函數(shù)的求導法則(40)課件

1、第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的求導法則函數(shù)的求導法則 內(nèi)容提要內(nèi)容提要1.1.函數(shù)的和、差、積、商的求導法則；函數(shù)的和、差、積、商的求導法則；2.2.反函數(shù)的求導法則；反函數(shù)的求導法則；3.3.復合函數(shù)的求導法則。復合函數(shù)的求導法則。 教學要求教學要求1.熟悉導數(shù)的運算法則及導數(shù)基本公式；熟悉導數(shù)的運算法則及導數(shù)基本公式； 2. 熟練掌握函數(shù)的求導計算方法。熟練掌握函數(shù)的求導計算方法。一、導數(shù)的四則運算法則一、導數(shù)的四則運算法則定理定理1處可導，處可導，在點在點與與設函數(shù)設函數(shù)xxvxu)()(則函數(shù)則函數(shù)，處處也也可可導導在在點點xvvuuvvu)0(, 并且有并且有;)()2(vuvuuv ;)()

2、1(vuvu . )0()()3(2 vvvuvuvu證明：證明：下面只對（下面只對（2）給出證明）給出證明.),()(xvxuy 設設相應地有改變量相應地有改變量)()(),(xvxuyxvv ，一改變量一改變量給給xx ),(xuu 則則函函數(shù)數(shù),u ,v . y 而而),()(xuxxuu ),()(xvxxvv ),()()()(xvxuxxvxxuy )()()()(xxvxuxxvxxu ),()()()(xvxuxxvxu )(xxvu .)(vxu xy )(xxvxu .)(xvxu xyx 0lim)(lim0 xxvxux .)(xvxu )(limlim00 xxvxu

3、xx .lim)(0 xvxux )()(xvxu )()(xvxu .)(vuvuuv 即即);( )(xfCxCf 說明：說明：定理定理1（1）可以推廣到有限個可導函數(shù)的代數(shù)和的情形。）可以推廣到有限個可導函數(shù)的代數(shù)和的情形。定理定理1（2）可以推廣到有限個可導函數(shù)的乘積的情形。）可以推廣到有限個可導函數(shù)的乘積的情形。處可導，處可導，在點在點，設設例如例如xxwxvxu)()()(）（ uvw，仍可導仍可導且有且有wuvuwvvwu 由定理由定理1（3）可以得到：）可以得到：由定理由定理1（2）可以得到：）可以得到：)0()(2 vvvCxvC.為為常常數(shù)數(shù)其其中中C處處在在則則xuvw例

4、例1 1.4lnlog3cos512的的導導數(shù)數(shù)求求 xxxxya解解y )4lnlog3cos51(2 xxxxa)4(ln)(log3)(cos5)()(212 xxxxaxsin5 axln3 x2 321x .ln105的導數(shù)的導數(shù)求求xxy 例例2 2解解y )ln10(5 xx)(lnln)(1055 xxxx)1ln5(1054xxxx )1ln5(104 xx41 .4sinsinln的的導導數(shù)數(shù)求求 xxxy例例3 3解解y )sinln( xxx)4(sin )(sinln xxxxxxsinln)( xxxsin)(ln xx sinln xsin xxxcosln 例例

5、4 4.11的的導導數(shù)數(shù)求求 xxy解解y 2)1()1)(1()1()1( xxxxx)11( xx2)1()1(1 xxx2)1(2 x4cos .tan的的導導數(shù)數(shù)求求xy )(tan xyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos x2cos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得.sec的的導導數(shù)數(shù)求求xy )(sec xyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得例例5 5解解例例6 6解解)cossin( xxx2sec )cos1(

6、x.tan. 13的的導導數(shù)數(shù)求求xxy 解解)tan(3 xxy633)(tan)(tanxxxxx 6223tan3secxxxxx .|sincos. 22 xyxxy，求求設設解解)sin(cos xxyxxcossin )(sin)(cos xx2| xy2cossin xxx1 42tan3secxxxx 62323tansecxxxxx 二、復合函數(shù)的求導法則二、復合函數(shù)的求導法則的求導問題。的求導問題。先討論先討論xy2sin xy2sin )(cossincos)(sin2 xxxx)2(sin xdxdyxxcossin2 )cos(sin2 xx)sin(cos222xx

7、 x2cos2 另一方面，另一方面，xy2sin )2( x,sinuy 是是由由dudy,cosu dxdu復合而成，復合而成，xu2 于是于是dudydxdu ucos2 x2cos2 dudy dxdydxdu 從而可得公式從而可得公式)(sin u2 xuufx 0lim)(定理定理2處可導，處可導，在對應點在對應點u處處可可導導，在在點點設設函函數(shù)數(shù)xxu)( )(ufy 函函數(shù)數(shù)處處仍仍可可導導，在在對對應應點點 xxf)( y則復合函數(shù)函數(shù)則復合函數(shù)函數(shù)且有且有)()(xufy 或記為或記為dxdududydxdy 證證,)(可可導導在在點點由由uufy )(lim0ufuyu

8、)0lim()(0 uufuy故故uuufy )(則則xyx 0lim)(lim0 xuxuufx ).()(xuf xuxx 00limlim 說明：說明：復合函數(shù)求導法則也可推廣到多次復合的情形，復合函數(shù)求導法則也可推廣到多次復合的情形，例如，例如，都都可可導導，設設)(),(),(xgvvuufy 的導數(shù)為的導數(shù)為復合函數(shù)復合函數(shù)則則)(xgfy 或記為或記為dxdy例例1 1)sin(oxy 解解為為常常數(shù)數(shù)。其其中中0, .)sin(的導數(shù)的導數(shù)求求oxy 復合而成，復合而成，uysin 是是由由0 xu與與dudy ucosdxdu于是于是dudydxdu , dxdy)cos(0

9、 xucos y)(uf )(v ，)(xg dudy dvdu dxdv 例例2 2解解.)2(53的的導導數(shù)數(shù)求求 xy53)2( xy復合而成，復合而成，5uy 是是由由23 xu與與dudy dxdu于是于是 dudydxdu dxdy45u 23x 432)2(15 xx說明：說明： 對復合函數(shù)的復合過程能正確掌握后，對復合函數(shù)的復合過程能正確掌握后，從外向里從外向里逐層求導即可。逐層求導即可。可不必可不必寫出中間變量，寫出中間變量，只要記住復合過程，只要記住復合過程，例例3 3解解.tanln的導數(shù)的導數(shù)求求xy )tan(ln xyxtan1 xx2sectan1 xxcossi

10、n1 45u23x)(tan x例例4 4解解.3sin2的導數(shù)的導數(shù)求求xy )3(sin2 xy)3(sin xxx3cos3sin2 x3sin2 )3( xxx3cos3sin6 x6sin3 例例5 5解解)lnln(ln xy.)lnln(ln的導數(shù)的導數(shù)求求xy )ln(ln1x )(ln x)ln(lnln1xxx )ln(ln x)ln(ln1x xln1 例例6 6解解.)(sinsin的導數(shù)的導數(shù)為常數(shù)為常數(shù)求求nxnxyn )sin(sin xnxyn)(sinsinsin)(sin xnxxnxnnnxsin nxcos xcos xnn 1sin )cossinsi

11、n(cosxnxxnx xnxnn)1sin(sin1 例例7 7解解.)0()ln(22的的導導數(shù)數(shù)求求 aaxxyy 221axx )(22 axx221axx 1(221ax xnsin n)222ax xn 1sin nx2 1三、反函數(shù)求導法則三、反函數(shù)求導法則)(1)(yxf 內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)、可可導導在在某某區(qū)區(qū)間間如如果果函函數(shù)數(shù)yIyx)( ,0)( y 且且,內(nèi)也可導內(nèi)也可導xI定理定理3證證,xIx 任任取取xx 以以增增量量給給的單調(diào)性可知的單調(diào)性可知由由)(xfy , 0 y于是有于是有,1yxxy ,)(連連續(xù)續(xù)xf),0(0 xy0)( y 又又知知xyxfx 0li

12、m)(yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即), 0(xIxxx 在在對對應應區(qū)區(qū)間間那那末末它它的的反反函函數(shù)數(shù))(xfy 且有且有即即 反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù).例例1 1.)11(arcsin的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xxy解解,)2,2(sin內(nèi)單調(diào)、可導內(nèi)單調(diào)、可導在在 yx, 0cos)(sin yy且且內(nèi)有內(nèi)有在在)1 , 1( )(arcsin xycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx )(arcsin x類似的，有類似的，有即即.sinarcsin的的反反函函數(shù)數(shù)是是yxxy )(sin1

13、 y;11)(arctan2xx .11)cot(2xx arc例例2 2.)(arctan的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xxy解解,)2,2(tan內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)、可可導導在在 yx )(tan y且且內(nèi)內(nèi)有有在在),( )(arctanxy2sec1 y2tan11 211x 即即類似的，有類似的，有.tanarctan的的反反函函數(shù)數(shù)是是yxxy y2sec, 0 )(tan1 y例例3 3解解.),1, 0(yaaayx 求求設設的的反反函函數(shù)數(shù)，是是yxayaxlog ,),0(內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)，可可導導在在區(qū)區(qū)間間 yxalog 而而)(log ya0 ayln1 內(nèi)內(nèi)有有在在),( )(

14、xa)(log1 yaayln aaxln )( xaaaxln )( x)( xexe )( x即即得得時時當當,ea 例例4 4解解.,12yeeyxx 求求設設)()(12 xxeey)1(1 xex)2(2 xexxe22 xex121 例例5 5解解.,yshxy 求求設設)( shxy)2( xxee2xxee chx )( shxchx 即即類似的，有類似的，有)( chxshx 例例6 6解解.),(yxy 求求為為實實數(shù)數(shù)設設 xy xeln xeln 由復合函數(shù)求導法則，得由復合函數(shù)求導法則，得)(ln xe y )ln(ln xex xx1 1 x1)( xx即即指出：指

15、出：，假假定定在在以以上上計計算算過過程程中中0, x，上上述述公公式式仍仍成成立立。證證明明對對于于0 x實實際際上上可可以以)2(arctan xy例例7 7解解.,arcsin3yxy 求求設設)(arcsin3 xy)(3 x23)(11x 6213xx 例例8 8解解.,2arctanyyx 求求設設)(arctan x2ln2arctan x2ln2arctan x2arctan122lnxx 211x aaaxxln)( 211)(arcsinxx 練習練習;)12arccos(. 12 xy.cot. 22xarcxy )12arccos(2 xy)12(2 x22)12(11

16、 x22)12(14 xx)cot(2 xarcxy222)cot()cot(cot)(xarcxarcxxarcx 222)cot(1cot2xarcxxxarcx 四、初等函數(shù)的導數(shù)四、初等函數(shù)的導數(shù)xx tansec 1. 基本初等函數(shù)的導數(shù)公式基本初等函數(shù)的導數(shù)公式xxcotcsc axln1 x1 0)( Cxcos x2sec aaxln 1 xxsin x2csc xe 211x 211x 211x 211x )( x)(sin x)(cos x)(tan x)(cot x)(sec x)(csc x)( xa)( xe)(log xa)(ln x)(arcsin x)(arcc

17、os x)(arctan x)cot( xarc)( shxchx )( chxshx 2.函數(shù)的和、差、積、商的求導法則函數(shù)的和、差、積、商的求導法則設設)(),(xvvxuu 可導，則可導，則（2）vuvuuv )(, ）3uccu )( ( 是常數(shù)是常數(shù)) )C（1） vuvu )(, 注意注意:;)(vuuv .vuvu 2)4(vuvvuvu )0( v（1）可以推廣到有限個可導函數(shù)的代數(shù)和的情形。）可以推廣到有限個可導函數(shù)的代數(shù)和的情形。（2）可以推廣到有限個可導函數(shù)的乘積的情形。）可以推廣到有限個可導函數(shù)的乘積的情形。利用上述公式及法則初等函數(shù)求導問題可完全解決利用上述公式及法則初等函數(shù)求導問題可完全解決.注意注意: :初等函數(shù)的導數(shù)仍為初等函數(shù)初等函數(shù)的導數(shù)仍為初等函數(shù).4.反函數(shù)的求導法則反函數(shù)的求導法則),()(yxxfy 的反函數(shù)為的反函數(shù)為設設 )(xf則則)0)