八年級數(shù)學下冊第一章三角形的證明1.4.1角平分線ppt課件

1、 1.4 1.4 角平分線角平分線第一課時第一課時思索：思索： 要在區(qū)建一個集貿(mào)市場要在區(qū)建一個集貿(mào)市場1使它到公路，鐵路間隔相等，如何使它到公路，鐵路間隔相等，如何設計？設計？2它到公路，鐵路間隔相等且離公路它到公路，鐵路間隔相等且離公路,鐵路的交叉處鐵路的交叉處4米，應建在何處？米，應建在何處？比例尺比例尺 1：20 000公路鐵路 不利用工具，請他將一張用紙片做的角分成兩個相等的角不利用工具，請他將一張用紙片做的角分成兩個相等的角。 他有什么方法？他有什么方法？AOBC活活動動1對折對折1.什么是角平分線？怎樣畫角平分線？什么是角平分線？怎樣畫角平分線？分別以，為分別以，為圓心大于圓心大

2、于 的長為的長為半徑作弧兩弧在半徑作弧兩弧在AOB的內(nèi)部交于的內(nèi)部交于21作法：作法：以為圓心，適當長為半徑作弧，交于，交于作射線作射線OC那么射線即為所求那么射線即為所求 探求角平分線的性質(zhì) (1)實驗：將實驗：將AOB對折，再折出一個直角三角形對折，再折出一個直角三角形使第一條折痕為斜邊，然后展開，察看兩次折疊構使第一條折痕為斜邊，然后展開，察看兩次折疊構成的三條折痕，他能得出什么結論？成的三條折痕，他能得出什么結論？活活動動2 (2) (2)猜測猜測: :角的平分線上的點到角的兩邊的間隔相等角的平分線上的點到角的兩邊的間隔相等. .同窗甲、乙誰的畫法是正確的?按照做一做的順序畫AOB的折

3、痕OC ,過點P的垂線段PE、PF ，并度量所畫PE、PF能否等長？CC角平分線上的點到角的兩邊的角平分線上的點到角的兩邊的間隔相等間隔相等 議一議：由折一折和畫一畫他可得到什么猜測？議一議：由折一折和畫一畫他可得到什么猜測？知：如圖，知：如圖，OCOC是是AOBAOB的平分線，點的平分線，點P P在在OCOC上，上，PDOAPDOA，PEOBPEOB， 垂足分別為垂足分別為D D、E E求證：求證：PD=PEPD=PE證明：證明：OCOC是是AOBAOB的平分線，的平分線，PDOAPDOA，PEOBPEOB， 1=2 1=2，PDO=PEO=90PDO=PEO=90 又又OP=OPOP=OP

4、 PDOPDOPEO(AAS)PEO(AAS) PD=PE( PD=PE(全等三角形的對應邊相等全等三角形的對應邊相等) )AOCB12PDE角平分線上的點到角的兩邊的間隔相等。角平分線上的點到角的兩邊的間隔相等。定理：角平分線上的點到這定理：角平分線上的點到這個角的兩邊間隔相等個角的兩邊間隔相等. .OCOC是是AOBAOB的平分線的平分線,P,P是是OCOC上恣意一點，上恣意一點， PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分別是垂足分別是D,E(D,E(知知) )PD=PE(PD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊間角平分線上的點到這個角的兩邊間隔相等隔相等).).AOCB12PDE

5、如圖，如圖，AD平分平分BAC知知 = ，( ) 在角的平分線上的點到這在角的平分線上的點到這個角的兩邊的間隔相等。個角的兩邊的間隔相等。ADCBBD CD判別判別1. AD平分平分BAC, DCAC，DBAB 知知 = ， DBDC在角的平分線上的點到這個在角的平分線上的點到這個角的兩邊的間隔相等。角的兩邊的間隔相等。ADCB不用再證全等不用再證全等2.， 1 1、在、在RtRtABCABC中，中，BDBD是角平分線，是角平分線，DEABDEAB，垂足為，垂足為E E，DEDE與與DCDC相等嗎？相等嗎？為什么？為什么？ ABCDEADOBEPC知識運用知識運用2 2、如圖、如圖,OC,OC

6、是是AOB AOB 的平分線的平分線, ,點點P P在在OCOC上上,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分別是垂足分別是D D、E,PD=4cm,E,PD=4cm,那么那么 1 1PE=_cm.PE=_cm.2 2P P點到點到OBOB的間隔的間隔_cm._cm.ADOBEPC 反過來，到一個角的兩邊的間隔相等的點能否一定在這個角的平分線上呢？反過來，到一個角的兩邊的間隔相等的點能否一定在這個角的平分線上呢？ 前提條件前提條件知：如圖,PDOA，PEOB， 點D、E為垂足，PDPE求證：點P在AOB的平分線 上AOCB12PDE知：在知：在AOBAOB內(nèi)部有一點內(nèi)部有一點P P，且，

7、且PDOAPDOA，PEOBPEOB，D D、E E為垂足且為垂足且PD=PEPD=PE，求證：點，求證：點P P在在AOBAOB的角平分線上的角平分線上證明：證明：PDOAPDOA，PEOBPEOB， PDO= PEO=90 PDO= PEO=90 在在RtRtODPODP和和RtRtOEPOEP中中 OP=OP OP=OP，PD=PEPD=PERtRtODP RtODP RtOEP(HL)OEP(HL)1=2(1=2(全等三角形對應角相等全等三角形對應角相等) ) 點點P P在在AOBAOB的角平分線上的角平分線上AOCB12PDE斷定定理：斷定定理： 在一個角的內(nèi)部在一個角的內(nèi)部, ,且

8、到角的兩邊間且到角的兩邊間隔相等的點隔相等的點, ,在這個角的平分線上在這個角的平分線上. .PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分別是垂足分別是D,E(D,E(知知), ), 且且PD=PE, PD=PE, 點點P P在在AOBAOB的平分線上的平分線上.(.(在一個角的內(nèi)在一個角的內(nèi) 部部, ,且到且到角的兩邊間隔相等的點角的兩邊間隔相等的點, ,在這個角的平分線上在這個角的平分線上).).AOCB12PDE這樣，我們又可以得到一個結論：這樣，我們又可以得到一個結論：公路鐵路A AB例例1 1 知知: :如圖如圖, ,在在ABCABC中中,BAC=60,BAC=60點點D D在在B

9、CBC上，上，AD=10AD=10，DEAB,DFAC,DEAB,DFAC,垂足分別是垂足分別是E,F,E,F,且且DE=DF,DE=DF,求求DEDE的長的長. . A AB BC CD DE EF F小組協(xié)作完成。小組協(xié)作完成。證明：證明：DEAB，DFAC DE DF AD平分平分BAC 又又BAC=60 BAD=30,在在tADE中，中，AED=90，AD=10 DE= AD= 10=5 w知知: :如圖如圖, ,在在ABCABC中中,AD,AD是它的角平分線是它的角平分線, ,且且BD=CD,DEAB,DFAC,BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分別是垂足分別是E,F.E,F.w求

10、證求證:BE=CF. :BE=CF. ABEDCF 證明：AD平分CAB DEAB，DFAC DE DF(角平分線的性質(zhì)) 在tBDE和RtCDF中, DE=DF 已證 BD=CD知 RtBDE RtCDF (HL) BE=CF 全等三角形對應邊相等w知知: :如圖如圖, ,在在ABCABC中，中，BD=CD,DEAB, BD=CD,DEAB, DFAC,DFAC,垂足分別是垂足分別是E,F.E,F.且且BE=CFBE=CFw求證求證:AD:AD是是BACBAC的角平分線的角平分線. . ABEDCF 證明：DEAB，DFAC DEB=CFD=90在tBDE和RtCDF中, BE=CF 已證

11、BD=CD知 RtBDE RtCDF (HL) DE DF(全等三角形對應邊相等) 又DEAB，DFAC 點D在A的角平分線上。即AD是它的角平分線 w知知: :如圖如圖, ,在在ABCABC中中,AD,AD是它的角平分是它的角平分線線,DEAB,DFAC,DEAB,DFAC,垂足分別是垂足分別是E,F.E,F.w 求求: AD: AD與與EFEF關系？關系？ABEDCF 證明:AD平分CAB DEAB，DFAC DE DF(角平分線的性質(zhì)) DAE=DAF DEB=CFD=90 ADE=ADF,即AD是EDF的角平分線 DE DF, AD是EDF的角平分線 AD垂直平分EF.(三線合一O穩(wěn)定

12、提高穩(wěn)定提高 知：在等腰知：在等腰RtRtABCABC中，中，AC AC BC BC C C9090，ADAD平分平分 BAC BAC，DEABDEAB于點于點E E。 求證：求證：BDBDDE DE ACAC 變式變式 知知AB 15cm, 求求DBE的周長的周長EDCBA1.1.用尺規(guī)作角平分線用尺規(guī)作角平分線2.角平分線的性質(zhì)定理：角平分線的性質(zhì)定理： 角平分線上的點到這個角的兩邊間隔相等角平分線上的點到這個角的兩邊間隔相等. .3.3.角平分線的斷定定理：角平分線的斷定定理： 在一個角的內(nèi)部在一個角的內(nèi)部, ,且到角的兩邊間隔相等的點且到角的兩邊間隔相等的點, ,在這個角的平分在這個角的平分線上線上. .1.1.如圖如圖1 1，ADAD平分平分BACBAC，點，點P P在在ADAD上，假設上，假設PEABPEAB，PFACPFAC，那么，那么PE_PF.PE_PF.2.2.如圖如圖2 2，PDABPDAB，PEACPEAC，且，且PD=PEPD