益率； n2.2.該投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差。該投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差。n 18. . 假設(shè)市場只有兩種股票假設(shè)市場只有兩種股票A A、B B，其收益率，其收益率標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)差為0.250.25和和0.60.6，與市場的相關(guān)系數(shù)分別，與市場的相關(guān)系數(shù)分別為為0.40.4和和0.70.7，市場指數(shù)的平均收益率和標(biāo)準(zhǔn)差，市場指數(shù)的平均收益率和標(biāo)準(zhǔn)差分別為分別為0.150.15和和0.10.1，無風(fēng)險(xiǎn)利率為，無風(fēng)險(xiǎn)利率為0.050.05。n（1 1）計(jì)算股票）計(jì)算股票A A、B B和組合（和組合（0.50

7、.5，0.50.5）的）的值。值。n（2 2）A A、B B的協(xié)方差。的協(xié)方差。n（3 3）利用）利用CAPMCAPM計(jì)算股票的計(jì)算股票的A A、B B和組合（和組合（0.50.5，0.50.5）的預(yù)期收益率。）的預(yù)期收益率。 n19.19.假設(shè)兩個(gè)零息票債劵假設(shè)兩個(gè)零息票債劵A A和和B B，兩者都在一，兩者都在一年后的同一天到期，其面值為年后的同一天到期，其面值為100100元（到期元（到期時(shí)都獲得時(shí)都獲得100100元的現(xiàn)金流）。如果債劵元的現(xiàn)金流）。如果債劵A A當(dāng)當(dāng)前的價(jià)格為前的價(jià)格為9898元，并假設(shè)不考慮交易成本元，并假設(shè)不考慮交易成本和違約情況。和違約情況。n（1 1）：債劵）

8、：債劵B B當(dāng)前的價(jià)格為多少元？當(dāng)前的價(jià)格為多少元？n（2 2）：如果債劵）：如果債劵B B當(dāng)前的價(jià)格為當(dāng)前的價(jià)格為97.597.5元，元，問是否存在套利機(jī)會(huì)？如果有，如何套利？問是否存在套利機(jī)會(huì)？如果有，如何套利？n假設(shè)兩個(gè)零息票債劵A和B，兩者都在一年后的同一天到期，其面值為100元（到期時(shí)都獲得100元的現(xiàn)金流）。如果債劵A當(dāng)前的價(jià)格為98元，并假設(shè)不考慮交易成本和違約情況。n（1）：根據(jù)無套利定價(jià)原理，債劵B和債劵A有相同的損益和現(xiàn)金流。故債劵B的價(jià)格為98元。n（2）：若債劵B當(dāng)前的價(jià)格為97.5元，表明債劵B的價(jià)值被市場低估，那么兩債劵之間存在套利機(jī)會(huì)。套利方法，買進(jìn)債劵B，賣出價(jià)

9、值被市場高估債劵A。n 所以套利的策略是：賣空債劵A，得98元，用其中的97.5元買進(jìn)債劵B，這樣套利的贏利0.5元。n（實(shí)現(xiàn)套利的方法很簡單，買進(jìn)價(jià)值低估的資產(chǎn)- 債券B，賣出價(jià)值高估的資產(chǎn)-債券A。所以，套利的策略就是：賣空債券A，獲得98 元，用其中的97.5元買進(jìn)債券B，這樣套利的盈利為0.5 元。因?yàn)?，?年后到期日，債券B的面值剛好用于支付賣空債券A的面值。）n20.20.假設(shè)有一風(fēng)險(xiǎn)證券假設(shè)有一風(fēng)險(xiǎn)證券A A，當(dāng)前的市場價(jià)格為，當(dāng)前的市場價(jià)格為100100元元1 1年后的市場出現(xiàn)兩種可能的狀態(tài)：狀態(tài)年后的市場出現(xiàn)兩種可能的狀態(tài)：狀態(tài)1 1和狀態(tài)和狀態(tài)2 2。狀態(tài)狀態(tài)1 1時(shí)，時(shí)，

10、A A的未來價(jià)格為的未來價(jià)格為105105元，狀態(tài)元，狀態(tài)2 2時(shí)，時(shí)，9595元。元。有一證券有一證券B B，它在，它在1 1年后的未來價(jià)格也是：狀態(tài)年后的未來價(jià)格也是：狀態(tài)1 1時(shí)時(shí)105105元，狀態(tài)元，狀態(tài)2 2時(shí)時(shí)9595元。元。另外，假設(shè)不考慮交易成本。另外，假設(shè)不考慮交易成本。問題：問題：（1 1）B B的合理價(jià)格為多少呢？的合理價(jià)格為多少呢？（2 2）如果）如果B B的價(jià)格為的價(jià)格為9999元，如何套利？元，如何套利？ n答案：答案：（1 1）B B的合理價(jià)格也為的合理價(jià)格也為100100元；元；q（本（本案例與前面案例的不同地方在于，前面案例中的資產(chǎn)為債券，其未來的損益為確定

11、的，即在某一時(shí)間時(shí)只有一種狀態(tài)，以概率100% 發(fā)生。但本案例中的資產(chǎn)為風(fēng)險(xiǎn)證券，其未來的損益出現(xiàn)兩種可能，可能上漲，也可能下跌，即未來的狀態(tài)不確定。但根據(jù)無套利定價(jià)原理，只要兩種證券的損益完全一樣，那么它們的價(jià)格也會(huì)一樣。所以，證券B的合理價(jià)格也應(yīng)該為100 元。）（2 2）如果）如果B B為為9999元，價(jià)值被低估，則買進(jìn)元，價(jià)值被低估，則買進(jìn)B B，賣空，賣空A Aq（因?yàn)樽C券B的價(jià)格為99 元，因此存在套利機(jī)會(huì)。只q要賣空證券A，買進(jìn)證券B，就可實(shí)現(xiàn)套利1元。）21.21.套利定價(jià)模型套利定價(jià)模型APTAPT，是，是_于于 20 20 世紀(jì)世紀(jì) 70 70 年代建立的，是描述年代建立的

12、，是描述_但又有別于但又有別于 CAPM CAPM 的均的均衡模型。衡模型。 A巴菲特；套利的成本 B艾略特；在一定價(jià)格水平下如何套利 C羅斯；資產(chǎn)的合理定價(jià) D馬柯威茨；利用價(jià)格的不均衡進(jìn)行套利 答案 C Capital Asset Pricing Model (CAPM)理論簡介n第三、四章第三、四章 二叉樹模型及應(yīng)用二叉樹模型及應(yīng)用n 金融衍生產(chǎn)品定價(jià)的方法很多。從偏微分方程觀點(diǎn)出發(fā)通過求解偏微分方程得出結(jié)果，也可以從隨機(jī)分析和隨機(jī)微分方程角度通過鞅定價(jià)方法求解等，但這些方法需要比較深入的數(shù)學(xué)預(yù)備知識(shí)和專業(yè)的理論方法。n 金融衍生產(chǎn)品定價(jià)的一種比較直觀的方法二叉樹方法。它既可以避開這些復(fù)

13、雜的求解和推導(dǎo)過程，又比較直觀的反映出金融資產(chǎn)的價(jià)格變化過程。二叉樹模型是金融衍生產(chǎn)品定價(jià)的離散模型。Capital Asset Pricing Model (CAPM)理論簡介n 二叉樹定價(jià)模型假設(shè)股票價(jià)格的波動(dòng)只有向上和向下兩個(gè)方向，且假設(shè)在整個(gè)時(shí)期內(nèi)，股價(jià)每次向上或向下波動(dòng)的概率和幅度都不變。模型將整個(gè)時(shí)期分為若干階段，根據(jù)股價(jià)的歷史波動(dòng)率模擬出股票在整個(gè)時(shí)期內(nèi)所有可能的路徑，并對每一路徑上的每一節(jié)點(diǎn)計(jì)算期權(quán)收益和用貼現(xiàn)法計(jì)算出期權(quán)價(jià)格。而對于美式權(quán)證，由美式期權(quán)可以提前執(zhí)行的特征，每一節(jié)點(diǎn)上期權(quán)的理論價(jià)格應(yīng)為期權(quán)執(zhí)行時(shí)的收益和貼現(xiàn)計(jì)算出的期權(quán)價(jià)格兩者中的較大者。Capital Asse

14、t Pricing Model (CAPM)理論簡介n n 二叉樹期權(quán)定價(jià)模型和布萊克斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型，是兩種相互補(bǔ)充的方法。二叉樹期權(quán)定價(jià)模型推導(dǎo)比較簡單，更適合說明期權(quán)定價(jià)的基本概念。它建立在一個(gè)基本假設(shè)基礎(chǔ)上，即在給定的時(shí)間間隔內(nèi)，股票的價(jià)格運(yùn)動(dòng)有兩個(gè)可能的方向：上漲或者下跌。雖然這一假設(shè)非常簡單，但由于可以把一個(gè)給定的時(shí)間段細(xì)分為更小的時(shí)間單位，因而二叉樹期權(quán)定價(jià)模型適用于處理更為復(fù)雜的期權(quán)。Capital Asset Pricing Model (CAPM)理論簡介n單步二叉樹模型單步二叉樹模型，又稱為單時(shí)段雙狀態(tài)模型(one period and two-state model

15、)。所謂單時(shí)段是指交易要么在時(shí)段0，T的初始時(shí)刻t =0進(jìn)行，要么在終止時(shí)刻t =T進(jìn)行。而雙狀態(tài)是指風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格在未來t =T時(shí)刻有且只有兩種 n可能的值，要么上漲，要么下跌。重復(fù)上一節(jié)的推導(dǎo)過程，通過無套利原理在這種模型下得到金融衍生產(chǎn)品價(jià)格的一般公式。練習(xí)題：練習(xí)題： 1.1.某股票當(dāng)前的價(jià)格為某股票當(dāng)前的價(jià)格為5050美元，已知在美元，已知在6 6個(gè)月個(gè)月后股票價(jià)格將變?yōu)楹蠊善眱r(jià)格將變?yōu)?060美元或美元或4242美元，無風(fēng)險(xiǎn)利美元，無風(fēng)險(xiǎn)利率為每年率為每年12%12%，執(zhí)行價(jià)格為，執(zhí)行價(jià)格為4848美元。試用兩種美元。試用兩種方法計(jì)算期限為方法計(jì)算期限為6 6個(gè)月的歐式看漲期權(quán)價(jià)格

16、。個(gè)月的歐式看漲期權(quán)價(jià)格。（ v=6.96v=6.96美元美元）方法一：方法一：解：解： 6 6個(gè)月結(jié)束時(shí)，期權(quán)價(jià)值或?yàn)閭€(gè)月結(jié)束時(shí)，期權(quán)價(jià)值或?yàn)?212美元（若股票價(jià)美元（若股票價(jià)格為格為6060美元），或?yàn)槊涝?，或?yàn)? 0美元（若股票價(jià)格為美元（若股票價(jià)格為4242美元）。美元）。 考慮一份資產(chǎn)組合構(gòu)成：考慮一份資產(chǎn)組合構(gòu)成：+a:+a:股票，股票，-1-1：期權(quán)。：期權(quán)。 6 6個(gè)月后組合的價(jià)值或?yàn)閭€(gè)月后組合的價(jià)值或?yàn)?2a42a或?yàn)榛驗(yàn)?0a-12.60a-12. 如果如果 42a=60a-12 42a=60a-12 得得a=0.6667a=0.6667 資產(chǎn)組合的價(jià)值為資產(chǎn)組合的價(jià)值

17、為2828美元美元 組合的現(xiàn)值為組合的現(xiàn)值為 0.66670.666750-V50-V其中其中V V是期權(quán)的價(jià)值。是期權(quán)的價(jià)值。 因?yàn)榻M合必須以無風(fēng)險(xiǎn)的利率盈利：因?yàn)榻M合必須以無風(fēng)險(xiǎn)的利率盈利： 即即 v=6.96v=6.96美元美元28)506667. 0(5 . 012. 0eV方法二：方法二：解：解： 5 50u=60,50d=42,0u=60,50d=42,得：得： u=1.2,d=0.84u=1.2,d=0.84 由由P64P64頁公式（頁公式（4-64-6） 美元美元dudeSSSSeprTdudrT06111. 084. 02 . 184. 05 . 012. 0e96. 612

18、6111. 0126111. 006. 0eeVrTn 3.一只股票現(xiàn)在的價(jià)格是一只股票現(xiàn)在的價(jià)格是2525元，一年以后它元，一年以后它的價(jià)格可能是的價(jià)格可能是3030元或元或1818元。已知即期利率為元。已知即期利率為4%4%，通過風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)求：通過風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)求：n（1 1） 一年后到期、執(zhí)行價(jià)格為一年后到期、執(zhí)行價(jià)格為2828元的看漲期權(quán)元的看漲期權(quán)價(jià)格；價(jià)格； n（2 2） 一年后到期、執(zhí)行價(jià)格為一年后到期、執(zhí)行價(jià)格為2222元的看漲期權(quán)元的看漲期權(quán)價(jià)格；價(jià)格； n（3 3） 一年后到期、執(zhí)行價(jià)格為一年后到期、執(zhí)行價(jià)格為2020元的看跌期權(quán)元的看跌期權(quán)價(jià)格。價(jià)格。利用公式（利用公式（

19、3-63-6），）， 由已知由已知 ，以及，以及 ，代入，代入解得：解得： dudrTSSSSeq030,25, 1%,40uSSTr18dS32q（1 1）對于一年后到期、執(zhí)行價(jià)格為）對于一年后到期、執(zhí)行價(jià)格為2828元的看漲期權(quán)，元的看漲期權(quán)， 以及以及 ，由公式（，由公式（3-83-8）有：）有： （元）（元） （2 2）對于一年后到期、執(zhí)行價(jià)格為）對于一年后到期、執(zhí)行價(jià)格為2222元的看漲期權(quán)，元的看漲期權(quán)， 以及以及 ，則，則 （元）（元） （3 3）對于一年后到期、執(zhí)行價(jià)格為）對于一年后到期、執(zhí)行價(jià)格為2020元的看跌期權(quán)，元的看跌期權(quán)， 以及以及 ，則，則 （元）（元） 2U0D

20、0D282. 10)321 (23204. 118U128. 50)321 (83204. 110U2D641. 02)321 (03204. 114.4.綜合問題綜合問題例：例：某一股票的價(jià)格為某一股票的價(jià)格為4040美元，在今后兩個(gè)美元，在今后兩個(gè)3 3個(gè)月的時(shí)間段內(nèi)，股票價(jià)格或上漲個(gè)月的時(shí)間段內(nèi)，股票價(jià)格或上漲10%10%或下跌或下跌10%10%，無風(fēng)險(xiǎn)利率為每年，無風(fēng)險(xiǎn)利率為每年12%12%（連續(xù)復(fù)利）。（連續(xù)復(fù)利）。執(zhí)行價(jià)格為執(zhí)行價(jià)格為4242美元，美元，6 6個(gè)月的美式看跌期權(quán)價(jià)個(gè)月的美式看跌期權(quán)價(jià)格與格與6 6個(gè)月的歐式看跌期權(quán)價(jià)格之差是多少？個(gè)月的歐式看跌期權(quán)價(jià)格之差是多少？

21、股票、歐式期權(quán)與美式期權(quán)價(jià)值的二叉樹股票、歐式期權(quán)與美式期權(quán)價(jià)值的二叉樹n在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上，第一個(gè)數(shù)字表示股票價(jià)格，第二個(gè)數(shù)字表示歐式期權(quán)價(jià)格，第三個(gè)數(shù)字表示美式期權(quán)價(jià)格，40.0002.1182.53744.0000.8100.81048.4000.0000.00039.6002.4002.40032.4009.6009.60036.0004.7596.000ABCDEF第五章第五章 期權(quán)定價(jià)的連續(xù)模型期權(quán)定價(jià)的連續(xù)模型B-SB-S公式公式布朗運(yùn)動(dòng)布朗運(yùn)動(dòng) n（一）標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)（一）標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)n設(shè)設(shè) 代表一個(gè)小的時(shí)間間隔長度，代表一個(gè)小的時(shí)間間隔長度， 代表變量代表變量z z在時(shí)間在時(shí)間 內(nèi)的

22、變化，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的內(nèi)的變化，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的 具有兩種特征：具有兩種特征：n特征特征1 1： 和和 的關(guān)系滿足（的關(guān)系滿足（6.16.1）：）： n （6.16.1）n其中，其中， 代表從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（即均值為代表從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（即均值為0 0、標(biāo)、標(biāo)準(zhǔn)差為準(zhǔn)差為1.01.0的正態(tài)分布）中取的一個(gè)隨機(jī)值。的正態(tài)分布）中取的一個(gè)隨機(jī)值。tztztztz標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)(2)(2)n特征特征2 2：對于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔，：對于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔， 和和 的值的值相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。 n考察變量考察變量z z在一段較長時(shí)間在一段較長時(shí)間T T中的變化情形，我們中的變化情形，我們

23、可得：可得： n （6.26.2）n當(dāng)當(dāng)0 0時(shí)，我們就可以得到極限的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們就可以得到極限的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)：n （6.36.3）tztzTzNii1)0()(dtdz（二）普通布朗運(yùn)動(dòng)（二）普通布朗運(yùn)動(dòng) n我們先引入兩個(gè)概念：漂移率和方差率。我們先引入兩個(gè)概念：漂移率和方差率。n標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的漂移率為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的漂移率為0 0，方差率為，方差率為1.01.0。 n我們令漂移率的期望值為我們令漂移率的期望值為a,a,方差率的期望值為方差率的期望值為b b2 2，就可得到變量，就可得到變量x x 的普通布朗運(yùn)動(dòng)：的普通布朗運(yùn)動(dòng)： n （6.46.4）n其中，其中，a a和和b b均為

24、常數(shù)，均為常數(shù)，dzdz遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。 bdzadtdx伊藤過程 n普通布朗運(yùn)動(dòng)假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把普通布朗運(yùn)動(dòng)假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量變量x x的漂移率和方差率當(dāng)作變量的漂移率和方差率當(dāng)作變量x x和時(shí)間和時(shí)間t t的函數(shù)，的函數(shù)，我們可以從公式（我們可以從公式（6.46.4）得到伊藤過程（）得到伊藤過程（Ito Ito ProcessProcess）：）： (6.5）n其中，其中，dzdz是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，a a、b b是變量是變量x x和和t t的函數(shù)，變量的函數(shù)，變量x x的漂移率為的漂移率為a a，方差率為，方差率為b

25、b2 2。 dztxbdttxadx),(),(證券價(jià)格的變化過程證券價(jià)格的變化過程n證券價(jià)格的變化過程可以用漂移率為證券價(jià)格的變化過程可以用漂移率為SS、方差率、方差率為為 的伊藤過程來表示：的伊藤過程來表示：n兩邊同除以兩邊同除以S S得：得：n n （6.66.6） 22SSdzSdtdSdzdtSdSn從（從（6.66.6）可知，在短時(shí)間后，證券價(jià)格比率）可知，在短時(shí)間后，證券價(jià)格比率的變化值為：的變化值為：n可見，可見， 也具有正態(tài)分布特征也具有正態(tài)分布特征 (6.7)(6.7)ttSS),(ttSSSS伊藤引理伊藤引理n若變量若變量x x遵循伊藤過程，則變量遵循伊藤過程，則變量x

26、x和和t t的函數(shù)的函數(shù)G G將遵循如將遵循如下過程：下過程：n （6.86.8）n由于由于 （6.96.9）n根據(jù)伊藤引理，衍生證券的價(jià)格根據(jù)伊藤引理，衍生證券的價(jià)格G G應(yīng)遵循如下過程：應(yīng)遵循如下過程： n (6.10)(6.10)bdzxGdtbxGtGaxGdG)21(222SdzSdtdSSdzSGdtSSGtGSSGdG)21(2222習(xí)題習(xí)題1 1：一個(gè)一年歐式看漲期權(quán)，其標(biāo)的資：一個(gè)一年歐式看漲期權(quán)，其標(biāo)的資產(chǎn)為一只公開交易的普通股票，已知：產(chǎn)為一只公開交易的普通股票，已知：1 1）股票現(xiàn)價(jià)為）股票現(xiàn)價(jià)為122122元元. . 2 2）股票年收益率標(biāo)準(zhǔn)差）股票年收益率標(biāo)準(zhǔn)差0.

27、20.2； 3 3）lnln（股票現(xiàn)價(jià)（股票現(xiàn)價(jià)/ /執(zhí)行價(jià)現(xiàn)價(jià)）執(zhí)行價(jià)現(xiàn)價(jià)）=0.2.=0.2.求該期權(quán)的價(jià)格。求該期權(quán)的價(jià)格。 習(xí)題習(xí)題3 3：某無紅利支付股票的歐式期權(quán)執(zhí)行：某無紅利支付股票的歐式期權(quán)執(zhí)行價(jià)格為價(jià)格為2929美元，股票現(xiàn)價(jià)為美元，股票現(xiàn)價(jià)為3030美元，無風(fēng)險(xiǎn)美元，無風(fēng)險(xiǎn)年利率為年利率為5%5%，股票年波動(dòng)率為，股票年波動(dòng)率為25%25%，期權(quán)到，期權(quán)到期日為期日為4 4個(gè)月。（個(gè)月。（1 1）如果該期權(quán)為歐式看漲）如果該期權(quán)為歐式看漲期權(quán)，計(jì)算其價(jià)格；（期權(quán)，計(jì)算其價(jià)格；（2 2）如果該期權(quán)為歐）如果該期權(quán)為歐式看跌期權(quán)，計(jì)算其價(jià)格；（式看跌期權(quán)，計(jì)算其價(jià)格；（3 3）

28、驗(yàn)證看漲）驗(yàn)證看漲看跌期權(quán)平價(jià)關(guān)系是否成立?？吹跈?quán)平價(jià)關(guān)系是否成立。 習(xí)題習(xí)題7 7：下列選項(xiàng)中不屬于：下列選項(xiàng)中不屬于BlackBlackScholesScholes期權(quán)定價(jià)模型假設(shè)條件的是（期權(quán)定價(jià)模型假設(shè)條件的是（ ）。）。（A A）沒有交易費(fèi)用；）沒有交易費(fèi)用；（B B）市場是可以套利的；）市場是可以套利的；（C C） 沒有稅收；沒有稅收；（D D）無風(fēng)險(xiǎn)利率是一個(gè)常數(shù)；）無風(fēng)險(xiǎn)利率是一個(gè)常數(shù)；（E E）可以無限制的賣空。）可以無限制的賣空。 習(xí)題習(xí)題8 8：假設(shè)某種不支付紅利股票的市：假設(shè)某種不支付紅利股票的市場價(jià)格為場價(jià)格為2020元，無風(fēng)險(xiǎn)利率為元，無風(fēng)險(xiǎn)利率為5%5%，波動(dòng)，

29、波動(dòng)率為年率率為年率30%30%，求該股票執(zhí)行價(jià)格為，求該股票執(zhí)行價(jià)格為2020元，期限為元，期限為1 1年的歐式看漲期權(quán)和看跌年的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)格。期權(quán)的價(jià)格。 。 11. 11.下列因素中，與股票歐式期權(quán)價(jià)格下列因素中，與股票歐式期權(quán)價(jià)格呈負(fù)相關(guān)的是：（呈負(fù)相關(guān)的是：（ ）A A 標(biāo)的股票市場價(jià)格標(biāo)的股票市場價(jià)格B B 期權(quán)執(zhí)行價(jià)格期權(quán)執(zhí)行價(jià)格 C C標(biāo)的股票價(jià)格波動(dòng)率標(biāo)的股票價(jià)格波動(dòng)率D D距離期權(quán)的到期時(shí)間距離期權(quán)的到期時(shí)間 n第七章第七章 奇異期權(quán)奇異期權(quán) n 標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)，通常是指在期權(quán)市場被投資大眾廣泛了解和接受的期權(quán)商品，或者說是普通的期權(quán)。在標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)基礎(chǔ)上，運(yùn)用期權(quán)理

30、論和分析方法創(chuàng)造出的具有各種不同特征的期權(quán)新品種，就是奇異期權(quán)。 n 簡單說來，凡是不屬于標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)的期權(quán)，自然就應(yīng)歸入奇異期權(quán)的范疇。因此，從廣義上講，奇異期權(quán)是指那些在市場上出現(xiàn)時(shí)間不久、在某一方面的特征與標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)不同、投資者尚不熟悉的期權(quán)新品種。 n n 從廣義上講，一個(gè)期權(quán)合同的基本特征可以從以下3個(gè)方面來描述。對于標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)來說，其特征分別屬于這3個(gè)方面的最基本成分。如果將其中任何一個(gè)方面加以延伸，都可以得到與之相對應(yīng)的奇異期權(quán)。這三個(gè)基本特征是： n（1）收益結(jié)構(gòu)的同質(zhì)性和連續(xù)性； n（2）期權(quán)的維數(shù)和階數(shù)； n（3）路徑相關(guān)性。 n n 改變標(biāo)準(zhǔn)收益結(jié)構(gòu)的奇異期權(quán)。這種奇異期權(quán)較多，

31、主要有歐式雙向期權(quán)。n 歐式雙向期權(quán)，又稱為雙向期權(quán)，也稱雙重期權(quán)，指投資者可同時(shí)購買標(biāo)的資產(chǎn)（某一證券或期貨等）的買入期權(quán)和賣出期權(quán)，以便在證券或期貨價(jià)格頻繁漲跌變化時(shí)獲益。 n 高維和高階期權(quán)高維和高階期權(quán) n高維和高階期權(quán)是相當(dāng)復(fù)雜的一種奇異期權(quán)，而交換期權(quán)和復(fù)合期權(quán)是兩種重要且常見的高維和高階期權(quán)。n 交換期權(quán)，是指若投資人持有某一風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)B的頭寸，如果未來另一風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)A較之風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)B有更好的表現(xiàn)，他希望把風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)B換成風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)A，或者把風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)B加上一定數(shù)量現(xiàn)金K 換成風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)A，為此他購買一張交換期權(quán)，以便實(shí)現(xiàn)他的構(gòu)想。n 復(fù)合期權(quán)復(fù)合期權(quán)是一種變異的歐式期權(quán)。簡言之，復(fù)合期權(quán)是以

32、期權(quán)為標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)，或者稱為“期權(quán)的期權(quán)”。在這類期權(quán)中，標(biāo)的資產(chǎn)的角色被一種期權(quán)自己所承擔(dān)。n 復(fù)合期權(quán)有4種基本類型：看漲的看漲期權(quán)，看漲的看跌期權(quán)，看跌的看漲期權(quán)和看跌的看跌期權(quán)，或者把這4種類型稱為：買權(quán)的買權(quán)，買權(quán)的賣權(quán)，賣權(quán)的買權(quán)，賣權(quán)的賣權(quán)。n路徑相關(guān)的奇異期權(quán) n 路徑相關(guān)的期權(quán)，即是期權(quán)的最終收益不僅僅依賴于期權(quán)到期日標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格，還依賴于整個(gè)期權(quán)有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化過程。關(guān)于路徑相關(guān)期權(quán)按照最終收益對標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格歷程的依賴程度可以分為兩種情形，即弱路徑相關(guān)奇異期權(quán)和強(qiáng)路徑相關(guān)奇異期權(quán)。n弱路徑相關(guān)期權(quán)弱路徑相關(guān)期權(quán)是指期權(quán)的最終收益與在期權(quán)有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格是

33、否達(dá)到某個(gè)或某幾個(gè)合約規(guī)定的水平有關(guān)。障礙期權(quán)與重置期權(quán)也是常見的一種弱路徑相關(guān)期權(quán)。n 強(qiáng)路徑相關(guān)期權(quán)強(qiáng)路徑相關(guān)期權(quán)是指期權(quán)的最終收益依賴于標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格在整個(gè)或某一部分期權(quán)有效期內(nèi)的信息。亞式期權(quán)與回望期權(quán)是強(qiáng)路徑相關(guān)期權(quán)。n 障礙期權(quán)障礙期權(quán)又稱為關(guān)卡期權(quán)，是路徑相關(guān)的奇異期權(quán)中比較復(fù)雜的一種。它的最終收益除了依賴于標(biāo)的資產(chǎn)在期權(quán)到期日的價(jià)格之外，還與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在整個(gè)期權(quán)有效期內(nèi)是否觸及到提前設(shè)置的障礙有關(guān)，而這個(gè)提前設(shè)置的障礙稱為障礙值或關(guān)卡值。n 障礙期權(quán)分為兩大基本類型：n（1）敲入障礙期權(quán)n（2）敲出障礙期權(quán)n 對于看漲期權(quán)和看跌期權(quán)來說，共有八種對于看漲期權(quán)和看跌期權(quán)來說，共有八種障礙期權(quán)障礙期權(quán)n重置期權(quán)重置期權(quán)n 重置期權(quán)是一種弱路徑相關(guān)的奇異期權(quán)，顧名思義，就是執(zhí)行價(jià)格可以調(diào)整或重新設(shè)置的期權(quán)。重置期權(quán)和標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)最大的區(qū)別在于在某些不利于持有者的情況之下，持有者有權(quán)利