函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間(2)課件

1、一、函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxy0 xoxy0 x)()(12xfxf 01 證證12,xxa b 、（）21 xx 設(shè)設(shè)12 ( ),f xx x在 （）上 符合 件件拉格朗日中值定理的條拉格朗日中值定理的條)()(12xfxf )(12xxf ),(21xx ),(ba ( )0,f 012 xx0 ( ),.f xa b故在 （）遞增 ( )( , ),yf xD a b 有有若若對對),( bax 定理定理3(p181)010.( ),fx （ ）則，則，f(x) 在在(a,b)上上(嚴(yán)格嚴(yán)格)單調(diào)遞增函數(shù)單調(diào)遞增函數(shù)020.( ),( )f

2、x 則，則，f(x) 是是(a,b)上上(嚴(yán)格嚴(yán)格)單調(diào)遞減函數(shù)單調(diào)遞減函數(shù)0( )fx 0( )fx xyo)(xfy abABxyo)(xfy abBA0( )fx 0( )fx .)( 12的單調(diào)性的單調(diào)性判斷判斷例例xxf 解解xxf2)( 時，時，0 x時，時，0 x時，時，0 x, 0)( xf, 0)( xf, 0)( xf( ) (,0f x在在單單調(diào)調(diào)減減少少，( ) 0,) .f x 在在單單調(diào)調(diào)增增加加-10-551020406080100()fx嚴(yán)嚴(yán) 格格 單單 調(diào)調(diào) 增增xxfxf12110)0()(即，xxx121103時，、證明：當(dāng)例xxxf1211)(令證012

3、121)(0 xxfx，時當(dāng) 0,ln(1).xxx 例例 當(dāng)當(dāng)時時 試試證證成成立立0)1ln( xx即即證證),1ln()(xxxf 設(shè)設(shè) )(xf則則x 111xx 1), 0)( Cxf), 0( x又又0)( xf有有上遞增上遞增在在 ), 0 )(xf時，時，當(dāng)當(dāng)0 x0)0()( fxf函數(shù)的極值oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxy0 xoxy0 x0()( ),f xf x （ ）函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值；極值；函數(shù)的極大值與極小值點統(tǒng)稱為函數(shù)的極大值與極小值點統(tǒng)稱為極值點極值點. .定義定義設(shè)設(shè)f 在在(a,b)上有定義，如果上

4、有定義，如果0( , )xa b 存在存在0, 00(,)( , )xxxa b ，有則稱則稱0 x是是 f(x) 的極大的極大（小）（?。┲迭c。值點。 f(x) 一個極大一個極大(小小)值。值。0()f x而是oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6x2定定義義, 0)(0 xf若若.)(0得得一一個個駐駐點點是是則則稱稱xfx1例例xxf )(解解0)0( f,0時時 x0)( xf的極小值點的極小值點是是)(0 xfx 不是駐點不是駐點0 x2例例3)(xxf 解解23)(xxf 是駐點是駐點0 x0)0( f時時0 x0)( xf的的極極值值點點不不是是)(0 xfx 時時0 x0

5、)( xf 0( )f xx 在在不可導(dǎo)不可導(dǎo)極極值值點點駐駐點點0 x定義定義2 設(shè)設(shè)f是定義在是定義在(a,b)上的函數(shù)，上的函數(shù)，0( , )xa b 00()fx 若（駐點）或（駐點）或 f 在在處不可導(dǎo)時，處不可導(dǎo)時，0 x被稱為是臨界點被稱為是臨界點f 的所有臨界點就是臨界點集的所有臨界點就是臨界點集2323yxx 例 求的臨界點的臨界點13201()yxxx 由 ， 得0,xy 不存在所以臨界點集為所以臨界點集為0,1.-1定理1（極值點的必要條件）極值點極值點臨界點臨界點3yx 例： 是駐點但是駐點但不是極值點不是極值點0 x 0( , )xa b ，0 x是極是極值點，則必是

6、值點，則必是 f 的臨界點。的臨界點。設(shè)設(shè) f 是定義在是定義在(a,b)上的函數(shù)，上的函數(shù)，xyo0 x xyo0 x （第一充分條件）（第一充分條件）定理定理2連續(xù)，連續(xù)，在在設(shè)設(shè)0)(xxf.)(0內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)且在某且在某xU的的符符號號不不變變，兩兩側(cè)側(cè)，在在)(.100 xfx 不不是是極極值值點點；則則0 x的符號改變，的符號改變，兩側(cè)，兩側(cè)，在在)(.200 xfx 是極值點，是極值點，則則0 x且且 00 xxxx0)( xf0)( xf是是極極小小值值點點0 x 00 xxxx0)( xf0)( xf0 x是極大值點是極大值點處二階可導(dǎo)，處二階可導(dǎo)，在在設(shè)設(shè)0)(xxf則則且

7、且, 0)(0 xf，若若0)(.100 xf，若若0)(.200 xf證證.10)(0 xf xxfxxfx )()(lim0000 :故由極限的保號性知故由極限的保號性知時時，當(dāng)當(dāng)0 x0)(0 xxf時時，當(dāng)當(dāng)0 x0)(0 xxf所所以以，函函數(shù)數(shù))(xf在在0 x處處取取得得極極大大值值 同理可證同理可證(2).(2).異異號號，與與 xxxf )(00 x是極大值點是極大值點0 x是極小值點是極小值點定理定理2(第二充分條件第二充分條件) 求函數(shù)在求函數(shù)在(a,b)(a,b)的極值的步驟的極值的步驟: :（1）求函數(shù)）求函數(shù) f 在（在（a,b）中的臨界點集）中的臨界點集0( )f

8、x 的點的點(駐點駐點)或不可導(dǎo)點或不可導(dǎo)點A）判斷）判斷 ( )fx 在每一個臨界點兩側(cè)的正負(fù)在每一個臨界點兩側(cè)的正負(fù)（2）列表判斷列表判斷每一個臨界點是否為極值點，每一個臨界點是否為極值點，（3）若是極值點，求出其值（極值）若是極值點，求出其值（極值）0()fx B) 若若 存在，存在， 判斷判斷 的正負(fù)的正負(fù)0()fx (2) 極大值不一定大于極小值。極大值不一定大于極小值。注意：注意：(1) 極值點不在區(qū)間端點上定義，即極值點不在區(qū)間端點上定義，即 f(a)，f(b) 不可能是不可能是極值。極值。oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6x 3例例2( ).f xx 求函的極值解解x

9、xf2)( , 0)( xf令令0 x得得駐駐點點:方法一方法一0)(, 0 xfx0)(, 0 xfx:方法二方法二2)( xf2)0( f0 總之，總之，)0(極小極小f0 x)1,( ), 3()3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 極大值極大值極小值極小值)3(f極小值極小值.22 )1( f極大值極大值,10 4例例.593)(23的的極極值值求求出出函函數(shù)數(shù) xxxxf解解963)(2 xxxf)3)(1(3 xx，令令0)( xf. 3, 121 xx得得駐駐點點和單調(diào)區(qū)間和單調(diào)區(qū)間)1,( ), 3( 單調(diào)上升，單調(diào)上升，)3 , 1( 單調(diào)下降單調(diào)下降的的圖圖形形：5

10、93)(23 xxxxfMm xy0:另解另解66)( xxf)1(6 x)1( f0 x=-1是極大值點是極大值點)3(f 0 x=3是極小值點是極小值點5例例解解)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不不存存在在時時當(dāng)當(dāng)xfx .)(在該點連續(xù)在該點連續(xù)但函數(shù)但函數(shù)xf時時，當(dāng)當(dāng)2 x; 0)( xf時時，當(dāng)當(dāng)2 x. 0)( xf21( )( ).ff x 是的極大值求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值2312( )()f xx 函數(shù)的最值oxybaoxyaboxyab假設(shè)前提：假設(shè)前提：(,)A f是定義在是定義在A上的函數(shù)上的函數(shù)0,xA 若使得0( )()( ),f xf xxA 0

11、x為為 f 在在A上的最大上的最大（?。ㄐ。┲迭c，值點，0( )f x為最大為最大（?。ㄐ。┲抵底畲笾迭c和最小值點通稱為最值點最大值點和最小值點通稱為最值點最大值和最小值通稱為最值最大值和最小值通稱為最值f 在在(a,b)上的臨界點集為有限點集上的臨界點集為有限點集最大值與最小值，極值的應(yīng)用最大值與最小值，極值的應(yīng)用不可導(dǎo)點駐點極值點內(nèi)某點或是，或是或是的最值點),(babaf結(jié)論結(jié)論：)(,)(,)(,)(min)(min)(,)(,)(,)(max)(max) 1 (不可導(dǎo)點駐點不可導(dǎo)點駐點ffbfafxfffbfafxfbxabxa2( )(),( , );a bf x 在在只只有有

12、一一極極值值 那那么么 極極大大也也即即最最大大極極小小也也就就是是最最小小。 臨界點臨界點f(x) 在在a,b上連續(xù)上連續(xù)閉區(qū)間閉區(qū)間a,ba,b的最值的最值步驟步驟: :1.1.求臨界點求臨界點; ;2. 2. 比較區(qū)間端點及臨界點的函數(shù)值比較區(qū)間端點及臨界點的函數(shù)值; ;3. 3. 最大的就是最大值最大的就是最大值, ,最小就是最小值最小就是最小值; ;最值定理：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最值最值定理：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最值1266)(2 xxxf4 , 314123223 在在求函數(shù)求函數(shù)xxxy得得令令, 0)( xf. 1, 221 xx )3(f;23 )2(f;34 )1(f;7;142 )4(f.最大值與最小值最大值與最小值解解)1)(2(6 xx，最最大大值值142)4( f. 7)1( f最小值最小值:比較得比較得例：例：14123223 xxxy開區(qū)間開區(qū)間(a,b)上的函數(shù)可能有最值也可能無最值上的函數(shù)可能有最值也可能無最