第十四章_冪級(jí)數(shù)

1、第十四章第十四章 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)形如：形如：2010200()()()nnaa xxaxxaxx的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)00()nnnaxx稱為冪級(jí)數(shù)。稱為冪級(jí)數(shù)。00 x 時(shí)為時(shí)為20120nnnnxaa xa xa x主要討論后者主要討論后者 1. 1.收斂域？收斂域？ 2. 2.一致收斂域？一致收斂域？ 3. 3.和函數(shù)的性質(zhì)？和函數(shù)的性質(zhì)？ 4. 4.函數(shù)展成冪函數(shù)函數(shù)展成冪函數(shù) ？“無窮次無窮次”的多項(xiàng)式。的多項(xiàng)式。 冪級(jí)數(shù)是一類特殊的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。冪級(jí)數(shù)是一類特殊的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。多項(xiàng)式的推廣多項(xiàng)式的推廣特別特別 1 14 4.1 .1 冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域問題

2、：?jiǎn)栴}：（阿貝爾第一定理）（阿貝爾第一定理） 0nnna x在點(diǎn)在點(diǎn) 收斂，收斂，1(0)x 1xx 則對(duì)滿足不等式則對(duì)滿足不等式的一切點(diǎn)的一切點(diǎn)x，冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 都絕對(duì)收斂；都絕對(duì)收斂；定理定理14.1i) 若冪級(jí)數(shù)若冪級(jí)數(shù)0nnna x0nnna x在點(diǎn)在點(diǎn) 發(fā)散發(fā)散， 則對(duì)滿足不等式則對(duì)滿足不等式的一切點(diǎn)的一切點(diǎn)x，冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 都發(fā)散。都發(fā)散。ii) 若冪級(jí)數(shù)若冪級(jí)數(shù)2(0)x 2xx0nnna x定理中的定理中的r稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。收斂區(qū)間為稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。收斂區(qū)間為00(, )(,)r rxr xr或 對(duì)任意給定的冪級(jí)數(shù)，必存在唯一的對(duì)任意給定的冪級(jí)數(shù)，必存在唯一的r（r

3、滿滿 足足0)r 使得冪級(jí)數(shù)在使得冪級(jí)數(shù)在xr絕對(duì)收斂，在絕對(duì)收斂，在xr發(fā)散。發(fā)散。推論推論考察冪級(jí)數(shù)考察冪級(jí)數(shù)2011(1); (2); (3).nnnnnnxxxnn 1）收斂半徑都是）收斂半徑都是1；3） (1)在在x=1 (2)( ), ) 在x1收斂2 的收斂域?yàn)?1 1在x=1發(fā)散 (3),( ),x 在1均收斂3 的收斂域?yàn)?1 1總之：對(duì)每一個(gè)冪級(jí)數(shù)，都存在一收斂半徑總之：對(duì)每一個(gè)冪級(jí)數(shù)，都存在一收斂半徑r，使得級(jí)數(shù)在，使得級(jí)數(shù)在(, )r r內(nèi)絕對(duì)收斂。但在兩個(gè)端點(diǎn)的收斂性要做專門的討論。內(nèi)絕對(duì)收斂。但在兩個(gè)端點(diǎn)的收斂性要做專門的討論。2）都在（）都在（-1，1）絕對(duì)收斂；

4、）絕對(duì)收斂；例例1的收斂半徑的收斂半徑均發(fā)散均發(fā)散，故，故(1)的收斂域?yàn)榈氖諗坑驗(yàn)?-1,1).若冪級(jí)數(shù)：若冪級(jí)數(shù)：0nnna x的相鄰兩項(xiàng)數(shù)之比滿足條件1limnxnaa則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 r =1(0時(shí)理解為r=+ , =+ 時(shí)理解為r=0).求求 冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域。冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域。111.11 2lim112.2nxnnn級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為11nnn收斂，故收斂域?yàn)槭諗?，故收斂域?yàn)?2,2).解解 : 由由故收斂半徑等于故收斂半徑等于 2。當(dāng)。當(dāng)x=2時(shí)，級(jí)數(shù)為時(shí)，級(jí)數(shù)為11nn，發(fā)散；當(dāng)，發(fā)散；當(dāng)x=-2時(shí)時(shí)例例2定理定理14.211( )2nnxn求求

5、1213253712222nnnxxxxx的收斂半徑與收斂域的收斂半徑與收斂域20na不能用定理不能用定理13.3計(jì)算收斂半徑計(jì)算收斂半徑21221212limlim22.2nnnnnnxxxx因此當(dāng)因此當(dāng)22121,;12xxx即時(shí) 級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 當(dāng)2即即1,2x 時(shí) 級(jí)數(shù)發(fā)散,1x=時(shí)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)不趨向與02故級(jí)數(shù)發(fā)散。于是，級(jí)數(shù)收斂半徑為故級(jí)數(shù)發(fā)散。于是，級(jí)數(shù)收斂半徑為12收斂域?yàn)槭諗坑驗(yàn)?1,22解：解： 這個(gè)冪級(jí)數(shù)的偶次冪的系數(shù)這個(gè)冪級(jí)數(shù)的偶次冪的系數(shù)但可以用達(dá)朗貝爾判別法直接求收斂區(qū)域：但可以用達(dá)朗貝爾判別法直接求收斂區(qū)域：例例30r ，則對(duì)任意，則對(duì)任意b b：0,br冪級(jí)數(shù)在冪級(jí)

6、數(shù)在, b b(2)(2)若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為0r ，且冪級(jí)數(shù)在，且冪級(jí)數(shù)在0, r(3)(3)若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為,0r一致收斂。一致收斂。 冪級(jí)數(shù)在什么地方一致收斂。冪級(jí)數(shù)在什么地方一致收斂。定理定理1 14 4.4 .4（阿貝爾第二定理）（阿貝爾第二定理）(1)(1)若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為一致收斂；一致收斂；冪級(jí)數(shù)在冪級(jí)數(shù)在一致收斂；一致收斂；0,r 且冪級(jí)數(shù)在且冪級(jí)數(shù)在收斂，則收斂，則r則冪級(jí)數(shù)在則冪級(jí)數(shù)在r收斂，收斂， 冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)(),nnnna xa bxb當(dāng)而而0nnna b收斂，根據(jù)一致收斂的收斂，根據(jù)一致

7、收斂的M判別法，知冪級(jí)數(shù)判別法，知冪級(jí)數(shù)0nnna x在在, b b一致收斂。一致收斂。00nnnnnnnxa xa rr,其中其中nxr對(duì)任意對(duì)任意0, xr1,0,0,1, 2,nxxrnr根據(jù)一致收斂的阿貝爾判別法知根據(jù)一致收斂的阿貝爾判別法知0nnna x在在0, r一致收斂。一致收斂。證明證明 （1）由于）由于（2）已知）已知0nnna r收斂，而收斂，而關(guān)于關(guān)于 n 單調(diào)下降，且單調(diào)下降，且推論推論1 若冪級(jí)數(shù)若冪級(jí)數(shù)0nnna x的收斂半徑為的收斂半徑為0r ，則它的和，則它的和(, )r r證明：證明： 000, r+令b=則2xxr rxbr由定理由定理13.4知，冪級(jí)數(shù)在知

8、，冪級(jí)數(shù)在, b b一致收斂，而一致收斂，而nna x在在, 連續(xù)，因此和函數(shù)在連續(xù)，因此和函數(shù)在, b b連續(xù)，由連續(xù)，由0,xr r 的任意性，知和的任意性，知和, r r連續(xù)連續(xù)函數(shù)在函數(shù)在連續(xù)。連續(xù)。連續(xù)，連續(xù)，特別地在特別地在0 x函數(shù)在函數(shù)在推論推論2 若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為0r 且冪級(jí)數(shù)在且冪級(jí)數(shù)在 r 收斂，則收斂，則0, r00lim.nnnnxrnna xa r連續(xù)。特別地連續(xù)。特別地它的和函數(shù)在它的和函數(shù)在若冪級(jí)數(shù)若冪級(jí)數(shù)0nnna x的收斂半徑為的收斂半徑為 r，和函數(shù)為，和函數(shù)為S(x)，即，即02012( ),nnnnnS xa xaa xa xa

9、 xrxr 則冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)域區(qū)間內(nèi)部可以逐項(xiàng)微商與逐項(xiàng)積分，即則冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)域區(qū)間內(nèi)部可以逐項(xiàng)微商與逐項(xiàng)積分，即1121123( )23,nnnnnS xna xaa xa xna xrxr 且（且（2)，(3) 中的冪級(jí)數(shù)收斂半徑仍然是中的冪級(jí)數(shù)收斂半徑仍然是 r 100231120( )11,231xnnnnnaS t dtxnaaa xxxa xrxrn ( 3 )( 1 )( 2 )定理定理14.5（任意次可微）（任意次可微）0nnna x的收斂半徑為的收斂半徑為0,r 則其和函數(shù)則其和函數(shù) S x在在, r r內(nèi)任意次可微，且內(nèi)任意次可微，且 kSx等于等于0nnna x逐項(xiàng)微商

10、次所得的冪級(jí)數(shù)。逐項(xiàng)微商次所得的冪級(jí)數(shù)。 11,.kn knn kSxn nnka xrxr 若冪級(jí)數(shù)若冪級(jí)數(shù)定理定理14.60nnna x0nnna x冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 在收斂區(qū)間內(nèi)部可以逐項(xiàng)微商與逐項(xiàng)積分的在收斂區(qū)間內(nèi)部可以逐項(xiàng)微商與逐項(xiàng)積分的,對(duì)每個(gè)冪級(jí)數(shù)，都存在收斂半徑對(duì)每個(gè)冪級(jí)數(shù)，都存在收斂半徑總結(jié)總結(jié)(0) rr冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 在在(-r,+r)內(nèi)絕對(duì)收斂，在內(nèi)絕對(duì)收斂，在 發(fā)散發(fā)散,xr但在要具體分析；但在要具體分析；(i)xr(ii)(iii)0nnna x且收斂半徑不變；且收斂半徑不變；冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 在收斂區(qū)間內(nèi)部所表示的函數(shù)是任意次可在收斂區(qū)間內(nèi)部所表示的函數(shù)是任意次可微的。微的

11、。0nnna x前面的討論，都是從冪級(jí)數(shù)出發(fā)，看它所表示的前面的討論，都是從冪級(jí)數(shù)出發(fā)，看它所表示的函數(shù)（和函數(shù)）具有什么性質(zhì)。本節(jié)從函數(shù)出發(fā)看函數(shù)（和函數(shù)）具有什么性質(zhì)。本節(jié)從函數(shù)出發(fā)看它能否用冪級(jí)數(shù)表示。從而用冪級(jí)數(shù)這個(gè)工具研究它能否用冪級(jí)數(shù)表示。從而用冪級(jí)數(shù)這個(gè)工具研究函數(shù)。函數(shù)。 000,nnnfxaxxrxxr 0nnna x, r r收斂到函數(shù)收斂到函數(shù) f x 0,nnnf xa xrxr 如果冪級(jí)數(shù)如果冪級(jí)數(shù)在在1. 1.滿足什么條件滿足什么條件, ,就可以展開成冪級(jí)數(shù)？就可以展開成冪級(jí)數(shù)？2. 2.若可以展開的話，展開式是什么形式？若可以展開的話，展開式是什么形式？13.31

12、3.3函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開定義定義問題：?jiǎn)栴}：即即則則稱稱 f x在在可以展開成冪級(jí)數(shù)可以展開成冪級(jí)數(shù)；, r r如果如果則則稱稱 f x在在可以展開成冪級(jí)數(shù)可以展開成冪級(jí)數(shù)。00,xr xr( (唯一性唯一性) ) fx在在,0r rr那么必有那么必有20120( ),kkkknf xa xaax a xa xrx r （ii ii）如果函數(shù)）如果函數(shù)( )f x在在00,xr xr(0)r 可以展開成可以展開成00010000( )()()(),kkkkkf xa x xaa x xa x xxrxxr （i i）如果函數(shù)）如果函數(shù)可以展開可以展開成冪級(jí)數(shù)成冪級(jí)數(shù)( )1(0)

13、!kkafk冪級(jí)數(shù)展開的唯一性定理定理13.713.7冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)那么系數(shù)那么系數(shù)ka滿足滿足( )01()!kkafxk( )( )20(0)(0)(0)(0)(0)!2!kkkknfffxffxxkk為為( )f x的麥克勞林級(jí)數(shù)，稱的麥克勞林級(jí)數(shù)，稱( )000( )20000000( )()!( )1( )( )()( )()()2!kkkkkfxx xkfxf xf xx xfxx xx xk為為 f x在在0 x的泰勒級(jí)數(shù)。的泰勒級(jí)數(shù)。Taloy級(jí)數(shù)與麥克勞林級(jí)數(shù)通常稱通常稱( )f x若若, r r一致有界，即存在一致有界，即存在0M ，使，使 |,0,1,2,nfxMxr rn

14、 則則 f x在在, r r可以展開成冪級(jí)數(shù)可以展開成冪級(jí)數(shù) 00.!nnnffxxrxrn定理定理13.813.8的各階微商在的各階微商在證明：用拉格朗日余項(xiàng)證明：用拉格朗日余項(xiàng) 111( )0 ().(1)!(1)! nnnnxfR xxMnrxrnn初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開（i i） e x 的展開式：的展開式：2312!3!nxxxxexn 0,!nnxxn （ii）sin x 和和 con x 的展開式：的展開式：35721sin( 1)3!5!7!(21)!kkxxxxxxk 210( 1),(21)!kkkxxk 2462cos1( 1)2!4!6!(2 )!kkxxxxxk 20(

15、 1),(2 )!kkkxxk （iii iii）冪函數(shù)冪函數(shù) 的展開式：的展開式：(1)x2(1)(1)12!xxx (1)(1)!nnxn 1(1)(1)1,11!nnnxxn （iv）對(duì)數(shù)函數(shù)）對(duì)數(shù)函數(shù) ln ( 1 + x ) 的展開式的展開式：2341ln(1)( 1)234nnxxxxxxn11( 1),11nnnxxn 已知已知2011, 111nnnxxxxxx 根據(jù)逐項(xiàng)微分定理，得根據(jù)逐項(xiàng)微分定理，得：12111nnnxx例例3 32311234,nxxxnx 11.x 兩邊乘以兩邊乘以x得得212341234, 11.nnnxnxxxxxxnxx 再逐項(xiàng)微商，有再逐項(xiàng)微商，

16、有21312222321111 234, 11.nnnxn xxxxxn xx 這樣，通過逐項(xiàng)微分，我們可以得到許多新的級(jí)數(shù)展開這樣，通過逐項(xiàng)微分，我們可以得到許多新的級(jí)數(shù)展開12x 得得21112,12,22nnnnnn還可以計(jì)算很多特殊數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。還可以計(jì)算很多特殊數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。在上面兩個(gè)級(jí)數(shù)中，令在上面兩個(gè)級(jí)數(shù)中，令二、求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法二、求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法 標(biāo)準(zhǔn)形式冪級(jí)數(shù): 先求收斂半徑 R , 再討論Rx 非標(biāo)準(zhǔn)形式冪級(jí)數(shù)通過換元轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式直接用比值法或根值法處的斂散性 .內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 求部分和式極限三、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法三、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法 求和 映射變換法 逐項(xiàng)

17、求導(dǎo)或求積分nnnxa0)(*xS對(duì)和式積分或求導(dǎo))(xS難直接求和: 直接變換,間接求和: 轉(zhuǎn)化成冪級(jí)數(shù)求和, 再代值求部分和等 初等變換法: 分解、套用公式（在收斂區(qū)間內(nèi)） 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 求和nnnxa0四、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)和付式級(jí)數(shù)展開法四、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)和付式級(jí)數(shù)展開法 直接展開法 間接展開法練習(xí)練習(xí):1. 將函數(shù)2)2(1x展開成 x 的冪級(jí)數(shù). 利用已知展式的函數(shù)及冪級(jí)數(shù)性質(zhì) 利用泰勒公式解解:xx21)2(1221121x0221nnnx,22111nnnxn)2,2(x1. 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開法習(xí)題例例1. 若級(jí)數(shù)11nnnnba 與均收斂 , 且nnnbca, ),2, 1(n證明級(jí)數(shù)1

18、nnc收斂 .證證: nnnnabac0, ),2,1(n則由題設(shè))(1nnnab 收斂)(1nnnac 收斂1nnc)(1nnnnaac)(1nnnac 1nna收斂例2. 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)1nnu和1nnv12)(nnnvu也收斂 .提示提示: 因,0limlimnnnnvu存在 N 0,nnnnvvuu22,又因)(222nnvu)()(2Nnvunn利用收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)及比較判斂法易知結(jié)論正確.都收斂, 證明級(jí)數(shù)當(dāng)n N 時(shí)2)(nnvu 例3. 設(shè)級(jí)數(shù)1nnu收斂 , 且,1limnnnuv1nnv是否也收斂？說明理由.但對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)卻不一定收斂 .,) 1(nunn問級(jí)數(shù)提示提示: 對(duì)正項(xiàng)

19、級(jí)數(shù),由比較判別法可知1nnv級(jí)數(shù)1nnu收斂 ,1nnvnnnuvlim收斂,級(jí)數(shù)發(fā)散 .nnn) 1(lim11例如, 取nnvnn1) 1(例例4. 求冪級(jí)數(shù).!) 12(1) 1(120的和函數(shù)nnnxnn法法1 易求出級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?,(022)(! ) 12(1) 1(21nnnxn原式120! ) 12() 1(21nnnxnx)sin(21xx,cos2sin21xxx ),(x例例5.) 1(31的收斂半徑求冪級(jí)數(shù)nnnnxn解解: 分別考慮偶次冪與奇次冪組成的級(jí)數(shù),lim1nnaannnnalim極限不存在1)(kkx,24212kkkxk1)(kkx12112122kkkxk)()(1limxxnnn,)4(2x411R)()(1limxxnnn,)2(2x212R 原級(jí)數(shù) =1)(kkx1)(kkx 其收斂半徑4121,minRRR注意: 補(bǔ)充題例1.設(shè))(xf0,arctan12xxxx0,1x, 將 f (x)展開成x 的冪級(jí)數(shù) ,1