單元 2《爺爺?shù)淖C明題》、《幾何原本》的公理結(jié)構(gòu)

1、數(shù)學(xué)與文化數(shù)學(xué)與文化:以數(shù)學(xué)小說閱讀為進(jìn)路以數(shù)學(xué)小說閱讀為進(jìn)路洪萬生洪萬生臺灣師範(fàn)大學(xué)數(shù)學(xué)系退休教授臺灣師範(fàn)大學(xué)數(shù)學(xué)系退休教授【本著作除另有註明外，採取本著作除另有註明外，採取創(chuàng)用創(chuàng)用CC姓名標(biāo)示姓名標(biāo)示非商業(yè)性相同方式分享臺灣非商業(yè)性相同方式分享臺灣3.0版版授權(quán)釋出授權(quán)釋出】1爺爺?shù)淖C明題爺爺?shù)淖C明題：閱讀與討論：閱讀與討論洪萬生洪萬生HPM通訊通訊臺灣數(shù)學(xué)博物館（臺灣數(shù)學(xué)博物館（MTM）23英文原著題名英文原著題名 A Certain Ambiguity: A mathematical novel Certain? Ambiguity?4爺爺?shù)淖C明題爺爺?shù)淖C明題 爺爺?shù)淖C明題爺爺?shù)淖C明題

2、作者指出：作者指出： 我們寫這一本小說的主要目的，是想向讀者證明我們寫這一本小說的主要目的，是想向讀者證明數(shù)學(xué)是美麗的。數(shù)學(xué)是美麗的。而要吸引人類進(jìn)入這一圖像而要吸引人類進(jìn)入這一圖像（世界）的不二法門，則莫過於說一個故事。（世界）的不二法門，則莫過於說一個故事。5Mathematical Fiction Homepage 數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)家 Alex Kasman 所管理所管理 /MATHFICT/ 目前已收集約目前已收集約 900 本數(shù)學(xué)小說本數(shù)學(xué)小說 Do you like fiction and mathematics? Then yo

3、uve come to the right place. 6爺爺?shù)淖C明題爺爺?shù)淖C明題Category Genre: Historical Fiction, Didactic. Motif: Academia, Proving Theorems, Real Mathematicians, Female Mathematicians, Math as Beautiful/Exciting/Useful, Romance, Math Education, Religion. Topic: Geometry/Topology/Trigonometry, Infinity, Real Mathemati

4、cs, Logic/Set Theory. Medium: Novel. 7Alex Kasman 爺爺?shù)淖C明題爺爺?shù)淖C明題的文類的文類 (genre) 為歷史小說、教學(xué)法為歷史小說、教學(xué)法 (didactic)，小說要素，小說要素 (motif) 包括學(xué)院、證明定理、真實(shí)包括學(xué)院、證明定理、真實(shí)數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)家 (real mathematicians)、女?dāng)?shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)美、有趣、女?dāng)?shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)美、有趣與有用、羅曼史、數(shù)學(xué)教育，以及宗教。與有用、羅曼史、數(shù)學(xué)教育，以及宗教。 鸚鵡定理鸚鵡定理的文類為歷史小說、神秘、奇幻的文類為歷史小說、神秘、奇幻 (fantasy)，以及教學(xué)法，小說要素為真實(shí)數(shù)學(xué)

5、家。以及教學(xué)法，小說要素為真實(shí)數(shù)學(xué)家。 Sophies Diary 的文類則是歷史小說、教學(xué)法再加上兒童的文類則是歷史小說、教學(xué)法再加上兒童文學(xué)文學(xué) (childrens literature)，小說要素則包括神童、真實(shí)，小說要素則包括神童、真實(shí)數(shù)學(xué)家、女?dāng)?shù)學(xué)家，以及數(shù)學(xué)教育。數(shù)學(xué)家、女?dāng)?shù)學(xué)家，以及數(shù)學(xué)教育。 針對小說評價(jià)，針對小說評價(jià)，Kasman 提供了數(shù)學(xué)內(nèi)容提供了數(shù)學(xué)內(nèi)容 (mathematical content) 與文學(xué)品質(zhì)與文學(xué)品質(zhì) (literature quality) 兩項(xiàng)指標(biāo)，供瀏覽兩項(xiàng)指標(biāo)，供瀏覽者在網(wǎng)路上投票。者在網(wǎng)路上投票。8內(nèi)容簡介內(nèi)容簡介 本書共有八章。本書共有

6、八章。 第第1章一開始是第一人稱的印度人拉維回憶他爺爺章一開始是第一人稱的印度人拉維回憶他爺爺（應(yīng)該是外公）維傑送他生日禮物計(jì)算機(jī)的一段（應(yīng)該是外公）維傑送他生日禮物計(jì)算機(jī)的一段插曲。隔天晚上，爺爺隨即謝世，遺贈一筆錢希插曲。隔天晚上，爺爺隨即謝世，遺贈一筆錢希望他到美國大學(xué)主修數(shù)學(xué)。望他到美國大學(xué)主修數(shù)學(xué)。 拉維在史丹佛大學(xué)就讀即將畢業(yè)，原先打算主修拉維在史丹佛大學(xué)就讀即將畢業(yè)，原先打算主修經(jīng)濟(jì)，後來，遇見即興表演爵士樂的數(shù)學(xué)家尼可經(jīng)濟(jì)，後來，遇見即興表演爵士樂的數(shù)學(xué)家尼可之後，在尼可的盛邀之下，選修後者所開授的一之後，在尼可的盛邀之下，選修後者所開授的一門數(shù)學(xué)通識課程思考無限。經(jīng)由尼可，拉

7、維門數(shù)學(xué)通識課程思考無限。經(jīng)由尼可，拉維意外地發(fā)現(xiàn)外公曾在紐澤西坐牢。意外地發(fā)現(xiàn)外公曾在紐澤西坐牢。9（第（第1章）數(shù)學(xué)一開始就滲透進(jìn)來！章）數(shù)學(xué)一開始就滲透進(jìn)來！ 無限，集合，集合的秩，吉諾悖論，證明無限，集合，集合的秩，吉諾悖論，證明的意義，無窮級數(shù)的（算術(shù)）運(yùn)算，無限的意義，無窮級數(shù)的（算術(shù)）運(yùn)算，無限集合之對應(yīng)（兩個同心圓、自然數(shù)及其平集合之對應(yīng)（兩個同心圓、自然數(shù)及其平方數(shù)、兩條線段）。方數(shù)、兩條線段）。10第第 2 章章 拉維開始打聽爺爺?shù)淖喂适拢涸瓉砭S傑在紐澤拉維開始打聽爺爺?shù)淖喂适拢涸瓉砭S傑在紐澤西摩里塞小鎮(zhèn)因?yàn)^神而坐牢！西摩里塞小鎮(zhèn)因?yàn)^神而坐牢！ 彼得家的宴會：討論數(shù)學(xué)知

8、識的確定性，譬如彼得家的宴會：討論數(shù)學(xué)知識的確定性，譬如質(zhì)數(shù)是無窮多之證明質(zhì)數(shù)是無窮多之證明 尼可課堂有關(guān)無窮級數(shù)求和之討論，調(diào)和級數(shù)尼可課堂有關(guān)無窮級數(shù)求和之討論，調(diào)和級數(shù)（拉維與奧雷姆（拉維與奧雷姆 (Oresme) 的解）的解） 尼可的信：就是這種算式讓我愛上數(shù)學(xué)的。尼可的信：就是這種算式讓我愛上數(shù)學(xué)的。我只能說，上帝一定是個數(shù)學(xué)家。我只能說，上帝一定是個數(shù)學(xué)家。11第第 2 章有哪些數(shù)學(xué)？章有哪些數(shù)學(xué)？ 如何將（克蕾兒）美麗但錯誤的論證稍事如何將（克蕾兒）美麗但錯誤的論證稍事修訂，而成為具有發(fā)現(xiàn)功能的證明方修訂，而成為具有發(fā)現(xiàn)功能的證明方法？尼可在第法？尼可在第 2 章結(jié)束時，提及歐拉

9、的平章結(jié)束時，提及歐拉的平方倒數(shù)和的例子，顯然是為了留下伏筆！方倒數(shù)和的例子，顯然是為了留下伏筆！12第第 3 章章 一封摩里塞居民的投書結(jié)尾之轉(zhuǎn)述，要求一封摩里塞居民的投書結(jié)尾之轉(zhuǎn)述，要求嚴(yán)懲這一位印度撒旦。由於嚴(yán)懲這一位印度撒旦。由於紐約時報(bào)紐約時報(bào)針對此一事件的捍衛(wèi)言論自由之評論，觸針對此一事件的捍衛(wèi)言論自由之評論，觸怒了這一小鎮(zhèn)的虔誠教徒，一場宗教信仰怒了這一小鎮(zhèn)的虔誠教徒，一場宗教信仰 vs. 言論自由之風(fēng)暴已經(jīng)無可避免了。言論自由之風(fēng)暴已經(jīng)無可避免了。 紐澤西州長只好指派泰勒法官出馬審理此紐澤西州長只好指派泰勒法官出馬審理此案，看看是否需要起訴數(shù)學(xué)家維傑。案，看看是否需要起訴數(shù)學(xué)家

10、維傑。13第第 3 章章 通過卡蘿的資訊，拉維在法學(xué)院圖書館讀到爺爺通過卡蘿的資訊，拉維在法學(xué)院圖書館讀到爺爺與法官的對話，其中爺爺提及數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性有別與法官的對話，其中爺爺提及數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性有別於宗教，因?yàn)樯系壑嬖跓o法嚴(yán)密證明。於是，於宗教，因?yàn)樯系壑嬖跓o法嚴(yán)密證明。於是，拉維以畢氏定理為例，說明數(shù)學(xué)確定性拉維以畢氏定理為例，說明數(shù)學(xué)確定性 (certainty) 與證明與證明 (proof) 之關(guān)係。之關(guān)係。 為了呼應(yīng)數(shù)學(xué)家的受難，尼可的課堂上開始討論為了呼應(yīng)數(shù)學(xué)家的受難，尼可的課堂上開始討論不可公度量不可公度量 (incommensurable)，以及畢氏學(xué)派的，以及畢氏學(xué)派的貢獻(xiàn)與其

11、萬物皆數(shù)哲學(xué)主張之侷限。貢獻(xiàn)與其萬物皆數(shù)哲學(xué)主張之侷限。 14第第 4 章章 拉維請求主修哲學(xué)的亞丁一起閱讀爺爺?shù)姆ㄔ何淖掷S請求主修哲學(xué)的亞丁一起閱讀爺爺?shù)姆ㄔ何淖钟涗洝Ｕ缤瑺敔斠粯?，亞丁也不斷地與如何確記錄。正如同爺爺一樣，亞丁也不斷地與如何確定什麼是真實(shí)的問題纏鬥。所有這些，都與發(fā)明定什麼是真實(shí)的問題纏鬥。所有這些，都與發(fā)明集合論的康托爾集合論的康托爾 (Georg Cantor) 有關(guān)。有關(guān)。 維傑與泰勒法官的第二次對話，主要針對半圓之圓維傑與泰勒法官的第二次對話，主要針對半圓之圓周角等於直角之證明，進(jìn)行幾何學(xué)基礎(chǔ)之討論，其周角等於直角之證明，進(jìn)行幾何學(xué)基礎(chǔ)之討論，其中主要涉及公理的

12、必要與意義。中主要涉及公理的必要與意義。 本章最後，拉維邀請克蕾兒和亞丁一起向尼可請教本章最後，拉維邀請克蕾兒和亞丁一起向尼可請教公理之有關(guān)議題。公理是什麼？不矛盾？不證自明？公理之有關(guān)議題。公理是什麼？不矛盾？不證自明？我想事情沒有這麼簡單，這是尼可暫時的評論！我想事情沒有這麼簡單，這是尼可暫時的評論！15 第第 5 章章 (I)一開始，便是作者虛構(gòu)的一篇?dú)W幾里得日一開始，便是作者虛構(gòu)的一篇?dú)W幾里得日記，其中說明公理系統(tǒng)中的設(shè)準(zhǔn)之條件及記，其中說明公理系統(tǒng)中的設(shè)準(zhǔn)之條件及必要性。必要性。 作者再度讓維傑提及婆什伽羅有關(guān)畢氏定作者再度讓維傑提及婆什伽羅有關(guān)畢氏定理之視覺證明，並據(jù)以指出：理之視

13、覺證明，並據(jù)以指出：重讀重讀幾何原本幾何原本讓我確信光看圖形是永遠(yuǎn)不讓我確信光看圖形是永遠(yuǎn)不夠的。夠的。只有演繹和理性才能引致真只有演繹和理性才能引致真理。理。 16第第 5 章章 (II) 介紹介紹幾何原本幾何原本的第一冊之的第一冊之23個定義，個定義，5個設(shè)準(zhǔn)個設(shè)準(zhǔn)（postulate） 和和5個共有概念（個共有概念（common notion或或公理），以及如何運(yùn)用這些，去證明第一冊的前公理），以及如何運(yùn)用這些，去證明第一冊的前幾個命題（幾個命題（proposition含作圖題與證明題）。含作圖題與證明題）。 維傑企圖利用這些例證，強(qiáng)調(diào)維傑企圖利用這些例證，強(qiáng)調(diào)所有值得相信和所有值得相信

14、和依賴的知識，都必須建立在理性之上。依賴的知識，都必須建立在理性之上。而這，而這，當(dāng)然有別於宗教信仰，因?yàn)楫?dāng)然有別於宗教信仰，因?yàn)槿藗儽磺楦谢蛭幕藗儽磺楦谢蛭幕男枰?qū)策而接受宗教的需要所驅(qū)策而接受宗教。 17第第 5 章章 (III) 其他內(nèi)容包括史賓諾莎其他內(nèi)容包括史賓諾莎 (Spinoza) 與希爾伯特與希爾伯特 (Hilbert) 各一篇虛構(gòu)的日記，分別從哲學(xué)與數(shù)學(xué)各一篇虛構(gòu)的日記，分別從哲學(xué)與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)兩個方面，來討論確定性議題?；A(chǔ)兩個方面，來討論確定性議題。 尼可師生有關(guān)確定性，以及康托爾連續(xù)統(tǒng)尼可師生有關(guān)確定性，以及康托爾連續(xù)統(tǒng) (continuum)、（超越）基數(shù)等概念之討

15、論。、（超越）基數(shù)等概念之討論。 本章最後，在一封寫給拉維的信中，法官以哲學(xué)本章最後，在一封寫給拉維的信中，法官以哲學(xué)家笛卡兒為例，指出維傑有關(guān)信仰的盲點(diǎn)。家笛卡兒為例，指出維傑有關(guān)信仰的盲點(diǎn)。18第第 6 章章 主要內(nèi)容是維傑與泰勒有關(guān)非歐幾何的討論主要內(nèi)容是維傑與泰勒有關(guān)非歐幾何的討論。 作者以他自己所虛構(gòu)的歐幾里得之一篇日記作為作者以他自己所虛構(gòu)的歐幾里得之一篇日記作為引子，旨在說明歐氏曾試圖利用前四個設(shè)準(zhǔn)，來引子，旨在說明歐氏曾試圖利用前四個設(shè)準(zhǔn)，來證明第五設(shè)準(zhǔn)。證明第五設(shè)準(zhǔn)。 接著，將薩切瑞接著，將薩切瑞 (Saccheri)、波利耶、波利耶 (Bolyai) 以及以及羅巴秋夫斯基羅

16、巴秋夫斯基 (Lobachevsky) 請出場，至於現(xiàn)身請出場，至於現(xiàn)身的方式，則是提供他們的筆記或書信。的方式，則是提供他們的筆記或書信。 作者也引入模型作者也引入模型 (model) 的概念，說明歐氏與非的概念，說明歐氏與非歐幾何的相容歐幾何的相容 (consistency) 問題。問題。 尼可將策梅洛尼可將策梅洛 (Zermelo) 類比為二十世紀(jì)的歐幾類比為二十世紀(jì)的歐幾里得，開始為第里得，開始為第7章的數(shù)學(xué)總結(jié)暖身。章的數(shù)學(xué)總結(jié)暖身。19第第 7 章章 (I) 以以紅髮聯(lián)盟紅髮聯(lián)盟為例，類比福爾摩斯與歐為例，類比福爾摩斯與歐幾里得的邏輯推論。幾里得的邏輯推論。 再進(jìn)一步類比歐氏幾何再

17、進(jìn)一步類比歐氏幾何 vs. 策梅洛集合論，策梅洛集合論，指出：歐氏幾何的第五設(shè)準(zhǔn)與前四個設(shè)準(zhǔn)指出：歐氏幾何的第五設(shè)準(zhǔn)與前四個設(shè)準(zhǔn)互相獨(dú)立互相獨(dú)立 vs. 連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與基本集合論之公連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與基本集合論之公設(shè)互相獨(dú)立。設(shè)互相獨(dú)立。 何謂空間的真實(shí)幾何學(xué)何謂空間的真實(shí)幾何學(xué) (true geometry)？或者何謂幾何真理或者何謂幾何真理 (geometric truth)？就成？就成為一個大哉問了。為一個大哉問了。20第第 7 章章 (II) 作者虛構(gòu)了高斯、黎曼和愛因斯坦的個人作者虛構(gòu)了高斯、黎曼和愛因斯坦的個人筆記，其中討論要點(diǎn)乃是高斯曲率、黎曼筆記，其中討論要點(diǎn)乃是高斯曲率、黎曼幾何與愛

18、因斯坦的廣義相對論。幾何與愛因斯坦的廣義相對論。 由於由於1919年廣義相對論被愛丁頓爵士領(lǐng)導(dǎo)年廣義相對論被愛丁頓爵士領(lǐng)導(dǎo)的英國科學(xué)遠(yuǎn)征隊(duì)所證實(shí)，維傑與泰勒法的英國科學(xué)遠(yuǎn)征隊(duì)所證實(shí)，維傑與泰勒法官終於找到了和解的可能性了。於是，維官終於找到了和解的可能性了。於是，維傑最後被法官無罪釋放了。傑最後被法官無罪釋放了。21第第 8 章章 (I) 由法官泰勒的日記揭開序幕，交代了自己由法官泰勒的日記揭開序幕，交代了自己如何反思宗教信仰本質(zhì)問題，與維傑的相如何反思宗教信仰本質(zhì)問題，與維傑的相關(guān)對話，從而決定無罪開釋維傑，以及千關(guān)對話，從而決定無罪開釋維傑，以及千里迢迢到孟買訪問維傑的心路歷程。里迢迢到孟

19、買訪問維傑的心路歷程。22第第 8 章章 (II) 在尼可這一邊，他的思考無限課程也在尼可這一邊，他的思考無限課程也進(jìn)入最後一堂的總結(jié)。顯然為了呼應(yīng)法官進(jìn)入最後一堂的總結(jié)。顯然為了呼應(yīng)法官選擇允許一位無神論的數(shù)學(xué)家的辯論來選擇允許一位無神論的數(shù)學(xué)家的辯論來改造我信仰的結(jié)構(gòu)，尼可提供了好幾個改造我信仰的結(jié)構(gòu)，尼可提供了好幾個學(xué)派如柏拉圖主義、形式主義、邏輯主義、學(xué)派如柏拉圖主義、形式主義、邏輯主義、建構(gòu)主義（或直觀主義）以及擬經(jīng)驗(yàn)論建構(gòu)主義（或直觀主義）以及擬經(jīng)驗(yàn)論 (quasi-empiricism) 有關(guān)數(shù)學(xué)知識確定性的有關(guān)數(shù)學(xué)知識確定性的主張。主張。 23本書精彩片段摘錄本書精彩片段摘錄

20、(I) 一個和圓周有關(guān)的比值，怎麼會和平方和的倒數(shù)一個和圓周有關(guān)的比值，怎麼會和平方和的倒數(shù)扯上關(guān)係呢？這不是很神奇嗎？扯上關(guān)係呢？這不是很神奇嗎？ 有時候，當(dāng)我用全新的角度再看有時候，當(dāng)我用全新的角度再看它們?yōu)楹未嫠鼈優(yōu)楹未嬖?？我只能說，上帝一定是個數(shù)學(xué)家。在？我只能說，上帝一定是個數(shù)學(xué)家。24本書精彩片段摘錄本書精彩片段摘錄 (II) （法官泰勒對維傑說：）（法官泰勒對維傑說：）你作數(shù)學(xué)的唯一理由，是因?yàn)槟阆嘈艛?shù)學(xué)你作數(shù)學(xué)的唯一理由，是因?yàn)槟阆嘈艛?shù)學(xué)物件存在於人類心智之外。這是你的出發(fā)物件存在於人類心智之外。這是你的出發(fā)點(diǎn)。就像我的出發(fā)點(diǎn)是對上帝的信仰一樣。點(diǎn)。就像我的出發(fā)點(diǎn)是對上帝的信仰

21、一樣。但是，我們兩人的出發(fā)點(diǎn)只是但是，我們兩人的出發(fā)點(diǎn)只是 也必定也必定只是只是 信念而已。信念而已。25 我們的協(xié)議完成得如此快速和突然，大大我們的協(xié)議完成得如此快速和突然，大大出乎我的意料之外。出乎我的意料之外。但是，我並不孤但是，我並不孤獨(dú)，因?yàn)榫S傑正面對著他所失去的普遍性獨(dú)，因?yàn)榫S傑正面對著他所失去的普遍性和絕對性。和絕對性。26本書精彩片段摘錄本書精彩片段摘錄 (III) 讓人驚訝的是，我們?nèi)祟惪梢员晃阶屓梭@訝的是，我們?nèi)祟惪梢员晃饺绱瞬煌氖挛锷?。我們的如此不同的事物上。我們?信仰信仰 ，可以有如此不同的形式。他說?？梢杂腥绱瞬煌男问?。他說。 這的確讓人驚訝。人類的經(jīng)驗(yàn)

22、讓我們渴望這的確讓人驚訝。人類的經(jīng)驗(yàn)讓我們渴望找出永恆和真實(shí)的事物，找出永恆和真實(shí)的事物，不管是什，不管是什麼種類，要求的就是信仰。麼種類，要求的就是信仰。27導(dǎo)讀策略導(dǎo)讀策略 主要角色，人物個性與對話。主要角色，人物個性與對話。 提及或運(yùn)用哪些數(shù)學(xué)知識？請一一條列。又，提及或運(yùn)用哪些數(shù)學(xué)知識？請一一條列。又，為什麼？為什麼？ 順著前一問題，小說情節(jié)與數(shù)學(xué)知識如何結(jié)順著前一問題，小說情節(jié)與數(shù)學(xué)知識如何結(jié)合？合？ 作者敘事（說故事策略）有何特色？譬如敘作者敘事（說故事策略）有何特色？譬如敘事軸線，以及情節(jié)與伏筆的安排等等。事軸線，以及情節(jié)與伏筆的安排等等。 哪些數(shù)學(xué)可以直接拿到數(shù)學(xué)課堂（而非課外

23、哪些數(shù)學(xué)可以直接拿到數(shù)學(xué)課堂（而非課外活動閱讀時間）上討論？活動閱讀時間）上討論？28問題與討論問題與討論 1. 在本小說故事情節(jié)中，作者如何將尼可教授的在本小說故事情節(jié)中，作者如何將尼可教授的上課內(nèi)容與數(shù)學(xué)知識的確定性之議題融合在一起？上課內(nèi)容與數(shù)學(xué)知識的確定性之議題融合在一起？ 2. 在本小說中，作者利用兩條敘事軸線的好處在在本小說中，作者利用兩條敘事軸線的好處在哪裡？哪裡？ 3. 在本小說中，維傑的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀點(diǎn)或立場發(fā)揮在本小說中，維傑的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀點(diǎn)或立場發(fā)揮了甚麼作用？它與泰勒法官的宗教信仰又有何關(guān)了甚麼作用？它與泰勒法官的宗教信仰又有何關(guān)聯(lián)？又拉維為什麼認(rèn)定他祖父最後成為一位擬經(jīng)聯(lián)？

24、又拉維為什麼認(rèn)定他祖父最後成為一位擬經(jīng)驗(yàn)主義者驗(yàn)主義者 (quasi-empiricist)？29 4. 作者為什麼引進(jìn)這麼多細(xì)緻的數(shù)學(xué)知識作者為什麼引進(jìn)這麼多細(xì)緻的數(shù)學(xué)知識活動之內(nèi)容？這對於數(shù)學(xué)小說之?dāng)⑹庐a(chǎn)生活動之內(nèi)容？這對於數(shù)學(xué)小說之?dāng)⑹庐a(chǎn)生了什麼影響？了什麼影響？ 5. 本書對於性別角色的塑造有無數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本書對於性別角色的塑造有無數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)面向的考量？面向的考量？ 6. 如果你打算推薦本書你的同學(xué)，你將如如果你打算推薦本書你的同學(xué)，你將如何說明它的特點(diǎn)？何說明它的特點(diǎn)？30幾何原本的公理結(jié)構(gòu)幾何原本的公理結(jié)構(gòu) 希臘人深信：數(shù)學(xué)應(yīng)從經(jīng)驗(yàn)所得的知識之中解放出希臘人深信：數(shù)學(xué)應(yīng)從經(jīng)驗(yàn)所得的知識之

25、中解放出來。他們接受此一信念的必然結(jié)果，並且，藉由上來。他們接受此一信念的必然結(jié)果，並且，藉由上述方式來建立幾何學(xué)。對於這樣一個基於公理的數(shù)述方式來建立幾何學(xué)。對於這樣一個基於公理的數(shù)學(xué)命題系統(tǒng)，他們稱之為原本學(xué)命題系統(tǒng)，他們稱之為原本(Elements)。 歐幾里得歐幾里得 (大約西元前大約西元前300年年) 生活在托勒密一世時生活在托勒密一世時期的亞歷山卓，在期的亞歷山卓，在名名為博物館為博物館 (Museum) 的大的大學(xué)之中教數(shù)學(xué)。學(xué)之中教數(shù)學(xué)。 他沒有留下特別重要的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)他沒有留下特別重要的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，他最偉大的貢獻(xiàn)他最偉大的貢獻(xiàn)在於集前人之大成。在於集前人之大成。31柏拉圖柏拉圖

26、vs. 亞里斯多德亞里斯多德 柏拉圖柏拉圖：數(shù)學(xué)知識只能藉由論證來獲得。因此，幾何性質(zhì)數(shù)學(xué)知識只能藉由論證來獲得。因此，幾何性質(zhì)不該從圖形之中讀出，而一個恰當(dāng)?shù)淖C明應(yīng)賦予每一個性不該從圖形之中讀出，而一個恰當(dāng)?shù)淖C明應(yīng)賦予每一個性質(zhì)，亦即，一個不使用任何圖形的證明。質(zhì)，亦即，一個不使用任何圖形的證明。 亞里斯多德亞里斯多德：建構(gòu)一個數(shù)學(xué)系統(tǒng)必需從底蘊(yùn)在所有演繹思建構(gòu)一個數(shù)學(xué)系統(tǒng)必需從底蘊(yùn)在所有演繹思維的共有概念維的共有概念 (common notion) 出發(fā)。並且，最根本的，出發(fā)。並且，最根本的，吾人也必需從設(shè)定了數(shù)學(xué)基本概念之存在性，或者陳述了吾人也必需從設(shè)定了數(shù)學(xué)基本概念之存在性，或者陳述

27、了基本概念之意義的特殊概念基本概念之意義的特殊概念 (special notion) 出發(fā)。最後，出發(fā)。最後，其它的概念必需透過原始屬類其它的概念必需透過原始屬類 (genus proximum) 與區(qū)別屬與區(qū)別屬性性 (differentiae specification) 來定義，這些已定義概念的來定義，這些已定義概念的存在性，也必需被證明。我們將會發(fā)現(xiàn)歐幾里得正是依循存在性，也必需被證明。我們將會發(fā)現(xiàn)歐幾里得正是依循著亞里斯多得的指示，來建構(gòu)他的數(shù)學(xué)系統(tǒng)。著亞里斯多得的指示，來建構(gòu)他的數(shù)學(xué)系統(tǒng)。32第第 I 冊定義冊定義 1. 點(diǎn)是沒有部份的東西。點(diǎn)是沒有部份的東西。 2. 線線 (li

28、ne) 只有長度而沒有寬度。只有長度而沒有寬度。 3. 線的末端是點(diǎn)。線的末端是點(diǎn)。 4. 直線直線 (straight line) 是與它自己上面的點(diǎn)相平齊是與它自己上面的點(diǎn)相平齊 (lies evenly) 的線。的線。 5. 面是只有長度與寬度。面是只有長度與寬度。 6. 面面 (surface) 的邊緣是線。的邊緣是線。 7. 平面平面 (plane surface) 是與它上面的直線相平齊是與它上面的直線相平齊 (lies evenly) 的面。的面。33 8. 平面角是平面上相交並且不落在同一直平面角是平面上相交並且不落在同一直線上的兩線，彼此之間的傾斜度。線上的兩線，彼此之間的傾

29、斜度。 9. 並且，若包含這個角的線是直線，此平並且，若包含這個角的線是直線，此平面角稱為直線角。面角稱為直線角。 10. 當(dāng)一直線站在另一直線上，使得相鄰的當(dāng)一直線站在另一直線上，使得相鄰的角彼此全等，則相鄰的角皆為直角。並且，角彼此全等，則相鄰的角皆為直角。並且，此站在另一條直線上的直線被稱為垂直於此站在另一條直線上的直線被稱為垂直於它所站立的直線。它所站立的直線。34 15. 圓是由一條線包圍著的平面圖形，其內(nèi)圓是由一條線包圍著的平面圖形，其內(nèi)有一點(diǎn)與這條線上的點(diǎn)連接成的所有線段有一點(diǎn)與這條線上的點(diǎn)連接成的所有線段都相等。都相等。 23. 平行的直線是落在同一平面上，往兩個平行的直線是落

30、在同一平面上，往兩個方向持續(xù)不斷地延長時方向持續(xù)不斷地延長時 (being produced indefinitely)，彼此不會相交的直線。，彼此不會相交的直線。35設(shè)準(zhǔn)設(shè)準(zhǔn) I 讓下面的敘述被設(shè)定為準(zhǔn)則讓下面的敘述被設(shè)定為準(zhǔn)則 (Let the following be postulated)：從任何一點(diǎn)到任何一點(diǎn)可畫一直線。：從任何一點(diǎn)到任何一點(diǎn)可畫一直線。 II 且一條有限直線可以持續(xù)地延長。且一條有限直線可以持續(xù)地延長。 III 且以任意點(diǎn)為圓心及任意距離可以畫圓。且以任意點(diǎn)為圓心及任意距離可以畫圓。 IV 且凡直角都相等。且凡直角都相等。 V 且如果一條直線與另兩條直線相交，若同一

31、側(cè)的且如果一條直線與另兩條直線相交，若同一側(cè)的兩個內(nèi)角和小於兩直角，則這兩條直線不斷延長後兩個內(nèi)角和小於兩直角，則這兩條直線不斷延長後 (if produced indefinitely)，會在內(nèi)角小於兩直角的，會在內(nèi)角小於兩直角的那一側(cè)相交。那一側(cè)相交。36兩類設(shè)準(zhǔn)兩類設(shè)準(zhǔn) 1. 存在性設(shè)準(zhǔn)，假設(shè)了某種基本概念的存存在性設(shè)準(zhǔn)，假設(shè)了某種基本概念的存在性（在性（I-III）。）。 2. 用來假設(shè)幾何圖形具有某種特定性質(zhì)的用來假設(shè)幾何圖形具有某種特定性質(zhì)的相關(guān)設(shè)準(zhǔn)（相關(guān)設(shè)準(zhǔn)（IV, V）。）。37共有概念（或公理）共有概念（或公理）等於相同量的量彼此相等。等於相同量的量彼此相等。等量加等量，其和

32、相等。等量加等量，其和相等。等量減等量，其差相等。等量減等量，其差相等。能重合能重合 (coincide) 的物，彼此相等。的物，彼此相等。全體大於部份。全體大於部份。38以亞里斯多德為依歸！以亞里斯多德為依歸！ 從上述的基礎(chǔ)開始，歐幾里得建立了幾從上述的基礎(chǔ)開始，歐幾里得建立了幾何原本的何原本的公理公理結(jié)構(gòu)。為此，他試著滿足結(jié)構(gòu)。為此，他試著滿足亞里斯多德的要求：亞里斯多德的要求： 1. 每個新的敘述句每個新的敘述句 (statement/proposition) 必需被證明。必需被證明。 2. 每個新的概念每個新的概念 (concept) 都必需被定義，都必需被定義，更進(jìn)一步地，其存在性更

33、進(jìn)一步地，其存在性 (existence) 也必需也必需被證明。被證明。39版權(quán)聲明頁碼頁碼作品作品版權(quán)圖示版權(quán)圖示來源來源/作者作者3爺爺?shù)淖C明題，高瑞夫、哈托許著，(洪萬生、洪贊天、林倉億譯)，博雅書屋出版社，2009年9月22日出版。依據(jù)著作權(quán)法第46、52、65條合理使用。5我們寫則莫過於說一個故事。爺爺?shù)淖C明題，高瑞夫、哈托許著，(洪萬生、洪贊天、林倉億譯)，博雅書屋出版社，2009年9月22日出版。第1頁。依據(jù)著作權(quán)法第46、52、65條合理使用。6Do you like fiction and the right place. 本引文引自網(wǎng)站：http:/kasmana.peop

34、/MATHFICT/，瀏覽日期：2013/1/14。依據(jù)著作權(quán)法第46、52、65條合理使用。9第1章一開始是第一人稱意外地發(fā)現(xiàn)外公曾在紐澤西坐牢爺爺?shù)淖C明題，高瑞夫、哈托許著，(洪萬生、洪贊天、林倉億譯)，博雅書屋出版社，2009年9月22日出版。第1頁第36頁。依據(jù)著作權(quán)法第46、52、65條合理使用。11尼可的信：就是這種算式讓上帝一定是個數(shù)學(xué)家。爺爺?shù)淖C明題，高瑞夫、哈托許著，(洪萬生、洪贊天、林倉億譯)，博雅書屋出版社，2009年9月22日出版。第72頁。依據(jù)著作權(quán)法第46、52、65條合理使用。40版權(quán)聲明頁碼頁碼作品作品版權(quán)圖示版權(quán)圖示來源來源/作者作者13-14一封摩里塞居民的投書萬物皆數(shù)哲學(xué)主張之侷限。爺爺?shù)淖C明題，高瑞夫、哈托許著，(洪萬生、洪贊天、林倉億譯)，博雅書屋出版社，2009年9月22日出版。第73114頁。依據(jù)著作權(quán)法第46、52、65條合理使用。