第十章組合變形(2)

1、湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院Chapter 10 組合變形組合變形Combination Deformation湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院10.1 組合變形的概念和實(shí)例10.2 斜彎曲10.3 拉伸（壓縮）與彎曲的組合變形10.4 扭轉(zhuǎn)與彎曲組合變形10.5 組合變形的普遍情況湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院起重機(jī)ACB梁 AVAHPBCVCHCRBPCA10.1 組合變形的概念和實(shí)例湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院傳動(dòng)軸 BA1T2T3T4T21TT 43TT 21TT 43TT mm湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院彎曲拉伸PPMPNy5 .3575 . 73500zyyONPnmyM

2、 PP350mn5 . 7湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院 由兩種或兩種以上基本變形的組合情況，稱為組合變形。湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院10.2 斜彎曲斜彎曲湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院 若桿件有一縱向?qū)ΨQ面，且所有外力都作用于這一對(duì)稱面內(nèi)時(shí)，梁的軸線變成一條在此對(duì)稱面內(nèi)的平面曲線，這就是平面彎曲。在實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中，作用在梁上的橫向力有時(shí)并不在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)。桿件將在相互垂直的兩個(gè)縱向?qū)ΨQ面內(nèi)同時(shí)發(fā)生彎曲變形。變形后，桿件的軸線與外力不在同一縱向平面內(nèi)。 解決組合變形的方法是使用疊加法。兩個(gè)平面彎曲的組合稱為斜彎曲。湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院PP湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院平面曲，中性層為平面的彎對(duì)應(yīng)

3、著xzxyPyv 外力簡化 sin,cosPPPPzylxyxzO1D2DmnzyC,PzPyP平面曲，中性層為平面的彎對(duì)應(yīng)著xyxzPz湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院v 內(nèi)力 cos)(cos)(MxlPxlPMyzsin)(sin)(MxlPxlPMzy取絕對(duì)值。，在這里其中MxlPM)( lxyxzO1D2DmnzyC,PzPyP湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院zIMIzMyyysin yIMIyMzzzcos1D2D1D2D 應(yīng)力在My作用下在Mz作用下湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院 zIyIMIzMIyMyzyyzzsincos在x截面的C(y,z)點(diǎn)，其正應(yīng)力分量是同方向的，可以疊加，湘潭大學(xué)土

4、木工程與力學(xué)學(xué)院0sincos0y0zzIyIM0sincos0y0zzIyI得中性軸滿足的方程設(shè)中性軸與z軸的夾角為tantan00yzIIzy圖中D1、D2為離中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)，也就是危險(xiǎn)點(diǎn)。y1D2DPz設(shè)中性軸上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為(y0, z0)，則其應(yīng)滿足湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院，可得由tantan00yzIIzyv對(duì)于的截面IyIz，則。這表明此種梁在發(fā)生斜彎曲時(shí)，其中性軸與外力P所在的縱向平面不垂直。v對(duì)于圓形、正方形及其他正多邊形截面，由Iy = Iz ，故=-，這說明中性軸總是與載荷所在的縱向面垂直，即此類截面的梁不會(huì)產(chǎn)生斜彎曲。 湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院y1D2DPx湘潭大學(xué)

5、土木工程與力學(xué)學(xué)院sincos2, 12, 1maxzIyIMyz對(duì)強(qiáng)度問題一般方法是尋找危險(xiǎn)截面和危險(xiǎn)點(diǎn)利用下面公式進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。其中是離中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)。2, 12, 1zy ，y1D2DPx湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院yzfPyfzffxzPy變形所在面 載荷作用面 變形計(jì)算湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院zzyyEIlPEIlPf3cos333yyzzEIlPEIlPf3cos333在xz平面內(nèi)自由端因Pz所引起的撓度是yzfPyfzf因P引起的總撓度是22zyffftantanyzyzIIff在xy平面內(nèi)自由端因Py所引起的撓度是湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院討論yzfPyfzf(1) 由式

6、 知，若梁的橫截面Iy Iz，則 ，這說明梁在變形后的撓曲線與外力P所在的縱向面不共面，因此，稱為斜彎曲。tantanyzyzIIff湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院(2) 對(duì)于Iy = Iz的橫截面（如圓形、正方形），則 = ，即撓曲線與外力在同一縱向平面內(nèi)。這種情況仍是平面彎曲。實(shí)際上，對(duì)于Iy = Iz的橫截面，過截面形心的任何一個(gè)軸都是形心主慣性軸。因此，外力作用將總能滿足平面彎曲的條件。yzfPyfzf湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院tgtan00yzIIzytantanyzyzIIffyzfPyfzf(3) 由式知：中性軸與z軸的夾角 等于撓度與y軸的夾角 。即和平面彎曲一樣，斜彎曲時(shí)，中性軸

7、仍垂直于撓度 f 所在的平面。湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院10.3 拉伸（壓縮）與彎曲的組合變形拉伸（壓縮）與彎曲的組合變形Combined tension (compression) and bending湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院內(nèi)力分析應(yīng)力分析 外力分析P1P2彎曲變形軸向拉伸N=P1Mmax=P2l/4ANIyM zmaxmaxWMAN湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院圖示懸臂式吊車架，在橫梁AB的中點(diǎn)D作用一集中載荷P=25kN，已知 材 料 的 許 用 應(yīng) 力=100Mpa，若橫梁AB為工字型梁，試選工字鋼型號(hào)。Pm3 . 1m3 . 1DACB30湘潭大學(xué)土木工程

8、與力學(xué)學(xué)院kN6 .211 TNkN25.166 . 2254141maxPlMzmaxmaxWMAN內(nèi)力分析 截面設(shè)計(jì) 湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院ON1TxAVPA1T2TTDBAH30 xMOPm3 . 1m3 . 1DACB30湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院maxmaxWM 363maxcm5 .162101001025.16MW23cm6 .30,cm185AW查型鋼表，選取18號(hào)工字鋼，由彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院MPa9 .94101851025.16106 .30106 .216343zmaxmaxWMAN注意試算中，若初選出的工字鋼型號(hào)，拉（壓）彎組合的危險(xiǎn)應(yīng)力大

9、于許用應(yīng)力，則應(yīng)重新選取工字鋼。 強(qiáng)度校核湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院PP立柱10.3.2 偏心壓縮（拉伸）鉆床立柱湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院1P2PG廠房中支承吊車梁的立柱 湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院10.4 扭轉(zhuǎn)與彎曲組合變形湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院CAx0mPrPyzB0mzxAyBrPabPCD0m外力的簡化 湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院xOT20DPm OxzMlabPMrzmaxOxyMlPabMymaxlabPMlPabMmTrzymaxmax0內(nèi)力計(jì)算湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院tWTWMmax危險(xiǎn)點(diǎn) D1 和 D2，其具體位置為在My和Mz共同作用組合所成的斜彎曲中離中性軸最遠(yuǎn)的

10、點(diǎn)。原因是正應(yīng)力和剪應(yīng)力都有最大值。 其應(yīng)力為危險(xiǎn)截面 C應(yīng)力計(jì)算及強(qiáng)度條件 湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院O2D1D作用面Mz2D1DyOyMzM1D1D湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院22r34對(duì)于圓形截面32,1633tdWdW將其代入上式得22max2max222t2r3114TMMWTMWWTWMzy采用第三或第四強(qiáng)度理論 湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院122max2maxr3TMMWzy注此式可作為公式直接使用 所以圓軸彎扭組合變形由第三強(qiáng)度建立的強(qiáng)度條件為湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院75. 0122max2maxr4TMMWzy需要指出的是，上述兩個(gè)公式僅適用于圓軸的彎扭組合。 同理，對(duì)第四強(qiáng)度

11、理論，我們有湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院例題 在圖示的傳動(dòng)軸AB上，C處皮帶輪作用著水平方向的力，D處皮帶輪作用著鉛垂方向的力。已知皮帶張力T1=2kN，T2=3kN，皮帶輪自重G1=300N，G2 = 200N，軸的直徑d=76mm，許用應(yīng)力=80MPa，試用第四強(qiáng)度理論校核軸的強(qiáng)度。 CAzx12T500yB1T2T22T500500600400D1G2G湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院外力簡化CBAHDCMyAzx2G113TG 23TBHBRARDMAzx500yB2G1GCD50050012T2T1T400600RA=2233N，HA=6000N，RB=4276N，HB =3000N 湘潭大

12、學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院作內(nèi)力圖mkN6 . 0 xTOOxmkN13. 2mkN12. 1zMxyMmkN5 . 1mkN3O合MxOmkN6 . 2mkN2 . 3zxy500500500AB22T2T1T12TC400600DC截面mkN12. 15 . 0mkN35 . 0AzAyRMHMD截面mkN13. 25 . 0mkN5 . 15 . 0BzByRMHM湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院22zyMMM合mkN2 . 312. 132222CCzCyMMMmkN6 . 25 . 11 . 22222CzDyDMMM確定危險(xiǎn)截面故C截面為危險(xiǎn)截面。湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院MPa5 .74Pa

13、105 .74106 . 075. 02 . 310763275. 0163229322Cr4TMW校核強(qiáng)度故該軸滿足強(qiáng)度條件。湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院例題 按第三強(qiáng)度理論和第四強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)圖示實(shí)心圓截面?zhèn)鲃?dòng)軸的直徑d。已知皮帶輪C、D直徑d1=100cm，鋼軸的許用應(yīng)力為=200MPa。比較兩種理論的結(jié)果。ABCDkN10kN6cm405cm2xyzcm40kN6kN10湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院yMxmkN2 . 3TmkN2xmkN4zMxmkN2mkN2 . 3yMmkN4zMmkN2Txoz平面彎矩圖 解 作內(nèi)力圖。xoy平面彎矩圖湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院確定危險(xiǎn)截面 mkN77. 322CzCyCMMM合C截面彎矩B截面彎短，故B截面為危險(xiǎn)截面。 湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院cm11. 620002010132343d32133合Md 由即WM合按第三強(qiáng)度理論 湘潭大學(xué)土木工程與